揚州市重點中學2024年高一下數(shù)學期末統(tǒng)考模擬試題含解析

揚州市重點中學2024年高一下數(shù)學期末統(tǒng)考模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），則的大致圖象為（）A． B． C． D．2．在x軸上的截距為2且傾斜角為135°的直線方程為（）.A．ｙ＝－ｘ＋２ B．ｙ＝－ｘ－２ C．ｙ＝ｘ＋２ D．ｙ＝ｘ－２3．已知直線傾斜角的范圍是，則此直線的斜率的取值范圍是（）A． B．C． D．4．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若，，則（）A．14 B．18 C．36 D．605．設(shè)的三個內(nèi)角成等差數(shù)列，其外接圓半徑為2，且有，則三角形的面積為（）A． B． C．或 D．或6．如圖，兩個正方形和所在平面互相垂直，設(shè)、分別是和的中點，那么：①；②平面；③；④、異面.其中不正確的序號是（）A．① B．② C．③ D．④7．袋中共有完全相同的4只小球，編號為1，2，3，4，現(xiàn)從中任取2只小球，則取出的2只球編號之和是偶數(shù)的概率為（）A． B． C． D．8．設(shè)函數(shù)的圖象為，則下列結(jié)論正確的是（）A．函數(shù)的最小正周期是B．圖象關(guān)于直線對稱C．圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到D．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)9．某公司計劃在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告費用不超過9萬元，甲、乙電視臺的廣告費標準分別是500元/分鐘和200元/分鐘，假設(shè)甲、乙兩個電視臺為該公司做的廣告能給公司帶來的收益分別為0.4萬元/分鐘和0.2萬元/分鐘，那么該公司合理分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，能使公司獲得最大的收益是（）萬元A．72 B．80 C．84 D．9010．若，，則與向量同向的單位向量是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為______.12．在中，角所對的邊分別為，，則____13．若x、y滿足約束條件，則的最大值為________.14．過點(2，－3)且在兩坐標軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程為_________________．15．已知數(shù)列的通項公式，那么使得其前項和大于7.999的的最小值為______.16．已知函數(shù)，該函數(shù)零點的個數(shù)為_____________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知關(guān)于的不等式．（1）若不等式的解集為，求；（2）當時，解此不等式．18．已知曲線C：x2+y2+2x+4y+m=1．（1）當m為何值時，曲線C表示圓？（2）若直線l：y=x﹣m與圓C相切，求m的值．19．已知等差數(shù)列的前項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求的值.20．已知函數(shù)，，數(shù)列滿足，，.（1）求證；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）若，求中的最大項.21．設(shè)數(shù)列滿足，，，.s（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項；（2）求數(shù)列的通項，并求數(shù)列的前項和；（3）若，且是單調(diào)遞增數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】令，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又令，所以有兩個零點，因為，，所以，且當時，，，當時，，，當時，，，選項C滿足條件.故選C.點睛：本題考查函數(shù)的解析式和圖象的關(guān)系、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；已知函數(shù)的解析式識別函數(shù)圖象是高考常見題型，往往從定義域、奇偶性（對稱性）、單調(diào)性、最值及特殊點的符號進行驗證，逐一驗證進行排除.2、A【解析】直線的斜率為tan135°=-1，由點斜式求得直線的方程為y=-x+b,將截據(jù)y=0,x=2代入方程，解得b=2,所以，可得y=-x+2，故答案為A3、B【解析】

根據(jù)直線的斜率等于傾斜角的正切值求解即可.【詳解】因為直線傾斜角的范圍是,又直線的斜率,.故或.故.故選：B【點睛】本題主要考查了直線斜率與傾斜角的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

由已知結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可求，，q2，然后整體代入到求和公式即可求．【詳解】∵等比數(shù)列{an}中，S2＝2，S4＝6，∴q≠1，則，聯(lián)立可得，2，q2＝2，S62×（1﹣23）＝1．故選：A．【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的求和公式的簡單應(yīng)用，考查了整體代入的運算技巧，屬于基礎(chǔ)題．5、C【解析】

的三個內(nèi)角成等差數(shù)列，可得角A、C的關(guān)系，將已知條件中角C消去，利用三角函數(shù)和差角公式展開即可求出角A的值，再由三角形面積公式即可求得三角形面積.【詳解】的三個內(nèi)角成等差數(shù)列，則，解得，所以，所以，整理得，則或，因為，解得或.①當時，；②當時，，故選C.【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、等差數(shù)列性質(zhì)、三角函數(shù)和差角公式、三角函數(shù)輔助角公式，綜合性較強，屬于中檔題；解題中主要是通過消元構(gòu)造關(guān)于角A的三角方程，其中利用三角函數(shù)和差角公式和輔助角公式對式子進行化解是解題的關(guān)鍵.6、D【解析】

取的中點，連接，，連接，，由線面垂直的判定和性質(zhì)可判斷①；由三角形的中位線定理，以及線面平行的判定定理可判斷②③④．【詳解】解：取的中點，連接，，連接，，正方形和所在平面互相垂直，、分別是和的中點，可得，，平面，可得，故①正確；由為的中位線，可得，且平面，可得平面，故②③正確，④錯誤．故選：D．【點睛】本題主要考查空間線線和線面的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．7、C【解析】

先求出在編號為1，2，3，4的小球中任取2只小球的不同取法，再求出取出的2只球編號之和是偶數(shù)的不同取法，然后求概率即可得解.【詳解】解：在編號為1，2，3，4的小球中任取2只小球，則有共6種取法，則取出的2只球編號之和是偶數(shù)的有共2種取法，即取出的2只球編號之和是偶數(shù)的概率為，故選：C.【點睛】本題考查了古典型概率公式，屬基礎(chǔ)題.8、B【解析】

利用函數(shù)的周期判斷A的正誤；通過x=函數(shù)是否取得最值判斷B的正誤；利用函數(shù)的圖象的平移判斷C的正誤,利用函數(shù)的單調(diào)區(qū)間判斷D的正誤．【詳解】對于A，f（x）的最小正周期為π,判斷A錯誤；對于B，當x=，函數(shù)f（x）=sin（2×+）=1，∴選項B正確；對于C，把的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)sin[2（x+）]=sin(2x+，∴選項C不正確．對于D，由，可得，k∈Z，所以在上不恒為增函數(shù)，∴選項D錯誤；故選B．【點睛】本題考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性、周期性及函數(shù)圖象變換，屬于基本知識的考查．9、B【解析】

設(shè)公司在甲、乙兩個電視臺的廣告時間分別為分鐘，總收益為元，根據(jù)題意得到約束條件，目標函數(shù)，平行目標函數(shù)圖象找到在縱軸上截距最大時所經(jīng)過的點,把點的坐標代入目標函數(shù)中即可.【詳解】設(shè)公司在甲、乙兩個電視臺的廣告時間分別為分鐘，總收益為元，則由題意可得可行解域：，目標函數(shù)為可行解域化簡得，，在平面直角坐標系內(nèi)，畫出可行解域，如下圖所示：作直線，即，平行移動直線，當直線過點時，目標函數(shù)取得最大值，聯(lián)立，解得，所以點坐標為，因此目標函數(shù)最大值為，故本題選B.【點睛】本題考查了應(yīng)用線性規(guī)劃知識解決實際問題的能力，正確列出約束條件，畫出可行解域是解題的關(guān)鍵.10、A【解析】

先求出的坐標，然后即可算出【詳解】因為，所以所以與向量同向的單位向量是故選：A【點睛】本題考查的是向量的坐標運算，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)三角函數(shù)圖象依次求得的值.【詳解】由圖象可知，，所以，故，將點代入上式得，因為，所以.故.故答案為：【點睛】本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)的圖象求三角函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

利用正弦定理將邊角關(guān)系式中的邊都化成角，再結(jié)合兩角和差公式進行整理，從而得到.【詳解】由正弦定理可得：即：本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查李用正弦定理進行邊角關(guān)系式的化簡問題，屬于常規(guī)題.13、18【解析】

先作出不等式組所表示的平面區(qū)域，再觀察圖像即可得解.【詳解】解：作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示，由圖可得：目標函數(shù)所在直線過點時，取最大值，即，故答案為：.【點睛】本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，重點考查了作圖能力，屬基礎(chǔ)題.14、【解析】分析：分類討論截距為0和截距不為零兩種情況求解直線方程即可.詳解：當截距為0時,直線的方程為，滿足題意；當截距不為0時,設(shè)直線的方程為,把點代入直線方程可得，此時直線方程為.故答案為.點睛：求解直線方程時應(yīng)該注意以下問題：一是根據(jù)斜率求傾斜角，要注意傾斜角的范圍；二是求直線方程時，若不能斷定直線是否具有斜率時，應(yīng)對斜率存在與不存在加以討論；三是在用截距式時，應(yīng)先判斷截距是否為0，若不確定，則需分類討論.15、1【解析】

直接利用數(shù)列的通項公式，建立不等式，解不等式求出結(jié)果．【詳解】解：數(shù)列的通項公式，則：，所以：當時，即：，當時，成立，即：的最小值為1．故答案為：1【點睛】本題考查的知識要點：數(shù)列的通項公式的求法及應(yīng)用，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型．16、3【解析】

令，可得或；當時，可解得為函數(shù)一個零點；當時，可知，根據(jù)的范圍可求得零點；綜合兩種情況可得零點總個數(shù).【詳解】令，可得：或當時，或（舍）為函數(shù)的一個零點當時，，，為函數(shù)的零點綜上所述，該函數(shù)的零點個數(shù)為：個本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查函數(shù)零點個數(shù)的求解，關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為方程根的個數(shù)的求解，涉及到余弦函數(shù)零點的求解.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）2（2）時，，時，，時，不等式的解集為空集，時，，時，.【解析】

（1）根據(jù)不等式的解集和韋達定理，可列出關(guān)于a的方程組，解得a；（2）不等式化為，討論a的取值，從而求得不等式的解集?！驹斀狻浚?）由題得，，解集為，則有，解得；（2）由題，：當時，不等式化為，解得；當時，不等式等價于，若，解得；若，解得，若，解得；當時，不等式等價于，解得或.綜上，時，不等式的解集為，時，不等式的解集為，時，不等式的解集為空集，時，不等式的解集為，時，不等式的解集為.【點睛】本題考查一元二次不等式的解法與應(yīng)用，以及通過討論參數(shù)取值求不等式的解集，有一定的難度。18、（1）當m＜2時，曲線C表示圓（2）m=±3【解析】解：（1）由C：x2+y2+2x+4y+m=1，得（x+1）2+（y+2）2=2﹣m，由2﹣m＞1，得m＜2．∴當m＜2時，曲線C表示圓；（2）圓C的圓心坐標為（﹣1，﹣2），半徑為．∵直線l：y=x﹣m與圓C相切，∴，解得：m=±3，滿足m＜2．∴m=±3．【點評】本題考查圓的一般方程，考查了直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓練了點到直線的距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．19、（1）；（2）4.【解析】

（1）運用等差數(shù)列的性質(zhì)求得公差d，再由及d求得通項公式即可．（2）利用前n項和公式直接求解即可.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，∴，故.（2），∴，解得或（舍去），∴.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式及項數(shù)的求法，考查了前n項和公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．20、（1）見解析；（2）；（3）【解析】

（1）將化簡后可得要求證的遞推關(guān)系.（2）將（1）中的遞推關(guān)系化簡后得到，從而可求的通項公式.（3）結(jié)合（2）的結(jié)果化簡，換元后利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求最大值.【詳解】（1）證明：由，，，得.又，∴.（2）∵，即，∴是公比為的等比數(shù)列.又，∴.（3）由（2）知，因為，所以，所以，令，則，又因為且，所以所以中的最大項為.【點睛】數(shù)列最大項、最小項的求法，一般是利用數(shù)列的單調(diào)性去討論，但是也可以根據(jù)通項的特點，利用函數(shù)的單調(diào)性來討論，要注意函數(shù)的單調(diào)性與數(shù)列的單調(diào)性的區(qū)別與聯(lián)系.21、（1）證明見解析，；（2），；（3）.【解析】

（1）利用等差數(shù)列的定義可證明出數(shù)列是等差數(shù)列，并確定該數(shù)列的首項和公差，即可得出數(shù)列的通項；（2）利用累加法求出