蘇教版高中數(shù)學(xué)選修3-4-4.6.3-抽象群初步-(15)課件

抽象群初步

變換群主要應(yīng)用于研究集合問(wèn)題，把變換群再推廣，成為抽象群，就能在數(shù)學(xué)分支理論及應(yīng)用中發(fā)揮更大的作用。算術(shù)中的1+2=3，是從“1個(gè)人+2個(gè)人”、“1張桌+2張桌”等具體問(wèn)題中抽象概括出來(lái)的。形式抽象了，數(shù)學(xué)規(guī)律更突出了，應(yīng)用也更廣泛了。將變換群概念推廣，目光不限于幾何變換，對(duì)于任意一個(gè)集合，只要具備類(lèi)似的性質(zhì)，就得到抽象的“群”。

思考:究竟什么是“群”呢？群的定義

1、

設(shè)A是一個(gè)非空集合，若對(duì)A中任意兩個(gè)元素a，b，通過(guò)某個(gè)法則“?”，有A中惟一確定的元素c與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)法則“?”為集合上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算（algebraicoperation)。元素c是a，b，通過(guò)運(yùn)算“?”作用的結(jié)果，我們將此結(jié)果記為a?b=c.例1

有理數(shù)的加法、減法和乘法都是有理數(shù)集Q上的代數(shù)運(yùn)算，除法不是Q上的代數(shù)運(yùn)算。如果只考慮所有非零有理數(shù)的集合Q*，則除法是Q*上的代數(shù)運(yùn)算。

2、設(shè)G是一個(gè)集合，其元素記為a,b,c....又設(shè)在G中存在一種操作（把它叫做“乘法”），滿(mǎn)足：（1）封閉性—G中任意兩個(gè)元素a與b的“乘積”是G中的一個(gè)元素c，記為c=b?a，簡(jiǎn)記為c=ba;（2）結(jié)合律—G中任意三個(gè)元素的連乘積滿(mǎn)足結(jié)合律（cb）a=c（ab）；（3）恒等元—G中存在一個(gè)特殊元素e，叫做恒等元，它與G中任意元素a的乘積仍a；（4）逆元—對(duì)于G中每個(gè)元素a，都有G中某個(gè)相應(yīng)的元素，叫做a的逆元，使它與a的乘積等于e（元素a的逆元記為a-1）。則稱(chēng)G關(guān)于運(yùn)算“?”構(gòu)成一個(gè)群(group)，記作(G,o)，在不致引起混淆的情況下，也把G稱(chēng)為群。這樣定義的群，不管它的元素究竟是什么（可以是幾何變換、字母置換、實(shí)數(shù)，或者其它任何對(duì)象），也不管叫做“乘法”的到底是什么操作，只要滿(mǎn)足條件就行。以上只考慮抽象的運(yùn)算關(guān)系，所以又叫做“抽象群”。群是我們定義的一種抽象結(jié)構(gòu)，具有一般性，它象一個(gè)空筐子，可以裝入各種具有相同抽象結(jié)構(gòu)的實(shí)際對(duì)象。通過(guò)研究抽象結(jié)構(gòu)的一般性質(zhì)，就可以掌握各種實(shí)際對(duì)象的性質(zhì)。例2整數(shù)集{z}及其上的加法+單位元為0，逆元z-1=-z，構(gòu)成整數(shù)加法群。

證對(duì)任意的a，b∈Z，有a+b∈Z，所以“+”是Z上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算。同時(shí)，對(duì)任意的a，b，c∈Z，有(a+b)+c=a+(b+c)，所以結(jié)合律成立。另一方面0∈Z，且a∈Z，有a+0=0+a=a，所以0為Z的單位元，又對(duì)每個(gè)a∈Z，有a+(-a)=(-a)+a=0，所以-a是a的逆元。從而Z關(guān)于“+”構(gòu)成群，顯然這是一個(gè)交換群。例3實(shí)數(shù)集R，運(yùn)算為加法：?jiǎn)挝辉猠=0，逆元：a∈R，a-1=-a，構(gòu)成加群。若運(yùn)算為數(shù)乘，R不構(gòu)成群，0-1不存在。不過(guò)不包含0的所有實(shí)數(shù)R/0，構(gòu)成乘法群，單位元e=1，逆元：a∈R/0，a-1=1/a.當(dāng)群的運(yùn)算用加號(hào)“+”表示時(shí)，通常將G的單位元記作0，并稱(chēng)0為G的零元；將a∈G的逆元記作-a，并稱(chēng)-a為a的負(fù)元。習(xí)慣上，只有當(dāng)群為交換群時(shí)，才用“+”來(lái)表示群的運(yùn)算，并稱(chēng)這個(gè)運(yùn)算為加法，把運(yùn)算的結(jié)果叫做和，同時(shí)稱(chēng)這樣的群為加群。將不是加群的群稱(chēng)為乘群，并把乘群的運(yùn)算叫做乘法，結(jié)果叫做積。全體非零有理數(shù)的集合Q*關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成交換群，這個(gè)群的單位元是數(shù)1，非零有理數(shù)的逆元是的倒數(shù)。同理，全體非零實(shí)數(shù)的集R*、全體非零復(fù)數(shù)的集合C*關(guān)于數(shù)的乘法也構(gòu)成交換群。

以幾何變換作為元素，變換的合成作為乘法，所得到的群就是變換群。變換群的許多有關(guān)概念，例如子群和擴(kuò)群等，都能推廣到抽象群。謝謝指導(dǎo)！長(zhǎng)風(fēng)破浪會(huì)有時(shí)，直掛云帆濟(jì)滄海。努力，終會(huì)有所收獲，功夫不負(fù)有心人。以銅為鏡，可以正衣冠；以古為鏡，可以知興替；以人為鏡，可以明得失。前進(jìn)的路上，要不斷反思、關(guān)照自己的不足，學(xué)習(xí)更多東西，更進(jìn)一步。窮則獨(dú)善其身，達(dá)則兼濟(jì)天下?，F(xiàn)代社會(huì)，有很多人，鉆進(jìn)錢(qián)眼，不惜違法亂紀(jì)；做人，窮，也要窮的有骨氣！古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有堅(jiān)忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修煉才華和能力，更重要的是要能堅(jiān)持下來(lái)。士不可以不弘毅，任重而道遠(yuǎn)。仁以為己任，不亦重乎?死而后已，不亦遠(yuǎn)乎?心中有理想，腳下的路再遠(yuǎn)，也不會(huì)迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，雖久不廢，此謂不朽。任何事業(yè)，學(xué)業(yè)的基礎(chǔ)，都要以自身品德的修煉為根基。飯疏食，飲水，曲肱而枕之，樂(lè)亦在其中矣。不義而富且貴，于我如浮云。財(cái)富如浮云，生不帶來(lái)，死不帶去，真正留下的，是我們對(duì)這個(gè)世界的貢獻(xiàn)。英雄者，胸懷大志，腹有良策，有包藏宇宙之機(jī)，吞吐天地之志者也英雄氣概，威壓八萬(wàn)里，體恤弱小，善德加身。老當(dāng)益壯，寧移白首之心；窮且益堅(jiān)，不墜青云之志老去的只是身體，心靈可以永遠(yuǎn)保持豐盛。樂(lè)民之樂(lè)者，民亦樂(lè)其樂(lè)；憂(yōu)民之憂(yōu)者，民亦憂(yōu)其憂(yōu)。做領(lǐng)導(dǎo)，要能體恤下屬，一味打壓，盡失民心。勿以惡小而為之，勿以善小而不為。越是微小的事情，越見(jiàn)品質(zhì)。學(xué)而不知道，與不學(xué)同；知而不能行，與不知同。知行合一，方可成就事業(yè)。以家為家，以鄉(xiāng)為鄉(xiāng)，以國(guó)為國(guó)，以天下為天下。若是天下人都能互相體諒，紛擾世事可以停歇。志不強(qiáng)者智不達(dá)，言不信者行不果。立志越高，所需要的能力越強(qiáng)，相應(yīng)的，逼迫自己所學(xué)的，也就越多。臣心一片磁針石，不指南方不肯休。忠心，也是很多現(xiàn)代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。為人謀而不忠乎?與朋友交而不信乎?傳不習(xí)乎?若人人皆每日反省自身，世間又會(huì)多出多少君子。人人好公，則天下太平；人人營(yíng)私，則天下大亂。給世界和身邊人，多一點(diǎn)寬容，多一份擔(dān)當(dāng)。為天地立心，為生民立命，為往圣繼絕學(xué)，為萬(wàn)世開(kāi)太平。立千古大志，乃是圣人也。丹青不知老將至，貧賤于我如浮云。淡看世間事，心情如浮云天行健，君子以自強(qiáng)不息。地勢(shì)坤，君子以厚德載物。君子，生在世間，當(dāng)靠自己拼搏奮斗。博學(xué)之，審問(wèn)之，慎思之，明辨之，篤行之。進(jìn)學(xué)之道，一步步逼近真相，逼近更高。百學(xué)須先立志。天下大事，不立志，難成！海納百川，有容乃大；壁立千仞，無(wú)欲則剛做人，心胸要寬廣。其身正，不令而行；其身不正，雖令不從。身心端正，方可知行合一。子曰:“知者不惑，仁者不憂(yōu)，勇者不懼?！闭嬲M(jìn)者，不會(huì)把時(shí)間耗費(fèi)在負(fù)性情緒上。好學(xué)近乎知，力行近乎仁，知恥近乎勇。力行善事，有羞恥之心，方可成君子。操千曲爾后曉聲，觀千劍爾后識(shí)器做學(xué)問(wèn)和學(xué)技術(shù)，都需要無(wú)數(shù)次的練習(xí)。第一個(gè)青春是上帝給的；第二個(gè)的青春是靠自己努力當(dāng)眼淚流盡的時(shí)候，留下的應(yīng)該是堅(jiān)強(qiáng)。人總是珍惜未得到的，而遺忘了所擁有的。誰(shuí)傷害過(guò)你，誰(shuí)擊潰過(guò)你，都不重要。重要的是誰(shuí)讓你重現(xiàn)笑容。幸運(yùn)并非沒(méi)有恐懼和煩惱；厄運(yùn)并非沒(méi)有安慰與希望。你不要一直不滿(mǎn)人家，你應(yīng)該一直檢討自己才對(duì)。不滿(mǎn)人家，是苦了你自己。最深的孤獨(dú)不是長(zhǎng)久的一個(gè)人，而是心里沒(méi)有了任何期望。要銘記在心；每一天都是一年中最完美的日子。只因幸福只是一個(gè)過(guò)往，沉溺在幸福中的人；一直不知道幸福卻很短暫。一個(gè)人的價(jià)值，應(yīng)該看他貢獻(xiàn)什么，而不應(yīng)當(dāng)看他取得什么。做個(gè)明媚的女子。不傾國(guó)，不傾城，只傾其所有過(guò)的生活。生活就是生下來(lái)，活下去。人生最美的是過(guò)程，最難的是相知，最苦的是等待，最幸福的是真愛(ài)，最后悔的是錯(cuò)過(guò)。兩個(gè)人在一起能過(guò)就好好過(guò)！不能過(guò)就麻利點(diǎn)分開(kāi)。當(dāng)一個(gè)人真正覺(jué)悟的一刻，他放下追尋外在世界的財(cái)富，而開(kāi)始追尋他內(nèi)心世界的真正財(cái)富。人若軟弱就是自己最大的敵人。日出東海落西山，愁也一天，喜也一天。遇事不轉(zhuǎn)牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。烏云總會(huì)被驅(qū)散的，即使它籠罩了整個(gè)地球。心態(tài)便是黑暗中的那一盞明燈，可以照亮整個(gè)世界。生活不是單行線(xiàn)，一條路走不通，你可以轉(zhuǎn)彎。給我一場(chǎng)車(chē)禍。要么失憶。要么死。有些人說(shuō)：我愛(ài)你、又不是說(shuō)我只愛(ài)你一個(gè)。生命太過(guò)短暫，今天放棄了明天不一定能得到。刪掉了關(guān)于你的一切，唯獨(dú)刪不掉關(guān)于你的回憶。任何事都是有可能的。所以別放棄，相信自己，你可以做到的。、相信自己，堅(jiān)信自己的目標(biāo)，去承受常人承受不了的磨難與挫折，不斷去努力、去奮斗，成功最終就會(huì)是你的！既然愛(ài)，為什么不說(shuō)出口，有些東西失去了，就在也回不來(lái)了！對(duì)于人來(lái)說(shuō)，問(wèn)心無(wú)愧是最舒服的枕頭。嫉妒他人，表明他人的成功，被人嫉妒，表明自己成功。在人之上，要把人當(dāng)人；在人之下，要把自己當(dāng)人。人不怕卑微，就怕失去希望，期待明天，期待陽(yáng)光，人就會(huì)從卑微中站起來(lái)，帶著封存夢(mèng)想去擁抱藍(lán)天。成功需要成本，時(shí)間也是一種成本，對(duì)時(shí)間的珍惜就是對(duì)成本的節(jié)約。人只要不失去方向，就不會(huì)失去自己。過(guò)去的習(xí)慣，決定今天的你，所以，過(guò)去的懶惰，決定你今天的一敗涂地。讓我記起容易，但讓我忘記我怕我是做不到。不要跟一個(gè)人和他議論同一個(gè)圈子里的人，不管你認(rèn)為他有多可靠。想象困難做出的反應(yīng)，不是逃避或繞開(kāi)它們，而是面對(duì)它們，同它們打交道，以一種進(jìn)取的和明智的方式同它們奮斗。他不愛(ài)你，你為他擋一百顆子彈也沒(méi)用。坐在電腦前，不知道做什么，卻又不想關(guān)掉它。做不了決定的時(shí)候，讓時(shí)間幫你決定。如果還是無(wú)法決定，做了再說(shuō)。寧愿犯錯(cuò)，不留遺憾。發(fā)現(xiàn)者，尤其是一個(gè)初出茅廬的年輕發(fā)現(xiàn)者，需要勇氣才能無(wú)視他人的冷漠和懷疑，才能堅(jiān)持自己發(fā)現(xiàn)的意志，并把研究繼續(xù)下去。我的本質(zhì)不是我的意志的結(jié)果，相反，我的意志是我的本質(zhì)的結(jié)果，因?yàn)槲蚁扔写嬖?，后有意志，存在可以沒(méi)有意志，但是沒(méi)有存在就沒(méi)有意志。公共的利益，人類(lèi)的福利，可以使可憎的工作變?yōu)榭少F，只有開(kāi)明人士才能知道克服困難所需要的熱忱。立志用功如種樹(shù)然，方其根芽，猶未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后葉，葉而后花。意志的出現(xiàn)不是對(duì)愿望的否定，而是把愿望合并和提升到一個(gè)更高的意識(shí)無(wú)論是美女的歌聲，還是鬢狗的狂吠，無(wú)論是鱷魚(yú)的眼淚，還是惡狼的嚎叫，都不會(huì)使我動(dòng)搖。即使遇到了不幸的災(zāi)難，已經(jīng)開(kāi)始了的事情決不放棄。最可怕的敵人，就是沒(méi)有堅(jiān)強(qiáng)的信念。既然我已經(jīng)踏上這條道路，那么，任何東西都不應(yīng)妨礙我沿著這條路走下去。意志若是屈從，不論程度如何，它都幫助了暴