2024年高考第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題含答案（新九省模式專用2024新題型）

（新九省模式專用，2024新題型）-2024年高考第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題

2024年高考第二次模擬考試

局二數(shù)學(xué)

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號

填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。

3.回答第II卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.設(shè)集合4=何〉=1!1（%_3）},8={小4_1},則A0危8）=（）

A.{x|-l＜xW3}B.{x|x〉-l}C.{x|xV-l,或x＞3}D.{x|x〉3}

7

2.已知復(fù)數(shù)z=〃+Z?i（?GR,且且z?為純虛數(shù)，則==（）

z

A.1B.-1C.iD.-i

3.已知向量方=（一2,4）,3=（11）,若5與B共線，則向量0+石在向量7=（0,1）上的投影向量為（）

A.7B.-JC.2jD.-2j

4.“。。＞1”是“6〉工＞0"（）

a

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

5.有甲、乙等五人到三家企業(yè)去應(yīng)聘，若每人至多被一家企業(yè)錄用，每家企業(yè)至少錄用其中一人且甲、

乙兩人不能被同一家企業(yè)錄用，則不同的錄用情況種數(shù)是（）

A.60B.114C.278D.336

6.已知□￡＞：x2+y2-2ax-2a-l=0,點(diǎn)尸（-3,0）,若□D上總存在M,N兩點(diǎn)使得UPMN為等

邊三角形，則〃的取值范圍是（）

A.--,-1+co）B.|-GO,--U[1,+GO）

C.(—GO,—2]u[l,+oo)D.[—2,—1)U(—1,+°0)

7.已知AABC中，ZBAC=60°,AB=2,。是邊5C上的動(dòng)點(diǎn).若PA，平面ABC,尸4=血，且尸。

與面ABC所成角的正弦值的最大值為逅，則三棱錐尸-ABC的外接球的表面積為（）

3

A.4兀B.6兀C.8itD.9兀

8.加斯帕爾-蒙日是1819世紀(jì)法國著名的幾何學(xué)家.如圖，他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互

相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱為“蒙日圓”.若長方形G的四

22

邊均與橢圓二+匕=1相切，則下列說法錯(cuò)誤的是（）

64

A.橢圓M的離心率為立B.橢圓M的蒙日圓方程為尤2+V=io

3

C.若G為正方形，則G的邊長為2石D.長方形G的面積的最大值為18

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知拋物線C:V=6》的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸的直線交C于兩個(gè)不同點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.|兒叫的最小值是6B.若點(diǎn)￡,2）則|財(cái)+阿尸|的最小值是4

C.}+向=3D.若阿/卜|行|=18,則直線的斜率為±1

22

10.已知雙曲線g=l（a〉o）的左、右焦點(diǎn)別為耳，F(xiàn)2,過點(diǎn)馬的直線/與雙曲線E的右支相

交于P,Q兩點(diǎn)，則（）

A.若石的兩條漸近線相互垂直，則。=拒

B.若E的離心率為G，則E的實(shí)軸長為1

C.若/耳尸瑪=90。，則|尸7訃|尸閭=4

D.當(dāng)。變化時(shí)，口耳尸。周長的最小值為8夜

11.在棱長為2的正方體ABC。-4BCA中，E,尸分別是棱BC,CD的中點(diǎn)，則（）

A.與所是異面直線

B.存在點(diǎn)P,使得乖=2而，且BC//平面AP與

C.A/與平面四匹所成角的余弦值為迪

3

4

D.點(diǎn)用到平面AE廠的距離為y

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若二項(xiàng)式［x+2］的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為

13.若函數(shù)/（x）=ax+sinx的圖像上存在兩條互相垂直的切線，則實(shí)數(shù)〃是.

14.若過點(diǎn)（0,1）的直線/自左往右交拋物線y=及圓必+"_廳=；于AB,。,。四點(diǎn)，則

\AB\+3\CD\的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）已知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S“，且對于任意的“eN*都有3s”=2a=+l.

（1）求數(shù)列｛6,｝的通項(xiàng)公式；

m

⑵記數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)中的最大值為此，最小值為/，令bn=M"；”,求數(shù)列抄/的前20項(xiàng)

和品.

16.（15分）燈帶是生活中常見的一種裝飾材料，已知某款燈帶的安全使用壽命為5年，燈帶上照明的

燈珠為易損配件，該燈珠的零售價(jià)為4元/只，但在購買燈帶時(shí)可以以零售價(jià)五折的價(jià)格購買備用燈珠，

該燈帶銷售老板為了給某顧客節(jié)省裝飾及后期維護(hù)的支出，提供了150條這款燈帶在安全使用壽命內(nèi)更

換的燈珠數(shù)量的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)如圖所示.以這150條燈帶在安全使用壽命內(nèi)更換的燈珠數(shù)量的頻率代替1條

燈帶更換的燈珠數(shù)量發(fā)生的概率，若該顧客買1盒此款燈帶，每盒有2條燈帶，記X表示這1盒燈帶在

安全使用壽命內(nèi)更換的燈珠數(shù)量，”表示該顧客購買1盒燈帶的同時(shí)購買的備用燈珠數(shù)量.

［更換燈珠數(shù)成/只

8|I*

711

6-I-H-■-

II1III.

O102030405060燈帶/條

(1)求X的分布列；

(2)若滿足P(X>n)<0.6的n的最小值為n0,求％;

(3)在燈帶安全使用壽命期內(nèi)，以購買替換燈珠所需總費(fèi)用的期望值為依據(jù)，比較〃=2-1與〃=〃。哪

種方案更優(yōu).

17.(15分)如圖，在三棱柱ABC—AZG中，直線平面ABC,平面A4GC，平面331GC.

B

(1)求證:ACLBB］；

(2)若AC=BC=BCi=2，在棱A片上是否存在一點(diǎn)P，使二面角P-BC-Q的余弦值為必。？若存

10

BF

在，求的值;若不存在,請說明理由.

18.(17分)已知函數(shù)/(x)=lnx-x+a.

⑴若直線y=(e-l)x與函數(shù)/(%)的圖象相切，求實(shí)數(shù)a的值；

⑵若函數(shù)g(x)=^(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)為和巧，且再<%,證明：%+%>1+111(?).(e為自然對數(shù)的底數(shù)).

19.(17分)阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書

中.阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是已知?jiǎng)狱c(diǎn)河與兩定點(diǎn)Q,P的距離之比

叱g=%(%>0,4H1),4是一個(gè)常數(shù)，那么動(dòng)點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，圓心在直線PQ上.已

|MP\

22

知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為尤2+,2=4，定點(diǎn)分別為橢圓。：=+鼻=1(。〉6〉0)的

ab

右焦點(diǎn)F與右頂點(diǎn)A,且橢圓C的離心率為e=-.

2

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)如圖，過右焦點(diǎn)F斜率為k(k>0)的直線/與橢圓C相交于B,D(點(diǎn)、B在％軸上方)，點(diǎn)S,T是橢圓C上

異于B,D的兩點(diǎn)，SF平分NBSD,TF平分NBTD.

\BF\

⑴求宿的取值范圍;

（2）將點(diǎn)S、F、T看作一個(gè)阿波羅尼斯圓上的三點(diǎn)，若△SFT外接圓的面積為券，求直線/的方程.

8

2024年高考第二次模擬考試

高三數(shù)學(xué)

全解全析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的.

1.設(shè)集合4=伸〉=ln(x-3)},8={x|xW-l},則()

A.{x|-l<x?3}B.{x|x〉一1}C.{x|尤V-1,或x>3}D.{x|x〉3}

【答案】B

【分析】先化簡集合，再利用集合的交并補(bǔ)運(yùn)算求解即可，

【詳解】由題意得4={小>3},B={x|x<-1},又%8={小>一1}

貝I」Au(%8)={x[x>-1},故選：B.

7

2.已知復(fù)數(shù)z=〃+6i(tzeR,OER且。*匕)，且z?為純虛數(shù)，貝!]==()

z

A.1B.-1C.iD.—i

【答案】D

【分析】利用復(fù)數(shù)的概念及四則運(yùn)算法則運(yùn)算即可求解.

【詳解】因?yàn)閦=a+歷，所以z?=(〃+歷尸=(￡一/>2)+2<2所，

[a2—b2=0

又因?yàn)閆2為純虛數(shù)，所以//八，即〃二匕(舍)或。=-底0,

[2abw0

所以z=a-ai,所以彳=a+ai,

匚LI、Izci—ax1—i(1-i)2.

JTT以==-------------------=-1?

za+ai1+i(l+i)(l-i)

故選：D

3.已知向量方=(一2,4),B=(u),若5與B共線，則向量0+石在向量7=(0,1)上的投影向量為()

A.jB.-jC.2jD.-2j

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)彳與B共線，可得—2/—4=0,求得?=—2,再利用向量0+B在向量7=(0,1)上的投影向

(a+b)-jj

量為計(jì)算即可得解.

【詳解】由向量1=(一2,4),B=

若彳與B共線，則—2t—4=0,所以/=—2,

a+b=（-l,2）,

所以向量M+B在向量了=（0,1）上的投影向量為：

"）?]；（-1,2）.（0,1）二二

-

故選：c

4.“。。>1”是“6〉工〉0"（）

a

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷.

【詳解】當(dāng)。>0時(shí)，由。。>1,可得6〉工〉0,

a

當(dāng)時(shí)，由。。>1,得。（工<0；

a

所以“仍>1"不是">->0”的充分條件.

a

1a>Q

因?yàn)??>—>0=<R?—1,所以次?>1,

a-------->0

、a

所以“ab>1”是“6>->0”的必要不充分條件.

a

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查不等式性質(zhì)與充分、必要條件的判定，還考查了理解辨析問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.有甲、乙等五人到三家企業(yè)去應(yīng)聘，若每人至多被一家企業(yè)錄用，每家企業(yè)至少錄用其中一人且甲、乙兩

人不能被同一家企業(yè)錄用，則不同的錄用情況種數(shù)是（）

A.60B.114C.278D.336

【答案】D

【解析】命題意圖本題考查排列與組合的應(yīng)用.

錄用3人，有C；團(tuán)=60種情況；錄用4人，有仁C；制=162種情況；錄用5人，有

OS

（、A；-C；A；）+（C；A；-C；A；）=114種情況.所以共有336種.

6.已知□。：x2+y2-2ax-2a-l=Q,點(diǎn)尸(-3,0),若口。上總存在M,N兩點(diǎn)使得DPMN為等邊三

角形，則。的取值范圍是()

C.(-oo,-2]u[1,+oo)D.[-2,-1)U(-1,+°°)

【答案】B

【解析】

【分析】口。的圓心坐標(biāo)為。(a,0),半徑為廠=|。+1|,要使口。上總存在M,N兩點(diǎn)使得口PMN為等邊

三角形，則口。上存在一點(diǎn)使得NMP￡)=30°,當(dāng)與口。相切時(shí)，NMPD最大,故

sinZMPD=向＞sin30°,由此可求解.

【詳解】口。的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—ap+V=(。+1)2,

圓心坐標(biāo)為。(a,0),半徑為r=|a+l|.

因?yàn)镮PM|=IPN],|阿＞|=IND|,所以APMD=△PND.

所以ZMPD=ZNPD=30°.

要使口。上總存在M,N兩點(diǎn)使得口PMN為等邊三角形,

則口。上存在一點(diǎn)M,使得ZMPD=30°,

當(dāng)PM與口。相切時(shí)，NMPD最大,此時(shí)NMP￡＞?30°,

r1

故sinNMPD=；>sin30°=萬，即2](〃+3),

囪r

5

整理得3〃+2a—520，解得a?—00,----<--j[l,4-co).

3

故選:B.

7.已知DABC中，ZBAC=60°,AB=2,Q是邊上的動(dòng)點(diǎn).若PAL平面ABC,PA=五，且PQ

與面ABC所成角的正弦值的最大值為逅，則三棱錐尸-ABC的外接球的表面積為（）

A.4兀B.6兀D.9兀

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意得PQ的最小值為G,AQ的最小值是1,即A到BC的距離為1,則NACB=90。，結(jié)

合圖形找出aABC的外接圓圓心與三棱錐尸-ABC外接球的球心，求出外接球的半徑，再計(jì)算它的表面積.

【詳解】三棱錐尸-ABC中，PAL平面ABC,設(shè)直線PQ與平面ABC所成角為

???sin。的最大值是豐，...sind=￡=^w，，解得PQNg,

即PQ的最小值為百，AQ的最小值是1,即A到BC的距離為1,

直角三角形AABQ中，AB=2,所以/A4Q=60。,又NBAC=60。，

所以AQ重合，則NACB=90。，

則aABC的外接圓圓心M為AB的中點(diǎn)，

cv

又PA_L平面ABC,從而外接球的球心。為PB的中點(diǎn)，

外接球的半徑R=OB=YJMB2+MO2=，彳［=乎，

???三棱錐尸—ABC的外接球的表面積5=4兀7?2=4rx—=6兀.

7I2J

故選：B.

8.加斯帕爾-蒙日是1819世紀(jì)法國著名的幾何學(xué)家.如圖，他在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相

垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，其圓心是橢圓的中心，這個(gè)圓被稱為“蒙日圓”.若長方形G的四邊均

與橢圓M:反+二=1相切，則下列說法錯(cuò)誤的是（）

橢圓的離心率為旨

A.MB.橢圓M的蒙日圓方程為Y+y2=10

3

C.若G為正方形，則G的邊長為2遍D.長方形G的面積的最大值為18

【答案】D

【分析】由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求得。力后再求得。，從而可得離心率，利用特殊的長方形（即邊長與橢圓的軸平

行）求得蒙日圓方程，從而可得長方形邊長的關(guān)系，結(jié)合基本不等式得面積最大值，并得出長方形為正方

形時(shí)的邊長.

當(dāng)長方形G的邊與橢圓的軸平行時(shí)，長方形的邊長分別為2e和4,其對角線長為扃-=2*5,因此蒙

日圓半徑為圓方程為無=10,B正確；

設(shè)矩形的邊長分別為九九，因此病+“2=4022加“，即m〃W20,當(dāng)且僅當(dāng)機(jī)=〃時(shí)取等號，所以長方形G的

面積的最大值是20,此時(shí)該長方形G為正方形，邊長為2石，C正確，D錯(cuò)誤.

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知拋物線C：V=6x的焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)歹的直線交C于兩個(gè)不同點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的

是（）

A.|MN|的最小值是6B.若點(diǎn)噌，2}則跖|+|即的最小值是4

C.向+廟=3D.若阿丹河|=18,則直線的斜率為±1

【答案】ABD

【分析】A,根據(jù)山0|=玉+%+。結(jié)合基本不等式即可判斷；B,由拋物線定義知當(dāng)尸,加,A三點(diǎn)共線時(shí)

\MF\+\MP\.C,D,設(shè)直線方程，聯(lián)立拋物線，應(yīng)用韋達(dá)定理即可求解.

【詳解】對A,設(shè)M（%，M）,N（尤2，%），（無1，尤2>°），

因?yàn)檫@些傾斜角不為0,

則設(shè)直線MN的方程為了=。+],聯(lián)立拋物線得/一6外-9=0,

則%+%=6匕+%=-9,

3k99

所以；.占+無2=左(丫1+%)+3=6左-+3,xrx2=k~yxy2+—+%)+1=1，

2

^\MN\=xt+x2+3=6k+6>6(當(dāng)且僅當(dāng)左=0時(shí)等號成立)，A正確；

對B,如圖M4L拋物線準(zhǔn)線，|加盟+|〃4=|跖4|+|友0要使其最小，

即尸,加,A三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，

即M尸|+|MP|=|MA|+|MP|=|PA|=5+5=4,B正確；

]1|NF|+|MW%+%+3_2

對C，由+和一|“||阪|一%.+3(占+%)+9C錯(cuò)誤;

333Q

對D,\MF\?|?ZF|=(X)+-)?(x2+-)=xtx2+-(%1+x2)+-

93993

=-+-(6Z:2+3)+-=-+-(6F+3)=18,解得左=±1,D正確

42422

故選：ABD.

22

10.已知雙曲線E：--]=l（a〉0）的左、右焦點(diǎn)別為耳，F(xiàn)2,過點(diǎn)心的直線/與雙曲線石的

右支相交于RQ兩點(diǎn)，則（）

A.若E的兩條漸近線相互垂直，則。=行

B.若E的離心率為外，則E的實(shí)軸長為1

C.若/耳產(chǎn)工=90。，則|尸7訃|尸局=4

D.當(dāng)。變化時(shí)，口耳「。周長的最小值為8五

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線、離心率、定義、三角形的周長等知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】依題意，b=4i，

A選項(xiàng)，若雙曲線的兩條漸近線相互垂直，所以2=l,a=b=也,故A正確；

a

B選項(xiàng)，若E的離心率為

0>

解得a=l,所以實(shí)軸長2a=2,故B錯(cuò)誤;

『相|叫=2。

C選項(xiàng)，若/耳尸工=90。,

2

\\PF^+\PF2f=4c

整理得2|「團(tuán).|尸閶=4°2-4/=4/=8,|尸用.|尸用=4,故C正確;

PR—PF?=2a

D選項(xiàng)，根據(jù)雙曲線的定義可知，＜

Q耳-QF2=2a

兩式相加得|「團(tuán)+|。耳|一|尸。|=40|尸盟+|。4|=44+|尸。］,

所以口耳PQ周長為4a+2|尸。］,

當(dāng)PQJ_K用時(shí)，歸。|取得最小值竺1=±,

aa

所以4。+2間|24。+§22^4a--=872,

Q

當(dāng)且僅當(dāng)4。=—,即。=、歷時(shí)，等號成立，

a

所以口耳2。周長的最小值為8夜，故D正確.

故選：ACD

11.在棱長為2的正方體A3C。-ABC。中，E,尸分別是棱BC,C。的中點(diǎn)，貝IJ()

A.BQ與E尸是異面直線

B.存在點(diǎn)P,使得第=2而，且8C//平面A咫

C.4尸與平面司匹所成角的余弦值為迪

3

D.點(diǎn)片到平面4所的距離為g

【答案】BC

【分析】A選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)麗'=2而得到耳。與EF平行；B選項(xiàng)，先求出

得到平面AP用的法向量菊=(1,0,-1),根據(jù)數(shù)量積為0得到南，石，得到BC//平面AP與；C選項(xiàng)，先求

出其尸與平面片匹所成角的正弦值，進(jìn)而求出余弦值；D選項(xiàng)，求出平面4跖的法向量，根據(jù)點(diǎn)到平面距

離公式求出答案.

【詳解】A選項(xiàng)，以A作坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,ADAA所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

耳(2,0,2),0(0,2,2),E(2,1,0),1(1,2,0),4(0,0,2),8(2,0,0),C(2,2,0),

則麗■=(-2,2,0)歷=(-1,1,0),由于瓦瓦=2而，故片2與石尸平行，A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，設(shè)P(尤,y,z),因?yàn)楣?2萬，所以(即〉,2-2)=2(1-%,2-%-2),

x=2-2x

即y=4-2y,解得*=：2,〉=卞4=：2,故尸

z—2=-2ztil)

設(shè)平面APBX的法向量為根=(〃,0,c),

’―?z\(242、242

m-AP=(a,b,c)-\-,--\=-a+-b+-c=O

則〈1333/333,

m-AB1=(〃,/?,c).(2,0,2)=2〃+2c=0

令a=l,貝l]6=0,c=T,則根=

因?yàn)槿罹?(O,2,O)(l,O,-1)=0,故前，蔡,BC//平面AP4,

故存在點(diǎn)P,使得凝=2而，且BC//平面4尸與，B正確；

C選項(xiàng)，平面耳EB的法向量為￡=。,0,0),

n\|(1,2,-2)-(1,0,0)|

故\F與平面B.EB所成角的正弦值為

\n\~Jl+4+43

則AP與平面瓦防所成角的余弦值為=孚，C正確;

D選項(xiàng)，設(shè)平面4跖的法向量為4=(無"i，zj,

?i?AE=(占,y1,z1)-(2,l,-2)=2%+%-2zj=0

zij-￡'F=(x1,y1,z1)-(-l,l,0)=-x1+y1=0

令玉=1,則y]=l,Z]=T，故

普,D錯(cuò)誤.

則點(diǎn)耳到平面4斯的距離為

故選：BC

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

n

12.若二項(xiàng)式[x+不—]I的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為

【答案】240

【解析】

n

【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式X+的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,

所以2"=64,得”=6,所以二項(xiàng)式為

6m

則二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)4+1=C"6Tr

=C'6o2x2

q2'2c1114

令第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大，則《66,解得一<r<一,

[Q2r>C^2r+13~~3

因?yàn)閞eN,所以r=4,則二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為豈=《2’/%=240，所以填240

13.若函數(shù)/(x)=ax+sinx的圖像上存在兩條互相垂直的切線，則實(shí)數(shù)。是.

【答案】0

【解析】

【詳解】注意到，f'(x)=a+cosx.

若函數(shù)了(%)上存在兩條切線垂直，則存在石、X2^R,使得

xx=

f'(i)f'(<2)一1=(tz+COSX,)(t?+COSX2)=-1

=a?+a(cosxj+cosx2)+cos%-cosx2+1=0

22

今［qICOSX1+COSX2J門［cosxi—cos々j=Q

=cos%=-cosx2=±l,a=0.

故答案為0

14.若過點(diǎn)（0,1）的直線/自左往右交拋物線y=及圓必+6一1）2=；于AB,。,。四點(diǎn)，則

|AB|+3|CD|的最小值為.

【答案】2百+2

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線的定義求得求出|AM=%+g,|CD|=%+g，當(dāng)Uy軸時(shí)，則為=%=1，可求

|AB|+3|CD|的值；當(dāng)直線方程為x=時(shí)，代入拋物線方程，根據(jù)韋達(dá)定理結(jié)合基本不等式求得此

時(shí)|AB|+31c必的最小值，即可得結(jié)論.

【詳解】解：如圖，其中拋物線y=的焦點(diǎn)坐標(biāo)為/（0,1）,

911

拋物線的準(zhǔn)線方程為：y=-1,圓=—的半徑廠=—

又拋物線的定義可得：|4刊=%+1，|。同=%+1，又

\AB\=\AF\-\BF\=yA+^,\CD\=\DF\-\CF\=如+：,

當(dāng)Hy軸時(shí)，則力=力=1,所以|A回+3|CD|=l+；+31+￡|=6；

當(dāng)/不垂直于，軸時(shí)，設(shè)/的方程為：x="（y-l）,代入拋物線方程得：H2y2-（2H2+4）y+?2=0,

二匚［、12"+4

所以小為=丁，%.％=1。

所以|A回+3］。。|=2+%+3切22+27^7^=2+26,

當(dāng)且僅當(dāng)%=3%，即%=等，%=6時(shí)，等號成立.

綜上，|AB|+31cM的最小值為2+2省.

故答案為：2+2瓜

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,且對于任意的〃eN*都有3s“=24+1.

⑴求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

m

(2)記數(shù)列｛%,｝的前〃項(xiàng)中的最大值為Mn,最小值為mn,令%=M"；",求數(shù)列抄"｝的前20項(xiàng)和T20.

【答案】⑴4=(-2廣

【解析】

【分析】⑴根據(jù)3s〃=24+1可得｛&｝是以公比為—2的等比數(shù)列，進(jìn)而可求解，

(2)根據(jù)數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)性質(zhì)可對〃分奇偶，進(jìn)而可得M”，的,，分組求和即可求解.

【小問1詳解】

對于任意的〃eN*都有3s“=24+1,

當(dāng)〃22時(shí),3s“_i=2%+1,兩式相減得3(S“—S,i)=(2%+l)—(2a,i+l),即

34=2?！耙?。小(”22),

進(jìn)而得見=—2a“t("22),........................4分

當(dāng)〃=1時(shí)，3s1=2q+1,故4=1,

所以數(shù)列｛4｝是以首項(xiàng)為1,公比為-2的等比數(shù)列，

所以為=(-2)”1.....................6分

【小問2詳解】

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，冊=2"-\且4〉。，當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，a“=—2〃T,且?！?lt;0,

因此當(dāng)〃為大于1的奇數(shù)時(shí)，｛4｝的前n項(xiàng)中的最大值為最小值為%_j=(-2)”「2,此時(shí)

b_%,+〃?“_一+?！?1,

2—2

因此當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，｛4｝的前n項(xiàng)中的最大值為4T=(-2廣2,

最小值為%=(—2)a,此時(shí)包=加“+一“=%-+%,.....................10分

〃'Jn22

當(dāng)〃=1時(shí)，2=4,

因此也｝的前20項(xiàng)和

(0=4+伍3+”5+…+九)+伍2+04+06+…+020)=。1+_|_+...+￡12_￡18

/\19

+%+%+%+%+...+49+。20_O,19+S20_1Sig+S"+。20_c,1,(-2)

22222221922

1-(<,1,(-if5-219

.......................13分

1+2226

16.（15分）燈帶是生活中常見的一種裝飾材料，已知某款燈帶的安全使用壽命為5年，燈帶上照明的燈

珠為易損配件，該燈珠的零售價(jià)為4元/只，但在購買燈帶時(shí)可以以零售價(jià)五折的價(jià)格購買備用燈珠，該燈

帶銷售老板為了給某顧客節(jié)省裝飾及后期維護(hù)的支出，提供了150條這款燈帶在安全使用壽命內(nèi)更換的燈

珠數(shù)量的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)如圖所示.以這150條燈帶在安全使用壽命內(nèi)更換的燈珠數(shù)量的頻率代替1條燈帶更換

的燈珠數(shù)量發(fā)生的概率，若該顧客買1盒此款燈帶，每盒有2條燈帶，記X表示這1盒燈帶在安全使用壽命

內(nèi)更換的燈珠數(shù)量，”表示該顧客購買1盒燈帶的同時(shí)購買的備用燈珠數(shù)量.

（1）求X的分布列;

（2）若滿足「（X2"）＜0.6的〃的最小值為乙,求%;

（3）在燈帶安全使用壽命期內(nèi)，以購買替換燈珠所需總費(fèi)用的期望值為依據(jù)，比較〃=%-1與〃=%哪種

方案更優(yōu).

【答案】（1）分布列見解析；

（2）13；（3）〃=更優(yōu)

【解析】

【分析】（1）由條件確定隨機(jī)變量X的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得分布列；

（2）根據(jù)分布列結(jié)合條件求n的最小值；

（3）分別計(jì)算〃=%-1與〃=n0時(shí)購買替換燈珠所需總費(fèi)用的期望值，比較大小確定結(jié)論.

【小問1詳解】

設(shè)自表示1條燈帶在安全使用壽命內(nèi)更換的燈珠數(shù)量，

則p（1=5）=P（5=7）=P（7=8）=0.2,P（t=6）=0.4,

X的取值范圍是{1O,1U2,13,14,15,16},

P(X=10)=0.2x0.2=0.04,

=11)=2x0.2x0.4=0.16,

=12)=0.42+2x0.2x0.2=0.24,

產(chǎn)(X=13)=2x(0.2x0.2+0.2x0.4)=0.24,

=14)=0.22+2X0.4X0.2=0.2,

=15)=2x0.2x0.2=0.08,

p(X=16)=0.2x0.2=0.04,

X的分布列為

X10111213141516

P0.040.160.240.240.20.080.04

......................................6分

【小問2詳解】由⑴可知P（X212）=0.8,

>13）=0.56,

故n（）=13.......................................9分

【小問3詳解】

由（2）可知〃=%-1=12.

在燈帶安全使用壽命期內(nèi)，當(dāng)〃=12時(shí)，設(shè)購買替換燈珠所需總費(fèi)用為u元，當(dāng)〃=13時(shí)，設(shè)購買替換燈

珠所需總費(fèi)用為v元，則E（M）=24+0.24x4+0.2x8+0.08x12+0.04x16=28.16,

E（v）=26+0.2義4+0.08x8+0.04xl2=27.92.

故以購買替換燈珠所需總費(fèi)用的期望值為依據(jù)，〃=%比"=1的方案更優(yōu)。.................13分

17.（15分）如圖，在三棱柱ABC—A笈G中，直線平面ABC,平面441G平面3片￡。?

⑴求證:AC_LBB］；

⑵若AC=BC=BQ=2，在棱4片上是否存在一點(diǎn)P,使二面角

P-BC-C］的余弦值為二"？若存在，求-TV的值;若不存在,請說明理由.

10

B

17.【解析：^1)在平面3用。1。中作3"，。01于“，

因?yàn)槠矫?41GCJ-平面BB?C,

且平面A41G。c平面BB￡C=CQ,

所以平面4&GC,從而

AC1BH........................4分

在三棱柱ABC-43cl中,Cd，平面ABC,ACu平面ABC,

所以AC，G3.

又因?yàn)锽Gc3"=3,所以AC，平面,因此

AC1叫.7分

(2)由(1)可知,C4,C3,3G兩兩垂直，如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.

則4(2,0,0),8(0,2,0),a(0,2,2),B,(0,4,2),耳=BA=(2,-2,0).

設(shè)男尸=幾用A=(2%—240),2e[0,1],

則尸(244—242).

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為n1=(x,y,z),

因?yàn)?P=(2尢2-22,2),CB=(0,2,0),

n.?BP=0,24元+(2—22)y+2z—0,

所以《—即

CB=0,2y=0,

z=-Ax,

則有《

y=0.

令x=l,得ni=(l,0,-2).10分

而平面BCG的一個(gè)法向量可以是n?=(1,0,0),

Eni_(1,0,9(1,0,0)_3而

則暖出產(chǎn)市

2

-271+2103

B、P1

即p為棱gA的三等分點(diǎn)，苦二-.15分

18.(17分)已知函數(shù)/(%)=lnx—x+a.

⑴若直線y=(e-l)x與函數(shù)fM的圖象相切，求實(shí)數(shù)a的值;

⑵若函數(shù)gQ)=貨(無)有兩個(gè)極值點(diǎn)的和巧，且&<尤2,證明：％+X[>l+ln(14.(e為自然對數(shù)的底數(shù)).

【答案】(1)2；(2)證明見解析.

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合已知求出a的值.

(2)求出函數(shù)g(x)及其導(dǎo)數(shù)，確定g(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)的條件，再由g'(xJ=0,g'(X2)=0變形并構(gòu)造函數(shù)，

利用導(dǎo)數(shù)推理論證即得.

【詳解】(1)依題意，設(shè)切點(diǎn)(%,In%-%+幻，求導(dǎo)得:口)=工-1,

X

則/'(Xo)=^"-l=e-l,解得/=L又/(Xo)=(e-l)Xo，(e-l)x0=Inx0-x0+a,貝lja=2,

%e

所以實(shí)數(shù)a的值為2.........................6分

(2)依題意，g(x)=%(ln%-%+〃)的定義域?yàn)?0,+8),

求導(dǎo)得g'(x)=lnx-x+tz+(--l)x=\nx-2x+a+l,

x

則gQ)=0有兩個(gè)不等的正根不々，且是g'(x)的變號零點(diǎn)，

4*h(x)=]nx-2x+a+l,x>0,求導(dǎo)得//(冗)=」一2,

x

當(dāng)0<x<；時(shí)，hf(x)>0,當(dāng)X〉；時(shí)，hr(x)<0,

于是函數(shù)〃(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(g,+⑹上單調(diào)遞減，

由函數(shù)〃(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，得/?(x)ma*=/7(g)=a-ln2>。，解得a>ln2,........................9分

止匕時(shí)/2(e-3a)=_2a_2e-%+]<]_21n2<0,令夕(a)=Ina—a+1,求導(dǎo)得"(a)=，一l,

a

當(dāng)In2<a<1時(shí)，夕'(〃)>0,

當(dāng)〃>1時(shí)，/(〃)<0,函數(shù)9(。)在(In2,1)上遞增，在(1,+8)上遞減，

則0(a)K夕(1)=0,即Ina-a+lKO,/z(2a)=ln2a-3a+l=(lna-a+l)+(ln2-a)-a<0,

因此當(dāng)。>ln2時(shí)，函數(shù)〃(%)必有兩個(gè)零點(diǎn)芯,々，且是變號零點(diǎn)，由再<々，得。<乙<；<x2，

由『%一:再+弋二：,得In%=2(占--),令:乙則

于是2(比2-%)=1型，解得尤2=」：]、，&=:上,..........13分

—L)—L)

因此要證>l+ln(—),只需證〉1+山/,

x22(t-1)

31nt-tint1=2(7-1)

BP->I,只證Ini-----<0,

—Dj—t

令尸=,0<z<1)........................15分

3-t

14(3-叱4」8l)([9)>o

求導(dǎo)得尸‘⑺丁『

z(3-ot(3-ty

因此函數(shù)F(t)在(0,1)上單調(diào)遞增，F(xiàn)(t)<F(l)=0,

所以無2+%>1+1no......................