2023-2024學年高二數(shù)學單元速記-計數(shù)原理（知識歸納+題型突破）+答案解析

第七章計數(shù)原理(知識歸納+題型突破)

課標要求

1.通過實例，了解分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理及其意義.

2.理解分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理.

3.進一步理解分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理的區(qū)別.

4.會正確應用這兩個計數(shù)原理計數(shù).

5.通過實例，理解排列的概念.

6.能利用計數(shù)原理推導排列數(shù)公式.

7.掌握幾種有限制條件的排列.

8.能應用排列解決簡單的實際問題.

9.通過實例理解組合的概念.

10.能利用計數(shù)原理推導組合數(shù)公式，并會解決簡單的組合問題.

11.理解組合數(shù)的性質.能解決有限制條件的組合問題.

12.能解決有關排列與組合的簡單綜合問題.

13.能用多項式運算法則和計數(shù)原理證明二項式定理.

14.掌握二項式定理及其展開式的通項公式.

15.會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題.

16.理解二項式系數(shù)的性質并靈活運用.

基礎知識歸納

1.分類計數(shù)原理

如果完成一件事，有〃類方式，在第1類方式中有如種不同的方法，在第2類方式中有"72種不同的方

法……在第n類方式中有叫種不同的方法，那么完成這件事共有…十m”種不同的方法.

(1)分類計數(shù)原理中各類方案相互獨立，各類方案中的各種方法也相互獨立，用任何一類方案中的任何一

種方法都可以單獨完成一件事.

(2)分類計數(shù)原理的使用關鍵是分類，分類必須明確標準，要求每一種方法必須屬于某一類，不同類的任意

兩種方法是不同的，這是分類問題中所要求的“不重復”“不遺漏”.

2.分步計數(shù)原理

如果完成一件事，需要分成"個步驟，做第1步有如種不同的方法，做第2步有〃?2種不同的方法……

做第n步有加"種不同的方法，那么完成這件事共有N=""X?72義…義加”種不同的方法.

(1)分步時，要先根據(jù)問題的特點確定一個分步的標準，一般地，標準不同，分成的步驟數(shù)也會不同.

(2)分步時還要注意：完成一件事必須連續(xù)完成〃個步驟后這件事才算完成，各步驟之間既不能重復也不能

遺漏.

3.分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理的聯(lián)系

分類計數(shù)原理分步計數(shù)原理

相同點用來計算完成一件事的方法種類

分類完成,類類相加分步完成,步步相乘

不同點每類方案中的每一種方法都能獨每步依次完成才算完成這件事(每步

立完成這件事中的一種方法不能獨立完成這件事)

注意點類類獨立，不重不漏步步相依，步驟完整

4.排列的定義

一般地，從〃個不同的元素中取出項“W")個元素，按照一定的順序排成一列,叫作從〃個不同元素中取

出m個元素的一個排列.

(1)要求mWn.

(2)按照一定順序排列，順序不同，排列不同.

5.排列數(shù)公式

(1)一般地，從〃個不同元素中取出〃?(冽W〃)個元素的所有排列的個數(shù)，叫作從〃個不同元素中取出加個元

素的排列數(shù)，用符號A貴表示.

(2)排列數(shù)公式A架=〃("一1)(〃一2)…①一"+1),其中〃，TMGN*,且%

(3)〃個不同元素全部取出的一個排列，叫作〃個不同元素的一個全排列.在排列數(shù)公式中，當加=〃時，即有

&=〃(〃一1)(〃-2)X…X3X2X1,〃5一1)("-2)X…X3X2X1稱為〃的階乘，通常用小L表示，即AN=&1

(4)規(guī)定0!=1.

排列數(shù)公式還可以寫成A7=—=一.

("一加)！

注意：(1)注意排列數(shù)公式的特征，加個自然數(shù)之積，其中最大的因數(shù)是“最小的因數(shù)是"-加+1.

(2)規(guī)定0!=1,這是一種規(guī)定，不能按階乘的定義作解釋，但可以從更原始的概念作出說明：一個元素都

不取，構成的排列的情形只有1種.

6.排列問題的方法

(1)直接法：以元素為考察對象，先滿足特殊元素的要求，再考慮一般元素(乂稱為元素分析法)；或以位置為

考察對象，先滿足特殊位置的要求，再考慮一般位置(又稱位置分析法).

(2)間接法：先不考慮附加條件，計算出總排列數(shù)，再減去不合要求的排列數(shù).

7.組合的概念

一般地，從n個不同元素中取出加佃W出個元素并成一組,叫作從〃個不同元素中取出心個元素的一個

組合.

8.排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系

(1)共同點：兩者都是從〃個不同對象中取出個對象.

(2)不同點：排列與對象的順序有關，組合與對象的順序無關.

(3)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同.

9.組合數(shù)及組合數(shù)公式

從n個不同元素中取出MmW出個元素的所有組合的個數(shù),叫作從

組合數(shù)定義及表示

〃個不同元素中取出俏個元素的組合數(shù)，用符號c貫表示

乘積_A?_n(n-1)(n—2)…(幾一冽+1)

形式AX；

組合數(shù)公式

階乘

-c---n-!-=----

形式加！(〃—冽)！

(1)C°=1.

(2)?=繼=…『(廣1)］常用于計算

Mnm(m-l)(m-2)X???X2X1

⑶CM=一產(chǎn)一「常用于證明.

ml\n-m)\

10.(〃+b)2的展開式

(a-\~b)2=(a~\~b)(a-\-b)=a'a~\~a'b~\~b'a~\-b'b=a22ab~\~b2.

nrr

公式(a+b)"=C&"+C,/L16H-----FC?a~b-\-----FC%"叫作二

二項式定理

項式定理

二項式系數(shù)C￡(r=0,1,…，一)

通項T“=C-

二項式定理的特例(1+x)"=G+Ch+C方2H-----HC2H-------HC；Un

11.二項式系數(shù)表

二項式系數(shù)表

(a+6)°..................................1..............................2°

(a+6)i.............................11..............................21

V

(a+b)2........................121..........................22

3

(Q+6)3.....................1331.....................2

4

(Q+6)4................14641................2

5

(Q+6)5.................15101051.................2

6

(Q+6)6............1615201561............2

此表的規(guī)律如下：

(1)每一行中的二項式系數(shù)都是“對捶”的.

⑵每行兩端都是1,而且除1以外的每一個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的血.

(3)每行的二項式系數(shù)從兩端向中間逐漸增大.

(4)第1行為1=2。，第2行的兩數(shù)之和為2,第3行的三數(shù)之和為然……第7行的各數(shù)之和為空.

12.二項式系數(shù)的性質

一般地，(。+6)"展開式的二項式系數(shù)C%C1,…，CN有如下性質：

(1)C7=QR；

⑵―?Bi；

(3)當時，a<c^；

當小二1時，9<c;；

2一

(4)C9+&+…+CL星.

注意(1)在求二項式系數(shù)的最大值時，要注意討論〃的奇偶性.

(2)各二項式系數(shù)和：C9+Q+C"…+。；=2"源于(a+6)"=C9a"+C,"F+…+C紡"中，令a=1,6=1,

即得至!]C9+Cl+C力…+0=2".

(3)在(a+6)"的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和，都為2"?

重要題型

題型一分類計數(shù)原理的應用

【例1】在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)為.

【答案】36

【解析】法一根據(jù)題意，將十位上的數(shù)字按1,2,3,4,5,6,7,8的情況分成8類，在每一類中滿足

題目條件的兩位數(shù)分別有8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個.由分類計數(shù)原理知，符合條件的

兩位數(shù)共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(個).

法二分析個位數(shù)字，可分以下幾類：

個位數(shù)字是9,則十位數(shù)字可以是1,2,3,8中的一個，故共有8個；

個位數(shù)字是8,則十位數(shù)字可以是1,2,3,7中的一個，故共有7個；

同理，個位數(shù)字是7的有6個；

個位數(shù)字是2的有1個.

由分類計數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有8+7+6+5+4+3+2+1=36(個).

思維升華利用分類計數(shù)原理計數(shù)時的解題流程

將完成這件事的方法分成若干類)

(求出每一類的方法數(shù))

將每一類的方法數(shù)相加得出結果)

鞏固訓練

1.在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字小于十位數(shù)字且為偶數(shù)，那么這樣的兩位數(shù)有多少個?

【解析】當個位數(shù)字是8時，十位數(shù)字取9,只有1個；

當個位數(shù)字是6時，十位數(shù)字可取7,8,9,共3個；

當個位數(shù)字是4時，十位數(shù)字可取5,6,7,8,9,共5個；

同理可知，當個位數(shù)字是2時，共7個，

當個位數(shù)字是0時，共9個.

由分類計數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有1+3+5+7+9=25(個).

22

2.設集合/={1,2,3,4},m,n^A,則方程工+匕=1表示焦點位于x軸上的橢圓有個.

mn

【答案】6

【解析】因為橢圓的焦點在x軸上，所以機＞〃.

當加=4時，〃=1,2,3;

當"?=3時，〃=1,2;

當加=2時，n=

即所求的橢圓共有3+2+1=6(個).

題型二分步計數(shù)原理

【例2]一種號碼鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從0到9共十個數(shù)字，若各位上的數(shù)字允許重復，那么

這4個撥號盤可以組成多少個四位數(shù)的號碼？

【解析】按從左到右的順序撥號可以分四步完成：

第1步，有10種撥號方式，所以如=10;

第2步，有10種撥號方式，所以加2=10；

第3步，有10種撥號方式，所以加3=10；

第4步，有10種撥號方式，所以加4=10.

根據(jù)分步計數(shù)原理，共可以組成N=10X10X10X10=10000(個)四位數(shù)的號碼.

思維升華利用分步計數(shù)原理解題的一般思路

(1)分步：將完成這件事的過程分成若干步.

(2)計數(shù)：求出每一步中的方法數(shù)；

(3)結論：將每一步中的方法數(shù)相乘得最終結果.

鞏固訓練

一種號碼鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從0到9共十個數(shù)字，若各位上的數(shù)字不允許重復，那么這個

撥號盤可以組成多少個四位數(shù)的號碼？

【解析】按從左到右的順序撥號可以分四步完成：

第1步：有10種撥號方式，即"21=10;

第2步：去掉第1步撥的數(shù)字，有9種撥號方式，即m2=9;

第3步：去掉前兩步撥的數(shù)字，有8種撥號方式，即加3=8;

第4步：去掉前三步撥的數(shù)字，有7種撥號方式，即〃74=7.

根據(jù)分步計數(shù)原理，共可以組成N=10X9X8X7=5040(個)四位數(shù)的號碼.

2.在平面直角坐標系內，若點P(x,y)的橫、縱坐標均在{0,1,2,3}內取值，則可以組成多少個不同的點

P?

【解析】確定點P的坐標必須分兩步，即分步確定點P的橫坐標與縱坐標.

第一步，確定橫坐標，從0,1，2,3四個數(shù)字中選一個，有4種方法；

第二步，確定縱坐標，從0,1,2,3四個數(shù)字中選一個，也有4種方法.

根據(jù)分步計數(shù)原理，所有不同的點P的個數(shù)為4X4=16.故可以組成16個不同的點尸.

題型三兩個計數(shù)原理的簡單應用

【例3】現(xiàn)有高二年級的四個班的學生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他們自

愿組成數(shù)學課外小組.

(1)選其中一人為負責人，有多少種不同的選法？

(2)每班選一名組長，有多少種不同的選法？

(3)推選兩人做中心發(fā)言，這兩人需來自不同的班級，有多少種不同的選法？

【解析】(1)分四類：

第一類，從一班學生中選1人,有7種選法；

第二類，從二班學生中選1人,有8種選法；

第三類，從三班學生中選1人,有9種選法；

第四類，從四班學生中選1人,有10種選法.

所以，共有不同的選法"=7+8+9+10=34（種）.

（2）分四步：第一、二、三、四步分別為從一、二、三、四班學生中選一人任組長.

正以，共有不同的選法N=7X8X9X10=5040（種）.

（3）分六類，每類又分兩步：

從一、二班學生中各選1人，有7X8種不同的選法；

從一、三班學生中各選1人，有7X9種不同的選法；

從一、四班學生中各選1人，有7X10種不同的選法；

從二、三班學生中各選1人，有8X9種不同的選法；

從二、四班學生中各選1人，有8X10種不同的選法；

從三、四班學生中各選1人，有9X10種不同的選法.

所以，共有不同的選法N=7X8+7X9+7X10+8X9+8X10+9X10=431（種）.

思維升華使用兩個計數(shù)原理的原則

使用兩個計數(shù)原理解題時，一定要從“分類”“分步”的角度入手，“分類”是把較復雜應用問題的元素

分成互相排斥的幾類，逐類解決，用分類計數(shù)原理；''分步"就是把問題分化為幾個互相關聯(lián)的步驟，然后

逐步解決，這時可用分步計數(shù)原理.

鞏固訓練

1.某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會英語，3人會日語，從中選出會英語和日

語的各一人到邊遠地區(qū)支教，有多少種不同的選法？

【解析】由題意，知有1人既會英語又會日語，6人只會英語，2人只會日語.

法一分兩類.

第一類：從只會英語的6人中選1人教英語，有6種選法，則教日語的有2+1=3（種）選法.此時共有6X3

=18（種）選法.

第二類：從不只會英語的1人中選1人教英語，有1種選法，則選教日語的有2種選法，此時有1義2=2（種）

選法.

所以由分類加法計算原理知，共有18+2=20（種）選法.

法二設既會英語又會日語的人為甲，則甲有入選、不入選兩類情形，入選后又要分兩種：（1）教英語；（2）

教日語.

第一類：甲入選.

⑴甲教英語，再從只會日語的2人中選1人，由分步乘法計數(shù)原理，有1X2=2（種）選法；

（2）甲教日語，再從只會英語的6人中選1人，由分步乘法計數(shù)原理，有1X6=6（種）選法.

故甲入選的不同選法共有2+6=8（種）.

第二類：甲不入選.可分兩步.

第一步，從只會英語的6人中選1人有6種選法；第二步，從只會日語的2人中選1人有2種選法.

由分步乘法計數(shù)原理知，有6X2=12（種）不同的選法.

綜上，共有8+12=20（種）不同選法.

題型四組數(shù)問題

【例4】用0,1,2,3,4五個數(shù)字.

（1）可以排成多少個三位數(shù)字的電話號碼？

（2）可以排成多少個三位數(shù)？

（3）可以排成多少個能被2整除的無重復數(shù)字的三位數(shù)？

【解析】⑴三位數(shù)字的電話號碼，首位可以是0,數(shù)字也可以重復，每個位置都有5種排法，共有5X5X5

=53=125（個）.

（2）三位數(shù)的首位不能為0,但可以有重復數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可

以排0,因此，共有4X5X5=100（個）.

（3）被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0,2,4,因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是0,則有4X3=12（種）

排法；一類是末位數(shù)字不是0,則末位有2種排法，即2或4,再排首位，因0不能在首位，所以有3種排

法，十位有3種排法,因此有2X3X3=18（種）排法.因此有12+18=30（種）排法,即可以排成30個能被2

整除的無重復數(shù)字的三位數(shù).

遷移由本例中的五個數(shù)字可組成多少個無重復數(shù)字的四位奇數(shù)？

【解析】完成“組成無重復數(shù)字的四位奇數(shù)''這件事，可以分四步：第一步定個位，只能從1,3中任取一

個，有2種方法；第二步定首位，從1,2,3,4中除去用過的一個，從剩下的3個中任取一個，有3種方

法；第三步，第四步把剩下的包括0在內的3個數(shù)字先排百位有3種方法，再排十位有2種方法.由分步計

數(shù)原理知共有2X3X3X2=36（個）.

思維升華對于組數(shù)問題，應掌握以下原則

（1）明確特殊位置或特殊數(shù)字，是我們采用“分類”還是“分步”的關鍵.一般按特殊位置（末位或首位）分類，

分類中再按特殊位置（特殊元素）優(yōu)先的策略分步完成，如果正面分類較多，可采用間接法求解.

（2）要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)或兩位數(shù)以上的數(shù)的最高位.

鞏固訓練

1.從0,2中選一個數(shù)字，從1,3,5中選兩個數(shù)字，組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為（）

A.24B.18

C.12D.6

【答案】B

【解析】由于題目要求是奇數(shù)，那么對于此三位數(shù)可以分成兩種情況；奇偶奇，偶奇奇.

如果是第一種奇偶奇的情況，可以從個位開始分析（3種情況），之后十位（2種情況），最后百位（2種情況），

共3X2X2=12（種）；

如果是第二種情況偶奇奇：個位（3種情況），十位（2種情況），百位（不能是0,一種情況），共3X2X1=6（種）,

因此總共有12+6=18（種）情況.故選B.

題型五選（抽）取與分配問題

【例5】高三年級的四個班到甲、乙、丙、丁、戊五個工廠進行社會實踐，其中工廠甲必須有班級去，每班

去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有（）

A.360種B.420種

C.369種D.396種

【答案】C

【解析】法一（直接法）以甲工廠分配班級情況進行分類，共分為四類:

第一類,四個班級都去甲工廠,此時分配方案只有1種情況；

第二類,有三個班級去甲工廠,剩下的班級去另外四個工廠，其分配方案共有4X4=16（種）；

第三類,有兩個班級去甲工廠,另外兩個班級去其他四個工廠，其分配方案共有6X4X4=96（種）;

第四類，有一個班級去甲工廠,其他班級去另外四個工廠，其分配方案有4X4X4X4=256（種）.

綜上所述，不同的分配方案有1+16+96+256=369（種）.

法二（間接法）先計算四個班自由選擇去何工廠的總數(shù)，再去除甲工廠無人去的情況，即：5X5X5X5-

4X4X4X4=369（種）方案.

思維升華選（抽）取與分配問題的常見類型及其解法

（1）當涉及對象數(shù)目不大時，一般選用枚舉法、樹形圖法、框圖法或者圖表法.

（2）當涉及對象數(shù)目很大時，一般有兩種方法：

①直接使用分類計數(shù)原理或分步計數(shù)原理.一般地，若抽取是有順序的就按分步進行；若按對象特征抽取的，

則按分類進行.

②間接法：去掉限制條件計算所有的抽取方法數(shù)，然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可.

鞏固訓練

1.如圖所示是一段灌溉用的水渠，上游和下游之間建有4,B,C,D,E五個水閘，若上游有充足水源但下

游沒有水，則這五個水閘打開或關閉的情況有（）

A.7種

C.23種D.26種

2.從6名志愿者中選4人分別從事翻譯、導游、導購、保潔四項不同的工作，若其中甲、乙兩名志愿者不能

從事翻譯工作，則選派方案共有（）

A.280種B.240種

C.180種D.96種

【答案】⑴C（2）B

【解析】（1）每個水閘有打開或關閉兩種情況，五個水閘的打開或關閉不同結果有25種，水閘/打開，水閘

B,C至少打開一個，水閘D,E至少打開一個，下游有水，水閘&C至少打開一個有（22-1）種，水閘，

￡至少打開一個（22-1）種，

由分步乘法計數(shù)原理得下游有水的不同結果有1X02-1）XQ2-1）=9（種），

所以所求五個水閘打開或關閉的情況有25-9=23（種）.

（2）由于甲、乙不能從事翻譯工作，因此翻譯工作從余下的4名志愿者中選1人，有4種選法，后面三項工

作的選法有5X4X3種，因此共有4X5X4X3=240（種）選派方案.

題型六涂色與種植問題

【例6】用6種不同顏色的粉筆寫黑板報，板報設計如圖所示，要求相鄰區(qū)域不能用同一種顏色的粉筆，

則該板報共有多少種不同的書寫方案？

英號V

理綜

產(chǎn)界數(shù)學

語文學苑\天地

【解析】完成這件事可分四步：

第一步，“英語角”用的粉筆顏色有6種不同的選法；

第二步，“語文學苑”用的粉筆顏色不能與“英語角”用的粉筆顏色相同，有5種不同的選法；

第三步，“理綜世界”用的粉筆顏色與“英語角”和“語文學苑”用的粉筆顏色都不相同，有4種不同的

選法；

第四步，“數(shù)學天地”用的粉筆顏色只要與“理綜世界”用的粉筆顏色不同即可，有5種不同的選法.

由分步計數(shù)原理知，該板報共有6X5X4X5=600（種）不同的書寫方案.

思維升華求解涂色（種植）問題一般是直接利用兩個計數(shù)原理求解，常用方法有：

（1）按區(qū)域的不同以區(qū)域為主分步計數(shù)，用分步計數(shù)原理分析；

（2）以顏色（種植作物）為主分類討論，適用于“區(qū)域、點、線段”問題，用分類計數(shù)原理分析.

鞏固訓練

1.從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質的三塊土地上，其中黃瓜必須種

植，則有種不同的種植方法.

【答案】18

【解析】法一（直接法）若黃瓜種在第一塊土地上，則有3X2=6（種）不同的種植方法.

同理，黃瓜種在第二塊、第三塊土地上，均有3X2=6（種）不同的種植方法.

故不同的種植方法共有6X3=18（種）.

法二（間接法）從4種蔬菜中選出3種,種在三塊地上，有4X3X2=24（種），其中不種黃瓜有3X2X1=6（種）,

故共有24-6=18（種）不同的種植方法.

題型七對排列概念的理解

【例7】判斷下列問題是否為排列問題.

（1）北京、上海、天津三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格（假設來回的票價相同）；

（2）選2個小組分別去植樹和種菜；

⑶選2個小組去種菜；

（4）選10人組成一個學習小組；

（5）選3個人分別擔任班長、學習委員、生活委員；

（6）某班40名學生在假期相互通信.

【解析】（1）中票價只有三種，雖然機票是不同的，但票價是一樣的，不存在順序問題，所以不是排列問題.

(2)植樹和種菜是不同的，存在順序問題，屬于排列問題.

(3),(4)不存在順序問題，不屬于排列問題.

(5)中每個人的職務不同，例如甲當班長與當學習委員是不同的，存在順序問題，屬于排列問題.

(6)/給2寫信與2給/寫信是不同的，所以存在順序問題，屬于排列問題.

所以在上述各題中(2),(5),(6)屬于排列問題.

思維升華判斷一個具體問題是否為排列問題的方法

|變換元1的位置)

I有［序/無『1

［排列可題〕俳排1問題)

鞏固訓練

1.判斷下列問題是不是排列問題，并說明理由.

(1)從1,2,3,…，10這10個正整數(shù)中任取兩個數(shù)組成平面直角坐標系內點的坐標，可以得到多少個不同

的點的坐標？

(2)從1,2,3,…，10這10個正整數(shù)中任取兩個數(shù)組成一個集合，可以得到多少個不同的集合？

【解析】(1)取出的兩個數(shù)組成平面直角坐標系內點的坐標與以哪一個數(shù)為橫坐標，哪一個數(shù)為縱坐標的順

序有關，所以這是排列問題.

(2)取出的兩個數(shù)組成一個集合，由于集合中的元素具有無序性，即集合不受所選兩個數(shù)的排列順序的影響,

所以這不是排列問題.

題型八用列舉法解決排列問題

【例8】寫出下列問題的所有排列：

(1)從1,2,3,4四個數(shù)字中任取兩個數(shù)字組成兩位數(shù)，共有多少個不同的兩位數(shù)？

(2)由1,2,3,4四個數(shù)字能組成多少個沒有重復數(shù)字的四位數(shù)？試全部列出.

【解析】(1)所有兩位數(shù)是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43,共有12個不同的兩位數(shù).

(2)畫出樹狀圖，如圖所示.

由上面的樹狀圖知，所有的四位數(shù)為

1234,1243,1324,1342,1423,I432,2134,2143,2314,2341,2413,2431,3124,3142,3214,

3241,3412,3421,4123,4132,4213,4231,4312,4321,共24個沒有重復數(shù)字的四位數(shù).

思維升華在排列個數(shù)不多的情況下，樹狀圖是一種比較有效的表示方式.在操作中先將元素按一定順序排

出，然后以先安排哪個元素為分類標準進行分類，在每一類中再按余下的元素在前面元素不變的情況下確

定第二個元素，再按此元素分類，依次進行，直到完成一個排列，這樣能不重不漏，然后按樹狀圖寫出排

列.

鞏固訓練

1.同室四人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，則四張賀年卡不同的分

配方式有（）

A.6種B.9種

C.11種D.23種

【答案】B

【解析】法一設四張賀卡分別為4B,C,D由題意知，某人（不妨設為/卡的供卡人）取卡的情況有3

種，據(jù)此將卡的不同分配方式分為三類，對于每一類，其他人依次取卡分步進行，用樹狀圖表示，如圖.

「4—D—C廠A—D—B^A-B-C

B-C—D—A,（＞-D—A-BD-C—A—B

D-A-CD—B-^4JC—BT

共有9種不同的分配方式.

法二讓/,B,C,。四人依次拿一張別人送出的賀年卡，則可以分三步：

第1步，/先拿，有3種不同的方法；

第2步，讓被/拿走的那張賀年卡的主人拿，共有3種不同的取法；

第3步，剩下的兩個人都各有1種取法.

由分步計數(shù)原理知，四張賀年卡有3X3X1X1=9（種）不同的分配方式.

題型九排列數(shù)公式的應用

【例3】計算：

⑴Ag；

c、2AW+7A3

（2）;

Ai-A5

若3A?=2A?+i+6A3,求x.

【解析】（l）Ag=6!=6X5X4X3X2X1=720.

C+7AN2X8X7X6X5X4+7X8X7X6X5,

(2)==1.

AbAg8X7X6X5X4X3X2X1-9X8X7X6X5

(3)由3Ag=2A幺］+6Ax,得3x(x-l)(x-2)=2(x+l)x+6x(x-1).

因為x23且xdN*,故化簡整理得，3x2-17x+10=0.

解得x=5或x=；(舍去).所以x=5.

思維升華1.排列數(shù)公式的乘積的形式適用于個體計算和當機較小時的含排列數(shù)的方程和不等式問題.

2.排列數(shù)公式的階乘的形式主要用于與排列數(shù)有關的證明、解方程和不等式等問題，具體應用時注意提取公

因式，可以簡化計算.

鞏固訓練

1.4X5X6X…X(〃一1)〃等于()

AWB.Ar4

C.(〃一4)!D.A；f3

【答案】D

【解析】從4,5,…至U〃共"-4+1=〃-3個正整數(shù),

所以根據(jù)排列數(shù)公式知4X5X6X???X(M-l)w=A；；3.

ATKm~\Kn~m

2.①計算:怨②計算：

A,A^：l

【解析】①叫=7X6X5X4X3X2X1，

7X6X5X4

g畝4(〃-1)!/、，1(〃-1)!,、，1

②原式--------------------(n---------------------(n-m)\----------

[n~1~(m-1)]!(〃-1)!(n~m)l(九一1)!

3.解不等式：Af2<6Ai

8!,~8!

一<6X

【解析】原不等式等價于18-(x+2)]!(8-x)!

x+2W8且xdN*,

x2-15%+50<0,

整理得

X<6且xCN*.

即5<無忘6且xdN*,從而解得x=6.

題型十對組合概念的理解

【例10】給出下列問題：

(1>,b,c,d四支足球隊之間進行單循環(huán)比賽，共需比賽多少場？

(2)a,b,c,4四支足球隊爭奪冠、亞軍，有多少種不同的結果？

(3)從全班40人中選出3人分別擔任班長、副班長、學習委員三個職務，有多少種不同的選法?

(4)從全班40人中選出3人參加某項活動，有多少種不同的選法？

在上述問題中，—是組合問題，是排列問題.

【答案】(1)(4)⑵(3)

【解析】(1)單循環(huán)比賽要求兩支球隊之間只打一場比賽，沒有順序，是組合問題.

(2)冠、亞軍是有順序的，是排列問題.

(3)3人分別擔任三個不同職務，有順序，是排列問題.

(4)3人參加某項相同活動，沒有順序，是組合問題.

思維升華區(qū)分排列與組合的辦法是首先弄清楚事件是什么，區(qū)分的標志是有無順序，而區(qū)分有無順序的

方法是：把問題的一個選擇結果寫出來，然后交換這個結果中任意兩個元素的位置，看是否產(chǎn)生新的變化,

若有新變化，即說明有順序，是排列問題；若無新變化，即說明無順序，是組合問題.

鞏固訓練

1.(多選)下列問題是組合問題的有()

A.設集合/={a,b,c,d,e},則集合/的含有3個元素的子集有多少個

B.某鐵路線上有5個車站，則這條線上共需準備多少種票價

C.3人去干5種不同的工作，每人干一種，有多少種分工方法

D.把3本相同的書分給5個學生，每人最多分得1本，有幾種分配方法

【答案】ABD

【解析】A.取出的元素與順序無關，故是組合問題.

B.甲站到乙站的車票與乙站到甲站的車票是不同的，但票價與順序無關，甲站到乙站與乙站到甲站是同一種

票價，故是組合問題.

C.從5種不同的工作中選出3種，并按一定順序分給3個人去干，故是排列問題.

D.因為3本書是相同的，無論把3本書分給哪三人，都不需要考慮它們的順序，故是組合問題.

題型十一組合數(shù)公式的應用

【例11]⑴求值：3a—20

⑵解方程：UC，=24C公i.

【解析】(1)3C[-2c3=3義”公-2義7=148.

3X2X12X1

vl(X+1)1

(2)原方程可化為11-，廣=24?，5,

3!(x-3)!2!(x+1-2)!

即1lx2-105x-50=0,解得x=10或x=-

又x23且xGN*,所以x=10.

思維升華(1)組合數(shù)公式

aa…(〃一加+1)一般用于計算,而組合數(shù)公式c#=—-------般用于含字母的

m!m!(n—m)!

式子的化簡與證明.

(2)要善于挖掘題目中的隱含條件，簡化解題過程，如組合數(shù)C7的隱含條件為mW”，且“CN*,僅GN.

鞏固訓練

1.計算:C?oo+Cioo;

【角尾析】C?oo+Cioo=10°X99+200=4950+200=5150.

2

2.證明：C/=一^Cki.

n—m

證明——/"TH、=，加、二三

n-mn-mml(n-1-m)lml\n-m)\

題型十二簡單的組合問題

【例12】現(xiàn)有10名教師，其中男教師6名，女教師4名.

(1)現(xiàn)要從中選2名參加會議有多少種不同的選法？

(2)選出2名男教師或2名女教師參加會議，有多少種不同的選法？

(3)現(xiàn)要從中選出男、女教師各2名參加會議，有多少種不同的選法？

【解析】(1)從10名教師中選2名參加會議的選法種數(shù)，就是從10個不同元素中取出2個元素的組合數(shù)，

即Go=1()^=45(種).

2X1

(2)可把問題分兩類情況：

第1類，選出的2名是男教師有C箭中方法；

第2類，選出的2名是女教師有C4種方法.

根據(jù)分類計數(shù)原理，共有C2+C2=15+6=21(種)不同選法.

(3)從6名男教師中選2名的選法有Cg種，從4名女教師中選2名的選法有CZ種，根據(jù)分步計數(shù)原理，共

有不同的選法cl-Cl=15X6=90(種).

思維升華(1)解簡單的組合應用題時，首先要判斷它是不是組合問題，組合問題與排列問題的根本區(qū)別在

于排列問題與取出元素之間的順序有關，而組合問題與取出元素的順序無關.

(2)要注意兩個計數(shù)原理的運用，即分類與分步的靈活運用，在分類和分步時，一定注意有無重復或遺漏.

鞏固訓練

1.現(xiàn)有10名教師，其中男教師6名，女教師4名.從中選2名教師參加會議，至少有1名男教師的選法有多

少種？最多有1名男教師的選法又有多少種？

【解析】至少有1名男教師可分兩類：1男1女有CACJ種，2男0女有C薪中.

由分類計數(shù)原理知有C&CL+Cl=39(種).

最多有1名男教師包括兩類：1男1女有CACL種，0男2女有C4種.

由分類計數(shù)原理知有C&C3+(3=30(種).

2.一個口袋內裝有大小相同的4個白球和1個黑球.

(1)從口袋內取出3個小球，共有多少種取法？

(2)從口袋內取出3個球，使其中含有1個黑球，有多少種取法？

⑶從口袋內取出3個球，使其中不含黑球，有多少種取法？

【解析】(1)從口袋內的5個球中取出3個球，取法種數(shù)是C3=10.

⑵從口袋內取出3個球有1個是黑球，于是需要從4個白球中取出2個，取法種數(shù)是C2c1=6.

⑶由于所取出的3個球中不含黑球，也就是要從4個白球中取出3個球，取法種數(shù)是Cj=4.

題型十三二項式定理的正用、逆用

「3出+74

【例13】⑴求〔心)的展開式.

(2)化簡：C敝+l)"-a(x+l)n-1+C?(x+Q-2------h(-iya(x+1)"T-------卜(_1)?Q.

+

【解析】⑴法一6&J4=04)4+C.3心產(chǎn)日+CZ(3小產(chǎn)值2+cl(33Khcm4=8lx2+

108x+54+U12+W1

xx2

[l+Cb3x+CM3x)2+C,(3x)3+c4(3x)4]=1(1+12x+54x2+108x3+81x4)

x2

i19

U+U+54+108X+81X2.

(2)原式=C敝+1)〃+C^x+1)?-1(-1)+c?(x+1)〃一2(-1)2+...+c^x+1廣(_ly+…+Q(-1)?=[(x+1)+

(-l)]n=xn.

思維升華(1)(Q+6)〃的二項展開式有幾+1項，是和的形式，各項的賽指數(shù)規(guī)律是：①各項的次數(shù)和等于〃；

②字母Q按降暴排列，從第一項起，次數(shù)由〃逐項減1直到0;字母b按升幕排列，從第一項起，次數(shù)由0

逐項加1直到n.

(2)逆用二項式定理可以化簡多項式，體現(xiàn)的是整體思想.注意分析已知多項式的特點，向二項展開式的形式

靠攏.

鞏固訓練

1.化簡：(2x+I。-5(2%+l)4+10(2x+1)3—10(2x+l)2+5(2x+1)—1.

[解析】原式=C§(2x+I)5-Cg(2x+1)4+Cg(2x+-C$(2x+I)2+Cg(2x+1)-

C*2x+1)0=[(2x+1)-I]5=(2x)5=32/

題型十四二項展開式通項的應用

【例14】(1)求二項式9"—fl'的展開式中第6項的二項式系數(shù)和第6項的系數(shù)；

(2)求的展開式中x3的系數(shù).

【解析】⑴由已知得二項展開式的通項為=Cg(2&)6>1-J

3r39

=26-rC§*(-l)r,x3-y,Ts=26-5C^,(-l)5,x3--X5=-12x--

.，?第6項的二項式系數(shù)為C2=6,第6項的系數(shù)為-12.

99

(2)展開式的通項為Trt1=CSjx八Ixj=(-ly-CS-x2、

令9-2r=3,得r=3,則展開式中第4項含P其系數(shù)為(-1>找=-84.

思維升華(1)(。+6)"的展開式的通項3+1=3。"一方(「=0,1,2,…〃)是指的第，+1項;

(2)二項式系數(shù)指的是G,而項的系數(shù)指項中除去字母及其指數(shù)外剩余的部分，包含符號在內.

鞏固訓練

1.已知二項式

(1)求展開式的第4項的二項式系數(shù)；

(2)求展開式的第4項的系數(shù)；

(3)求展開式的第4項.

【解析】卜"一日的展開式的通項是7ki=C1o(3&)io-U'=Qio3i。]

1-3,10一3,

I3j(r=0,1,2,…，10).

(1)展開式的第4項&=3)的二項式系數(shù)為C?o=120.

(2)展開式的第4項的系數(shù)為C?o37[-if=-77760.

(3)展開式的第4項為

北=73,i=-77760^.

題型十五與展開式中的特定項有關的問題

3W

小~2九

【例15】已知在〔知的展開式中，第6項為常數(shù)項.

(1)求n；

(2)求含/的項的系數(shù)；

(3)求展開式中所有的有理項.

n~rn~1r

r-r

【解析】展開式的通項為Tr+i=C^x3(-3)x-=CJ(-3)x3.

(1)：第6項為常數(shù)項，，當r=5時，有%千=0,即〃=10.

1A_Or1

(2)4———=2,得/=；(10-6)=2,，所求的系數(shù)為品(-3)2=405.

32

[10-2r

UL-)

(3)由題意得，?3令上1A『-=MGZ)，

，GN.

則10-2r=33即r=5-3f.

2

?."GN,.?"應為偶數(shù).令f=2,0,-2,即r=2,5,8.

???第3項，第6項與第9項為有理項，它們分別為405/,_61236,295245x2

思維升華(1)求二項展開式的特定項的常見題型

①求第r項，「=(2/1廢丁十%廠1;②求含靖的項(或城儼的項)；③求常數(shù)項；④求有理項.

(2)求二項展開式的特定項的常用方法

首先寫出通項公式.

①對于常數(shù)項，隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項)；

②對于有理項，是指其所有字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項.解這類問題必須合并通項公式中同一字母的指數(shù),

根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解；

③對于二項展開式中的整式項，其通項公式中同一字母的指數(shù)應是非負整數(shù)，求解方式與求有理項一致.

鞏固訓練

1.若D的展開式中爐的系數(shù)是—8%則a=.

【答案】1

【解析】展開式的通項為7kLe既9>(-0)0

=C§.(一。)號9一2廠(0W尸W9,r^N).

當9-2尸=3時，解得尸=3,代入得好的系數(shù)為eg(-。)3=-84,解得Q=1.

2.已知〃為等差數(shù)列一4,—2,0,…的第六項，則日的二項展開式的常數(shù)項是.

【答案】160

【解析】由題意得〃=6,.,.展開式的通項為7k1=

令6-2r=0得廠=3,...常數(shù)項為23cg=160.

題型十六二項式系數(shù)表

【例16］如圖所示，在“楊輝三角”中，從1開始箭頭所指的數(shù)組成一個鋸齒形數(shù)列：1,2,3,3,6,4,

10,5,記其前〃項和為S”求&6的值.

1

【解析】由題意及二項式系數(shù)表的特點可得Si6=(l+2)+(3+3)+(6+4)+(10+5)+…+(36+9)=(C?+Ci)

Q*(2+g)

+(C?+Cl)+(C?+cl)+-+?+ci)=?+eg+C4+…+C3)+(2+3+…+9)=c?o+——\"=164.

思維升華解決與楊輝三角有關問題的一般思路

(1)觀察：對題目要橫看、豎看、隔行看、連續(xù)看，多南度觀察.

(2)找規(guī)律：通過觀察找出每一行的數(shù)之間，行與行之間的數(shù)據(jù)的規(guī)律.

(3)將數(shù)據(jù)間的這種聯(lián)系用數(shù)學式表達出來，使問題得解.

鞏固訓練

1.楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數(shù)學家、教育家.楊輝三角是楊輝的一項重要研究成果，它的許多性質

與組合數(shù)的性質有關，楊輝三角中蘊藏了許多規(guī)律，如圖是一個1