2024屆福建七市1月聯(lián)考數(shù)學試題含答案

保密★啟用前

準考證號姓名

(在此卷上答題無效)

福建省部分地市2024屆高中畢業(yè)班第一次質量檢測

數(shù)學試題2024.1

本試卷共4頁,22小題，滿分150分，考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的學校,班級和姓名填在答題卡上，正確粘貼條形碼.

2.作答選擇題時，用2B鉛筆在答題卡上將對應答案的選項涂黑.

3.非選擇題的答案必須寫在答題卡各題目的指定區(qū)域內相應位置上，不準使用鉛筆和涂

改液.

4.考試結束后，考生上交答題卡.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.已知z?i=z+l(i為虛數(shù)單位),則|z|=

A』B.冬

C.1D.Q

22

2.設集合M={X|-2,N={y|y=2"+1],則MUN=

A.[-2,+oo)B.(1,2]C.[1,2]D.(l,+8)

3.已知直線/與曲線尸3一％在原點處相切，則/的傾斜角為

A.4B.子C.蓼D.a

6446

4.已知a,b為單位向量,若|a+5|=|a-)|,貝Ua+b與a-b的夾角為

A.粵B.多C.孕D.紅

3234

5.已知/G)為定義在R上的奇函數(shù)，當與<0時，/(%)=/-2X+1,則f(2)+f(0)=

A.2B.1C.-8D.-9

6.已知6=ex+e^,c=sincosx,則下列結論錯誤的為

%

A.3%e[-1,1],a>cB.3xe[-1,1],b>c

C.3%E[-1,1],a<cD.3xe[-1,1],b<c

7.傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據沙?；蛐∈铀?/p>

排列的形狀把數(shù)分成許多類，如圖所示的1,5,12,22被稱為五邊形數(shù)，將所有的五邊

形數(shù)從小到大依次排列，則其第8個數(shù)為

A.51B.70C.92D.117

數(shù)學試題第1頁(共4頁)

(第7題圖)

&已知函數(shù)/(工)的定義域為R,VX,yeR；)/(y+1)=/G+y)-f(x-y)，若/(O)/O,

則了(2024)=

A.-2B.-4.C.2-D.4

二、多項選擇題:本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求。全部選對的得5分,部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知函數(shù)/(%)=2sin(2r-W),則

=卜八3%+&<>知且忒僻代&恢由>8.R.曲內由3處4聯(lián)3

AJG)的最小正周期為q

2??,1?

BJG)的圖象關于點(手,0)成中心對稱「1'

CJG)在區(qū)間［O號］上單調遞增

D.若fG)的圖象關于直線但與對稱，則Sin2x尸J

10.已知甲、乙兩組數(shù)據分別為：20,21,22,23,24,25和a,23,24,25,26,27,若乙組數(shù)據的平均

數(shù)比甲組數(shù)據的平均數(shù)大3,則

A.甲組數(shù)據的第70百分位數(shù)為23B.甲、乙兩組數(shù)據的極差相同

C.乙組數(shù)據的中位數(shù)為24.5D.甲、乙兩組數(shù)據的方差相同

11.設桶圓C.￡+￡=l(a>b>0)的左、右焦點分別為后，&過后的直線與C交于4,B兩點，

若山同|=2,且△四B的周長為8,則

A.a=2B.C的離心率為!

C.Ms|可以為BD.乙姻可以為直角

12.如圖所示，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是矩形，△?F和ADCE均是等邊三角形，

且四=2封后尸=/G>0)期

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若sin(a+^)=―1■，貝4cos(a-^)=.

14.《九章算術》、《數(shù)書九章》、《周髀算經》是中國古代數(shù)學著作，甲、乙、丙三名同學計劃每人從

中選擇一種來閱讀，若三人選擇的書不全相同，則不同的選法有_種.

15.已知平面a的一個法向量為"=(1,0,1),且點4(1,2,3)在a內，則點8(1,1,1)到a的距

離為.

16.設是面積為1的等腰直角三角形是斜邊熊的中點，點尸在△熊，所在的平面

內，記△PCO與△R45的面積分別為*,S2,且S「S2=1.當|尸且|以|>|心|時，

\PA\=;記||以|-|尸川|=a,則實數(shù)a的取值范圍為.(注：第一空2分，

第二空3分)

四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.(10分)

已知A4BC的內角4,5,C的對邊分別為a,6,c,且a2cos5+a^co&4=2c.

(1)求a；

⑵若4=手，且△他C的周長為2+后，求△熊C的面積.

18.(12分)

如圖，在四棱錐E-ABCD中，AD〃BC,24D=BC=2,4B=yi,AB_L4D,E4J.平面ABCD,過點B

作平面a_LBD

(1)證明：平面a〃平面及4C；

(2)已知點尸為棱EC的中點，若EA=2,求直線4D與平面EBO所成角的正弦值.

(第18題圖)

數(shù)學試題第3頁(共4頁)

19.（12分）

已知數(shù)列M｝的前n項和為S?,a2=2ai=4,當neN,，且22時,SZI=3SR-2sl.

（1）證明：a｝為等比數(shù)列；-------------------------------

（2）設6戶一■R,記數(shù)列也｝的前n項和為7；,若乙+4白>1,求正整數(shù)m的最

（On-1）（0?+1-1）/X2

小值.

20.（12分）

已知甲、乙兩支登山隊均有幾名隊員，現(xiàn)有新增的4名登山愛好者a,b,c,d將依次通過摸

出小球的顏色來決定其加入哪支登山隊，規(guī)則如下:在一個不透明的箱中放有紅球和黑球各2

個,小球除顏色不同之外，其余完全相同.先由第一名新增登山愛好者從箱中不放回地摸出1個

小球，再另取完全相同的紅球和黑球各1個放入箱中；接著由下一名新增登山愛好者摸出1個

小球后，再放入完全相同的紅球和黑球各1個，如此重復，直至所有新增登山愛好者均摸球和放

球完畢.新增登山愛好者若摸出紅球,則被分至甲隊，否則被分至乙隊.

（1）求a,b,c三人均被分至同一隊的概率；.-

（2）記甲、乙兩隊的最終人數(shù)分別為外,%設隨機變量X=|白-汝|,求E（X）,

21.（12分）

已知函數(shù)有兩個極值點的，物

（1）求實數(shù)a的取值范圍；

（2）證明:小】）力孫）>上2a2

的一“2G-1

22.（12分）

在平面直角坐標系X。7中，點P（l,0）,點4為動點，以線段AP為直徑的圓與y軸相切，記

A的軌跡為r,直線4P交F于另一點B.

（1）求「的方程；

（2）△048的外接圓交F于點C（不與。,4,8重合），依次連接0,A,C,B構成凸四邊形

O4C叢記其面積為S.

（i）證明：△4BC的重心在定直線上；

5）求S的取值范圍.

數(shù)學試題第4頁（共4頁）

絕密★啟用前試卷類型：A

福建省部分地市2024屆高中畢業(yè)班第一次質量檢測

數(shù)學試題答案及詳解2024」

一、單項選擇題：

題號12345678

答案BACBDDCA

1.已知z-i=z+l(i為虛數(shù)單位)，則|?|=

1M

A.-B.—C.1D.V2

22

解析：z?i=z+1,z=-------=----------,|z|=---，應選B.

-1+i222

2.設集合M={x|-2WxW2},N={y\y=2x+1},則MUN=

A.[-2,+oo)B.Q，2]C.口，2]D.(1,+s)

解析：：N={y|y>l},.?.MUN={X|X2-2},應選A.

3.已知直線/與曲線y=x3-x在原點處相切，則/的傾斜角為

兀「兀一3兀一5兀

A.一B.一C.—D.—

6446

解析：；y=x3-x,了=3/一1,.?.曲線了=/-x在原點處的切線/的斜率為V(0)=-l,

3IT

???/的傾斜角為三，應選C.

4

4.已知〃為單位向量，若|〃+。|=|。-川，則〃+〃與〃的夾角為

7T7T27T3兀

A.-B.—C.—D.—

3234

解析：：，(a+b)2=(a-b)2,，“1=0,即4_1_5,又a,6為單位向量,

：.a,5可視為邊長為1的正方形相鄰兩條邊作為有向線段所對應的向量，

顯然a+b與a-b為該正方形的兩條對角線作為有向線段所對應的向量，

易知正方形的對角線相互垂直，即a+8與的夾角為烏，應選B.

2

5.已知/(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當x<0時，/(x)=/-2x+l,則/(2)+/(0)=

A.2B.1C.-8D.-9

高三數(shù)學參考答案及評分標準第1頁共17頁

解析：..?當x<0時，/■(>)=%2-2》+1,二7'(-2)=9,：/0)為定義在區(qū)上的奇函數(shù),

，/(2)=-9,且/(0)=0,.?./(2)+/(0)=—9,應選D.

6.已知a=x+L/)=eT+e-x,c=sinx+百cosx，則下列結論錯誤的為

A.3xe[-l,l],a>cB.3XG[-1,1],b>c

C.3xe[-l,l],a<cD.3xe[-l,l],b<c

解析：（方法一）：c=sinx+百cosx=2sin（x+/，c<2,ex>0，e-v>0>，由基

本不等式可知b=e‘+e-'N2JeJe-'=2，：-b>c,故選項D中的結論錯誤，應選D.

（方法二）易知當x=0.1時，a>c-當x=0時，b>c；當x=-0.1時，a<c,故A,B,

C中結論正確，由排除法可知應選D.

7.傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據沙?；蛐∈?/p>

所排列的形狀把數(shù)分成許多類，如圖所示的1,5,12,22被稱為五邊形數(shù)，將所有的

五邊形數(shù)從小到大依次排列，則其第8個數(shù)為

A.51B.70C.92D.117

（第7題圖）

解析：不妨設五邊形數(shù)從小到大依次為外,出，的，…%，觀察圖形，將第一個圖形視為

一層小石子，第二個圖形視為兩層小石子，第三個圖形視為三層小石子（從左下角的小石子

開始作為第1層，沿右上角方向依次為第2層，第3層，…，第〃層），以此類推，從第二個

圖形起，每個圖形中的第左（左22）層小石子排成三條長度相等的線段（每條線段上的小石子

數(shù)目恰為僅422）,連接處有兩個公用小石子），易知每層的小石子數(shù)目為弘-2/22）,

...第8個圖形的小石子數(shù)目為1+（3、2-2）+（3乂3-2）+-+（3*8-2）=92（即等差數(shù)列

{3〃-2}的前8項和），，應選C.

8.已知函數(shù)“X）的定義域為R,Vx/eR,/（x+l）/（y+l）=/（x+y）-/（x-y）,若

/（0）w0,則/（2024）=

A.-2B.-4C.2D.4

解析:(方法一)令x=y=0,則[/(1)]2=/(0)—/(0)=0,A/(1)=0,

高三數(shù)學參考答案及評分標準第2頁共17頁

令x=0，y=x,則/(l)/(x+l)=/(O+x)一/(O一x)=0，二/(x)=/(-x),

令尸-x，則f(x+1)/(1-x)=/(0)-f(2x)，

令一,則/(x+l)/(x+1)=f(2x)-/(0)，

???f(x+1)/(1-x)=-f(x+l)/(x+1)，

若/(x+1)=0恒成立,則與題設條件/(0)片0矛盾，二/(I一x)=-/(x+l),

又?:/?=f(-x)，/(%)=f(-x)=-/(2-x),

，/(x)=/(x+4),，4為/(x)的周期，.?./(2024)=/(0),

令x=j=l,則/(2)/⑵=%2)-/(0),

又?；/(2)=-/(0)，,/(0)/(0)=-2/(0)，解得/(0)=-2，.?./(2024)=-2,應選A.

(方法二):cos(x+y)-cos(x-y)=-2sinxsiny,

-2cos(x+—)cos(j+m=c0s(x+y)-cos(x-y),

-2c°s(x+別-2c°”+衿［-2cos(x+y)--2cos(x5‘

由此聯(lián)想去構造函數(shù)，；/(工+1)/(了+1)=/。+內一/(》一了)，；.可令/(工)=一235號，

顯然/(x)=—2cos:符合Vx/eR,f{x+1)/(7+1)=f{x+y)-f{x-y),且/(O)wO,

/,/(2024)=-2COS(1012TI)=-2,應選A.

二、多項選擇題：

題號9101112

答案BCBDACACD

IT

9.已知函數(shù)/(x)=2sin(2x-§),貝(I

A./(x)的最小正周期為三

2

2冗

B./(X)的圖象關于點(y,0)成中心對稱

C.“X)在區(qū)間［0,手上單調遞增

D.若/(X)的圖象關于直線x=x0對稱，則sin2x0=；

27r

解析：(選項A)/(x)的最小正周期為兀，.?.選項A錯誤;

2

高三數(shù)學參考答案及評分標準第3頁共17頁

/ITIT7IT

（選項8）當》=學時，2萬一］=兀，又5皿兀=0,.../'（X）的圖象關于點（三,0）成中心對稱,

選項B正確；

（選項C）當OWxW紜時，一四421-040，又函數(shù)＞=sinx在區(qū)間［-二，與上單調遞增,

333333

二/（x）在區(qū)間［0,y］上單調遞增，，選項C正確；

（選項D）..?/1）的圖象關于直線％=/對稱，，2/-1=也+5（左€2）,

5jr1

2x-kn-\---（左eZ）,sin2x=±—,二選項D錯誤，

0602

綜上所述，應選BC.

10.已知甲、乙兩組數(shù)據分別為：20,21,22,23,24,25和。，23,24,25,26,

27,若乙組數(shù)據的平均數(shù)比甲組數(shù)據的平均數(shù)大3,則

A.甲組數(shù)據的第70百分位數(shù)為23B.甲、乙兩組數(shù)據的極差相同

C.乙組數(shù)據的中位數(shù)為24.5D.甲、乙兩組數(shù)據的方差相同

解析：?.?乙組數(shù)據的平均數(shù)比甲組數(shù)據的平均數(shù)大3,注意到兩組數(shù)據的特點（將。調到乙

組數(shù)據的最后位置，則每個數(shù)值對應大3）,.?.易知。=28,

（選項A）易知甲組數(shù)據的第70百分位數(shù)為第5個數(shù)24,.??選項A錯誤；

（選項B）；25-20=28-23=5,；.甲、乙兩組數(shù)據的極差均為5?.選項B正確；

（選項C）乙組數(shù)據的中位數(shù)為生士生=25.5,.?.選項C錯誤；

2

（選項D）??,設甲組數(shù)據為七，乙組數(shù)據為％,則％=須+3,易知甲、乙兩組數(shù)據的方差

相同，，選項D正確，

綜上所述，應選BD.

22

11.設橢圓C：三+方=1（4＞人＞0）的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,過片的直線與C交于/,

8兩點，若因81=2,且△/B用的周長為8,則

A.a=2B.C的離心率為工

4

C.|48|可以為兀D.NA4月可以為直角

解析：（選項A）由△/陷的周長為8,及橢圓定義可知4a=8,即。=2,?,?選項A正確;

cl

（選項B）V\FF1\=2=2c,。=2,的離心率為一=—,.,?選項B錯誤；

{a2

高三數(shù)學參考答案及評分標準第4頁共17頁

（選項C）???/=22一F=3,，c的方程為土+匕=1,易知二3/切<2a,即34M3|<4,

43a

?.<3<K<4,[48|可以為兀，，選項C正確；

（選項（方法一）不妨設月|=加,1=〃，則冽+〃。=???加22

D）\AF2=24,+2mn+n=16,

若NR4K為直角，則冽2+〃2=4/=4,二.4+2加〃=16,即加〃=6,

.??冽，〃為方程％2一41+6=0的兩個實數(shù)根，易知A=42-4X6<0,

???方程――4工+6=0無實數(shù)根，???Z5盟不可能為直角，選項D錯誤，

（方法二）不妨設直線48的方程為％=吵一1,4X，弘），5（%2，%），則方=（%-再,%-%），

AF2=（1—%,一切），若/BAF2為直角，則AB-AF2=（%-玉）（1一匹）一（%-/）%=。，

2m

：.（my2-myx）（2-my,）-（y2-）yx=0,顯然%w/，二加（2=0,即弘—,

x=my-l,

聯(lián)立/v2得（3療+4）/一6〃》-9=0①，?.?必=V是方程①的實數(shù)根,

—+—=1,m~+l

143

??.（3根2+4）（學）2-岑匚一9=0，化簡得126*+20〃/+9=0②，

m+1m+1

②顯然不可能成立，不可能為直角，選項D錯誤，

綜上所述，應選AC.

12.如圖所示，在五面體N8CDE廠中，四邊形/3CZ）是矩形，△AS尸和△Z）CE均是等邊

三角形，且48=2百，EF=x（x>0）,貝I]

A.〃平面4BCD

B.二面角尸-8隨著x的減小而減小

27

C.當3c=2時，五面體/3CDE尸的體積V（x）最大值為一

2

3、C

D.當3C=士時，存在x使得半徑為組的球能內含于五面體/3CDE尸

（第12題圖）

解析：（選項A）顯然/,D,E,尸四點共面，且5,C,E,尸四點共面,

高三數(shù)學參考答案及評分標準第5頁共17頁

?/BCHAD,'：ADu平面ADEF,BC<Z平面ADEF,：.BCH平面ADEF,

平面BCEFPl平面ADEF=EF,BC//EF,

：BCu平面4BCD,￡尸u平面48CD,EF〃平面4BCD,故選項A正確；

（選項B）設二面角A-EF-B的大小為2a,點、F到平面ABCD的距離為/z,則tana=?士,

h

?.?點F到平面ABCD的距離當且僅當平面FABI平面ABCD時取得最大值，

...當x=8C時，tana=也取得最小值，即a取得最小值，亦即二面角N-E尸-3取得最

h

小值，故選項B錯誤；

（選項C）當3c=2時，如圖所示，把五面體4BCDE尸補全成直三棱柱尸G/-EK7,

分別取45,G/的中點M,H,易得尸平面48CD,FM=3,

7T

^ZFMH=0（O<0<-）,則MH=3cos。，F(xiàn)H=3sin3,

,,/=勺面體Z58跖='三棱柱尸G/-FK7-2。棱錐F—/8/G

=-^-X2A/3x3sin0x（2+2x3cos0）-2x-^x3sin0x2V3X3COS0=6A/3sin0+6^3sin0cos^,

令/（。）=60sine+66sinecos。，貝!1/'（6）=6百85。+6百8$2。=0,解得。=三，

易知e=1是函數(shù)/（。）的極大值點,則/（嘰ax=/（j）=6^sin566sin|cos卜g,

27

???五面體ABCDEF的體積7（x）最大值亦為—,故選項C正確；

2

3

（選項D）當8。=—時，若廠和△QCE所在平面均垂直于平面時，構成正三

2

棱柱/8R-OCE,易知此時正三棱柱內最大的球半徑「=3<且，此時半徑為且的球不

422

能內含于五面體/BCD跖，對于一般情形，如下圖所示，左圖為左視圖，右圖為正視圖，

由C的結果可以想到，當五面體/8CDE尸體積最大時，其可內含的球的半徑較大,

易知當NRMH=四時，F(xiàn)H=^~,m=垂>，且3=退9,

322

高三數(shù)學參考答案及評分標準第6頁共17頁

設AF/G的內切圓半徑為八，則J_x迪x2百='q(2百+叵)，解得4=31—＞號；

2222713+22

另一方面，設等腰梯形EFMN中的圓的半徑為弓，則弓=3tan巴=2叵＞「些一=q,

434V13+2

???半徑為甘?的球能內含于五面體Z5CQE尸，

V13+2

.??半徑為的球亦能內含于五面體/5。。所，故選項D正確,

2

綜上所述，應選ACD.

三、填空題：

13.--；14.24；15.V2;16.726；(延,2).

55

13.若sin(a+工)=-3,貝!!cos(a一三)=.

454

解析：.；cos(a_[)=cos[(a+：)一■1■]=sin(a+：),；.cos(a-：)=-g,應填一g.

14.《九章算術》、《數(shù)書九章》、《周髀算經》是中國古代數(shù)學著作，甲、乙、丙三名同學計

劃每人從中選擇一種來閱讀，若三人選擇的書不全相同，則不同的選法有種.

解析：顯然甲、乙、丙三名同學每人均有三種選法，由分步乘法原理可知有3,=27種選法，

若三人選擇的書全部相同，則有3種選法，.?.若三人選擇的書不全相同，則有27-3=24種

不同選法，應填24.

15.已知平面。的一個法向量為“=(1,0,1),且點4(1,2,3)在a內，則點3(1,1,1)到a的距離

為.

1君川=2叵,

解析：易知益=(0,-1,-2).?.點3(1,1,1)到a的距離為應填行.

|?|V2'

16.設△48C是面積為1的等腰直角三角形，。是斜邊Z8的中點，點尸在AMC所在

的平面內，記△尸CD與面積分別為百，$2,且耳-邑=1.當|尸0=?),

且|尸/|＞|尸3|時，1尸4=；記||上4|-|尸8||=a,則實數(shù)。的取值范圍為

.(注：第一空2分，第二空3分)

解析：以。為原點，方為了軸正方向建立直角坐標系HL。)，C(0,l),A-1,0),

設P(XoJo)，則岳=；上|,二=l①，

高三數(shù)學參考答案及評分標準第7頁共17頁

22

當PB=M,且尸3時，x0>0,|PS|=(xo-l)+^=lO②,

聯(lián)立①，②，解得Xo=4,I盟1=1,

|尸/2=(毛+1)2+就=26,：.\PA\=y/26,故應填而;

（或者由|R4|2Tp3『=4/亦可得|尸/|2=26,從而|尸出=而）

若||尸/|-|尸3||=。，則由雙曲線的定義知點P在以4,8為焦點的雙曲線上，但不包含

22

2E_____2!_i4x24v2

雙曲線的兩個頂點，且該雙曲線的方程為（夕i_（q）2=，即千一二》=i'

V該雙曲線的頂點的橫坐標的絕對值小于半焦距1,

...雙曲線和曲線:|刈-1卻=1有交點即雙曲線的漸近線和曲線3刈-|田=1有交點，

二雙曲線漸近線斜率的絕對值小于工，即0<、日三<

2\a22

解得ae（￥，2）,故應填（手⑵.

三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.（10分）

2

已知△/8C的內角/,B,C的對邊分別為。，b,c,S.acosB+abcosA=2c.

（1）求。；

(2)若/=3-，且△/BC的周長為2+石，求△48C的面積.

解：(1)Va2cosB+abcosA=2c,a(acosB+bcosA)=2c,.................................1分

由正弦定理，得a(sin/cos8+sin8cosN)=2sinC,....................................................2分

即asin(^4+5)=2sinC,..............................................................................................3分

'：A+B+C=TI,：.sin(Z+B)=sinC,.......................................................................4分

asinC=2sinC,

*.*0<C<7i,sinC>0,

,a=2?.........................................................................................................................5分

(2)由(1)知。=2,

在A/BC中，由余弦定理，得cos/=2■二一■―1,.............................6分

2bc2bc

高三數(shù)學參考答案及評分標準第8頁共17頁

A22-41

+r~整理得：b2+c2+bc=4①，.........................................7分

2bc2

a+b+c=45+2,：.b+c=45②，..........................................................8分

由①，(2)^b2+c2+be=(b+c)2-be=4,bc=\,................................................9分

記△ABC的面積為S,

S=—besiriy4=—sin—=-........................................................................10分

2234

18.(12分)

如圖，在四棱錐E—Z5CD中，ADIIBC,2AD=BC=2,AB=42>AB1AD,EA1

平面715cO,過點3作平面

(1)證明：平面a〃平面E4C；

(2)已知點尸為棱EC的中點，若￡4=2,求直線與平面F8D所成角的正弦值.

證明：(1)設ZC與8。的交點為。，

AD//BC,且C.ABLBC,

AB=^，ABLAD,

且AB=亞,BC=2,ABA.BC,

：.△ABD~△BCA,............................

ZABD=ZBCA,

/.ZBAC+ZABD=ZBAC+ZBCA,

:ABIBC,：.ZBAC+ZBCA=90°,

/.ZBAC+ZABD=90°,

高三數(shù)學參考答案及評分標準第9頁共17頁

即ZBAO+ZABO=90°,ZAOB=90°,

：.AOIBO,即ZCLBD,.......................................................................................4分

：E4_L平面48CD,3。u平面715cD,

EALBD,

EAPlAC=A,EA,ACu平面EAC,

BD_L平面EAC,

又?：aLBD,且8e平面E4C,

，平面a〃平面胡C......................................................................................................5分

(2)(方法一)AB1AD,E4_L平面MCO,

/.AB,AD,/￡兩兩垂直.

如圖，以/為原點，AB,AD,/E分別為x軸,

y軸，z軸，建立空間直角坐標系/-盯z,

則/(0,0,0),D(0,1,0),8(-技0,0),

￡(0,0,2),C(-V2,2,0),

.,.25=(0,1,0),而=(血，1,0),前=(0,2,0),屜=(行，0,2),.....................8分

:點尸為棱EC的中點，

—?1—?—■正

/.5F=-(5C+5￡,)=(^-,l,l),...............................................................................9分

設平面FAD的一個法向量為〃=(x,y,z),

\BD-n=0,［瓜+片0，

則一V2

BF-n=0,-^-x+y+z=0,

取x=2,得了=-2亞，z=血，

平面的一個法向量為“=(2,-2夜，血)，...............................10分

記直線AD與平面FBD所成角為。,

…八，F(xiàn),\AD-n\I-2V2I2"

貝!Jsm。=cos<AD,n>=^=；---=----.=----,

\AD\\n\lxJ4+8+27

...直線/。與平面尸8D所成角的正弦值為短................................12分

7

(方法二)如圖，取NC中點連接

:尸為棱EC的中點，

高三數(shù)學參考答案及評分標準第10頁共17頁

.OADA

,OC-BC-2

V6日口八，ACV6

OA①BPOA=——=~,

233

又AM=----=/.OM=AM-OA=—,

22

?：FM^l,且FA/LOM,8分

：8。_L平面￡4C,OEu平面E4C,

BD1OF,

；?S&FBD=gxBDX°F=gX△X/=，...................................9分

?"二】‘①行’且GQFB."；..........................1。分

設〃為/到平面BED的距離,

,^A-BFD=^F-ABD9,*J^BFD,'=§，\ABD'FN,

即巫X〃=^xl,解得卜=亞,.........................................11分

427

記直線與平面EBZ)所成角為8,則sine=2-=2互，

AD7

???直線AD與平面FBD所成角的正弦值為壁................................12分

7

19.(12分)

已知數(shù)列數(shù)“｝的前n項和為一，%=2%=4,當"eN*，且〃22時，S“+i=35n-2sz.

(1)證明：｛q,｝為等比數(shù)列;

,記數(shù)列也J的前〃項和為《，若，+—匚＞1，求正整

⑵設“=

(??-1)(??+1-1)7x2

高三數(shù)學參考答案及評分標準第11頁共17頁

數(shù)機的最小值.

解：⑴?；當〃eN*,且“22時，Sn+l=3Sn-2Sn_l

...當心2時,S"+「S”=2(S,-S,T),

an+l=2an(?>2),......................................................................................................3分

?a2=2。]=4,??:—2?！?〃wN),且a1=2,

...也,｝是以首項為2,且公比也為2的等比數(shù)列.............................5分

(2)由(1)易知｛%,｝的通項公式為%=2"(〃eN*),..............................................................6分

=H+1=B+1

(??-1)(??+1-1)(2--1)(2-1)-2-1

；1

T=(1--)+(---)+---+(^---------^-)+(----------~~)=1-9分

"3372"-12"-12"-12"-12,^-1

T+—]—r11

>1,/.1-m+1+m-2>1,

7x2m-22-17x2

，2m+1-1>7x2m-2，即8義2m-2-l>7x2"'-210分

2?-2>1，/.m-2>0,m>2,

：.m>3,即正整數(shù)m的最小值為3.12分

20.(12分)

已知甲、乙兩支登山隊均有〃名隊員，現(xiàn)有新增的4名登山愛好者。，b,c,1將

依次通過摸出小球的顏色來決定其加入哪支登山隊，規(guī)則如下：在一個不透明的箱中放

有紅球和黑球各2個，小球除顏色不同之外，其余完全相同.先由第一名新增登山愛好

者從箱中不放回地摸出1個小球，再另取完全相同的紅球和黑球各1個放入箱中；接著

由下一名新增登山愛好者摸出1個小球后，再放入完全相同的紅球和黑球各1個，如此重

復，直至所有新增登山愛好者均摸球和放球完畢.新增登山愛好者若摸出紅球，則被分

至甲隊，否則被分至乙隊.

(1)求6,c三人均被分至同一隊的概率；

(2)記甲、乙兩隊的最終人數(shù)分別為4,n2,設隨機變量X=|%-求E(X).

解：(1)。，b,c三人均被分至同一隊當且僅當三人同分至甲隊或同分至乙隊.

設事件/="4被分至甲隊”，8=被分至甲隊”，C=“。被分至甲隊”，

當。即將摸球時，箱中有2個紅球和2個黑球，則。被分至甲隊即。摸出紅球的概率為

當。被分至甲隊時，箱中有2個紅球和3個黑球，則b被分至甲隊即b摸出紅球的概率為

高三數(shù)學參考答案及評分標準第12頁共17頁

22

尸⑻/)=有=不，...................................................2分

當。，b均被分至甲隊時，箱中有2個紅球和4個黑球，則。被分至甲隊即c摸出紅球的

21

概率為尸(C|/8)=1=],...............................................3分

121

P(AB)=P(A)P(B\A)=-x-^~,

：.P(ABC)=尸(/3)尸(C|/B)=gx,.....................................4分

同理可知，新增登山愛好者。，b,。均被分至乙隊的概率也為，，

112

工。，b,。三人均被分至同一隊的概率為；一+；—=；—......................5分⑵

由題設可知，X的可能取值為4,2,0,..............................6分

X=4表明新增的4名登山愛好者均被分至甲隊或乙隊,

2x2x2x24

p(X=4)=2x