河北省雄安新區(qū)博奧高級(jí)中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末預(yù)測(cè)試題含解析

河北省雄安新區(qū)博奧高級(jí)中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末預(yù)測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在區(qū)間上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù).則的值介于0到之間的概率為（）.A． B． C． D．2．已知圓柱的軸截面為正方形，且該圓柱的側(cè)面積為，則該圓柱的體積為A． B． C． D．3．設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)椋趦?nèi)任取一點(diǎn)，的概率是（）A． B． C． D．4．已知點(diǎn)，，則與向量的方向相反的單位向量是（）A． B． C． D．5．設(shè)集合，則()A． B． C． D．6．已知向量，，則與夾角的大小為（）A． B． C． D．7．已知β為銳角，角α的終邊過點(diǎn)（3，4），sin（α+β）＝，則cosβ＝（）A． B． C． D．或8．已知，表示兩條不同的直線，表示平面，則下列說法正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則9．直線的斜率是（）A． B． C． D．10．在中，已知，.若最長(zhǎng)邊為，則最短邊長(zhǎng)為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則_____12．圓與圓的公共弦長(zhǎng)為______________。13．圓錐的底面半徑是3，高是4，則圓錐的側(cè)面積是__________．14．已知是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)滿足，，則________.15．?dāng)?shù)列滿足：，，則______.16．設(shè),滿足約束條件,則的最小值是______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．2019年4月23日“世界讀書日”來臨之際，某校為了了解中學(xué)生課外閱讀情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，并獲得了他們一周課外閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）的數(shù)據(jù)，按閱讀時(shí)間分組：第一組[0,5),第二組[5,10)，第三組[10,15)，第四組[15,20)，第五組[20,25]，繪制了頻率分布直方圖如下圖所示．已知第三組的頻數(shù)是第五組頻數(shù)的3倍．（1）求的值，并根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該校學(xué)生一周課外閱讀時(shí)間的平均值；（2）現(xiàn)從第三、四、五這3組中用分層抽樣的方法抽取6人參加校“中華詩詞比賽”．經(jīng)過比賽后，從這6人中隨機(jī)挑選2人組成該校代表隊(duì)，求這2人來自不同組別的概率．18．已知數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，n∈N*．（1）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn；（3）在（2）的條件下，記，若對(duì)任意正整數(shù)n，不等式恒成立，求整數(shù)m的最大值．19．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓上．（1）求圓的方程；（2）若圓與直線交于，兩點(diǎn)，且，求的值．20．已知集合.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若集合，寫出集合的所有子集.21．己知數(shù)列的前項(xiàng)和，求數(shù)列的通項(xiàng).

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

由，得.由函數(shù)的圖像知，使的值介于0到之間的落在和之內(nèi).于是，所求概率為.故答案為D2、C【解析】

設(shè)圓柱的底面半徑，該圓柱的高為，利用側(cè)面積得到半徑，再計(jì)算體積.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑.因?yàn)閳A柱的軸截面為正方形，所以該圓柱的高為因?yàn)樵搱A柱的側(cè)面積為，所以，解得，故該圓柱的體積為.故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱的體積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.3、A【解析】作出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，四邊形所示，作出直線，由幾何概型的概率計(jì)算公式知的概率，故選A.4、A【解析】

根據(jù)單位向量的定義即可求解.【詳解】,向量的方向相反的單位向量為，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的單位向量的概念，屬于中檔題.5、B【解析】

先求得集合，再結(jié)合集合的交集的概念及運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，集合，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交集的運(yùn)算，其中解答中正確求解集合B，結(jié)合集合的交集的概念與運(yùn)算求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

根據(jù)向量，的坐標(biāo)及向量夾角公式，即可求出，從而根據(jù)向量夾角的范圍即可求出夾角．【詳解】向量，，則；∴；∵0≤<a，b>≤π；∴<a,b>=.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，已知向量坐標(biāo)代入夾角公式即可求解，屬于?？碱}型，屬于簡(jiǎn)單題.7、B【解析】

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義求得sinα和cosα，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cos（α+β）的值，再利用兩角差的余弦公式求得cosβ＝cos[（α+β）﹣α]的值．【詳解】β為銳角，角α的終邊過點(diǎn)（3，4），∴sinα，cosα，sin（α+β）sinα，∴α+β為鈍角，∴cos（α+β），則cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα??，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和差的余弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8、A【解析】

根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)、線面平行的判定與性質(zhì)依次判斷各個(gè)選項(xiàng)可得結(jié)果.【詳解】選項(xiàng)：由線面垂直的性質(zhì)定理可知正確；選項(xiàng)：由線面垂直判定定理知，需垂直于內(nèi)兩條相交直線才能說明，錯(cuò)誤；選項(xiàng)：若，則平行關(guān)系不成立，錯(cuò)誤；選項(xiàng)：的位置關(guān)系可能是平行或異面，錯(cuò)誤.故選：【點(diǎn)睛】本題考查空間中線面平行與垂直相關(guān)命題的辨析，關(guān)鍵是能夠熟練掌握空間中直線與平面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)定理.9、A【解析】

一般式直線方程的斜率為．【詳解】直線的斜率為.故選A【點(diǎn)睛】此題考察一般直線方程的斜率，屬于較易基礎(chǔ)題目10、A【解析】試題分析：由，，解得，同理，由，，解得，在三角形中，，由此可得，為最長(zhǎng)邊，為最短邊，由正弦定理：，解得.考點(diǎn)：正弦定理.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

將向量進(jìn)行等量代換，然后做出對(duì)應(yīng)圖形，利用平面向量基本定理進(jìn)行表示即可．【詳解】解：設(shè)，則根據(jù)題意可得，，如圖所示，作，垂足分別為，則又，，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量基本定理及其意義，兩個(gè)向量的加減法及其幾何意義，屬于中檔題．12、【解析】

利用兩圓一般方程求兩圓公共弦方程，求其中一圓到公共弦的距離，利用直線被圓截得的弦長(zhǎng)公式可得所求.【詳解】由兩圓方程相減得兩圓公共弦方程為，即，圓化為，圓心到直線的距離為1，所以兩圓公共弦長(zhǎng)為，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查兩圓位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于基本題.13、【解析】分析：由已知中圓錐的底面半徑是，高是，由勾股定理，我們可以計(jì)算出圓錐的母線長(zhǎng)，代入圓錐側(cè)面積公式，即可得到結(jié)論.詳解：圓錐的底面半徑是，高是，圓錐的母線長(zhǎng)，則圓錐側(cè)面積公式，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查圓錐的性質(zhì)與圓錐側(cè)面積公式，意在考查對(duì)基本公式的掌握與理解，屬于簡(jiǎn)單題.14、【解析】

由奇函數(shù)的性質(zhì)得出，由題中等式可推出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，再利用周期性和奇偶性求出的值.【詳解】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，且對(duì)任意實(shí)數(shù)滿足，，所以，函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，，，因此，，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)求值，利用題中條件推導(dǎo)出函數(shù)的周期是解題的關(guān)鍵，在計(jì)算時(shí)充分利用函數(shù)的周期性將自變的值的絕對(duì)值變小，考查邏輯推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.15、【解析】

可通過賦值法依次進(jìn)行推導(dǎo)，找出數(shù)列的周期，進(jìn)而求解【詳解】由，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)故數(shù)列從開始，以3為周期故故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推公式，能根據(jù)遞推公式找出數(shù)列的規(guī)律是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題16、1【解析】

根據(jù)不等式組，畫出可行域，數(shù)形結(jié)合求解即可.【詳解】由題可知，可行域如下圖所示：容易知：，可得：，結(jié)合圖像可知，的最小值在處取得，則.故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃的基礎(chǔ)問題，只需作出可行域，數(shù)形結(jié)合即可求解.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）a=0.06，平均值為12.25小時(shí)（2）【解析】

（1）由頻率分布直方圖可得第三組和第五組的頻率之和，第三組的頻率，由此能求出a和該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從而可估計(jì)該校學(xué)生一周課外閱讀時(shí)間的平均值；（2）從第3、4、5組抽取的人數(shù)分別為3、2、1，設(shè)為A，B，C，D，E，F(xiàn)，利用列舉法能求出從該6人中選拔2人，從而得到這2人來自不同組別的概率．【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得第三組和第五組的頻率之和為，第三組的頻率為∴該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)所以可估計(jì)該校學(xué)生一周課外閱讀時(shí)間的平均值為小時(shí)．（2）易得從第3、4、5組抽取的人數(shù)分別為3、2、1，設(shè)為，則從該6人中選拔2人的基本事件有：共15種，其中來自不同的組別的基本事件有：，共11種，∴這2人來自不同組別的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)、概率的求法，考查古典概型、頻率分布直方圖等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．18、(1)bn＝3n﹣2，n∈N*．(2)；(3)最大值為1．【解析】

（1）利用，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）利用裂項(xiàng)求和法求得數(shù)列的前項(xiàng)和.（3）由（2）求得的表達(dá)式，記不等式左邊為，利用差比較法判斷出的單調(diào)性，進(jìn)而求得的最小值，由此列不等式求得的取值范圍，進(jìn)而求得整數(shù)的最大值.【詳解】（1）∵數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，n∈N*．∴①當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝T1＝1；②當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝Tn﹣Tn﹣1＝3n﹣2；∴bn＝3n﹣2，n∈N*．（2）由（1）可得：；∴Sn＝c1+c2+…+cn，，，；（3）由（2）可知：n；∴；設(shè)f（n）；則f（n+1）﹣f（n）＝（）﹣（）0；所以f（n+1）＞f（n），故f（n）的最小值為f（1）；∵對(duì)任意正整數(shù)n，不等式恒成立，∴恒成立，即m＜12；故整數(shù)m的最大值為1．【點(diǎn)睛】本小題主要考查已知求，考查裂項(xiàng)求和法，考查數(shù)列單調(diào)性的判斷方法，考查不等式恒成立問題的求解，屬于中檔題.19、（1）；（2）.【解析】分析：（1）因?yàn)榍€與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)都在圓上，所以要求圓的方程應(yīng)求曲線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)．曲線與軸的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為．由與軸的交點(diǎn)為關(guān)于點(diǎn)(3,0)對(duì)稱，故可設(shè)圓的圓心為，由兩點(diǎn)間距離公式可得，解得．進(jìn)而可求得圓的半徑為，然后可求圓的方程為．（2）設(shè)，，由可得，進(jìn)而可得，減少變量個(gè)數(shù)．因?yàn)?，，所以．要求值，故將直線與圓的方程聯(lián)立可得，消去，得方程．因?yàn)橹本€與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，故判別式，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，．代入，化簡(jiǎn)可求得，滿足，故．詳解：（1）曲線與軸的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為．故可設(shè)的圓心為，則有，解得．則圓的半徑為，所以圓的方程為．（2）設(shè)，，其坐標(biāo)滿足方程組消去，得方程．由已知可得，判別式，且，．由于，可得．又，所以．由得，滿足，故．點(diǎn)睛：⑴求圓的方程一般有兩種方法：①待定系數(shù)法：如條件和圓心或半徑有關(guān)，可設(shè)圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，再代入條件可求方程；如已知圓過兩點(diǎn)或三點(diǎn)，可設(shè)圓的方程為一般方程，再根據(jù)條件求方程；②幾何方法：利用圓的性質(zhì)，如圓的弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，最長(zhǎng)的弦為直徑，圓心到切線的距離等于半徑．（2）直線與圓或圓錐曲線交于，兩點(diǎn)，若，應(yīng)設(shè)，，可得．可將直線與圓或圓錐曲線的方程聯(lián)立消去，得關(guān)于的一元二次方程，利用根與