2024年中考數(shù)學(xué)第一次模擬試卷（山東濟(jì)南卷）（全解全析）

2024年中考第一次模擬考試（山東濟(jì)南卷）

數(shù)學(xué)?全解全析

第I卷

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分.在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合

題目要求，請選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）

1.圖1所示的正五棱柱，其俯視圖是（)

仁視方向

【答案】A

【分析】找到從上面看所得到的圖形即可,注意看見的棱用實(shí)線表示.

【詳解】解：從上面看，是一個矩形，矩形的中間有一條縱向的實(shí)線，兩條縱向的虛線.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的知識，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖.

2.2023年10月18日，第三屆“一帶一路”國際合作高峰論壇在北京舉行.國家主席習(xí)近平在主旨演講中聲

明：“本屆高峰論壇期間舉行的企業(yè)家大會達(dá)成了972億美元的項(xiàng)目合作協(xié)議.”將972億美元用科學(xué)記數(shù)法

表示成元，正確的是（）

A.9.72X102B.9.72x10sC.9.72xlO10D.9.72x10"

【答案】C

【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法：把一個絕對值大于等于10的數(shù)表示成ax10”的形式（a大于或等于1且

小于10,〃是正整數(shù)）；〃的值為小數(shù)點(diǎn)向左移動的位數(shù).根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義，即可求解.

【詳解】解：972億97200000000=9.72x101°,

故選：C.

3.如圖，直線/〃〃，點(diǎn)A在直線〃上，點(diǎn)3在直線加上，連接4B,過點(diǎn)A作/C,48,交直線加于點(diǎn)C.若

Zl=50°,則/2的度數(shù)為（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

【答案】C

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)和垂線的定義，熟知：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角

相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出NC4O+N2=180。，結(jié)合已知條件

即可求出/2的度數(shù).

【詳解】解：如圖所示，

m//n,

：.ZG4Z)+Z1=18O°,

N1+4%C+N2=180。

ACLAB,

：.ABAC=90°,

,/Zl=50°,

???50°+90°+Z2=180°,

???Z2=40°,

故選：C.

4.下列計(jì)算正確的是()

A.3V2-2V2=1B.{a+b^=a2+b2

C./+</=[D.(a4)5=a9

a'7

【答案】C

【分析】根據(jù)二次根式的減法、完全平方公式、同底數(shù)幕的除法、負(fù)整數(shù)指數(shù)幕以及幕的乘方的運(yùn)算法則

逐一分析即可.

【詳解】解：：30_2/=血，

2

?二選項(xiàng)A不符合題意；

V=a2+2ab+b2,

I.選項(xiàng)B不符合題意；

Cl臺+a。=@9=__,

選項(xiàng)C符合題意；

???（/）5=〃20,

I.選項(xiàng)D不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的減法、完全平方公式（"±^『=/±2^+62、同底數(shù)累的除法^+優(yōu)=優(yōu)-、

負(fù)整數(shù)指數(shù)幕/0）以及幕的乘方（屋"）"=建"，掌握以上法則是解題的關(guān)鍵.

5.下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

【答案】B

【分析】本題考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的識別.根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義判斷即

可.如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形.把一個圖

形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形.

【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，本選項(xiàng)不符合題意；

B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，本選項(xiàng)符合題意；

C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，本選項(xiàng)不符合題意；

D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，本選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

6.三張圖片除畫面不同外無其他差別，將它們從中間剪斷得到三張上部圖片和三張下部圖片，把三張上部

圖片放入一個布袋，把三張下部圖片放入另一個布袋，再分別從兩個布袋中各隨機(jī)摸取一張，則這兩張小

圖片恰好合成一張完整圖片的概率是（）

3

【答案】B

【分析】將上部三張圖片分別記作A、B、C,下部三張圖片記作。、b,c,列表得出所有等可能結(jié)果,

從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可.

【詳解】解：將上部三張圖片分別記作A、B、C,下部三張圖片記作b、c,

列表如下：

ABc

a(A,a)(凡a)(C,a)

b(A,b)(民b)(C,b)

c（4。）(B,c)(C,c)

由表知，共有9種等可能結(jié)果，其中這兩張小圖片恰好合成一張完整圖片的有3種結(jié)果，

所以這兩張小圖片恰好合成一張完整圖片的概率為］3=g1,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有

可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；注意概率=所求情

況數(shù)與總情況數(shù)之比.

7.若點(diǎn)8（-1,%）、。（1,%）都在反比例函數(shù)了==（左為常數(shù)）的圖象上，貝以、%、%的大

小關(guān)系為（）

A.yt<y2<y3B.%<%<必C.y2<^<y3D.%<%<%

【答案】c

【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的特征.由/+1>0可知，此函數(shù)圖象在第一、三象限，根據(jù)反

比例函數(shù)的性質(zhì)即可判定.

【詳解】解：

.??反比函數(shù)圖象在一、三象限，在每個象限內(nèi)，〉隨X的增大而減小，

3（-1,左）在第三象限內(nèi)，C。,3）在第一象限內(nèi)，

V-1>-2,

4

%>外,

故選：c.

8.《九章算術(shù)注》中用不同顏色的算籌（小棍形狀的記數(shù)工具）分別表示正數(shù)和負(fù)數(shù)（白色為正，黑色為

負(fù)），如圖1表示的是（+21）+（-32）=71的計(jì)算過程，則圖2表示的過程是在計(jì)算（）

*?■0.UW■■■

三口置肛T.T一(DMIhBl]/

A.(-13)+(+23)=10B.(-31)+(+32)=1

C.(+13)+(+23)=36D.(+13)+(-23)=-10

【答案】A

【分析】本題考查了有理數(shù)的加減運(yùn)算.

由白色算籌表示正數(shù)，黑色算籌表示負(fù)數(shù),即可列式計(jì)算.

【詳解】解：由題意得白色算籌表示正數(shù),黑色算籌表示負(fù)數(shù),

，圖中表示的計(jì)算過程為（T3）+（+23）=10.

故選：A.

9.如圖，在中，NACB=90。，/C=8C=4,點(diǎn)。為3C邊上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)8、C重合），CE垂直

AD交AB于點(diǎn)、E,垂足為點(diǎn)連接8〃并延長交NC于點(diǎn)尸，下面結(jié)論正確的個數(shù)是（）

①若AD是BC邊上的中線，則ZW=述；②若乃平分NCAB，則生=我；③若8。=2。，則/E=3BE；

5BD2

@BH的最小值為百.

【答案】C

【分析】根據(jù)勾股定理求出/。=2石，根據(jù)三角形面積公式求出。8=勺5,得。8=冬5,據(jù)此判斷①符

55

合題意；過點(diǎn)。作?！啊?C交B尸于點(diǎn)M,根據(jù)題意推出DW是△忒:尸的中位線，則。尸=2斯，根據(jù)直

角三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)推出V/C〃sVCDH,AACHsAADC,NDMH^NAFH,根據(jù)相似三角

5

形的性質(zhì)即可判斷②不符合題意;

當(dāng)時，設(shè)CD=a,則8。=助，AC=BC=an+a,過點(diǎn)B作8N_L3C交CE的延長線于點(diǎn)N,

結(jié)合題意及直角三角形的性質(zhì)利用44s推出V/CD到CBN（04S），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到

CD=BN=a,根據(jù)4CD+/CBN=180。，判斷3N〃/C,進(jìn)而推出V/CEsVBNE,根據(jù)相似三角形的

性質(zhì)即可判斷③不符合題意；根據(jù)當(dāng)8H最短時，點(diǎn)廠為/C的中點(diǎn)，求解即可判斷④符合題意；

【詳解】解：是3C邊上的中線，

/.BD=CD,

?.?BC=4,

:.CD=-BC=2,

2

\-ZACB=90°,AC=4f

/.AD=ACy]AC2+CD2=V42+22=275，

???CE^AD,

AD-CH,

:.AC,CD=AD?CH,

…ACCD4x24A/5

..C/ii——[———,

AD2755

DH=4CD1-CH2=J4T=竽,

故①正確，符合題意；

如圖，過點(diǎn)C作。欣〃交AD的延長線于點(diǎn)

VZACB=90°,AC=BC,

.?.△/C5是等腰直角三角形,

AB=y/2AC>

ACV2

---=---,

AB2

CM//AB,

6

:.ZM=AMAB,

vAD平分/CAB,

/CAM=/BAM,

/./CAM=AM,

/.CM=AC,

?/CM//AB,

:NCDM對BDA,

.CDCMAC

,BD~AB~AB~2'

故②正確，符合題意；

當(dāng)BO=2CD時，設(shè)CZ)=a,則&)=2〃，

/.AC=BC=2Q+〃=3。，

過點(diǎn)8作BNLBC交CE的延長線于點(diǎn)N,

C

:./N+/BCN=90。,

?.?C￡垂直4。，

:.ZBCN+ZHDC=90°,

:.ZHDC=ZN,

又AC=BC,/CBN=ZACD,

NACD?CBN(AAS),

CD=BN=a,

QZACD+/CBN=180。,

:.BN//AC,

:NACE爾BNE,

AEAC3a,

'BE~BN~a~'

7

AE=3BE,

故③正確，符合題意；

CHLAH,

.,.點(diǎn)8在以/C為直徑的圓上，

當(dāng)88最短時，點(diǎn)尸為/C的中點(diǎn)，

:.CF=-AC=2,

2

BF=yjBC2+CF2=275，

的最小值為2君-2,

故④錯誤，不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，考查了勾股定理、三角形面積公式、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角

形的判定與性質(zhì)、三角形中位線的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、相

似三角形的判定與性質(zhì)并作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵.

10.直線必=辦+6和拋物線%=依？+岳；(°,6是常數(shù)，且)在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線M=ax+b

經(jīng)過點(diǎn)(-4,0).下列結(jié)論：

①拋物線%=ax?+bx的對稱軸是直線x=-2

②拋物線為=+法與x軸一定有兩個交點(diǎn)

③關(guān)于x的方程ax?+6x=ax+6有兩個根國=-4,x2=1

④若a>0,當(dāng)x<-4或x>l時，%

其中正確的結(jié)論是()

A.①②③④B.①②③C.②③D.①④

【答案】B

【分析】0可得一4。+6=0,從而可求6=4。，即可求解；(§)可得公=62-4。。=6220,由。片0,可得八=62>0,

即可求解；③可判斷拋物線也過(-4,0),從而可得方程辦2+伍-a)x-6=0的一個根為x=-4,可求拋物線

%=ax2+(b-a)x-b的對稱軸為直線x=-§,從而可得拋物線為=ax2+(b-a)x-b與x軸的另一個交點(diǎn)為

(1,0),即可求解；④當(dāng)。>0,當(dāng)一4Vx<1時，必<%,即可求解.

8

【詳解】解：①???直線M=ax+b經(jīng)過點(diǎn)(-4,0),

—4。+6=0,

:.b=4a,

b

拋物線的對稱軸為直線X==-建4tz=-2,

2a2a

故①正確；

@A=b2-4ac=b2>0,

由①得6=4a,

aw0,

6W0,

.??△=〃>0,

二?拋物線歹2="2+bx與X軸一定有兩個交點(diǎn)，

故②正確；

③當(dāng)％=-4時，

y=16a-4b

二16。-16a=0,

拋物線也過(-4,0),

由ax2+bx=ax+b得

方程。+(6—Q)x—b=0,

方程的一個根為x=-4,

拋物線%="2+(6-。,

b-a_Aa-a_3

x--------------——,

2a2a2

Q

?二拋物線/=辦之+9-。卜-6的對稱軸為直線x=-a,

與％軸的一個交點(diǎn)為(-4,0),

解得：x=\,

9

，拋物線%="無2+（6-4）X-b與X軸的另一個交點(diǎn)為（1,0）,

關(guān)于x的方程ax?+bx=ax+b有兩個根X]=-4,x2=1,

故③正確；

④當(dāng)a>0,當(dāng)-4<x<l時，

故④錯誤；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的基本性質(zhì)，二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)，二次函數(shù)與不等式等，理解性質(zhì)，

掌握解法是解題的關(guān)鍵.

第n卷

二、填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分）

11.因式分解：3m2-12=.

【答案】3（加+2）（加一2）

【分析】本題考查因式分解.先提公因式，再用平方差公式法因式分解即可.

【詳解】解:3m2-12,

=3（/-4）,

=3（：〃+2）（m—2）.

故答案為：3（m+2）（W-2）.

12.一個不透明的布袋里裝有2個白球，1個黑球和若干個紅球，它們除顏色外其余都相同，從中任意摸出

1個球，是白球的概率為g.則布袋里紅球有個.

【答案】1

【分析】設(shè)布袋里紅球有x個，根據(jù)白球的概率列方程求解可得.

【詳解】解：設(shè)布袋里紅球有x個，

21

由題意得：-------=-,解得：x=l,

2+1+x2

經(jīng)檢驗(yàn)x=l是原方程的解.

.??布袋里紅球有1個，

故答案為：1.

10

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)概率求球的個數(shù)，認(rèn)真讀懂題意是關(guān)鍵.

13.關(guān)于x的一元二次方程日2+3X_I=O有兩個實(shí)數(shù)根，則左的取值范圍是.

9

【答案】左且左

4

【分析】本題考查根的判別式，根據(jù)一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為0,以及方程有兩個實(shí)數(shù)根，判別式大

于等于0,列出不等式進(jìn)行求解即可.

"0

【詳解】解：由題意，得：j32_4A;x^_1)>0-

9

角牟得：kN—且人工0,

4

Q

故答案為：左之一;且左W0.

4

14.如圖，在半徑為遙，圓心角等于45。的扇形408內(nèi)部作一個正方形COM,使點(diǎn)C在04上，點(diǎn)D、E

在。上，點(diǎn)尸在藍(lán)上，則陰影部分的面積為.

【分析】連接。尸，由勾股定理可計(jì)算得正方形CDM的邊長為1,則正方形C/)跖的面積為1,等腰直角三

角形COD的面積為:，扇形492的面積為9?(石丫兀，所以陰影部分的面積為

2ov7oo2

【詳解】解：連接。尸，則=指，

??,405=45。，

???ADCO=90°-ZCOD=45°.

???ZCOD=ZDCO.

：.CD=OD.

：.EF=ED=OD.

Rt^OEF中,

OE2+EF2=OF2,

：.(2^F)2+￡F2=(V5)2,解得所=1

11

???OD=CD=EF=\

45/~?—xlxl-lxl二"—.

S陰影=S扇形A0B—S&ODC—SCDEFx$/51

360282

故答案為：|■兀-工

o2

【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積的計(jì)算，勾股定理，正方形的性質(zhì)；構(gòu)造直角三角形運(yùn)用勾股定理是解題的關(guān)

鍵.

15.如圖，在菱形48CD中，邊長為2+26，乙4BC=60。,E,尸分別是邊/BBC上的點(diǎn)，且4E=2,

若將△EAF沿著E尸折疊，使得點(diǎn)8恰好落在/。邊上的點(diǎn)"處，EB7/BD,折痕為E尸，貝UAB'的長

為.

【答案】2

【分析】過點(diǎn)5'作2'G工BA,交BA的延長線于點(diǎn)G,先求出B'E=BE=2G，再證明ZAB'G=30。，設(shè)/G=x,

則8'G=6X，4B'=2X,GE=X+2,在Rt^EGB'中，由勾股定理得(x+2)?+(氐『=(2班『，解方程求出

x=\,貝Ij48，=2x=2.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)Q作B'GLBN,交54的延長線于點(diǎn)G,則N9G/=90。，

；AE=2,AB=2+26

；.BE=AB-AE=26

12

由折疊的性質(zhì)得，B'E=BE=2也,

???四邊形45c。是菱形，ZABC=60°f

???/BAD=120°,

AB'AG=60°,

???/ABC=30°,

設(shè)4G=x,則5'G=GX,AB，=2X,

GE=AG+AE=x+2,

在RtZXEG9中，由勾股定理得EB"=￡G2+QG2,

x=l或x=-2（舍去），

AB'=2x=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】此題考查了折疊的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握折疊

的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3,2）,點(diǎn)尸從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿V軸向上移動，同時過點(diǎn)尸的

直線/也隨之上下平移，且直線/與直線〉=-x平行，如果點(diǎn)M關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，如果點(diǎn)P

【分析】過點(diǎn)M作“/，直線/,交V軸于點(diǎn)尸，交X軸于點(diǎn)￡,與直線/相交于點(diǎn)A,則點(diǎn)E、F為點(diǎn)、M

在坐標(biāo)軸上的對稱點(diǎn)，過點(diǎn)〃■作軸于點(diǎn)。，設(shè)直線/的解析式為y=-x+6,由直線/與直線V=f

平行可得/。以=45。，即可證明與AOE尸均為等腰直角三角形，進(jìn)而可求出點(diǎn)E、尸的坐標(biāo)，根據(jù)

中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求出〃/和〃E的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入＞=-x+6可求出6值，即可得點(diǎn)尸坐標(biāo)，即可求解.

13

【詳解】如圖，過點(diǎn)〃■作板，直線/,交V軸于點(diǎn)尸，交X軸于點(diǎn)￡,與直線/相交于點(diǎn)A,則點(diǎn)E、尸為

點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上的對稱點(diǎn).

1—Z寸一"

?zVx!?

I'

0/\2\3~

F/

直線/與直線v=f平行，

???設(shè)直線/解析式為y=-x+，，

過點(diǎn)M作九軸于點(diǎn)。，則OD=3,MD=2,

???直線/的解析式為y=f+6,

AOPD=45°,

NOFE=ZOEF=45°,

:.AMDE與AOEF均為等腰直角三角形，

:.DE=MD=2,OE=OF=\,

^(1,0),F(0,-1).

?.?"(3,2),F(0,-1),

線段〃/中點(diǎn)坐標(biāo)為(|,1).

■:直線y=-X+6過點(diǎn)(g,y),

?,L=一3+b

-22"

解得：6=2,

「?點(diǎn)尸坐標(biāo)為(0,2),

.'.t—2.

???”(3,2),E(\,0),

線段小中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1).

直線V=-％+6過點(diǎn)(2,1),

14

/.1——2+b,

解得：6=3,

???點(diǎn)尸坐標(biāo)為（0,3）,

=3.

.??點(diǎn)W關(guān)于/的對稱點(diǎn)，當(dāng)仁2時，落在y軸上，當(dāng)"3時，落在X軸上.

故答案為：2或3.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象與幾何變換.注意在x軸、V軸上均有點(diǎn)〃的對稱點(diǎn)，不要漏解；其

次注意點(diǎn)E、尸坐標(biāo)以及線段中點(diǎn)坐標(biāo)的求法.

三、解答題（本大題共10個小題，共86分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.計(jì)算：|V3-2|+2COS30°-（-A/3）2+^-1^.

【答案】3

【分析】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算.先化簡各式，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可.掌握相關(guān)

運(yùn)算法則，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：原式=2-6+2x3-3+4

2

=2-用員3+4

=3.

x+31_

--------x+1>0

18.解不等式組：2在數(shù)軸上表示出它的解集，并求出它的正整數(shù)解.

3（x-5）<2x-l

【答案】%<5；數(shù)軸見解析；正整數(shù)解為：I,2,3,4,5

【分析】先分別求出一元一次不等式的解集，再將其解集在數(shù)軸上表示出來，取其正整數(shù)即可求解.

x+3.-x+1>0①

【詳解】解：2,

3（尤-5）<2x-l②

解不等式①得，%<5,

解不等式②得，尤<14,

.??不等式組的解集為x45,

其解集在數(shù)軸上表示如下：

LILIII.1[■ILL1110n.

i012345678910II121314IS

15

該不等式組的正整數(shù)解為：1,2,3,4,5.

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組并在數(shù)軸上表示解集，熟練掌握一元一次不等式的解法及解集在

數(shù)軸上表示的方法是解題的關(guān)鍵.

19.如圖，平行四邊形48co中，N8CA的平分線交4D于E,N48C的平分線交EZ)于點(diǎn)R

(1)求證：AE=DF；

⑵若44=120。，BF=86,EF=3,求3C的長.

【答案】(1)見詳解.

(2)13

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的三線合一性質(zhì)知識，

(1)根據(jù)平行四邊形性質(zhì)和角平分線性質(zhì)可得N/AF=ZAFB,/DEC=ZDCE.即可得到AB=AF,

DE=DC.即可求證結(jié)論.

(2)過點(diǎn)/作,垂足為77,利用/胡尸=120。，AF=8力可計(jì)算出的長度，結(jié)合(1)即可

求出BC長度.

【詳解】(1)解：???四邊形Z8CD是平行四邊形.

；.AD〃BC,AB=DC,AD=BC.

:.NAFB=NFBC,/DEC=NECB.

是4BCD的平分線，BF是/4BC的平分線.

NABF=NFBC,ZDCE=ZECB.

：.ZABF=ZAFB,ZDEC=ZDCE.

：.AB=AF,DE=DC.

AF=DE.

：.AF-EF=DE-EF.

：.AE=DF.

(2)過點(diǎn)N作尸，垂足為H,如圖：

16

由(1)知=且/B4F=120。，BF=84,

：./BAH=60°,BH=-BF=4e.

2

45〃=30。，

AH=-AB,

2

?,?加=必+必=Sd+加，AB=8.

：.AF=DE=AB=8.

?；EF=3.

：.AE=AF-EF=5,

：.AD=AE+ED=13.

???BC=AD=13,

20.某臨街店鋪在窗戶上方安裝如圖1所示的遮陽棚，其側(cè)面如圖2所示，遮陽棚展開長度45=200cm,

遮陽棚前端自然下垂邊的長度5C=25cm,遮陽棚固定點(diǎn)4距離地面高度296.8cm,遮陽棚與墻面的

夾角ZBAD=12°.

w

外陽光線

D------------------G

圖1圖2圖3

(1)如圖2,求遮陽棚前端2到墻面ND的距離；

(2)如圖3,某一時刻，太陽光線與地面夾角/CFG=60。,求遮陽棚在地面上的遮擋寬度。下的長(結(jié)果精

確到1cm).(參考數(shù)據(jù)：sin72°?0.951,cos72°?0.309,tan72°=3.078,6v1.732)

【答案】⑴遮陽棚前端B到墻面的距離約為190.2cm

⑵遮陽棚在地面上的遮擋寬度。廠的長約為69cm

17

【分析】(1)作于￡,在RtZXNBE中，根據(jù)sin/A4E=——列式計(jì)算即可；

AB

(2)作BEL4D于E,CH工4D于H,延長8C交。G于K,則BKVDG,可得四邊形,四邊形HDKC

是矩形，解直角三角形Rt/\48E求出4E,可得CK=ZW=210cm,然后RtACFK中，解直角三角形求出FK,

進(jìn)而可得。尸的長.

【詳解】(1)解：如圖3,作于E,

HFRF

在中，sinZBAE=——,即sin72°=—,

AB200

BE=sin72°x20020.951x200=190.2cm,

答：遮陽棚前端8到墻面的距離約為190.2cm；

(2)解：如圖3,作BE工4D于E,CH工AD于H,延長8C交DG于K,則BKLDG,

四邊形四邊形HDKC是矩形，

由（1）得3E=190.2cm,

DK=HC=BE=190.2cm,

Ap'AE

在中，cosZBAE=-----,即cos72。=-----,

AB200

AE=cos72°x200r0.309x200=61.8cm,

由題意得：EH=BC=25cm,

：.DH=AD-AE-EH=296.8-61.8-25=210cm,

：.CK=DH=210cmf

PK210

在Rt^CFK中，tanZCFK=—,gptan60°=—

FKFK

：.FK=2I。=半。121.25cm,

tan60°V3

：.DF=DK-FK=190.2-121.25?69cm,

答：遮陽棚在地面上的遮擋寬度。廠的長約為69cm.

18

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定和性質(zhì)，作出合適的輔助線，構(gòu)造出直角三角形，

熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

21.近年來，網(wǎng)約車給人們的出行帶來了便利，林林和數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)對“美團(tuán)”和“滴滴”兩家網(wǎng)約車公

司司機(jī)月收入進(jìn)行了一項(xiàng)抽樣調(diào)查，收集了兩家公司各10名司機(jī)月收入情況(單位：千元)：

滴滴司機(jī)：45910455549

美團(tuán)司機(jī)：4578676566

整理數(shù)據(jù)：畫出統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖，如圖所示：

“買團(tuán)”網(wǎng)約《司機(jī)收入分布儻計(jì)圖

“滴滴”網(wǎng)約車司機(jī)收入頻數(shù)分布表:

月收入4千元5千元9千元10千元

人數(shù)(個)3421

根據(jù)以上信息，分析數(shù)據(jù)如表:

平均月收入/千元中位數(shù)眾數(shù)方差

“滴滴”6b56.2

“美團(tuán)”a.661.2

⑴請求出a的值；

(2)6=；m=；圓心角〃=°；

(3)林林的叔叔決定從兩家公司中選擇一家做網(wǎng)約車司機(jī)，如果你是林林，請從平均數(shù)、中位數(shù)，眾數(shù)，方

差這幾個統(tǒng)計(jì)量中選擇兩個統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行分析，并建議他的叔叔選擇哪家公司？

【答案】(1)6

(2)5,40,72

(3)選“美團(tuán)”，見解析

19

【分析】本題考查了統(tǒng)計(jì)的有關(guān)知識，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)定義與有關(guān)的計(jì)算公式.

(1)根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式可得。的值，根據(jù)中位數(shù)的定義可得方的值，用360。乘平均月收入7千元

所占比例可得圓心角〃的度數(shù);

(2)根據(jù)平均數(shù)一樣，中位數(shù)及眾數(shù)的大小和方差的大小進(jìn)行選擇即可.

4xl+5x2+6x4+7x2+8xl

【詳解】(1)解：“美團(tuán)”的平均月收入。=------------;------------=6,

10

故答案為:6；

(2)“滴滴”網(wǎng)約車司機(jī)收入的中位數(shù)6=——=5,

2

“美團(tuán)”網(wǎng)約車公司司機(jī)月收入中，“6千元”對應(yīng)的百分比為4+10=40%,

2

圓心角n的度數(shù)為：360°X—=72°.

故答案為：5,40,72；

(3)選“美團(tuán)”,理由如下:

因?yàn)槠骄鶖?shù)一樣，“美團(tuán)”的中位數(shù)、眾數(shù)大于“滴滴”的，且“美團(tuán)”的方差小，更穩(wěn)定.

22.如圖，48是OO的直徑，C,。是OO上的兩點(diǎn)，且3c=。。，8。交/C于點(diǎn)E,點(diǎn)尸在/C的延長

線上，BE=BF.

⑴求證：AF是。。的切線；

3

(2)若斯=6,cosZABC=~.

①求3尸的長；

②求OO的半徑.

【答案】(1)見解析；

??10

(2)①5；②

【分析】本題主要考查了圓的切線的判定，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形.

20

(1)利用圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)和圓的切線的判定定理解答即可;

（2）①利用等腰三角形的三線合一和直角三角形的性質(zhì)求出C尸=CE=^EF=3,

IF=ZABC,在Rt"CF

中，利用余弦的定義進(jìn)行計(jì)算即可；②在中，利用余弦的定義求出N8,即可得到答案.

【詳解】（1）證明：???3C=JDC,

:.BC=DC，

ZA=ZCBD,

■：BE=BF,

:.NBEC=NF.

ZB為。O的直徑，

ZACB=9QP,

ZBEC+ZCBE=90°,

ZF+ZA=90°.

/.ZABF=90。,

OB1BF,

Q。5是圓的半徑，

??.5尸是的切線;

（2）解：①由（1）得：BE=BF,

???45是OO的直徑，

/.BC1EF,

：.CF=CE=-EF=3,

2

/ABC+/CBF=90。,NCBF+NF=90。,

ZF=NABC,

CF

在RLBCF中，???cosZF=——,

BF

3

:.BF=CF+—=5；

5，

②在RbBCT7中，BC=NBF?-CF?=4，

在RtAABC中，TcosZABC=^-=-,

AB5

,4B=竺,

21

oo的半徑為—.

23.某文具店準(zhǔn)備購甲、乙兩種水筆進(jìn)行銷售，每支進(jìn)價和利潤如下表:

甲水筆乙水筆

每支進(jìn)價(元)aQ+5

每支利潤(元)23

已知花費(fèi)400元購進(jìn)甲水筆的數(shù)量和花費(fèi)800元購進(jìn)乙水筆的數(shù)量相等.

(1)求甲，乙兩種水筆每支進(jìn)價分別為多少元.

(2)若該文具店準(zhǔn)備拿出2000元全部用來購進(jìn)這兩種水筆，考慮顧客需求，要求購進(jìn)甲種水筆的數(shù)量不超過

乙種水筆數(shù)量的4倍，問該文具店如何進(jìn)貨能使利潤最大，最大利潤是多少元.

(3)文具店為了吸引客源.準(zhǔn)備下次再購進(jìn)一種進(jìn)價為12(元/支)的丙水筆，預(yù)算用1500元購進(jìn)這三種水

筆若干支(三種筆都需購買)，其中甲水筆與乙水筆的數(shù)量之比為1:2,則該文具店至多可以購進(jìn)這三種水

筆共多少支.

【答案】(1)甲、乙兩種水筆每支進(jìn)價分別為5元、10元

(2)購進(jìn)甲種水筆266支，乙種水筆67支時，能使利潤最大，最大利潤是733元

(3)169支

【分析】本題考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意

找出等量關(guān)系，列出方程，函數(shù)關(guān)系式，以及不等式，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)“花費(fèi)400元購進(jìn)甲水筆的數(shù)量和花費(fèi)800元購進(jìn)乙水筆的數(shù)量相等”列出方程求解即可；

(2)設(shè)利潤為w元，甲種水筆購進(jìn)x支，根據(jù)題意找出等量關(guān)系，列出一次函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)一次函數(shù)的

增減性，即可解答；

(3)設(shè)購進(jìn)甲種水筆加支，則購進(jìn)乙種水筆2用支，一共購進(jìn)〃支水筆，列出方程化簡，得"=125+旦加，

12

根據(jù)〃-加-2加＞0,推出加＜60,再結(jié)合m、n均為正整數(shù)，得出當(dāng)加=48時，n取得最大值，此時?=169,

即可解答.

【詳解】(1)解：由題意可得，

400_800

二,

aa+5

解得，a=5,

22

經(jīng)檢驗(yàn)，。=5是原分式方程的解,

?.Q+5=10,

答：甲，乙兩種水筆每支進(jìn)價分別為5元、10元;

（2）解：設(shè)利潤為w元，甲種水筆購進(jìn)x支,

。,2000-5x?,

w=2x+3x-------------=0.5x+600,

10

??F=0.5>0,

???w隨X的增大而增大,

???購進(jìn)甲種水筆的數(shù)量不超過乙種水筆數(shù)量的4倍,

.2000-5x.

..x<------------x4,

10

2

解得xW266

???、為整數(shù),

...當(dāng)x=266時，w取得最大值，此時w=733,迎存把=67,

答：該文具店購進(jìn)甲種水筆266支，乙種水筆67支時，能使利潤最大，最大利潤是733元;

（3）解：設(shè)購進(jìn)甲種水筆加支，則購進(jìn)乙種水筆2加支，一共購進(jìn)〃支水筆,

5加+10x2加+12（〃一加一2冽）=1500,

化簡，得

…11

n=125Hm,

12

n—m—2m>0,

125+—m-m-2m>0,

12

/.m<60,

■：m,〃均為正整數(shù),

；.當(dāng)〃7=48時，〃取得最大值,此時〃=169,

即該文具店至多可以購進(jìn)這三種水筆共169支.

24.閱讀材料:“三等分角”是數(shù)學(xué)史上一個著名問題.今天人們已經(jīng)知道，僅用圓規(guī)和直尺是不可能作出的.在

研究這個問題的過程中，數(shù)學(xué)家帕普斯借助函數(shù)給出了一種“三等分銳角”的方法，如圖1,步驟如下：

①建立直角坐標(biāo)系，將已知銳角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，角的一邊。與x軸正方向重合；

23

②在直角坐標(biāo)系中，繪制函數(shù)＞=」的圖象，圖象與已知角的另一邊。4交于點(diǎn)尸;

X

③以P為圓心、以20P為半徑作弧，交函數(shù)＞=’的圖象于點(diǎn)R；

X

④分別過點(diǎn)P和R作x軸和y軸的平行線，分別交于點(diǎn)點(diǎn)。；

⑤連接OM,得至I］ZMOB.則ZMOB=^ZAOB.

思考問題:

⑴設(shè)P,,￡|,求直線的函數(shù)解析式（用含0,6的代數(shù)式表示），并說明。點(diǎn)在直線。M上;

⑵證明：NMOB=gzAOB.

44

（3）如圖2,若直線y=x與反比例函數(shù)y=［（xRO）交于點(diǎn)C,。為反比例函數(shù)y=、（xwo）第一象限上的一

個動點(diǎn)，使得NCOD=30。.求用材料中的方法求出滿足條件。點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】（l）y='x,證明見解析

ab

（2）見解析

⑶0（4-2君,4+2&）或。（4-2班,4-26）

【分析】（1）由尸河〃x軸，八四〃y軸，尸［生［，《4：］，即可得出M點(diǎn)的坐標(biāo)，即可，再將點(diǎn)Q的坐標(biāo)

代入解析式即可判斷點(diǎn)Q是否在直線OM上；

（2）連接H?,交OM于點(diǎn)S,由矩形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論;

（3）先求出點(diǎn)C（2,2）,可得oc=2加,然后分兩種情況討論：當(dāng)。點(diǎn)在OC下方時，當(dāng)。點(diǎn)在0C上方時,

即可求解.

【詳解】（1）解：設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為歹=依,

由題意得：/PQR=NQRM=NPQR=90°,

24

.?.四邊形尸。尺/為矩形,

...力,￡|,季,￡|,

把點(diǎn)"(b2］代入歹=丘得：k=^-,

Va)ab

?,?直線OM的函數(shù)表達(dá)式為y二二工,

ab

Q的坐標(biāo)f滿足y=-^-x,

Ib)ab

???點(diǎn)。在直線。河上；

(2)解：連接尸H,交OM于點(diǎn)S,

由題意得四邊形尸少”是矩形，

PR=QM,SP=^PR,SM=^QM,

：.SP=SM,

：.Z1=Z2,

???Z3=Z1+Z2=2Z2

,:PR=2PO,

：.PS=PO.

：./4=/3=2/2,

尸軸，

???/2=/5,

???4。3=/4+/5=3/5,^ZMOB=^ZAOB.

4

(3)解：???直線歹=］與反比例函數(shù)y=—(xwO)交于點(diǎn)C,

x

4

???%=一，解得：x=2或—2(舍去)，

x

25

.-.C（2,2）,

oc=2V2,

4

當(dāng)。點(diǎn)在OC下方時，如圖，以C為圓心，20c為半徑畫弧，交反比例函數(shù)y=.（xwo）于點(diǎn)E,燼EE//y

軸，作C/〃x軸，連接OF并延長交反比例與點(diǎn)尸，作CGIIEF，連接EG,CE與。尸交于點(diǎn)H,ZCOD=30°,

CE=2OC=472-GH=GE=272>

作G/_L￡C于/,則G/=拒，,EI=2五-瓜,

GE=J（q2+（2后-府=252,

則方=2-（26-2）=4-26,：日=4+2&

【點(diǎn)睛】此題在考查三等分角的作法時，綜合考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法、矩形的性質(zhì)以及三

角形外角的性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng).

25.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系尤0y中，二次函數(shù)了=x2-4x+c的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,5）,圖象的

頂點(diǎn)為矩形的頂點(diǎn)。與原點(diǎn)。重合，頂點(diǎn)4C分別在x軸，y軸上，頂點(diǎn)3的坐標(biāo)為（L5）.

26

⑴求C的值及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，

（2）如圖2,將矩形/BCD沿x軸正方向平移/個單位（0</<3）得到對應(yīng)的矩形.已知邊C'?！?，A'B'

分別與函數(shù)y=x