人教A版選擇性必修時(shí)等差數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式課件

4.2等差數(shù)列4.2.1等差數(shù)列的概念第一課時(shí)等差數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過生活中的實(shí)例,理解等差數(shù)列、等差中項(xiàng)的概念,發(fā)展數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,體會(huì)等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關(guān)系,增強(qiáng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).知識(shí)梳理·自主探究師生互動(dòng)·合作探究知識(shí)梳理·自主探究[問題1]觀察下列現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)列,回答后面的問題.我國有用12生肖紀(jì)年的習(xí)慣,例如,2017年是雞年,從2017年開始,雞年的年份為2017,2029,2041,2053,2065,2077,…;①我國確定鞋號(hào)的腳長值以毫米為單位來表示,常用確定鞋號(hào)腳長值按從大到小的順序可排列為275,270,265,260,255,250,…;②2022年1月中,每個(gè)星期日的日期為2,9,16,23,30.③以上數(shù)列①②③有什么共同的特點(diǎn)?提示:從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù).知識(shí)探究1.等差數(shù)列的定義一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于

常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的

,公差通常用字母

表示.同一個(gè)公差dABC[問題2]由等差數(shù)列的定義可知,如果1,x,3這三個(gè)數(shù)是等差數(shù)列,你能求出x的值嗎?提示:由定義可知x-1=3-x,即2x=1+3,x=2.2.等差中項(xiàng)由三個(gè)數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列.這時(shí),

叫做a與b的等差中項(xiàng).根據(jù)等差數(shù)列的定義可以知道,2A=

.Aa+b解析:由題知,2m=1+5=6,m=3.故選C.C[問題3]在等差數(shù)列{an}中,a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…,an-an-1=d,能不能用a1與d表示an呢?怎樣表示?提示:把各式相加可得an-a1=(n-1)d,移項(xiàng)得an=a1+(n-1)d.3.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d.an+1-an遞推公式通項(xiàng)公式

=dan=

(n∈N*)a1+(n-1)d[思考]等差數(shù)列與一次函數(shù)有什么關(guān)系?提示:(1)公差d≠0的等差數(shù)列{an}的圖象是點(diǎn)(n,an)組成的集合,這些點(diǎn)均勻分布在直線f(x)=dx+(a1-d)上.(2)任給一次函數(shù)f(x)=kx+b(k,b為常數(shù)),則f(1)=k+b,f(2)=2k+b,…,f(n)=nk+b,構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列{nk+b},其首項(xiàng)為(k+b),公差為k.解析:(1)因?yàn)閍n-an-1=2n+5-(2n+3)=2,所以{an}是公差為2的等差數(shù)列.故選A.[做一做3](1)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+5,則此數(shù)列(

)A.是公差為2的等差數(shù)列B.是公差為5的等差數(shù)列C.是首項(xiàng)為5的等差數(shù)列D.是公差為n的等差數(shù)列答案:(1)A解析:(2)an=a1+(n-1)d=2+(n-1)·3=3n-1.(2)已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2,公差d=3,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=

.

答案:(2)3n-1師生互動(dòng)·合作探究[例1]在等差數(shù)列{an}中,(1)已知a1=2,d=3,n=10,求an;探究點(diǎn)一等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用解:(1)a10=a1+(10-1)d=2+9×3=29.(2)已知a1=3,an=21,d=2,求n;解:(2)由an=a1+(n-1)d得3+2(n-1)=21,解得n=10.解:(3)由a6=a1+5d得12+5d=27,解得d=3.[例1]在等差數(shù)列{an}中,(3)已知a1=12,a6=27,求d;方法總結(jié)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法與應(yīng)用技巧(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可由首項(xiàng)a1和公差d確定,所以要求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,只需運(yùn)用方程思想求出首項(xiàng)a1與公差d即可.(2)等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d中共含有四個(gè)參數(shù),即a1,d,n,an,如果知道了其中的任意三個(gè)數(shù),那么就可以由通項(xiàng)公式求出第四個(gè)數(shù),這一求未知量的過程,通常稱之為“知三求一”.[例2]四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列,中間兩數(shù)的和為2,首末兩項(xiàng)的積為-8,求這四個(gè)數(shù).探究點(diǎn)二等差中項(xiàng)及應(yīng)用解:法一設(shè)這四個(gè)數(shù)為a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差為2d),依題意,得2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,即a=1,a2-9d2=-8,所以d2=1,所以d=1或d=-1.又四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列,所以d>0,所以d=1,故所求的四個(gè)數(shù)為-2,0,2,4.方法總結(jié)(1)由等差數(shù)列的定義知an+1-an=an-an-1(n≥2,n∈N*),即2an=an-1+an+1,從而由等差中項(xiàng)的定義可知,等差數(shù)列從第2項(xiàng)起的每一項(xiàng)都是它前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng).(2)三個(gè)數(shù)或四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列的設(shè)法:當(dāng)三個(gè)數(shù)或四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時(shí),方法一:可設(shè)出首項(xiàng)a1和公差d,列方程組求解.方法二:采用對(duì)稱的設(shè)法,三個(gè)數(shù)時(shí),設(shè)為a-d,a,a+d;四個(gè)數(shù)時(shí),可設(shè)為a-3d,a-d,a+d,a+3d.[針對(duì)訓(xùn)練]已知三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,且是遞增數(shù)列,它們的和為18,平方和為116,求這三個(gè)數(shù).[例3](1)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,設(shè)bn=2an+3,求證:數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列;探究點(diǎn)三等差數(shù)列的判斷(1)證明:因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列,可設(shè)其公差為d,則an+1-an=d.從而bn+1-bn=(2an+1+3)-(2an+3)=2(an+1-an)=2d,它是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù),所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.方法總結(jié)等差數(shù)列的判定方法有以下三種:(1)定義法:an+1-an=d(常數(shù))(n∈N*)?{an}為等差數(shù)列.(2)等差中項(xiàng)法:2an+1=an+an+2(n∈N*)?{an}為等差數(shù)列.(3)通項(xiàng)公式法:an=an+b(a,b是常數(shù),n∈N*)?{an}為等差數(shù)列.但如果要證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列,則必須用定義法或等差中項(xiàng)法.(1)試證明數(shù)列{bn}為等差數(shù)列;(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.[針對(duì)訓(xùn)練2]已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,2an+1=2an+3(n≥2,n∈N*),試判斷數(shù)列{an}是不是等差數(shù)列.備用例題[例1](1)若m和2n的等差中項(xiàng)為4,2m和n的等差中項(xiàng)為5,則m與n的等差中項(xiàng)是

;

答案:3(2)在-1與7之間順次插入三個(gè)數(shù),使這五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,求此數(shù)列.[例3]數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=(λ-3)an+2n(n∈N*).(1)當(dāng)a2=-1時(shí),求λ及a3的值;[例3]數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=(λ-3)an+2n(n∈N*).(2)是否存在實(shí)數(shù)λ,使數(shù)列{an}為等差數(shù)列?若存在,求其通項(xiàng)公式;若不存在,請(qǐng)說明理由.解:(2)不存在.因?yàn)閍1=2,an+1=(λ-3)an+2n,所以a2=(λ-3)a1+2=2λ-4,a3=(λ-3)a2+4=2λ2-10λ+16.若數(shù)列{an}為等差數(shù)列,則a1+a3=2a2,即2+2λ2-10λ+16=2(2λ-4),所以λ2-7λ+13=0.因?yàn)棣?49-4×13<0,所以方程無實(shí)數(shù)解,所以λ不存在,即不存在實(shí)數(shù)λ使{an}為等差數(shù)列.當(dāng)堂檢測ABD1.(多選題)下列數(shù)列中,是等差數(shù)列的是(

)A.1,4,7,10B.lg2,lg4,lg8,lg16C.25,24,23,22D.10,8,6,4,2解析:A,B,D項(xiàng)滿足等差數(shù)列的定義,是等差數(shù)列;C中,因?yàn)?4-25≠23-24≠22-23,不滿足等差數(shù)列的定義,所以不是等差數(shù)列.故選ABD.2.若5,x,y,z,21成等差數(shù)列,則x+y+z的值為(

)A.26 B.29 C.39 D.52C解析:因?yàn)?,x,y,z,21成等差數(shù)列,所以y既是5和21的等差中項(xiàng),也是