2023-2024學(xué)年北京大興區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷及答案

2024北京大興高三(上)期末

數(shù)學(xué)

本試卷共9頁，共150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。

考試結(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回。

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。

1.已知全集。=卜卜>1},集合彳=卜卜之2},則C/=

A.{珅<x《2}B.{x|x<2}

C.{工|1<2}D.{小W1}

2.若復(fù)數(shù)二滿足i?G+i)=l,則復(fù)數(shù)二的虛部是

A.-2B.2C.-lD.O

3.在(X?-_L)6的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為

X

A.-15B.15C.-20D.20

4.設(shè)向量6,若|。卜1,6=(-3,4),b=Aa(2>0),則。=

43433434

A”,-?B.C.(-,-7)D.(---)

5.已知函數(shù)/(x)=2，-l,則不等式/(x)4x的解集為

A.(-a>,2]C.[1,+?)D.[l,2]

6.在△48C中，“C=N”是?sin2J+sin2B=lw的

2

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.已知定點(diǎn)〃。,3)和拋物線C:x2=8y,尸是拋物線C1的焦點(diǎn)，N是拋物線C上的點(diǎn)，貝U|NF|+|MW|的

最小值為

A.3B.4C.5D.6

8.已知a>b>0且出>=10,則下列結(jié)論中不正確的是

A.Iga+lgb>0B.lga-lgZ>>0

C.lga-lgZ)<yD.畀>1

4Igfc

9.木楔在傳統(tǒng)木工中運(yùn)用廣泛.如圖，某木楔可視為一個(gè)五面體，其中四邊形

ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，且AADE,ABCF均為等邊三角形，

EF//CD,EF=4,則該木楔的體積為

第1頁/共4頁

A.&B.25/2

「2應(yīng)口8應(yīng)

c.-----u.-----

33

10.設(shè)無窮等差數(shù)列｛q｝的公差為d,集合T=｛小=sin用,〃eN｝.則

A.7不可能有無數(shù)個(gè)元素

B.當(dāng)且僅當(dāng)d=0時(shí)，7只有1個(gè)元素

C.當(dāng)7■只有2個(gè)元素時(shí)，這2個(gè)元素的乘積有可能為1

2

冗

口.當(dāng)4=三2，422,AeN?時(shí)，T最多有〃個(gè)元素，且這〃個(gè)元素的和為0

K

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

II.設(shè)｛?！埃堑缺葦?shù)列，q=l,%?a=16,貝！|牝=-

12.若雙曲線--=1(6>0)的一條漸近線方程為2x-/=0,貝!)6=

13.能夠說明“設(shè)6,c是任意實(shí)數(shù).若a>b>c，則MAC?”是假命題的一組整數(shù)〃也c的值依次為

14.如圖是六角螺母的橫截面，其內(nèi)圈是半徑為1的圓0,

外框是以。為中心，邊長(zhǎng)為2的正六邊形/8CDM,

則。到線段AC的距離為；若尸是圓。上的動(dòng)點(diǎn),

則充?萬的取值范圍是.

15.設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,且〃x)滿足如下性質(zhì)：(i)若將/(x)的圖象向左平移2個(gè)單位，則所得

的圖象關(guān)于V軸對(duì)稱；(ii)若將/(x)圖象上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的g,再向左平

%個(gè)單位，則所得的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱給出下列四個(gè)結(jié)論:

①/。)=/⑶：②/(0)=0；

③/(2)+/(4)=0；④/(_；)嗎)40.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步躲或證明過程。

16.(本小題14分)

如圖，在三棱柱/8C-44G中，84J.平面/8C,CA=CB=小，

AAX=AB=2f

2K分別為/民幽的中點(diǎn).

第2頁/共4頁

(I)求證：平面CDE1平面4BB4；

(n)求直線CE與平面BCC\B1所成角的正弦值.

17.(本小題13分)

在ZL4JBC中，”=1,b=2.

(I)若c=2&\求△月BC的面積：

(H)在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為己知，使ZU8C存在，求4.

條件①：ZB=2ZA：條件②：NBJ+4：條件③：ZC=2ZJ.

3

注：如果選擇的條件不符合要求，第(II)問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分

別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

18.(本小題13分)

為了解客戶對(duì)4B兩家快遞公司的配送時(shí)效和服務(wù)滿意度情況，現(xiàn)隨機(jī)獲得了某地區(qū)客戶對(duì)這兩家快

遞公司評(píng)價(jià)的調(diào)查問卷.已知4B兩家公司的調(diào)查問卷分別有120份和80份，全部數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

快遞公司力快遞公司8快遞公司

項(xiàng)目

評(píng)價(jià)分言、辦數(shù)、配送時(shí)效服務(wù)滿意度配送時(shí)效服務(wù)滿意度

85<^<9529241612

75<x<8547564048

654xv7544402420

假設(shè)客戶對(duì)48兩家快遞公司的評(píng)價(jià)相互獨(dú)立.用頻率估計(jì)概率.

(I)從該地區(qū)選擇力快遞公司的客戶中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該客戶對(duì)/快遞公司配送時(shí)效的評(píng)價(jià)不低于

75分的概率：

(II)分別從該地區(qū)/和8快遞公司的樣本調(diào)查問卷中，各隨機(jī)抽取1份，記X為這2份問卷中的服務(wù)滿

意度評(píng)價(jià)不低于75分的份數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望：

(HI)記評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)X285為“優(yōu)秀”等級(jí)，754x<85為“良好”等級(jí)，654x<75為“一般”等級(jí).已知

小王比較看重配送時(shí)效的等級(jí)，根據(jù)該地區(qū)48兩家快遞公司配送時(shí)效的樣本評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)的等級(jí)情況，你認(rèn)

為小王選擇力產(chǎn)哪家快遞公司合適？說明理由.

第3頁/共4頁

19.(本小題15分)

已知橢圓C的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為力(-2,0),8(2,0),焦點(diǎn)在x軸上，離心率為暗.

(I)求橢圓C的方程；

(II)設(shè)。為原點(diǎn)，過點(diǎn)7(4,0)的直線/交橢圓C于點(diǎn)〃,N,直線BAY與直線x=I相交于點(diǎn)P,直線/N

與V軸相交于點(diǎn)。.求證：△。/。與△。7尸的面積之比為定值.

20.(本小題15分)

已知函數(shù)/(x)=ax+ln匕士.

1+x

(I)若曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線斜率為0,求。的值：

(II)當(dāng)。=4時(shí)，求/(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)：

(ID)證明：是/(x)為單調(diào)函數(shù)的充分而不必要條件.

21.(本小題15分)

若各項(xiàng)為正的無窮數(shù)列｛q｝滿足：對(duì)于a；^-a-=d,其中d為非零常數(shù)，則稱數(shù)列｛4｝為

。數(shù)列.記b.=%-a”.

(I)判斷無窮數(shù)列q=而和q,=2"是否是O數(shù)列，并說明理由：

(II)若｛(｝是。數(shù)列，證明：數(shù)列｛4｝中存在小于1的項(xiàng)；

(ID)若｛(｝是。數(shù)列，證明：存在正整數(shù)〃，使得￡,>2024.

/■Ia.

第4頁供4頁

大興區(qū)2023?2024學(xué)年度第一學(xué)期期末檢測(cè)

高三數(shù)學(xué)參考答案

一、選擇題(共10小題，每小題4分，共40分)

(DC(2)A(3)B(4)D(5)B

(6)A(7)C(8)D(9)D(10)D

二'填空題(共5小題，每小題5分，共25分)

(11)16(12)2

(13)2,0,-1(答案不唯一)(14)1[6-2^3,6+2^]

(15)①③④

注：第(14)題第一空3分，第二空2分：

第(15)題只寫一個(gè)且正確2分，只寫兩個(gè)且正確3分。

三、解答題(共6小題，共85分)

(16)(共14分)

解：(I)在三棱柱/BC-4與G中，

因?yàn)?耳J?平面ABC,

所以CO18用.……1分

在△48C中，因?yàn)椤閆B的中點(diǎn)，CA=CB=5

所以CO1/8.……1分

所以CO1平面45用4.……1分

因?yàn)镃L?u平面COE,

所以平面平面/8用4.....1分

(II)取4片的中點(diǎn)3,連結(jié)。尸.

因?yàn)?。?8的中點(diǎn)，

所以在三棱柱/BC-481G中，DDJIBB,.

所以。2_L平面/8C.……1分

所以DR14B,DD,1DC.

由(I)知CD_L48.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xy二，

則以0,0,0),5(-1,0,0),4(-1,0,2),￡(1,0,1),C(0,2,0).

所以?=。,2,0),函=(0,0,2).....2分

設(shè)平面BCQB,的法向量為M=(x,y,=),則

1

n-BB]=0,2二=0,

即1分

x+2y=0.

n-~BC=0,

令y=1,則x=-2.

于是〃=(-2,1,0)......1分

又醞=(1,-2,1),.....1分

設(shè)直線CE與平面BCC同所成角的6,

,if.rF

所以sin6=|cos〈〃,CE〉|=|_|....2分

■131

(-2)x1+lx(-2)+0x1

=1及需1

=純……1分

15

所以直線CE與平面BCG耳所成角的正弦值為嚕.……1分

(17)(共13分)

解：(I)由余弦定理知,

1分

2ab

八22_(2后

2x1x2

在△力中，Ce(0,7i).

所以sinC=VI-cos2C.....1分

工……1分

4

所以△Z8C的面積S=ga6sinC....1分

」xlx2xE=也.……I分

244

jr

(H)選擇條件②：ZB=-+ZJ

3

由正弦定理，一=一2—，……2分

sin力smB

k12

sin力sin("?

所以sin(,4+學(xué)=2sin/.......1分

所以sin4cos—7T+cos力sin7T—=2sin力.....2分

33

所以tan/=也.……1分

3

因?yàn)樵凇鲊?。中，?（0,兀），

所以4=匹.……1分

6

選擇條件③：NC=24

由正弦定理一L=—J,……2分

sinJsinC

知」一=二一.

sinAsin2J

所以」7=一一--……1分

sinJ2sm力cos/

所以c=2cosZ.....1分

f22_2

由余弦定理知c=2X...................-.

2bc

所以c=....1分

所以COSN=3.....1分

2

因?yàn)樵凇髁χ?，^e（0,7t）,

所以4=……1分

6

（18）（共13分）

解：（I）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，該地區(qū)參與/快遞公司調(diào)查的問卷共120份，

樣本中對(duì)A快遞公司配送時(shí)效的評(píng)價(jià)不低于75分的問卷共29+47=76份，

所以樣本中對(duì)A快遞公司配送時(shí)效的評(píng)價(jià)不低于75分的頻率為受=上，

12030

19

估計(jì)該地區(qū)客戶對(duì)A快遞公司配送時(shí)效的評(píng)價(jià)不低于75分的概率—.3分

30

（H）X的所有可能取值為0/，2.……1分

記事件C為“從該地區(qū)A快遞公司的樣本調(diào)查問卷中隨機(jī)抽取1份，該份問

卷中的服務(wù)滿意度評(píng)價(jià)不低于75分”，事件。為“從該地區(qū)B快遞公司的樣

本調(diào)查問卷中隨機(jī)抽取1份，該份問卷中的服務(wù)滿意度評(píng)價(jià)不低于75分”.

由題設(shè)知，事件C,O相互獨(dú)立，且

尸?=生出=，心）=生我二

1分

1203804

所以P(X=0)=P(——CQ)=(l-§2)x(l-j3)=立1,……1分

P(X=1)=P—(8UC0—=(1-23x；3+：2x(l-j3)造5，……1分

3

231

P(X=2)=P(CD)=-x-=-.....1分

所以X的分布列為

X012

15

P

12122

故X的數(shù)學(xué)期望￡(#=0'5+以5+2、；=].……2分

1L1乙乙14

(m)答案不唯一.……3分

答案示例1：小王選擇A快遞公司合適，理由如下：

根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)A快遞公司配送時(shí)效評(píng)價(jià)為“優(yōu)秀”的概率是2割9，估

1291

計(jì)B快遞公司配送時(shí)效評(píng)價(jià)為“優(yōu)秀”的概率是彳，因?yàn)槠?gt;《，故小王選

擇A快遞公司合適.

答案示例2：小王選擇B快遞公司合適，理由如下：

由(I)知，估計(jì)A快遞公司配送時(shí)效評(píng)價(jià)為“良好”以上的概率是京：

由樣本數(shù)據(jù)可知，估計(jì)B快遞公司配送時(shí)效評(píng)價(jià)為“良好”以上的概率是

3署=瞪=2,因?yàn)樘?hào)<2,故小王選擇B快遞公司合適?

oUoUIU3010

(19)(共15分)

解：(I)設(shè)橢圓c的方程為W+4=im>6>o).

ab

a=2,

由題意得￡_立解得c=VJ.……2分

J=T5

所以62=q2-c2=l.……1分

所以橢圓C的方程為上+必=1.……1分

4

(II)依題意，直線/的斜率存在，設(shè)其方程為y=A(x-4)(AwO).……1分

y=k(x-4),

由，x2,得(4—+1口2-32h+64抬_4=0.……1分

—+/=h

4

設(shè)M(&M，N(%,必)，則

32k2

A>0且X[+入2=1分

4k2+\

所以直線MB的方程為y=°l-(x-2),所以尸(1，二2分

K]—2M-2

4

直線板的方程為歹=上一。+2),所以2(0,馬-).

1分

x2+2x2+2

所以AOAQ的面積為S=；x2x|=|1,

AOAQ1分

2.X)+2

AO7P的面積為SAO?)=LX4X|J，P|=|包…一

1分

22一2

所以也g2%?：：?*一2b為(3一2)HMx2-4)區(qū)一2)

SA。"々+22必㈠必(々+2)以西-4)(4+2)

,xx-4X]-2x2+8x1x,-2區(qū)+x,)+8-2x|?.........八

=|--x-2=----------=---1=1---=---------=---------|17T

Kg+2不-4X2-8-4(xj+x,)-8+6X]

64d-432M4/+1

----=--------2x+8x--------2x

4A2+14/+14/+1x

64/_4，32k之。4A2+1

——5-------4x--------8x--——+6x

4k2+\4k2+\4k2+]]

32/+4、

——0-------23]

4公+1

1分

-3(32/+4)

+6玉

]_

1分

3

所以A。/。與AOTP的面積之比為定值.

(20)(共15分)

1—Y

解：(I)因?yàn)楹瘮?shù)/*)=如+m；，，

所以/(制的定義域?yàn)?-1,1).

所以/=—---7~+a?.........2分

\-x\+x

因?yàn)榍€y=/(x)在點(diǎn)(o,〃o))處的切線斜率為0,

所以/'(0)=0.……1分

所以4=2.........1分

1—Y

(H)當(dāng)[=4時(shí)，/(x)=4x+ln=.

\+x

因?yàn)?(X)的定義域?yàn)?-1,1),……1分

且/(-x)=In匕^-4x=-ln~—-4x=-f(x),

1-x1+x

所以/(x)是奇函數(shù).……I分

以下討論/*)在區(qū)間(0,1)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

-4?+2

/'(x)=

(l-x)(l+x)

令…)=。，解得、=去

1分

5

f'(x)與/(x)在區(qū)間(o,I)的情況如下:

X(0,孝)立(祭1)

2

/'(X)+0-

/(X)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減

因?yàn)?0)=0,且/(x)在區(qū)間(0,學(xué))上單調(diào)遞增，

所以“X)在區(qū)間(0,孝)上沒有零點(diǎn).……1分

因?yàn)?('^')>0，且/0—?)<0,

2e

由/(X)在區(qū)間(會(huì),1)上單調(diào)遞減和函數(shù)零點(diǎn)存在定理知,

“X)在區(qū)間(乎，1)內(nèi)存在唯一零點(diǎn).

綜上，〃X)在區(qū)間(0,1)內(nèi)存在唯一零點(diǎn).……1分

因?yàn)?(x)是奇函數(shù),

所以/(X)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)存在3個(gè)零點(diǎn).……1分

(III)當(dāng)0WaW2時(shí)，-ax2W0,a-2於0,

-ax2+a-2

故/'(')=---------W0n

O-xXl+x)

所以/(x)在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞減.

所以0WaW2是“X)為單調(diào)函數(shù)的充分條件.……3分

x2-3

當(dāng)。=-1時(shí),/'(')=

(l-x)(l+x)

因?yàn)楫?dāng)xe(-l,1)時(shí)，x2-3<0,(l-x)(l+x)>0,

故當(dāng)時(shí)，f(x)<0,/(x)在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞減.

所以0WaW2不是〃x)為單調(diào)函數(shù)的必要條件.……2分

所以0WaW2是/(x)為單調(diào)函數(shù)的充分而不必要條件.

⑵)(共15分)

解：(I)數(shù)列是。數(shù)列.

理由如下：=(而葉T指)2=1滿足。數(shù)列定義.……2分

數(shù)列為=2"不是。數(shù)列.

理由如下：=(2向)2-(2")2=22"2-22"=3""不是常數(shù).....2分

(II)以下證明：d>0.

假設(shè)d<0,由-C=d知｛。；｝為等差數(shù)列，故:=a；+(〃-l)d.

6

因?yàn)椋鸻“｝是各項(xiàng)為正的無窮數(shù)列，

當(dāng)〃取大于［子］+1的整數(shù)時(shí)，a：&/+（［子］+2-l）d<0,

與已知矛盾，所以假設(shè)不成立，所以d>0.

以下證明：｛*｝是遞增數(shù)列.

因?yàn)閐>0,匕|=。：+〃>個(gè)，且｛4｝是