專(zhuān)題1.5 平移中的幾何問(wèn)題（重點(diǎn)題專(zhuān)項(xiàng)講練）（浙教版）（解析版）

專(zhuān)題1.5平移中的幾何問(wèn)題【典例1】已知BC∥OA，∠B＝∠A＝100°，試回答下列問(wèn)題：（1）如圖①所示，試說(shuō)明OB∥AC；（2）如圖②，若點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，且滿(mǎn)足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF．則∠EOC的度數(shù)等于；（3）在（2）的條件下，若平行移動(dòng)AC，如圖③，那么∠OCB：∠OFB的值是否隨之發(fā)生變化？若變化，試說(shuō)明理由；若不變，求出這個(gè)比值；（4）在（3）的條件下，在平行移動(dòng)AC的過(guò)程中，若使∠OEB＝∠OCA，此時(shí)∠OCA的度數(shù)等于．【思路點(diǎn)撥】（1）由同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行證明；（2）由∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF得到∠EOC＝∠EOF+∠FOCP=12（∠BOF+∠FOA）=12∠BOA（3）由BC與AO平行，得到兩對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，由∠FOC＝∠AOC，等量代換即可得證；（4）由（2）（3）的結(jié)論可得∠OCA度數(shù)．【解題過(guò)程】解：（1）證明：∵BC∥OA，∴∠B+∠O＝180°，又∵∠B＝∠A，∴∠A+∠O＝180°，∴OB∥AC；（2）解：∵∠B+∠BOA＝180°，∠B＝100°，∴∠BOA＝80°，∵OE平分∠BOF，∴∠BOE＝∠EOF=12∠∵∠FOC＝∠AOC=12∠∴∠EOC＝∠EOF+∠FOC=12∠BOF+12∠FOA=1故答案為：40°；（3）解：結(jié)論：∠OCB：∠OFB的值不發(fā)生變化．理由為：∵BC∥OA，∴∠FCO＝∠COA，∠OFB＝∠FOA，∵∠FOC＝∠AOC，∴∠FOC＝∠FCO，∴∠OFB＝∠FOA＝2∠OCB，∴∠OCB：∠OFB＝1：2；（4）解：由（1）知：OB∥AC，∴∠OCA＝∠BOC，由（2）知設(shè)：∠BOE＝∠EOF＝α，∠FOC＝∠COA＝β，∴∠OCA＝∠BOC＝2α+β，∴∠OEB＝∠EOC+∠ECO＝α+β+β＝α+2β，∵∠OEB＝∠OCA，∴2α+β＝α+2β，∴α＝β，∵∠AOB＝80°，∴α＝β＝20°，∴∠OCA＝2α+β＝40°+20°＝60°．故答案為：60°．1．（2021春?聊城期末）2022年，中國(guó)將舉辦第二十四屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，如圖，通過(guò)平移吉祥物“冰墩墩”可以得到的圖形是（）A．B．C．D．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平移的性質(zhì)進(jìn)行判斷．【解題過(guò)程】解：根據(jù)平移的性質(zhì)，通過(guò)平移吉祥物“冰墩墩”可以得到的圖形是．故選：B．2．（2021春?河西區(qū)期末）如圖，在一塊長(zhǎng)方形草地上原有一條等寬的筆直小路，現(xiàn)在要把這條小路改為同樣寬度的等寬彎曲小路（小路曲線(xiàn)的上下垂直距離與原來(lái)路的寬度相等），則下列結(jié)論正確的有（）A．改造后小路的長(zhǎng)度不變 B．改造后小路的長(zhǎng)度變小 C．改造后草地部分的面積變小 D．改造后草地部分的面積不變【思路點(diǎn)撥】把第一個(gè)圖形中的兩塊草坪上下平移，則為一個(gè)長(zhǎng)方形；同理可將曲路兩旁的部分進(jìn)行整合，也可整合為一個(gè)長(zhǎng)方形．【解題過(guò)程】解：根據(jù)平移的性質(zhì)可知，改造后草地部分的面積不變．故選：D．3．（2021秋?張店區(qū)期末）如圖，將三角形ABC沿OM方向平移一定的距離得到三角形A′B′C′，則下列結(jié)論中不正確的是（）A．AA′∥BB′ B．AA'＝BB' C．∠ACB＝∠A'B'C' D．BC＝B'C'【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平移的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線(xiàn)互相平行且相等，平移變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小對(duì)各小題分析判斷即可得解．【解題過(guò)程】解：∵三角形ABC沿OM方向平移一定的距離得到三角形A'B'C'，∴AA'∥BB'，故A正確；AA'＝BB'，故B正確；∠ACB＝∠A′C′B′，∠A′C′B′和∠A′B′C′大小關(guān)系不確定，故C錯(cuò)誤；BC＝B'C'，故D正確，故選：C．4．（2021春?臨西縣月考）如圖，將△ABE向右平移50px得到△DCF，如果△ABE的周長(zhǎng)是400px（1px＝0.04cm），那么四邊形ABFD的周長(zhǎng)是（）A．16cm B．18cm C．20cm D．21cm【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平移的性質(zhì)可得DF＝AE，然后判斷出四邊形ABFD的周長(zhǎng)＝△ABE的周長(zhǎng)+AD+EF，然后代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解．【解題過(guò)程】解：∵△ABE向右平移3cm得到△DCF，∴DF＝AE，∴四邊形ABFD的周長(zhǎng)＝AB+BE+DF+AD+EF＝AB+BE+AE+AD+EF＝△ABE的周長(zhǎng)+AD+EF．∵平移距離為50px＝50×0.04＝2（cm），∴AD＝EF＝2cm，∵△ABE的周長(zhǎng)是400px＝400×0.04＝16（cm），∴四邊形ABFD的周長(zhǎng)＝16+2+2＝20（cm）．故選：C．5．（2021春?滄縣期末）如圖，是兩個(gè)有重疊的直角三角形，可以看作是將其中的一個(gè)直角三角形ABC沿著B(niǎo)C方向平移5個(gè)單位長(zhǎng)度就得到了另一直角三角形DEF，其中AB＝8，BE＝5，DH＝3，則下列結(jié)論正確的有（）①AC∥DF；②HE＝5；③CF＝5；④四邊形DHCF的面積為32.5．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【思路點(diǎn)撥】首先由平移的性質(zhì)可得：S△ABC＝S△DEF，AB＝DE＝8，繼而可得S四邊形DHCF＝S梯形ABEH，然后可求得四邊形DHCF的面積．【解題過(guò)程】解：由平移的性質(zhì)可得AC∥DF，AB＝DE＝8，∵DH＝3，∴HE＝DE﹣DH＝8﹣3＝5，CF＝BE＝5，S△ABC＝S△DEF，∴S四邊形DHCF＝S梯形ABEH=12（EH+AB）?BE=12×（故①②③④都正確，故選：D．6．（2021春?安慶期末）如圖，直線(xiàn)m∥n，點(diǎn)A在直線(xiàn)m上，BC在直線(xiàn)n上，構(gòu)成△ABC，把△ABC向右平移BC長(zhǎng)度的一半得到△A'B'C'（如圖1），再把△A'B'C'向右平移BC長(zhǎng)度的一半得到△A″B″C″（如圖2），再繼續(xù)上述的平移得到圖3，…，通過(guò)觀察可知圖1中有4個(gè)三角形，圖2中有8個(gè)三角形，則第2021個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)是（）A．4042 B．6063 C．8084 D．8088【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問(wèn)題即可．【解題過(guò)程】解：觀察圖可得，第1個(gè)圖形中大三角形有2個(gè)，小三角形有2個(gè)，第2個(gè)圖形中大三角形有4個(gè)，小三角形有4個(gè)，第3個(gè)圖形中大三角形有6個(gè)，小三角形有6個(gè)，…依次可得第n個(gè)圖形中大三角形有2n個(gè)，小三角形有2n個(gè)．故第2021個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)是：2×2021+2×2021＝8084．故選：C．7．（2021春?長(zhǎng)春期末）某公園里有一處長(zhǎng)方形風(fēng)景欣賞區(qū)ABCD，AB長(zhǎng)140米，BC寬90米，為方便游人觀賞，公園特意修建了如圖所示的小路（圖中非陰影部分），若小路的寬度忽略不計(jì)，則小路的總長(zhǎng)約為米．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知可以得出此圖形可以分為橫向與縱向分析，橫向距離等于AB，縱向距離等于2，求出答案即可．【解題過(guò)程】解：利用已知可以得出此圖形可以分為橫向與縱向分析，橫向距離等于AB，縱向距離等于AD+BC，∵四邊形ABCD是矩形，長(zhǎng)AB＝140米，寬BC＝90米，∴小路的總長(zhǎng)約為140+90×2＝320（米），故答案是：320．8．（2021秋?亭湖區(qū)期末）如圖，某酒店重新裝修后，準(zhǔn)備在大廳主樓梯上鋪設(shè)紅色地毯．已知這種地毯每平方米售價(jià)160元，主樓梯道寬2.5m，其側(cè)面如圖所示，則購(gòu)買(mǎi)地毯至少需要元．【思路點(diǎn)撥】利用平移的性質(zhì)求出大廳主樓梯上鋪設(shè)紅色地毯的長(zhǎng)，然后求出面積進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解題過(guò)程】解：由題意得：2.7+5.3＝8（m），8×2.5×160＝3200（元），∴購(gòu)買(mǎi)地毯至少需要3200元，故答案為：3200．9．（2021春?徐州期末）木匠有32m的木板，他想要在花圃周?chē)鰢鷻冢紤]將花圃設(shè)計(jì)成以下的造型上述四個(gè)方案中，能用32m的木板來(lái)圍成的是（寫(xiě)出所有可能的序號(hào)）．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)平移的性質(zhì)以及矩形的周長(zhǎng)公式分別求出各圖形的周長(zhǎng)即可得解．【解題過(guò)程】解：①周長(zhǎng)＝2（10+6）＝32（m）；②∵垂線(xiàn)段最短，∴平行四邊形的另一邊一定大于6m，∵2（10+6）＝32（m），∴周長(zhǎng)一定大于32m；③周長(zhǎng)＝2（10+6）＝32（m）；④周長(zhǎng)＝2（10+6）＝32（m）；故答案為：①③④．10．（2021春?江都區(qū)期中）如圖，直線(xiàn)m與∠AOB的一邊射線(xiàn)OB相交，∠3＝120°，向上平移直線(xiàn)m得到直線(xiàn)n，與∠AOB的另一邊射線(xiàn)OA相交，則∠2﹣∠1＝．【思路點(diǎn)撥】作OC∥m，如圖，利用平移的性質(zhì)得到m∥n，則判斷OC∥n，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得∠1＝∠OBC＝30°，∠2+∠AOC＝180°，從而得到∠2+∠3的度數(shù)．【解題過(guò)程】解：作OC∥m，如圖，∵直線(xiàn)m向上平移直線(xiàn)m得到直線(xiàn)n，∴m∥n，∴OC∥n，∴∠1＝∠BOC，∠2+∠AOC＝180°，∠AOC＝∠3﹣∠1，∴∠2+∠3﹣∠1＝180°，∴∠2﹣∠1＝180°﹣120°＝60°，故答案為：60°．11．（2021秋?連云港期末）如圖是由相同邊長(zhǎng)的小正方形組成的網(wǎng)格圖形，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)都叫做格點(diǎn)，三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，利用網(wǎng)格畫(huà)圖．（1）畫(huà)出三角形ABC向右平移8個(gè)單位長(zhǎng)度后三角形A′B′C′的位置；（2）過(guò)點(diǎn)A畫(huà)BC的平行線(xiàn)，并標(biāo)出平行線(xiàn)所過(guò)格點(diǎn)Q；（3）過(guò)點(diǎn)A畫(huà)BC的垂線(xiàn)，并標(biāo)出垂線(xiàn)所過(guò)格點(diǎn)P；（4）三角形A′B′C′的面積為．【思路點(diǎn)撥】（1）利用平移的性質(zhì)可畫(huà)出△A′B′C′；（2）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)作出直線(xiàn)AQ；（3）根據(jù)網(wǎng)格中畫(huà)垂線(xiàn)的畫(huà)法，可找出格點(diǎn)P；（4）利用△A'B'C'所在的矩形面積減去周?chē)齻€(gè)直角三角形的面積即可得出答案．【解題過(guò)程】解：（1）如圖所示，△A′B′C′即為所求；（2）如上圖所示；（3）如上圖所示；（4）三角形A′B′C′的面積=5×4-1故答案為：19212．（2021春?新城區(qū)期中）如圖，△ABC，△BDE都是由△CEF平移得到的圖形．A，B，D三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，∠F＝35°．（1）試判斷CE，AD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）求∠EBC的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】（1）利用平移的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．（2）利用平移的性質(zhì)與平行線(xiàn)的性質(zhì)求解即可．【解題過(guò)程】解：（1）結(jié)論：AD＝2EC．理由：由平移的性質(zhì)可知，AB＝EC，BD＝CE，∴AD＝2CE．（2）由平移的性質(zhì)可知，BC∥DE，BE∥CF，∴∠EBC=∠BED，∠F＝∠BED，∴∠EBC＝∠F＝35°．13．（2021春?青縣期末）如圖1，AB，BC被直線(xiàn)AC所截，點(diǎn)D是線(xiàn)段AC上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB，連接AE，∠B＝∠E．（1）試說(shuō)明AE∥BC．（2）將線(xiàn)段AE沿著直線(xiàn)AC平移得到線(xiàn)段PQ，如圖2，連接DQ．若∠E＝75°，當(dāng)DE⊥DQ時(shí)，求∠Q的度數(shù)．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠BAE+∠E＝180°，等量代換得到∠BAE+∠B＝180°，于是得到結(jié)論；（2）如圖2，過(guò)D作DF∥AE交AB于F，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解題過(guò)程】解：（1）∵DE∥AB，∴∠BAE+∠E＝180°，∵∠B＝∠E，∴∠BAE+∠B＝180°，∴AE∥BC；（2）如圖2，過(guò)D作DF∥AE交AB于F，∵PQ∥AE，∴DF∥PQ，∵∠E＝75°，∴∠EDF＝105°，∵DE⊥DQ，∴∠EDQ＝90°，∴∠FDQ＝360°﹣105°﹣90°＝165°，∴∠DPQ+∠QDP＝165°，∴∠Q＝180°﹣165°＝15°．14．（2020春?南安市期末）已知△A'B'C'是由△ABC沿射線(xiàn)BA方向平移得到的．（1）如圖，當(dāng)B'在線(xiàn)段BA上時(shí)，①如果BC＝2cm，那么B'C'＝cm；②直線(xiàn)BC與直線(xiàn)B'C'的位置關(guān)系為；（2）連接AC′，設(shè)∠AC'B'＝x，∠ACB＝y(tǒng)，試探索∠CAC'與x，y之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）①根據(jù)平移的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②根據(jù)平移的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）①當(dāng)B'在線(xiàn)段BA上時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC，交CC'延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，根據(jù)平移性質(zhì)可知B'C'∥BC，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠CAD＝∠ACB＝y(tǒng)，∠C'AD＝∠AC'B'＝x，于是得到∠CAC'＝∠CAD﹣∠C'AD＝∠ACB﹣∠AC'B'＝y(tǒng)﹣x，②當(dāng)B'在線(xiàn)段BA延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC，交CC'于點(diǎn)D，根據(jù)平移性質(zhì)可知B'C'∥BC，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠C'AD＝∠AC'B'＝x，∠DAC＝∠ACB＝y(tǒng)，于是得到結(jié)論．【解題過(guò)程】解：（1）①∵△A'B'C'是由△ABC沿射線(xiàn)BA方向平移得到的，∴B'C'＝BC＝2（cm）；②∵△A'B'C'是由△ABC沿射線(xiàn)BA方向平移得到的，∴B'C'∥BC，故答案為：2，平行；（2）結(jié)論：當(dāng)B'在線(xiàn)段BA上時(shí)∠CAC'＝y(tǒng)﹣x，當(dāng)B'在線(xiàn)段BA延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)∠CAC'＝x+y，理由如下：①當(dāng)B'在線(xiàn)段BA上時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC，交CC'延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，根據(jù)平移性質(zhì)可知B'C'∥BC，∴B'C'∥AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACB＝y(tǒng)，∠C'AD＝∠AC'B'＝x，∴∠CAC'＝∠CAD﹣∠C'AD＝∠ACB﹣∠AC'B'＝y(tǒng)﹣x，②當(dāng)B'在線(xiàn)段BA延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC，交CC'于點(diǎn)D，根據(jù)平移性質(zhì)可知B'C'∥BC，∴B'C'∥AD∥BC，∴∠C'AD＝∠AC'B'＝x，∠DAC＝∠ACB＝y(tǒng)，∴∠CAC'＝∠C'AD+∠CAD＝∠AC'B'+∠ACB＝x+y，綜上所述，當(dāng)B'在線(xiàn)段BA上時(shí)∠CAC'＝y(tǒng)﹣x，當(dāng)B'在線(xiàn)段BA延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)∠CAC'＝x+y．15．（2021春?西湖區(qū)期末）已知點(diǎn)C在射線(xiàn)OA上．（1）如圖①，CD∥OE，若∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，求∠BOE的度數(shù)；（2）在①中，將射線(xiàn)OE沿射線(xiàn)OB平移得O′E'（如圖②），若∠AOB＝α，探究∠OCD與∠BO′E′的關(guān)系（用含α的代數(shù)式表示）；（3）在②中，過(guò)點(diǎn)O′作OB的垂線(xiàn)，與∠OCD的平分線(xiàn)交于點(diǎn)P（如圖③），若∠CPO′＝90°，探究∠AOB與∠BO′E′的關(guān)系．【思路點(diǎn)撥】（1）先根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠AOE的度數(shù)，再根據(jù)直角、周角的定義即可求得∠BOE的度數(shù)；（2）如圖②，過(guò)O點(diǎn)作OF∥CD，根據(jù)平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)可得∠OCD、∠BO′E′的數(shù)量關(guān)系；（3）由已知推出CP∥OB，得到∠AOB+∠PCO＝180°，結(jié)合角平分線(xiàn)的定義可推出∠OCD＝2∠PCO＝360°﹣2∠AOB，根據(jù)（2）∠OCD+∠BO′E′＝360°﹣∠AOB，進(jìn)而推出∠AOB＝∠BO′E′．【解題過(guò)程】解：（1）∵CD∥OE，∴∠AOE＝∠OCD＝120°，∴∠BOE＝360°﹣∠AOE﹣∠AOB＝360°﹣90°﹣120°＝150°；（2）∠OCD+∠BO′E′＝360°﹣α．證明：如圖②，過(guò)O點(diǎn)作OF∥CD，∵CD∥O′E′，∴OF∥O′E′，∴∠AOF＝180°﹣∠OCD，∠BOF＝∠E′O′O＝180°﹣∠BO′E′，∴∠AOB＝∠AOF+∠BOF＝180°﹣∠OCD+180°﹣∠BO′E′＝360°﹣（∠OCD+∠BO′E′）＝α，∴∠OCD+∠BO′E′＝360°﹣α；（3）∠AOB＝∠BO′E′．證明：∵∠CPO′＝90°，∴PO′⊥CP，∵PO′⊥OB，∴CP∥OB，∴∠PCO+∠AOB＝180°，∴2∠PCO＝360°﹣2∠AOB，∵CP是∠OCD的平分線(xiàn)，∴∠OCD＝2∠PCO＝360°﹣2∠AOB，∵由（2）知，∠OCD+∠BO′E′＝360°﹣α＝360°﹣∠AOB，∴360°﹣2∠AOB+∠BO′E′＝360°﹣∠AOB，∴∠AOB＝∠BO′E′．16．（2020秋?溫江區(qū)校級(jí)期末）已知AB＝13，CD＝8，M和N分別為線(xiàn)段AB，CD的中點(diǎn)．（1）若BC重合，D在線(xiàn)段AB上，如圖1，求MN的長(zhǎng)度．（2）①如果將圖1的線(xiàn)段CD沿著AB向右平移n個(gè)單位，求MN的長(zhǎng)度與n的數(shù)量關(guān)系．②當(dāng)n為多少的時(shí)，MN的長(zhǎng)度為9．（3）如果AB保持長(zhǎng)度和位置不變，點(diǎn)D保持圖1的位置不變，改變DC的長(zhǎng)度，將點(diǎn)C沿著直線(xiàn)AB向右移動(dòng)m個(gè)單位，其余條件不變，①BN+12BC；②MN-【思路點(diǎn)撥】（1）由MN＝BM﹣CN=12AB-12CD，代入（2）①由已知可得BC＝n，再由MN=12AB-12②由已知可得52+n＝9，求（3）分兩種情況討論：當(dāng)0＜m≤8時(shí)，BN+12BC＝4，MN-12BC12AB﹣BN-12BC=52，可得BN+12BC是定值4，MN-12BC是定值52；當(dāng)m＞8時(shí)，N點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)，BN+12BC＝m﹣4【解題過(guò)程】解：（1）∵M(jìn)和N分別為線(xiàn)段AB，CD的中點(diǎn)，∴AM＝BM=12AB，CN＝DN=∵M(jìn)N＝BM﹣CN=12AB-∵AB＝13，CD＝8，∴MN=13（2）①∵線(xiàn)段CD沿著AB向右平移n個(gè)單位，∴BC＝n，∵M(jìn)N＝BM﹣BN=12AB﹣（CN﹣BC）=12AB-∵AB＝13，CD＝8，∴MN=52②∵M(jìn)N＝9，∴52+n＝∴n=13（3）∵點(diǎn)C沿著直線(xiàn)AB向右移動(dòng)m個(gè)單位，∴BC＝m，∵點(diǎn)D保持位置不變，∴CD＝8+m，∵N是CD的中點(diǎn)，∴CN＝DN=12CD=12（8+m）＝∴BN＝CN﹣BC＝4+12m﹣m＝4-當(dāng)0＜m≤8時(shí)，∴BN+12BC＝4-12m+MN-12BC＝（BM﹣BN）-12BC=12AB﹣BN-12BC=13∴BN+12BC是定值4，MN-12當(dāng)m＞8時(shí)，N點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)，∵BN＝BC﹣CN＝m﹣4-12m=12MN＝BM+BN=132+12m﹣∴BN+12BC=12m﹣4+12MN-12BC=12m∴BN+12BC不是定值，MN-12綜上所述：無(wú)論m取何值，MN-12BC的值都是定值17．（2021春?依安縣期末）如圖，已知AB∥CD，點(diǎn)E在直線(xiàn)AB，CD之間．（1）求證：∠AEC＝∠BAE+∠ECD；（2）若AH平分∠BAE，將線(xiàn)段CE沿CD平移至FG．①如圖2，若∠AEC＝90°，HF平分∠DFG，求∠AHF的度數(shù)；②如圖3，若HF平分∠CFG，試判斷∠AHF與∠AEC的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）過(guò)E作EF∥AB，可得∠A＝∠AEF，利用平行于同一條直線(xiàn)的兩直線(xiàn)平行得到EF與CD平行，再得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，進(jìn)而得出答案；（2）①HF平分∠DFG，設(shè)∠GFH＝∠DFH＝x，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可以得到∠AHF的度數(shù)；②設(shè)∠GFD＝2x，∠BAH＝∠EAH＝y(tǒng)，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)以及平行線(xiàn)的性質(zhì)即可得到∠AHF與∠AEC的數(shù)量關(guān)系．【解題過(guò)程】解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)E作直線(xiàn)EN∥AB，∵AB∥CD，∴EN∥CD，∴∠BAE＝∠AEN，∠DCE＝∠CEN，∴∠AEC＝∠AEN+∠CEN＝∠BAH+∠ECD；（2）∵AH平分∠BAE，∴∠BAH＝∠EAH，①∵HF平分∠DFG，設(shè)∠GFH＝∠DFH＝x，又CE∥FG，∴∠ECD＝∠GFD＝2x，又∠AEC＝∠BAE+∠ECD，∠AEC＝90°，∴∠BAH＝∠EAH＝45°﹣x，如圖2，過(guò)點(diǎn)H作l∥AB，易證∠AHF＝∠BAH+∠DFH＝45°﹣x+x＝45°；②設(shè)∠GFD＝2x，∠BAH＝∠EAH＝y(tǒng)，∵HF平分∠CFG，∴∠GFH＝∠CFH＝90°﹣x，由（1）知∠AEC＝∠BAE+∠ECD＝2x+2y，如圖3，過(guò)點(diǎn)H作l∥AB，易證∠AHF﹣y+∠CFH＝180°，即∠AHF﹣y+90°﹣x＝180°，∠AHF＝90°+（x+y），∴∠AHF＝90°+12∠AEC．（或2∠AHF﹣∠AEC＝18．（2021春?和平區(qū)校級(jí)月考）已知：AB∥CD，C在D的右側(cè)，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在直線(xiàn)交于點(diǎn)E，∠ADC＝70°．（1）則∠EDC＝（度）；（2）若∠ABC＝n°，求∠BED