2022-2023學年上海市閔行區(qū)高一下學期期末區(qū)統(tǒng)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1上海市閔行區(qū)2022-2023學年高一下學期期末區(qū)統(tǒng)考數(shù)學試題一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分）考生應在答題紙的相應位置直接填寫結果.1.函數(shù)的最小正周期是________________．〖答案〗〖解析〗函數(shù)的最小正周期是故〖答案〗為：2.若復數(shù)，則____________.〖答案〗〖解析〗∵復數(shù)，則，∴.故〖答案〗為：.3.已知角α的終邊經過點(3，4)，則cosα=______________.〖答案〗〖解析〗因為角α的終邊經過點(3，4)，所以，故〖答案〗4.已知，，則角____________.〖答案〗〖解析〗因為，，所以角，故〖答案〗為：5.若函數(shù)的最大值為，則____________.〖答案〗〖解析〗因為函數(shù)，且函數(shù)的最大值為，所以，解得，故〖答案〗為：.6.已知，則的值為____________.〖答案〗〖解析〗因為，所以，則．故〖答案〗為：．7.已知向量，的夾角為，，則在方向上的數(shù)量投影為____________.〖答案〗〖解析〗，的夾角為，，則，,在方向上的數(shù)量投影為．故〖答案〗為：．8.若是關于的實系數(shù)一元二次方程的一個根，則___________．〖答案〗5.〖解析〗是關于的實系數(shù)一元二次方程的一個根，也是此方程的一個虛根，

∴故〖答案〗為5.9.已知，，與平行，則實數(shù)的值為______.〖答案〗〖解析〗因為，，所以，又與平行，所以，解得.故〖答案〗為：10.在平面直角坐標系中，角的終邊與角的終邊關于軸對稱．若，則____________.〖答案〗〖解析〗在平面直角坐標系中，角的終邊與角的終邊關于軸對稱，，不妨設角的終邊過點，則角的終邊過點，結合任意角的三角函數(shù)的定義可知，若，則，則，故〖答案〗為：．11.已知函數(shù)的定義域為，且當時，，其中取一切正整數(shù).函數(shù)的圖像與直線恰有24個交點，則實數(shù)的取值范圍是____________.〖答案〗〖解析〗因為函數(shù)在各段中的最大值逐漸減小，要使函數(shù)的圖像與直線恰有個交點，則函數(shù)的圖像與直線只在前幾段有交點，依題意當時，，此時函數(shù)的圖像與直線必有個交點，當時，，此時函數(shù)的圖像與直線必有個交點，當時，，此時函數(shù)的圖像與直線必有個交點，當時，，此時函數(shù)的圖像與直線必有個交點，當時，，此時函數(shù)的圖像與直線必有個交點，若，則當時，，此時函數(shù)的圖像與直線必有個交點，此時函數(shù)的圖像與直線的圖象僅有個交點，不符合題意，所以，當時，，此時函數(shù)的圖像與直線必有個交點，此時函數(shù)的圖像與直線的圖象恰有個交點，若時，則當時，，此時函數(shù)的圖像與直線必有個交點，不滿足函數(shù)的圖像與直線的圖象恰有個交點，所以，綜上可得，即實數(shù)的取值范圍是.故〖答案〗為：12.已知平面向量、、、、、兩兩互不相等，且.若對任意的，均滿足，則當且時，的值為____________.〖答案〗〖解析〗因為，所以向量、、分別看作以為起點，以為終點，且是邊長為2的正三角形，為正三角形的中心，又因為，所以向量、、則是以為起點，正三角形各邊中點為終點，因為，當時，的值為，故〖答案〗為：.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16每題5分）每題有且只有一個正確〖答案〗，考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.13.復數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以復數(shù)的虛部為.故選：A14.下列命題中正確的是（）A. B.C.若，則 D.若，則〖答案〗B〖解析〗對于A：，故A錯誤；對于B：，故B正確；對于B：若時，與的方向可能不同，與可能不相等，故C錯誤；對于D：若時，即，所以，得不出，故D錯誤．故選：B．15.某同學將兩角和的正弦、余弦、余切公式錯誤地記成如下三個式子：①②；③；若存在、恰巧能使上述某些式子成立，則能成立的式子最多有（）A.0個 B.1個 C.2個 D.3個〖答案〗C〖解析〗當時，，且，即①符合題意；②當，時，，且，即②符合題意；③因為，所以若成立，則，即，所以，化簡得，不符合實際，即③不符合題意．故選：C．16.在復平面上，設點、對應的復數(shù)分別為、，當由連續(xù)變到時，向量所掃過的圖形區(qū)域的面積是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得，點在單位圓上，點的坐標為，如圖：當時，點坐標為，當時，點的坐標為，向量所掃過的圖形區(qū)域的面積是的面積與弓形的面積之和.由于，關于實軸對稱，所以的面積等于的面積(因為這兩個三角形同底且等高)，故向量所掃過的圖形區(qū)域的面積是扇形的面積，因為，所以扇形的面積為等于.故選：B.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）考生應在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內寫出必要的步驟.17.在矩形中，，，點、分別是邊、的中點，設向量，（1）試用表示向量與；（2）求的值.解：（1）如圖，因為點是邊的中點，所以，則，同理，.（2）由（1）可知，，，又因為為矩形，所以，則.18.歐拉公式將自然對數(shù)的底數(shù)，虛數(shù)單位，三角函數(shù)聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學的和諧美，被譽為“數(shù)學的天橋”，已知復數(shù)滿足，.（1）求，；（2）若復數(shù)是純虛數(shù)，求的值.解：（1）；（2）且，復數(shù)是純虛數(shù)，.19.上?；ú某晒εe辦離不開對展覽區(qū)域的精心規(guī)劃.如圖所示，將展區(qū)中扇形空地分隔成三部分建成花卉觀賞區(qū)，分別種植玫瑰花、白玉蘭和菊花.知扇形的半徑為米，，動點在扇形的弧上，點在半徑上，且.（1）當米時，求分隔欄的長；（2）綜合考慮到成本和美觀等原因，希望使白玉蘭種植區(qū)的面積盡可能的大，求該種植區(qū)三角的面積的最大值.解：（1）因為，所以，在中，，，由余弦定理得，即，解得或（舍去），所以的長為米；（2）因為，，設，，則，在中，由正弦定理得，所有，則，當，即時，面積取得最大值，最大值為平方米.20.已知函數(shù)，其中，，分別求滿足下列條件的函的〖解析〗式.（1），，.（2），、是的兩個相異零點，的最小值為，且的圖像向右平移個單位長度后關于軸對稱.（3），，對任意的實數(shù)，記在區(qū)間上的最大值為，最小值為，，函數(shù)的值域為.解：（1）依題意，又，所以，所以，，解得，，又，所以，所以.（2）依題意，，所以，所以，將的圖像向右平移個單位長度得到，又關于軸對稱，所以，所以，又，所以，所以.（3）因為，，即區(qū)間的長度恰為，又，令，，解得，，所以的對稱軸為，，根據(jù)正弦曲線的性質當在區(qū)間上嚴格單調時取得最大值，當與恰關于，對稱時取得最小值，①不妨設當，則是上嚴格增函數(shù)，則，因為，所以，則，即，即，②不妨設當，則，因為，所以，則，即，即，綜上所述，即，解得，所以，又，所以，所以或，，因為，所以，所以.21.通過平面直角坐標系，我們可以用有序實數(shù)對表示向量.類似的，我們可以把有序復數(shù)對看作一個向量，記，則稱為復向量.類比平面向量的相關運算法則，對于，，、、、、，我們有如下運算法則：①；②；③；④.（1）設，，求和.（2）由平面向量的數(shù)量積滿足的運算律，我們類比得到復向量的相關結論：①②③.試判斷這三個結論是否正確，并對正確的結論予以證明.（3）若，集合，.對于任意的，求出滿足條件的，并將此時的記為，證明對任意的，不等式恒成立.根據(jù)對上述問題的解答過程，試寫出一個一般性的命題（不需要證明）.（1）解：因為，，所以，（2）解：設，，，、、、、、、，則，，故①不成立，，，，因為，，所以，故②正確；，，，，設，，，則，，，所以，故，即③錯誤；（3）證明：設滿足條件的，，、，則，，因為為任意的復數(shù)，不妨設且，由定義可得，即，則，所以，則，以下證明對任意的，不等式恒成立，只需計算的最小值，不妨令，則，則，當，時取得最小值，此時與之前得到的相同，結論得證；推廣結論：對于任意復向量，，若對于任意的，當且僅當時，取到最小值.上海市閔行區(qū)2022-2023學年高一下學期期末區(qū)統(tǒng)考數(shù)學試題一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分）考生應在答題紙的相應位置直接填寫結果.1.函數(shù)的最小正周期是________________．〖答案〗〖解析〗函數(shù)的最小正周期是故〖答案〗為：2.若復數(shù)，則____________.〖答案〗〖解析〗∵復數(shù)，則，∴.故〖答案〗為：.3.已知角α的終邊經過點(3，4)，則cosα=______________.〖答案〗〖解析〗因為角α的終邊經過點(3，4)，所以，故〖答案〗4.已知，，則角____________.〖答案〗〖解析〗因為，，所以角，故〖答案〗為：5.若函數(shù)的最大值為，則____________.〖答案〗〖解析〗因為函數(shù)，且函數(shù)的最大值為，所以，解得，故〖答案〗為：.6.已知，則的值為____________.〖答案〗〖解析〗因為，所以，則．故〖答案〗為：．7.已知向量，的夾角為，，則在方向上的數(shù)量投影為____________.〖答案〗〖解析〗，的夾角為，，則，,在方向上的數(shù)量投影為．故〖答案〗為：．8.若是關于的實系數(shù)一元二次方程的一個根，則___________．〖答案〗5.〖解析〗是關于的實系數(shù)一元二次方程的一個根，也是此方程的一個虛根，

∴故〖答案〗為5.9.已知，，與平行，則實數(shù)的值為______.〖答案〗〖解析〗因為，，所以，又與平行，所以，解得.故〖答案〗為：10.在平面直角坐標系中，角的終邊與角的終邊關于軸對稱．若，則____________.〖答案〗〖解析〗在平面直角坐標系中，角的終邊與角的終邊關于軸對稱，，不妨設角的終邊過點，則角的終邊過點，結合任意角的三角函數(shù)的定義可知，若，則，則，故〖答案〗為：．11.已知函數(shù)的定義域為，且當時，，其中取一切正整數(shù).函數(shù)的圖像與直線恰有24個交點，則實數(shù)的取值范圍是____________.〖答案〗〖解析〗因為函數(shù)在各段中的最大值逐漸減小，要使函數(shù)的圖像與直線恰有個交點，則函數(shù)的圖像與直線只在前幾段有交點，依題意當時，，此時函數(shù)的圖像與直線必有個交點，當時，，此時函數(shù)的圖像與直線必有個交點，當時，，此時函數(shù)的圖像與直線必有個交點，當時，，此時函數(shù)的圖像與直線必有個交點，當時，，此時函數(shù)的圖像與直線必有個交點，若，則當時，，此時函數(shù)的圖像與直線必有個交點，此時函數(shù)的圖像與直線的圖象僅有個交點，不符合題意，所以，當時，，此時函數(shù)的圖像與直線必有個交點，此時函數(shù)的圖像與直線的圖象恰有個交點，若時，則當時，，此時函數(shù)的圖像與直線必有個交點，不滿足函數(shù)的圖像與直線的圖象恰有個交點，所以，綜上可得，即實數(shù)的取值范圍是.故〖答案〗為：12.已知平面向量、、、、、兩兩互不相等，且.若對任意的，均滿足，則當且時，的值為____________.〖答案〗〖解析〗因為，所以向量、、分別看作以為起點，以為終點，且是邊長為2的正三角形，為正三角形的中心，又因為，所以向量、、則是以為起點，正三角形各邊中點為終點，因為，當時，的值為，故〖答案〗為：.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16每題5分）每題有且只有一個正確〖答案〗，考生應在答題紙的相應位置，將代表正確選項的小方格涂黑.13.復數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以復數(shù)的虛部為.故選：A14.下列命題中正確的是（）A. B.C.若，則 D.若，則〖答案〗B〖解析〗對于A：，故A錯誤；對于B：，故B正確；對于B：若時，與的方向可能不同，與可能不相等，故C錯誤；對于D：若時，即，所以，得不出，故D錯誤．故選：B．15.某同學將兩角和的正弦、余弦、余切公式錯誤地記成如下三個式子：①②；③；若存在、恰巧能使上述某些式子成立，則能成立的式子最多有（）A.0個 B.1個 C.2個 D.3個〖答案〗C〖解析〗當時，，且，即①符合題意；②當，時，，且，即②符合題意；③因為，所以若成立，則，即，所以，化簡得，不符合實際，即③不符合題意．故選：C．16.在復平面上，設點、對應的復數(shù)分別為、，當由連續(xù)變到時，向量所掃過的圖形區(qū)域的面積是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可得，點在單位圓上，點的坐標為，如圖：當時，點坐標為，當時，點的坐標為，向量所掃過的圖形區(qū)域的面積是的面積與弓形的面積之和.由于，關于實軸對稱，所以的面積等于的面積(因為這兩個三角形同底且等高)，故向量所掃過的圖形區(qū)域的面積是扇形的面積，因為，所以扇形的面積為等于.故選：B.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）考生應在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內寫出必要的步驟.17.在矩形中，，，點、分別是邊、的中點，設向量，（1）試用表示向量與；（2）求的值.解：（1）如圖，因為點是邊的中點，所以，則，同理，.（2）由（1）可知，，，又因為為矩形，所以，則.18.歐拉公式將自然對數(shù)的底數(shù)，虛數(shù)單位，三角函數(shù)聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學的和諧美，被譽為“數(shù)學的天橋”，已知復數(shù)滿足，.（1）求，；（2）若復數(shù)是純虛數(shù)，求的值.解：（1）；（2）且，復數(shù)是純虛數(shù)，.19.上?；ú某晒εe辦離不開對展覽區(qū)域的精心規(guī)劃.如圖所示，將展區(qū)中扇形空地分隔成三部分建成花卉觀賞區(qū)，分別種植玫瑰花、白玉蘭和菊花.知扇形的半徑為米，，動點在扇形的弧上，點在半徑上，且.（1）當米時，求分隔欄的長；（2）綜合考慮到成本和美觀等原因，希望使白玉蘭種植區(qū)的面積盡可能的大，求該種植區(qū)三角的面積的最大值.解：（1）因為，所以，在中，，，由余弦定理得，即，解得或（舍去），所以的長為米；（2）因為，，設，，則，在中，由正弦定理得，所有，則，當，即時，面積取得最大值，最大值為平方米.20.已知函數(shù)，其中，，分別求滿足下列條件的函的〖解析〗式.（1），，.（2），、是的兩個相異零點，的最小值為，且的圖像向右平移個單位長度后關于軸對稱.（3），，對任意的實數(shù)，記在區(qū)間上的最大值為，最小值為，，函數(shù)的值域為.解：（1）依題意，又，所以，所以，，解得，，又，所以，所以.（2）依題意，，所以，所以，將的圖像向右平移個單位長