2023屆廣西普通高中高三摸底考試數(shù)學(xué)試題（文）（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣西普通高中2023屆高三摸底考試數(shù)學(xué)試題（文）第I卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意得，，所以，故選A．2.沙糖桔網(wǎng)店2019年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示，則針對(duì)2019年這一年的收支情況，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A.月收入的最大值為90萬(wàn)元，最小值為30萬(wàn)元 B.這一年的總利潤(rùn)超過(guò)400萬(wàn)元C.這12個(gè)月利潤(rùn)的中位數(shù)與眾數(shù)均為30 D.7月份的利潤(rùn)最大〖答案〗B〖解析〗A：由圖可知，月收入的最大值為90，最小值為30，故A正確；B：各個(gè)月的利潤(rùn)分別為20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，所以總利潤(rùn)為20+30+20+10+30+30+60+40+30+30+50+30=380(萬(wàn)元)，故B錯(cuò)誤；C：這12個(gè)月利潤(rùn)中位數(shù)與眾數(shù)均為30，故C正確；D：7月份的利潤(rùn)最大，為60萬(wàn)元，故D正確.故選：B3.已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗易知，則，故選：D.4.“”是“方程表示橢圓”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗方程表示橢圓，則所以且，所以且能推出，反之不成立，所以為必要不充分條件，故選：A.5.函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，易知單調(diào)遞增，且，可得下表：極小值則，當(dāng)時(shí)，，令，，令，解得，可得下表：極小值則，即，則單調(diào)遞增.故選：A.6.將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行,則共有多少種方法（）A.5 B.6 C.10 D.15〖答案〗C〖解析〗由題知3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行,即有5個(gè)位置留給1和0,在5個(gè)位置中挑出3個(gè)給1,剩下的填0即可,即,故選:A7.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，故選：A.8.如圖程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“更相減損術(shù)”．執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a，b分別為35、28，則輸出的a=（）A.1 B.14 C.7 D.28〖答案〗C〖解析〗由，則變?yōu)?，由，則變?yōu)?，由，則變?yōu)?，由，則變?yōu)?，由，則輸出的.故選：C.9.已知函數(shù)存在最大值0，則的值為（）A. B. C.1 D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，恒成立，故函數(shù)單調(diào)遞增，不存在最大值；當(dāng)時(shí)，令，得出，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，解得：.故選：B.10.生物體死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量C會(huì)按確定的比率衰減（稱為衰減率），C與死亡年數(shù)t之間的函數(shù)關(guān)系式為（k為常數(shù)），大約每經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”．若2022年某遺址文物出土?xí)r碳14的殘余量約為原始量的85%，則可推斷該文物屬于（）參考數(shù)據(jù)：；參考時(shí)間軸：A.戰(zhàn)國(guó) B.漢 C.唐 D.宋〖答案〗C〖解析〗當(dāng)時(shí)，，故，解得，所以，由題意得，，解得，而，可推斷該文物屬于唐.故選：C．11.設(shè)球與圓錐的體積分別為，，若球的表面積與圓錐的側(cè)面積相等，且圓錐的軸截面為正三角形，則的值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)球O的半徑為R，圓錐SO1的底面半徑為r，則圓錐的母線長(zhǎng)l=2r，由題意得4πR2=πrl=2πr2，解得，.故選：C.12.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗令，則.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減.而，，所以在上有.所以在上單調(diào)遞減.所以，即.故.故選：D.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量,,若與垂直,則______.〖答案〗－3〖解析〗因與垂直,所以,所以,解得故〖答案〗為：－314.圓：的圓心到直線的距離為___________.〖答案〗〖解析〗圓：，其圓心坐標(biāo)為，圓心到直線的距離.故〖答案〗為:15.如圖所示，已知雙曲線：的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，雙曲線的右支上一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，滿足，且，則雙曲線的離心率是__________.〖答案〗〖解析〗由條件可得，，，則，，，所以在中，，即，即，則所以雙曲線的離心率為：.故〖答案〗為：.16.我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》提出了一種求三角形面積的方法“三斜求積術(shù)”，即在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則的面積為.若，且的外接圓的半徑為，則面積的最大值為__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?所以由正弦定理得,所以,所以由余弦定理得而,所以,所以,所以,由得,所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以故面積的最大值為.故〖答案〗為：三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.某學(xué)校共有1000名學(xué)生參加數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽，其中男生200人.為了了解該校學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽中的情況，采取按性別分層抽樣，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，分?jǐn)?shù)分布在450~950分之間.將分?jǐn)?shù)不低于750分的學(xué)生稱為“高分選手”.根據(jù)調(diào)查的結(jié)果繪制的學(xué)生分?jǐn)?shù)頻率分布直方圖如圖所示.（1）求的值，并估計(jì)該校學(xué)生分?jǐn)?shù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）若樣本中屬于“高分選手”的男生有10人，完成下列列聯(lián)表，并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為該校學(xué)生屬于“高分選手”與“性別”有關(guān).屬于“高分選手”不屬于“高分選手”合計(jì)男生女生合計(jì)參考公式：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1），解得平均數(shù)估計(jì)值為（分）（2）由題意可知，樣本中男生有人，則女生有80人，屬于“高分選手”的有人，其中男生10人，則高分中女生為人，不屬于“高分選手”的男生為人，不屬于“高分選手”的女生為人，因此，得到列聯(lián)表如下：屬于“高分選手”不屬于“高分選手”合計(jì)男生101020女生156580合計(jì)2575100因此，的觀測(cè)值，所以有99.5%的把握認(rèn)為該校學(xué)生屬于“高分選手”與“性別”有關(guān)18.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，解得當(dāng)，時(shí)，，所以，得即，可知數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為5的等比數(shù)列，所以（2）由（1）可知，所以，所以，所以，則，兩式相減，可得.，化簡(jiǎn)得19.如圖，多面體中，是菱形，，平面，，且.（1）求證：平面平面；（2）求多面體的體積.（1）證明：如圖所示，連接，平面，平面，，四邊形為菱形，，又，且，平面，平面，平面，平面平面；（2）解：如圖所示，取中點(diǎn)，連接，四邊形為菱形，且，，，平面，平面，，又，且，平面，平面，所以四棱錐的體積為，又因?yàn)槠矫?，所以三棱錐的體積，所以幾何體的體積.20.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若，，請(qǐng)判斷的符號(hào)，并說(shuō)明理由.解：（1），令，則或，若，，所以函數(shù)在上為增函數(shù)；若，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在和上遞增，在上遞減；若，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在和上遞增，在上遞減；綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上遞增，在上遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上遞增，在上遞減.（2）當(dāng)，時(shí)，由（1）知在上遞增，在上遞減，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，得函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，則，所以，所以21.如圖，已知點(diǎn)是焦點(diǎn)為的拋物線：上一點(diǎn)，，是拋物線上異于的兩點(diǎn)，且直線，的傾斜角互補(bǔ)，若直線的斜率為.（1）證明：直線的斜率為定值；（2）在中，記，，求最大值.（1）證明：將點(diǎn)代入拋物線方程可得：，拋物線：設(shè)直線方程為：，與拋物線方程聯(lián)立可得：，所以，用代可得：，因此，即，故直線的斜率為定值.（2）解：由（1）可知，，將帶入直線方程，解得則，用代可得：，因此直線方程：，到直線的距離所以因?yàn)?，所以，令，易得此函?shù)在時(shí)為單調(diào)增函數(shù)，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)（負(fù)值舍去）時(shí)取等號(hào)（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答.注意：只能做選定的題目.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）已知點(diǎn)的極坐標(biāo)為，與曲線交于兩點(diǎn)，求解：（1）曲線C的直角坐標(biāo)方程為，即，因?yàn)樗裕?，故曲線C的極坐標(biāo)方程為.（2）將代入，得.設(shè)A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，.因?yàn)辄c(diǎn)P的極坐標(biāo)為，所以點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為，所以.選修4-5：不等式選講23.已知函數(shù)．（1）解不等式；（2）設(shè)時(shí)，函數(shù)的最小值為M．若實(shí)數(shù)a，b，c滿足，求的最小值．解：（1）不等式可轉(zhuǎn)化為：或或，解得：或或，則有，所以不等式的解集為：.（2）由絕對(duì)值的三角不等式可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因此，函數(shù)的最小值，即，由柯西不等式可知：，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即，，時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.廣西普通高中2023屆高三摸底考試數(shù)學(xué)試題（文）第I卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意得，，所以，故選A．2.沙糖桔網(wǎng)店2019年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示，則針對(duì)2019年這一年的收支情況，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A.月收入的最大值為90萬(wàn)元，最小值為30萬(wàn)元 B.這一年的總利潤(rùn)超過(guò)400萬(wàn)元C.這12個(gè)月利潤(rùn)的中位數(shù)與眾數(shù)均為30 D.7月份的利潤(rùn)最大〖答案〗B〖解析〗A：由圖可知，月收入的最大值為90，最小值為30，故A正確；B：各個(gè)月的利潤(rùn)分別為20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30，所以總利潤(rùn)為20+30+20+10+30+30+60+40+30+30+50+30=380(萬(wàn)元)，故B錯(cuò)誤；C：這12個(gè)月利潤(rùn)中位數(shù)與眾數(shù)均為30，故C正確；D：7月份的利潤(rùn)最大，為60萬(wàn)元，故D正確.故選：B3.已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗易知，則，故選：D.4.“”是“方程表示橢圓”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗方程表示橢圓，則所以且，所以且能推出，反之不成立，所以為必要不充分條件，故選：A.5.函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，易知單調(diào)遞增，且，可得下表：極小值則，當(dāng)時(shí)，，令，，令，解得，可得下表：極小值則，即，則單調(diào)遞增.故選：A.6.將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行,則共有多少種方法（）A.5 B.6 C.10 D.15〖答案〗C〖解析〗由題知3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行,即有5個(gè)位置留給1和0,在5個(gè)位置中挑出3個(gè)給1,剩下的填0即可,即,故選:A7.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，故選：A.8.如圖程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“更相減損術(shù)”．執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a，b分別為35、28，則輸出的a=（）A.1 B.14 C.7 D.28〖答案〗C〖解析〗由，則變?yōu)?，由，則變?yōu)?，由，則變?yōu)?，由，則變?yōu)椋?，則輸出的.故選：C.9.已知函數(shù)存在最大值0，則的值為（）A. B. C.1 D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，恒成立，故函數(shù)單調(diào)遞增，不存在最大值；當(dāng)時(shí)，令，得出，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，解得：.故選：B.10.生物體死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量C會(huì)按確定的比率衰減（稱為衰減率），C與死亡年數(shù)t之間的函數(shù)關(guān)系式為（k為常數(shù)），大約每經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”．若2022年某遺址文物出土?xí)r碳14的殘余量約為原始量的85%，則可推斷該文物屬于（）參考數(shù)據(jù)：；參考時(shí)間軸：A.戰(zhàn)國(guó) B.漢 C.唐 D.宋〖答案〗C〖解析〗當(dāng)時(shí)，，故，解得，所以，由題意得，，解得，而，可推斷該文物屬于唐.故選：C．11.設(shè)球與圓錐的體積分別為，，若球的表面積與圓錐的側(cè)面積相等，且圓錐的軸截面為正三角形，則的值是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)球O的半徑為R，圓錐SO1的底面半徑為r，則圓錐的母線長(zhǎng)l=2r，由題意得4πR2=πrl=2πr2，解得，.故選：C.12.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗令，則.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減.而，，所以在上有.所以在上單調(diào)遞減.所以，即.故.故選：D.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量,,若與垂直,則______.〖答案〗－3〖解析〗因與垂直,所以,所以,解得故〖答案〗為：－314.圓：的圓心到直線的距離為___________.〖答案〗〖解析〗圓：，其圓心坐標(biāo)為，圓心到直線的距離.故〖答案〗為:15.如圖所示，已知雙曲線：的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，雙曲線的右支上一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，滿足，且，則雙曲線的離心率是__________.〖答案〗〖解析〗由條件可得，，，則，，，所以在中，，即，即，則所以雙曲線的離心率為：.故〖答案〗為：.16.我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》提出了一種求三角形面積的方法“三斜求積術(shù)”，即在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則的面積為.若，且的外接圓的半徑為，則面積的最大值為__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?所以由正弦定理得,所以,所以由余弦定理得而,所以,所以,所以,由得,所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以故面積的最大值為.故〖答案〗為：三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.某學(xué)校共有1000名學(xué)生參加數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽，其中男生200人.為了了解該校學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽中的情況，采取按性別分層抽樣，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，分?jǐn)?shù)分布在450~950分之間.將分?jǐn)?shù)不低于750分的學(xué)生稱為“高分選手”.根據(jù)調(diào)查的結(jié)果繪制的學(xué)生分?jǐn)?shù)頻率分布直方圖如圖所示.（1）求的值，并估計(jì)該校學(xué)生分?jǐn)?shù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）若樣本中屬于“高分選手”的男生有10人，完成下列列聯(lián)表，并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為該校學(xué)生屬于“高分選手”與“性別”有關(guān).屬于“高分選手”不屬于“高分選手”合計(jì)男生女生合計(jì)參考公式：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1），解得平均數(shù)估計(jì)值為（分）（2）由題意可知，樣本中男生有人，則女生有80人，屬于“高分選手”的有人，其中男生10人，則高分中女生為人，不屬于“高分選手”的男生為人，不屬于“高分選手”的女生為人，因此，得到列聯(lián)表如下：屬于“高分選手”不屬于“高分選手”合計(jì)男生101020女生156580合計(jì)2575100因此，的觀測(cè)值，所以有99.5%的把握認(rèn)為該校學(xué)生屬于“高分選手”與“性別”有關(guān)18.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，解得當(dāng)，時(shí)，，所以，得即，可知數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為5的等比數(shù)列，所以（2）由（1）可知，所以，所以，所以，則，兩式相減，可得.，化簡(jiǎn)得19.如圖，多面體中，是菱形，，平面，，且.（1）求證：平面平面；（2）求多面體的體積.（1）證明：如圖所示，連接，平面，平面，，四邊形為菱形，，又，且，平面，平面，平面，平面平面；（2）解：如圖所示，取中點(diǎn)，連接，四邊形為菱形，且，，，平面，平面，，又，且，平面，平面，所以四棱錐的體積為，又因?yàn)槠矫?，所以三棱錐的體積，所以幾何體的體積.20.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若，，請(qǐng)判斷的符號(hào)，并說(shuō)明理由.解：（1），令，則或，若，，所以函數(shù)在上為增函數(shù)；若，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在和上遞增，在上遞減；若，當(dāng)或時(shí)，，