2023屆江蘇省揚州市高三考前調(diào)研測試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省揚州市2023屆高三考前調(diào)研測試數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知全集，，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可知，、、，且，故.故選：B.2.已知空間中不過同一點的三條直線，則“兩兩相交”是“共面”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗空間中不過同一點的三條直線，，，若，，在同一平面，則，，相交或，，有兩個平行，另一直線與之相交，或三條直線兩兩平行．所以“，，在同一平面”成立，則“，，兩兩相交”不一定成立；而若“，，兩兩相交”，則“，，在同一平面”成立．故“，，兩兩相交”是“，，共面”的充分不必要條件，故選：A.3.以點為對稱中心的函數(shù)是（）．A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗對于A選項，對稱中心為，故不選A；對于B選項，對稱中心為，故不選B;對于C選項，對稱中心為，故C選項正確；對于D選項，不是中心對稱圖形，故不選D.故選：C4.某教學樓從二樓到三樓的樓梯共10級，上樓可以一步上一級，也可以一步上兩級，某同學從二樓到三樓準備用7步走完，則第二步走兩級臺階的概率為（）．A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗10級臺階要用7步走完，則4步是上一級，三步是上兩級，共種走法，若第二步走兩級臺階，則其余6步中有兩步是上兩級，共，所以第二步走兩級臺階的概率為.故選：C.5.車木是我國一種古老的民間手工工藝，指的是用刀去削旋轉著的木頭，可用來制作家具和工藝品，隨著生產(chǎn)力的進步，現(xiàn)在常借助車床實施加工．現(xiàn)要加工一根正四棱柱形的條木，底面邊長為，高為．將條木兩端夾住，兩底面中心連線為旋轉軸，將它旋轉起來，操作工的刀頭逐步靠近，最后置于離旋轉軸處，沿著旋轉軸平移，對整塊條木進行加工，則加工后木塊的體積為（）．A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗加工后木塊的橫截面的形狀如圖所示，其中O為橫截面的中心，,，，計算可得,，,所以加工后木塊的體積為.故選：B.6.復數(shù)（為虛數(shù)單位）在復平面內(nèi)對應點，則下列為真命題的是（）．A.若，則點在圓上B.若，則點在橢圓上C.若，則點在雙曲線上D.若，則點在拋物線上〖答案〗D〖解析〗表示點與之間的距離，表示點與之間的距離，記，，對于A，，表示點到、距離相等，則點在線段的中垂線上，故A錯誤；或由，整理得，所以點在，故A錯誤；對于B，由得，這不符合橢圓定義，故B錯誤；對于C，若，，這不符合雙曲線定義，故C錯誤；對于D，若，則，整理得，為拋物線，故D正確.故選：D.7.已知函數(shù)的導函數(shù)為和的定義域均為為偶函數(shù)，也為偶函數(shù)，則下列不等式一定成立的是（）．A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意，設，由于為偶函數(shù)，則，即，等號兩邊同時求導可得：，即，又由為偶函數(shù)，變形可得，故為常數(shù)），由此分析選項：對于A，由于不確定，不一定成立，A錯誤；對于B，，B錯誤；對于C，設，有，當時，，增函數(shù)，當時，，為減函數(shù)，則有，故在R上恒成立，又由，為R上的增函數(shù)，則有，C正確；對于D，為偶函數(shù)，其圖象關于軸對稱，不能保證成立，D錯誤．故選：C．8.已知向量，滿足的動點的軌跡為，經(jīng)過點的直線與有且只有一個公共點，點在圓上，則的最小值為（）．A. B.C. D.1〖答案〗A〖解析〗根據(jù)，可得，化簡得為動點的軌跡的方程為：，設經(jīng)過點的直線為：，（可判斷斜率存在）聯(lián)立方程，得①,由于直線與有且只有一個公共點，所以，或，得，或，因為圓，圓心，所以當點在軸上方時較小，以下只討論點在軸上方的情況,當時，代入①式，得，再代入雙曲線方程可得，當時，點在圓內(nèi)，可得的最小值為；當時，代入①式，得，再代入雙曲線方程可得則，當時，點在圓外，可得的最小值為；則的最小值為.故選：A.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知兩個離散型隨機變量，滿足，其中的分布列如下：012若，則（）．A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由分布列的性質(zhì)，可得，解得①，因為，所以，即②，聯(lián)立①②解得，，∴，因為，所以，.故選：ABD.10.已知函數(shù)的圖像為曲線，下列說法正確的有（）．A.都有兩個極值點B.都有三個零點C.，曲線都有對稱中心D.，使得曲線有對稱軸〖答案〗AC〖解析〗，，單調(diào)遞增；單調(diào)遞減；都有兩個極值點，故A選項正確；因為當時，；當時，,所以函數(shù)至少有一個零點，已知極大值極小值當，即時，，所以函數(shù)與x軸僅有一個交點，不滿足都有三個零點，故選項B錯誤；函數(shù)是開口向上的二次函數(shù)，且為軸對稱，此時對稱軸的橫坐標即為函數(shù)對稱中心的橫坐標，是曲線對稱中心，故選項C正確，由三次函數(shù)圖象的性質(zhì)知，曲線C沒有對稱軸，選項D錯誤．故選：AC.11.定義：在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩項的積，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫作該數(shù)列的一次“美好成長”．將數(shù)列、進行“美好成長”，第一次得到數(shù)列、、；第二次得到數(shù)列、、、、；；設第次“美好成長”后得到的數(shù)列為、、、、、，并記，則（）A. B.C. D.數(shù)列的前項和為〖答案〗ACD〖解析〗對于A選項，，A對；對于B選項，設第次“美好成長”后共插入項，即，共有個間隔，且，則第次“美好成長”后再插入項，則，可得，且，故數(shù)列是以首項為，公比為的等比數(shù)列，則，故，B錯；對于C選項，由題意可知：，C對；對于D選項，因為，且，所以，，且，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，，故，所以，，所以，數(shù)列的前項和為，D對.故選：ACD.12.圓柱高為1，下底面圓的直徑長為2，是圓柱的一條母線，點分別在上、下底面內(nèi)（包含邊界），下列說法正確的有（）．A.若，則點的軌跡為圓B.若直線與直線成，則的軌跡是拋物線的一部分C.存在唯一的一組點，使得D.的取值范圍是〖答案〗BC〖解析〗對B，如圖，不妨以為原點，以的垂直平分線，分別為軸建立空間直角坐標系，則，，設，則，由題意，，化簡得，，由于點在上底面內(nèi)，所以的軌跡是拋物線的一部分，故B正確；對A，，化簡得，即點的軌跡為橢圓，故A錯誤；對C，設點在下平面的投影為，若，則，則，當在線段上時，可取最小值，由均值不等式，，當且僅當時等號成立，所以，即，而點只有在與點重合時，才能取到，此時點與點重合，點與點重合，故C正確；對D，當點與點，點與點重合，的值為，故D錯誤.故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若，則被5除所得的余數(shù)為________．〖答案〗1〖解析〗由題知時，，故所以被5除得的余數(shù)是1.故〖答案〗為：1.14.圓（為坐標原點）與直線相切，與直線垂直的直線與圓交于不同的兩點，若，則直線的縱截距的取值范圍是________．〖答案〗〖解析〗由題意得：圓心到直線的距離為圓的半徑，，所以圓的標準方程為：，設直線的方程為：，與聯(lián)立，消去得：，設直線與圓的交點，，，，由△，得，，①，因為，所以，又，，所以②，由①②得，滿足，即，故直線縱截距的取值范圍是，故〖答案〗為：.15.已知正四棱錐的側面是邊長為3的正三角形，它的側棱的所有三等分點都在同一個球面上，則該球的表面積為________．〖答案〗〖解析〗如圖，正四棱錐的側棱的所有三等分點構成一個正四棱臺，棱臺上底面是邊長為1的正方形，棱臺下底面是邊長為2的正方形，側棱長為1，可求得棱臺的高為，設該棱臺的外接球的半徑為，球心到下底面的距離，球心到上底面的距離，①球心在兩個底面之間時，所以，因為，則，則上式無解；②球心在下底面下方時，，，兩邊同時平方：，，解得：，表面積，故〖答案〗為：.16.若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則直線的方程為________．〖答案〗或〖解析〗設與和的切點分別為，由導數(shù)的幾何意義可得，曲線在在點處的切線方程為，即，曲線在點處的切線方程為，即，則，解得，或，所以或．代入得或.故〖答案〗為：或.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在①；②這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答問題．設數(shù)列的前項和為，滿足________，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若存在正整數(shù)，使得對恒成立，求的值．

解：（1）若選擇條件①：，則，即，令，則，解得，是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，.若選擇條件②：，是以為首項1為公差的等差數(shù)列，，；（2），，∴當，即；當，即；∴當時，對恒成立．18.隨著網(wǎng)絡技術的迅速發(fā)展，各種購物群成為網(wǎng)絡銷售的新渠道．在鳳梨銷售旺季，某鳳梨基地隨機抽查了100個購物群的銷售情況，各購物群銷售鳳梨的數(shù)量情況如下：鳳梨數(shù)量（盒）購物群數(shù)量（個）122032（1）求實數(shù)值，并用組中值估計這100個購物群銷售風梨總量的平均數(shù)（盒）；（2）假設所有購物群銷售鳳梨的數(shù)量服從正態(tài)分布，其中為（1）中的平均數(shù)，．若該鳳梨基地參與銷售的購物群約有1000個，銷售風梨的數(shù)量在（單位：盒）內(nèi)的群為“一級群”，銷售數(shù)量小于266盒的購物群為“二級群”，銷售數(shù)量大于等于596盒的購物群為“優(yōu)質(zhì)群”．該鳳梨基地對每個“優(yōu)質(zhì)群”獎勵1000元，每個“一級群”獎勵200元，“二級群”不獎勵，則該風梨基地大約需要準備多少資金？（群的個數(shù)按四舍五入取整數(shù)）附：若服從正態(tài)分布，則．解：（1）由題意得：，解得．故平均數(shù)為.（2）由題意，，且，故，所以“優(yōu)質(zhì)群”約有個，，所以“一級群”約有個；所以需要資金為，故至少需要準備186800元．19.在中，角所對的邊分別為．（1）求證：；（2）延長至點，使得，求的最大值．（1）證明：因為，由正弦定理得又因為，則，可得.（2）解：因為，可知，所以角為銳角，在中，由正弦定理得：，又因為，整理得，由于，則，可得，所以角A為銳角，可得，因為，則，所以可得，又因為，則，可得，當且僅當，即時，等號成立，所以的最大值為．20.如圖，平行六面體的體積為6，截面的面積為6．（1）求點到平面的距離；（2）若，，求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）在平行六面體中，是三棱柱，，設點到平面的距離為，則，所以，即點到平面的距離為1．（2）在中，，所以是菱形，連接交于，則，由（1）知點到平面的距離為1，所以平面．設點在直線上射影為點，則，且，所以和重合，即．以為坐標原點，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，則，根據(jù)，則，，設平面的一法向量為，則，取，則，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角正弦值為．21.已知橢圓的左頂點為，過右焦點且平行于軸的弦．（1）求的內(nèi)心坐標；（2）是否存在定點，使過點的直線交于，交于點，且滿足？若存在，求出該定點坐標，若不存在，請說明理由．解：（1）∴橢圓的標準方程為，不妨取，則；因為中，，所以的內(nèi)心在軸，設直線平分，交軸于，則為的內(nèi)心，且，所以，則；（2）∵橢圓和弦均關于軸上下對稱．若存在定點，則點必在軸上∴設當直線斜率存在時，設方程，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去得，則①∵點的橫坐標為1，均在直線上，，整理得，因為點在橢圓外，則直線的斜率必存在．∴存在定點滿足題意22.已知函數(shù)．（1）若，求證：；（2）當時，對任意，都有，求整數(shù)的最大值．（1）證明：時，設，則，，即在上恒成立，在上單調(diào)增，又，即；（2）解：時，當時，，所以．下證符合．時，當時，，所以當時，．記，則只需證對恒成立．，令，則在遞減，又，所以存在，使得，則在遞增，在遞減；又，所以存在使得，且，所以在遞增，在遞減，又，所以對恒成立，因為，所以符合．綜上，整數(shù)的最大值為3．江蘇省揚州市2023屆高三考前調(diào)研測試數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知全集，，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可知，、、，且，故.故選：B.2.已知空間中不過同一點的三條直線，則“兩兩相交”是“共面”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗空間中不過同一點的三條直線，，，若，，在同一平面，則，，相交或，，有兩個平行，另一直線與之相交，或三條直線兩兩平行．所以“，，在同一平面”成立，則“，，兩兩相交”不一定成立；而若“，，兩兩相交”，則“，，在同一平面”成立．故“，，兩兩相交”是“，，共面”的充分不必要條件，故選：A.3.以點為對稱中心的函數(shù)是（）．A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗對于A選項，對稱中心為，故不選A；對于B選項，對稱中心為，故不選B;對于C選項，對稱中心為，故C選項正確；對于D選項，不是中心對稱圖形，故不選D.故選：C4.某教學樓從二樓到三樓的樓梯共10級，上樓可以一步上一級，也可以一步上兩級，某同學從二樓到三樓準備用7步走完，則第二步走兩級臺階的概率為（）．A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗10級臺階要用7步走完，則4步是上一級，三步是上兩級，共種走法，若第二步走兩級臺階，則其余6步中有兩步是上兩級，共，所以第二步走兩級臺階的概率為.故選：C.5.車木是我國一種古老的民間手工工藝，指的是用刀去削旋轉著的木頭，可用來制作家具和工藝品，隨著生產(chǎn)力的進步，現(xiàn)在常借助車床實施加工．現(xiàn)要加工一根正四棱柱形的條木，底面邊長為，高為．將條木兩端夾住，兩底面中心連線為旋轉軸，將它旋轉起來，操作工的刀頭逐步靠近，最后置于離旋轉軸處，沿著旋轉軸平移，對整塊條木進行加工，則加工后木塊的體積為（）．A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗加工后木塊的橫截面的形狀如圖所示，其中O為橫截面的中心，,，，計算可得,，,所以加工后木塊的體積為.故選：B.6.復數(shù)（為虛數(shù)單位）在復平面內(nèi)對應點，則下列為真命題的是（）．A.若，則點在圓上B.若，則點在橢圓上C.若，則點在雙曲線上D.若，則點在拋物線上〖答案〗D〖解析〗表示點與之間的距離，表示點與之間的距離，記，，對于A，，表示點到、距離相等，則點在線段的中垂線上，故A錯誤；或由，整理得，所以點在，故A錯誤；對于B，由得，這不符合橢圓定義，故B錯誤；對于C，若，，這不符合雙曲線定義，故C錯誤；對于D，若，則，整理得，為拋物線，故D正確.故選：D.7.已知函數(shù)的導函數(shù)為和的定義域均為為偶函數(shù)，也為偶函數(shù)，則下列不等式一定成立的是（）．A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意，設，由于為偶函數(shù)，則，即，等號兩邊同時求導可得：，即，又由為偶函數(shù)，變形可得，故為常數(shù)），由此分析選項：對于A，由于不確定，不一定成立，A錯誤；對于B，，B錯誤；對于C，設，有，當時，，增函數(shù)，當時，，為減函數(shù)，則有，故在R上恒成立，又由，為R上的增函數(shù)，則有，C正確；對于D，為偶函數(shù)，其圖象關于軸對稱，不能保證成立，D錯誤．故選：C．8.已知向量，滿足的動點的軌跡為，經(jīng)過點的直線與有且只有一個公共點，點在圓上，則的最小值為（）．A. B.C. D.1〖答案〗A〖解析〗根據(jù)，可得，化簡得為動點的軌跡的方程為：，設經(jīng)過點的直線為：，（可判斷斜率存在）聯(lián)立方程，得①,由于直線與有且只有一個公共點，所以，或，得，或，因為圓，圓心，所以當點在軸上方時較小，以下只討論點在軸上方的情況,當時，代入①式，得，再代入雙曲線方程可得，當時，點在圓內(nèi)，可得的最小值為；當時，代入①式，得，再代入雙曲線方程可得則，當時，點在圓外，可得的最小值為；則的最小值為.故選：A.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知兩個離散型隨機變量，滿足，其中的分布列如下：012若，則（）．A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由分布列的性質(zhì)，可得，解得①，因為，所以，即②，聯(lián)立①②解得，，∴，因為，所以，.故選：ABD.10.已知函數(shù)的圖像為曲線，下列說法正確的有（）．A.都有兩個極值點B.都有三個零點C.，曲線都有對稱中心D.，使得曲線有對稱軸〖答案〗AC〖解析〗，，單調(diào)遞增；單調(diào)遞減；都有兩個極值點，故A選項正確；因為當時，；當時，,所以函數(shù)至少有一個零點，已知極大值極小值當，即時，，所以函數(shù)與x軸僅有一個交點，不滿足都有三個零點，故選項B錯誤；函數(shù)是開口向上的二次函數(shù)，且為軸對稱，此時對稱軸的橫坐標即為函數(shù)對稱中心的橫坐標，是曲線對稱中心，故選項C正確，由三次函數(shù)圖象的性質(zhì)知，曲線C沒有對稱軸，選項D錯誤．故選：AC.11.定義：在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩項的積，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫作該數(shù)列的一次“美好成長”．將數(shù)列、進行“美好成長”，第一次得到數(shù)列、、；第二次得到數(shù)列、、、、；；設第次“美好成長”后得到的數(shù)列為、、、、、，并記，則（）A. B.C. D.數(shù)列的前項和為〖答案〗ACD〖解析〗對于A選項，，A對；對于B選項，設第次“美好成長”后共插入項，即，共有個間隔，且，則第次“美好成長”后再插入項，則，可得，且，故數(shù)列是以首項為，公比為的等比數(shù)列，則，故，B錯；對于C選項，由題意可知：，C對；對于D選項，因為，且，所以，，且，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，，故，所以，，所以，數(shù)列的前項和為，D對.故選：ACD.12.圓柱高為1，下底面圓的直徑長為2，是圓柱的一條母線，點分別在上、下底面內(nèi)（包含邊界），下列說法正確的有（）．A.若，則點的軌跡為圓B.若直線與直線成，則的軌跡是拋物線的一部分C.存在唯一的一組點，使得D.的取值范圍是〖答案〗BC〖解析〗對B，如圖，不妨以為原點，以的垂直平分線，分別為軸建立空間直角坐標系，則，，設，則，由題意，，化簡得，，由于點在上底面內(nèi)，所以的軌跡是拋物線的一部分，故B正確；對A，，化簡得，即點的軌跡為橢圓，故A錯誤；對C，設點在下平面的投影為，若，則，則，當在線段上時，可取最小值，由均值不等式，，當且僅當時等號成立，所以，即，而點只有在與點重合時，才能取到，此時點與點重合，點與點重合，故C正確；對D，當點與點，點與點重合，的值為，故D錯誤.故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若，則被5除所得的余數(shù)為________．〖答案〗1〖解析〗由題知時，，故所以被5除得的余數(shù)是1.故〖答案〗為：1.14.圓（為坐標原點）與直線相切，與直線垂直的直線與圓交于不同的兩點，若，則直線的縱截距的取值范圍是________．〖答案〗〖解析〗由題意得：圓心到直線的距離為圓的半徑，，所以圓的標準方程為：，設直線的方程為：，與聯(lián)立，消去得：，設直線與圓的交點，，，，由△，得，，①，因為，所以，又，，所以②，由①②得，滿足，即，故直線縱截距的取值范圍是，故〖答案〗為：.15.已知正四棱錐的側面是邊長為3的正三角形，它的側棱的所有三等分點都在同一個球面上，則該球的表面積為________．〖答案〗〖解析〗如圖，正四棱錐的側棱的所有三等分點構成一個正四棱臺，棱臺上底面是邊長為1的正方形，棱臺下底面是邊長為2的正方形，側棱長為1，可求得棱臺的高為，設該棱臺的外接球的半徑為，球心到下底面的距離，球心到上底面的距離，①球心在兩個底面之間時，所以，因為，則，則上式無解；②球心在下底面下方時，，，兩邊同時平方：，，解得：，表面積，故〖答案〗為：.16.若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則直線的方程為________．〖答案〗或〖解析〗設與和的切點分別為，由導數(shù)的幾何意義可得，曲線在在點處的切線方程為，即，曲線在點處的切線方程為，即，則，解得，或，所以或．代入得或.故〖答案〗為：或.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在①；②這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答問題．設數(shù)列的前項和為，滿足________，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若存在正整數(shù)，使得對恒成立，求的值．

解：（1）若選擇條件①：，則，即，令，則，解得，是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，.若選擇條件②：，是以為首項1為公差的等差數(shù)列，，；（2），，∴當，即；當，即；∴當時，對恒成立．18.隨著網(wǎng)絡技術的迅速發(fā)展，各種購物群成為網(wǎng)絡銷售的新渠道．在鳳梨銷售旺季，某鳳梨基地隨機抽查了100個購物群的銷售情況，各購物群銷售鳳梨的數(shù)量情況如下：鳳梨數(shù)量（盒）購物群數(shù)量（個）122032（1）求實數(shù)值，并用組中值估計這100個購物群銷售風梨總量的平均數(shù)（盒）；（2）假設所有購物群銷售鳳梨的數(shù)量服從正態(tài)分布，其中為（1）中的平均數(shù)，．若該鳳梨基地參與銷售的購物群約有1000個，銷售風梨的數(shù)量在（單位：盒）內(nèi)的群為“一級群”，銷售數(shù)量小于266盒的購物群為“二級群”，銷售數(shù)量大于等于596盒的購物群為“優(yōu)質(zhì)群”．該鳳梨基地對每個“優(yōu)質(zhì)群”獎勵100