廣西壯族自治區(qū)貴港市覃塘高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)五模試卷含解析

廣西壯族自治區(qū)貴港市覃塘高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)五模試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.某程序框圖如圖所示，若輸出的S=120,則判斷框內(nèi)為（)

A.k>7?B.k>6?C.k>57D.左>4?

CCSX

2.函數(shù)/?（力=2，+2一的部分圖像大致為（

c.D

07x

3.如圖是一個算法流程圖，則輸出的結(jié)果是()

/輸出在/

()

A.3B.4C.5D.6

4.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有蒲生一日，長三尺莞生一日，長一尺蒲生日自半，莞生日自倍.

問幾何日而長倍？”意思是：“今有蒲草第1天長高3尺，蕪草第1天長高1尺以后，蒲草每天長高前一天的一半，蕪草

每天長高前一天的2倍.問第幾天莞草是蒲草的二倍？”你認(rèn)為莞草是蒲草的二倍長所需要的天數(shù)是()

(結(jié)果采取“只入不舍”的原則取整數(shù)，相關(guān)數(shù)據(jù)：lg3”0.4771,1g2ao.3010)

A.2B.3C.4D.5

5.設(shè)y=/(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在［0,+8)單調(diào)遞增，?=log020.3,^=log20.3,則()

A.f(a+b)>于(ab>>fQ)B.于(a+b)>fQ)>f(ab)

C.于(ab)>f(a+b)〉/⑼D.于(ab)>于g)>f(a+b)

6.已知復(fù)數(shù)2=/-,則復(fù)數(shù)Z的虛部為()

3+4z

444.4.

A.——B.-----C.——iD.----i

5555

7.波羅尼斯(古希臘數(shù)學(xué)家，的公元前262-190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲

線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k(k>0,

且后1)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有橢圓與+、=1(a>b>0),A,B為橢圓的長軸端

點(diǎn)'c,D為橢圓的短軸端點(diǎn)'動點(diǎn)M滿足IM向AI=2,AMAB面積的最大值為8.4MCD面積的最小值為1,則橢

圓的離心率為（）

A.—B.立C.—D.正

3322

8.港珠澳大橋于2018年10月2刻日正式通車，它是中國境內(nèi)一座連接香港、珠海和澳門的橋隧工程，橋隧全長55

千米.橋面為雙向六車道高速公路，大橋通行限速100耐"〃2,現(xiàn)對大橋某路段上1000輛汽車的行駛速度進(jìn)行抽樣調(diào)查.畫

出頻率分布直方圖（如圖），根據(jù)直方圖估計(jì)在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85,90）的車輛數(shù)和行駛速度超過90?”力

的頻率分別為（）

頻率

A.300,0.25B.300,0.35C.60,0.25D.60,0.35

9.已知數(shù)列是公比為;的等比數(shù)列，且q〉0,若數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列，則%的取值范圍為（）

A.（1,2）B.（0,3）C.（0,2）D.（0,1）

10.已知函數(shù)/（九）的定義域?yàn)閇0,2],則函數(shù)8（%）=/（2%）+，^三的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[0,1]B.[0,2]

C.[1,2]D.[1,3]

x-y>0

11.已知x,y滿足約束條件<x+yW2,則z=2x+y的最大值為

y>Q

A.1B.2C.3D.4

12.在棱長為。的正方體ABC。—A4Gq中，E、尸、M分別是A3、AD.A4的中點(diǎn)，又P、。分別在線段4月、

4〃上，且4尸=4。=根（0<7九<。），設(shè)平面MEbi平面MPQ=/,則下列結(jié)論中不成立的是（）

A.///平面3。。1片B.ILMC

C.當(dāng)機(jī)=@時，平面MPQLM砂D.當(dāng)機(jī)變化時，直線/的位置不變

2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

7T

13.曲線V=xcosx在％=§處的切線的斜率為.

14.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”，若S3=6,邑=28,則?！?,的最大值是.

\8

3爐+3

15.的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.

、yx7

16.已知Jjx5辦=〃，則（x+y+1）”展開式中的系數(shù)為一

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知橢圓C：三+/=1（?！等恕?）的左、右焦點(diǎn)分別為月，F(xiàn)2,焦距為2,且經(jīng)過點(diǎn)7］一1,一^

斜率為左仕>0）的直線4經(jīng)過點(diǎn)以（0,2）,與橢圓C交于G,H兩點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程；

（2）在x軸上是否存在點(diǎn)P（皿0）,使得以PG,7W為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出心的取值范圍,

如果不存在，請說明理由.

18.（12分）已知函數(shù)

一7一—一二工一：1I

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)->_:時，，求-的取值范圍.

二（二1）+（二；-口+12。

1

x=-costz

2

19.（12分）已知曲線M的參數(shù)方程為〈（a為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極

1.

y=-sincr

-2

2

坐標(biāo)系，曲線N的極坐標(biāo)方程為夕=、.?八.

(1)寫出曲線M的極坐標(biāo)方程；

(2)點(diǎn)A是曲線N上的一點(diǎn)，試判斷點(diǎn)A與曲線M的位置關(guān)系.

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=(awR,a/0),g(x)=x+lnx+l.

(I)討論/Xx)的單調(diào)性；

(H)若對任意的x＞0,/(x)2g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

21.(12分)已知函數(shù)/0)=0-西)(工一%2)。一%3)，%,%2，%€氏，且為＜%2＜七.

(1)當(dāng)石=0,%=1，%=2時，求函數(shù)/(尤)的減區(qū)間；

(2)求證：方程/。)=。有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；

(3)若方程/'(%)=0的兩個實(shí)數(shù)根是。，，(。＜，)，試比較之小，迨/與a,分的大小，并說明理由.

22.(10分)已知數(shù)列｛%｝滿足卬,/…a(〃eN*)，數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和S"=",(女可*)，

且白=1,b2=2.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式：

(2)求數(shù)列出｝的通項(xiàng)公式.

11，、

(3)設(shè)C,=-———,記T“是數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和，求正整數(shù)使得對于任意的〃eN*均有。27；.

424+1

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】

程序在運(yùn)行過程中各變量值變化如下表：

KS是否繼續(xù)循環(huán)

循環(huán)前11

第一圈24是

第二圈311是

第三圈426是

第四圈557是

第五圈6120否

故退出循環(huán)的條件應(yīng)為k>5?

本題選擇C選項(xiàng).

點(diǎn)睛：使用循環(huán)結(jié)構(gòu)尋數(shù)時，要明確數(shù)字的結(jié)構(gòu)特征，決定循環(huán)的終止條件與數(shù)的結(jié)構(gòu)特征的關(guān)系及循

環(huán)次數(shù).尤其是統(tǒng)計(jì)數(shù)時，注意要統(tǒng)計(jì)的數(shù)的出現(xiàn)次數(shù)與循環(huán)次數(shù)的區(qū)別.

2、A

【解析】

根據(jù)函數(shù)解析式，可知/（%）的定義域?yàn)閤eR,通過定義法判斷函數(shù)的奇偶性，得出/（r）=/（x）,則〃尤）為偶

函數(shù)，可排除選項(xiàng)，觀察A,8選項(xiàng)的圖象，可知代入％=0,解得/（0）>0,排除5選項(xiàng)，即可得出答案.

【詳解】

解：因?yàn)?"）=2工+2-'

所以/（九）的定義域?yàn)閤eR,

、）2~x+2X2X+2~x、'

為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，排除選項(xiàng)，

且當(dāng)x=0時，/（0）=1>0,排除3選項(xiàng)，所以4正確.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查由函數(shù)解析式識別函數(shù)圖象，利用函數(shù)的奇偶性和特殊值法進(jìn)行排除.

3、A

【解析】

執(zhí)行程序框圖，逐次計(jì)算，根據(jù)判斷條件終止循環(huán)，即可求解，得到答案.

【詳解】

由題意，執(zhí)行上述的程序框圖：

第1次循環(huán)：滿足判斷條件，x=2,y=l；

第2次循環(huán)：滿足判斷條件,x=4,y=2.

第3次循環(huán)：滿足判斷條件,x=8,?=3；

不滿足判斷條件，輸出計(jì)算結(jié)果y=3,

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的結(jié)果的計(jì)算與輸出，其中解答中執(zhí)行程序框圖，逐次計(jì)算，根據(jù)判斷條件終止

循環(huán)是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

4、C

【解析】

1

31

2"匕^,解出即可得出.

由題意可利用等比數(shù)列的求和公式得莞草與蒲草n天后長度，進(jìn)而可得:

2-1

2

【詳解】

n—1

由題意可得莞草與蒲草第n天的長度分別為4=3義［；］

I2n/2〃-1

據(jù)題意得：2x^-J―-解得2〃=12,

1-12—1

2

"件2+暫

1.

lg2lg2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

5、C

【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，比較刈I即可.

【詳解】

lgO-31lg0.3

解:\a+b\=|log0.3+log0.3|=

022lg0.2lg2

lg0.3xlg|lg0.3xlg|

_________________乙_______________________乙

-Ig5xlg2Ig5xlg2

lg0.3lg0.3

\ab\=|log020.3xlog,0.3|=lg02XliT

-lg0.3xlg0.3_lg0.3xlg0.3

Ig5xlg2Ig5xlg2

-lg0.3x(-lg0.3)

Ig5xlg2

lg0.3xlg^

Ig5xlg2

顯然所以,+4<|同

y=/(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在［0,+8)單調(diào)遞增,

所以/(")>/(a+b)>/(0)

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題考查對數(shù)的運(yùn)算及偶函數(shù)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.

6、B

【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義即可得出

【詳解】

_55(3-旬=34.

3+4z-(3+4z)(3-4z)-5-5Z，

4

則復(fù)數(shù)z的虛部為一

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7、D

【解析】

求得定點(diǎn)M的軌跡方程「X—"］+>2可得工x2ax3a=8,Lx2b><La=l,解得a,b即可.

3J92323

【詳解】

MA

設(shè)A(-a,0),B(a,0),M(x,y).1?動點(diǎn)M滿足有二=2,

MB

則J(x+a『+y2=2j(x—+=2,化簡得色—日了+y?=華.

AMAB面積的最大值為8,△MCD面積的最小值為1,

—x2ax—a=8,—x2bx—tz=1,解得a=b=,

23232

.?.橢圓的離心率為Jl—4=走.

\a22

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓離心率，動點(diǎn)軌跡，屬于中檔題.

8、B

【解析】

由頻率分布直方圖求出在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間［85,90)的頻率即可得到車輛數(shù)，同時利用頻率分布直方圖能

求行駛速度超過90km//z的頻率.

【詳解】

由頻率分布直方圖得：

在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間［85,90)的頻率為Q06x5=0.3,

在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間［85,90)的車輛數(shù)為：0.3x1000=300,

行駛速度超過90加2/丸的頻率為：(0.05+0.02)x5=0.35.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查頻數(shù)、頻率的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

9、D

【解析】

先根據(jù)已知條件求解出｛4｝的通項(xiàng)公式，然后根據(jù)｛4｝的單調(diào)性以及4〉0得到用滿足的不等關(guān)系，由此求解出內(nèi)的

取值范圍.

【詳解】

因?yàn)閝〉0,數(shù)列｛凡｝是單調(diào)遞增數(shù)列，

]1

所以?！祇,則

(1H1

化簡得0<-—1—<——1,所以0<q<l.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式求解以及根據(jù)數(shù)列單調(diào)性求解參數(shù)范圍，難度一般.已知數(shù)列單調(diào)性，可根據(jù)%,%+i之間的大

小關(guān)系分析問題.

10、A

【解析】

0<2x<2

試題分析：由題意,得4―。，解得OWE,故選A.

考點(diǎn)：函數(shù)的定義域.

11、D

【解析】

作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.

【詳解】

作出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示，

x+y-.

夕-y二0

12\x

z=2%+y等價于y=-2x+z,作直線y=-2x,向上平移，

易知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)(2,0)時z最大，所以入砍=2x2+0=4,故選D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法.

12、C

【解析】

根據(jù)線面平行與垂直的判定與性質(zhì)逐個分析即可.

【詳解】

因?yàn)锳P=AQ=/%所以PQ//用2,因?yàn)镋、尸分別是A5、4D的中點(diǎn)，所以EF//3D,所以P。//防,因?yàn)槊?/p>

面MPQ=/，所以P?！ㄌ?/.選項(xiàng)A、D顯然成立；

因?yàn)锽D//EF//1,6。_L平面ACQA，所以/，平面ACQA，因?yàn)镸Cu平面ACQA，所以/_L,所以B項(xiàng)成

立；

易知ACX1平面MEF,\C1平面MPQ,而直線AQ與不垂直，所以C項(xiàng)不成立.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與平面的位置關(guān)系.屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

[Q16兀

_LJ、--------

26

【解析】

7T

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義令x=上,即可求出切線斜率.

3

【詳解】

y=/(x)=xcosx,

/f(x)=cosx-xsinx,

即曲線丁=%以方兀在》=三處的切線的斜率左=J_—翅

326

故答案為：1.—叵

26

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則以及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

1

14、n-

7

【解析】

利用等差數(shù)列前九項(xiàng)和公式，列出方程組，求出首項(xiàng)和公差的值，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公

a.+&a.+a

式，可求出」「的表達(dá)式，然后利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性可求出」「n的最大值.

【詳解】

(1)設(shè)等差數(shù),列同、的公差為(則1S與R==37C；L++3d2=*628'解得fa匕==11'

所以，數(shù)列｛??｝的通項(xiàng)公式為4=%+(n—1)d=〃；

力c_〃(4+4)+2(1+〃)

=_S“+4—(〃+5)(〃+4)'

a\+an_2t_2

令/=九+1,貝!U22且，eN,S’.一a+4)1+3)，+*+7，

t

由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)y=/+—+7在te(0,2君)時單調(diào)遞減，在/e(2道,+對時單調(diào)遞增，

a+a1

當(dāng)1=3或4時，七｝」1取得最大值為三.

七=47

故答案為：n；—.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

15、5670

【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)，可得二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)，可求得其系數(shù).

【詳解】

二項(xiàng)展開式一共有9項(xiàng)，所以由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)，系數(shù)為《34=5670.

故答案為：5670

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)式定理展開式的應(yīng)用，由通項(xiàng)公式求二項(xiàng)式系數(shù)，屬于中檔題.

16、1.

【解析】

由題意求定積分得到”的值，再根據(jù)乘方的意義，排列組合數(shù)的計(jì)算公式，求出展開式中dy的系數(shù).

【詳解】

042

?.?已知1三公=二=4=〃，貝!I(x+y+1)"=(x+y+l>,

240一-

它表示4個因式(x+y+1)的乘積.

故其中有2個因式取X,一個因式取y,剩下的一個因式取1,可得好,的項(xiàng).

故展開式中的系數(shù)瑪?以?C：=12.

故答案為：L

【點(diǎn)睛】

本題主要考查求定積分，乘方的意義，排列組合數(shù)的計(jì)算公式，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)—+21=1(2)存在；實(shí)數(shù)M的取值范圍是一事,0

43L6)

【解析】

(1)根據(jù)橢圓定義計(jì)算。，再根據(jù)b,c的關(guān)系計(jì)算b即可得出橢圓方程；(2)設(shè)直線4方程為y=^+2,與

橢圓方程聯(lián)立方程組，求出左的范圍，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出GH的中點(diǎn)坐標(biāo)，求出GH的中垂線與x軸的交點(diǎn)橫,

得出心關(guān)于左的函數(shù)，利用基本不等式得出機(jī)的范圍.

【詳解】

(1)由題意可知c=l,4(TO),巴(L0).

又2a=|S|+|超|=J(-l+l)2+(--|)2++(-'|)2=1'+3=4,

：,a=2,:.b=sia2—c2=y/3,

22

，橢圓。的方程為：L+匕=i.

43

(2)若存在點(diǎn)尸(辦。)，使得以PG,PH為鄰邊的平行四邊形是菱形,

則P為線段GH的中垂線與x軸的交點(diǎn).

設(shè)直線4的方程為：y=kx+2,G(X],%),H(X2,%)，

y=kx+2

聯(lián)立方程組《尤2y,消元得：(3+4爐+16履+4=0,

[43

△=256女2—16(3+4左2)>0,又左>0,故人>工.

2

16”

由根與系數(shù)的關(guān)系可得%+%=-----不，設(shè)G”的中點(diǎn)為(%,%),

3+4左

no8k7c6

則/=一直充'%=1+2=三布'

二線段GH的中垂線方程為：曠=-4。+丁當(dāng)廣)+「二，

k3+4左3+4左

-2k22

■y*—___________—_____________yyi—____________

令y=0可得-3+正一3+公,即-3+40

kk

k>~,故」+4上.2、95=4小，當(dāng)且僅當(dāng)』=4左即左=克時取等號,

2k\kk2

"Z…---j==~~~>且/〃<0.

4V36

二根的取值范圍是[-￡,0).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了橢圓的性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.

18、(1)見解析；(2)

【解析】

(1)f(x)=(x+l)ex-ax-a=(x+1)(ex-a).對a分類討論，即可得出單調(diào)性.

(2)由xeX-ax-a+l^O,可得a(x+l)<xex+l,當(dāng)x=-l時，0￡+1恒成立.當(dāng)x>-l時，a-令g(x)=,

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出.

【詳解】

解法一：⑴二。=二二+二二二-二二-二=（二.二）（二

①當(dāng)二，時，

n[TB，-/)-1(T.+x)

□d)-0+

二（二）極小值/

所以--］在J._?上單調(diào)遞減，在一?一單調(diào)遞增.

②當(dāng)時,—7口、一〃的根為門一打）一或———丁

若工二＞一?即一/

n-1(TAJ)揖二QB￡I+?)

Z(Z)+0-0+

/極大值極小值/

所以-］在上單調(diào)遞增，在._:口-上單調(diào)遞減.

若工二=T即一/

口=:

-一）??I＞「J在J,,,-?J--上恒成立，所以一-\，―-在，,——上單調(diào)遞增，無減區(qū)間.

若一，X

n(-x.ittZ)MlQaELF-1

口'(cq+0-0+

n(ng/極大值\極小值/

所以--在_上單調(diào)遞增，在■..-上單調(diào)遞減.

XJlL*JI\13?IJIMBXJ*AJ

綜上:

當(dāng)-時，-二在（一工一。上單調(diào)遞減，在F）上單調(diào)遞增；

當(dāng)1時，口（匚）在［f?刀，［一兒一上單調(diào)遞增，在3口_,上單調(diào)遞減;

自時，在..上單調(diào)遞增，無減區(qū)間；

r，I二”J

n=-

當(dāng)時，--在一.-八上單調(diào)遞增，在」?：「上單調(diào)遞減.

r*、“、“

」）二

（2）因?yàn)榭诳赹一一口+/>?所以—（廠+J）g-匚：+』?

當(dāng)--_?時，恒成立.

」-,，一*■■

0￡—二+』

4ZL---

取一—V「-J?—一—."，一十?一二一十一/'.J_1'，

因?yàn)槎ǘ?二二（二+J）（~+2）>0在□€<―/.4?）上恒成立，

即二（匚）=二1（二;+二+/）-1^26（T+與上單調(diào)遞增?

又因?yàn)?7所以;在I；）上單調(diào)遞減，在「上單調(diào)遞增,

則一廠—一?_.，所以一丁一.

綜上，的取值范圍為-

解法二：（1）同解法一；

⑵令一.,

二（匚）=二（口）+9二?-二+/=二二--二二一二

所以一（-）=-1+--;__=_1。一一1，

當(dāng):］$a時，□（0）n一則二：Z）在卜工上單調(diào)遞增，

所以，滿足題意.

二⑶2=

當(dāng),<n<一時，

令一一一一二十—二--，

因?yàn)槎?二)：=2二二+二二戶>9即□(3)=口匚+口口0一口在［一兒4?)上單調(diào)遞增?

又因?yàn)?-<0,-=二隹，-,

所以二二，二二二一二二二_二二力在0］上有唯一的解，記為-，

□01

□,(Q-0+

極小值/

，滿足題意.

=一二，/二二：一」二-二-；+」>-0

當(dāng)二：時，二?——二十,::］，不滿足題意.

綜上，的取值范圍為,H.

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、分類討論方法、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能

力，屬于難題.

19、(1)p=-(2)點(diǎn)A在曲線M外.

2

【解析】

(1)先消參化曲線M的參數(shù)方程為普通方程,再化為極坐標(biāo)方程；

(2)由點(diǎn)A是曲線N上的一點(diǎn)，利用sin26的范圍判斷P的范圍，即可判斷位置關(guān)系.

【詳解】

1

x=—cosa

21,1

(1)由曲線/的參數(shù)方程為:可得曲線M的普通方程為x2+V=4,則曲線〃的極坐標(biāo)方程為F

4

y=—sina

I2

即夕=:

(2)由題，點(diǎn)A是曲線N上的一點(diǎn),

2-1

因?yàn)閟in20e［T,1］斯以夕e§,2，即夕〉e，

2

所以點(diǎn)4在曲線M外.

【點(diǎn)睛】

本題考查參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，考查直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

20、(I)見解析(II)a>l

【解析】

(I)求導(dǎo)得到/'(x)=a(x+l)",討論。>0和。<0兩種情況，得到答案.

、x+Inx+1、］、%+In%+14、-(x+l)(x+lnx).1上心/、

(II)變換得到aN-------------，設(shè)F(x)=---------——，求F(x)=-------------------,令"(zx)x=x+lnx,故°(x)

xexexe

在單調(diào)遞增，存在/右(：,，使得計(jì)算得到答案.

(0,+8)0(%)=0,F(x)max=F(x0),

【詳解】

(I)/r(x)=a(x+l)ex

當(dāng)〃>0時，〃%)在(-8,-D單調(diào)遞減，在(-1,住)單調(diào)遞增;

當(dāng)，<0時，/(%)在(f1)單調(diào)遞增，在(—1,行)單調(diào)遞減.

x+lnx+1/八、

(II)/(x)>^(x)(x>0),即ore*2%+lnx+l(x>0),a>---------——(x>0).

xex

.尸/、x+lnx+1/八、

令尸(％)=------——(x>0),

xe

IT—jX￡x—(x+(x+Inx+1)

_-(x+l)(x+lnx),

則F1(x)=

22x

xexxe

1Y-U1

令0(x)=x+lnx,>，(％)=1+—=——,故夕(x)在(0,+8)單調(diào)遞增,

XX

注意到=夕(1)=1>0,

于是存在/使得0(/)=%+111%=0,

可知/(x)在(0,5)單調(diào)遞增，在(%,+8)單調(diào)遞減.

??.9—(%)=匚丁=1?

綜上知，a>l.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，恒成立問題，意在考查學(xué)生對于導(dǎo)數(shù)知識的綜合應(yīng)用能力.

21、(1)(1-^,1+^)(2)詳見解析(3)tz〈當(dāng)巴〈號玉<，

【解析】

試題分析：(1)當(dāng)石=0,x2-1,退=2時，/(x)=x(x-l)(x-2)=x3-3犬+2x,/'(X)=3x?-6x+2,,由/(x)<。

得了(X)減區(qū)間(1一日/+1)；(2)因?yàn)?(X)=d一(芯+々+工3)必+(玉々+工2工3+工3%)%一%%2%3，所以

22

/'(X)=3x-2(X1+%2+%)%+(占%2+々%3+%3%),因?yàn)锳二2[(^~X2)+(々一％3V+(%-再。所以，方程

2

/'(x)=。有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；(3)因?yàn)榱耍?出土逗)=_(族一再)2<0,(x2-x3)<()>所以

2424

X\+X2X2+X3

a<<<B

22

試題解析：(1)當(dāng)再=。，％2=1，退=2時，/(九)=%(九一1)(%-2)=%3一3%2+2羽尸(%)=3%2-6%+2,,由/(%)<0

得了(%)減區(qū)間(1—

(2)法1：/(%)=/一(斗+%2+%3)%2+(再%2+%2%3+%3%)%-11%2%3，

2XXXx

/'(%)=3x-2(%+X2+x3)x+(再%2+23+3i)

A=2[(再—X2)+(%2—%)?+(%3—石)2]>0,王<尤2<%3，

所以，方程/(%)=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根;

法2:尸(九)=(x-Xj)(x-x2)+(X-x2)(x-x3)+(X-x3)(x-Xj),

r

f(x2)=(x2-x3)(x2一玉)<0,

/(X)是開口向上的二次函數(shù)，

所以，方程/'(%)=。有兩個不相等的實(shí)數(shù)根;

(3)因?yàn)?