《金融計(jì)算：基于Python》 課件 第7章-Python期權(quán)定價(jià)

金融計(jì)算：基于Python

第7章 Python期權(quán)定價(jià)【教學(xué)目的與要求】通過(guò)本章學(xué)習(xí)，結(jié)合習(xí)近平新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義經(jīng)濟(jì)思想，講授Python的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型、期權(quán)定價(jià)的蒙特卡羅模擬、二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型的計(jì)算?！局攸c(diǎn)和難點(diǎn)】Python的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型、期權(quán)定價(jià)的蒙特卡羅模擬、二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型的計(jì)算。【思政育人目標(biāo)】將習(xí)近平新時(shí)代中國(guó)特色社會(huì)主義經(jīng)濟(jì)思想融入到Python的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型、期權(quán)定價(jià)的蒙特卡羅模擬、二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型計(jì)算的學(xué)習(xí)中。【課程學(xué)習(xí)目標(biāo)】掌握Python的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型、期權(quán)定價(jià)的蒙特卡羅模擬、二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型計(jì)算。金融計(jì)算：基于Python2主要內(nèi)容7.1. Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型7.2. 期權(quán)定價(jià)的蒙特卡洛模擬7.3. 二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型金融計(jì)算：基于Python37.1.Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型

金融計(jì)算：基于Python4defbscall_option(S0，X，rf，sigma，T):d1=(log(S0/X)+(rf+0.5*sigma**2)*T)/(sigma*sqrt(T))d2=d1-sigma*sqrt(T)C=S0*norm.cdf(d1)-X*exp(-rf*T)*norm.cdf(d2)returnC[例7.1.1]股票當(dāng)前價(jià)格為25元，執(zhí)行價(jià)格為25元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率8%，股票的波動(dòng)率30%，期權(quán)到期期限6個(gè)月，計(jì)算對(duì)應(yīng)的歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價(jià)格。[例7.1.2]假設(shè)政府在以招標(biāo)形式轉(zhuǎn)讓土地的有償使用權(quán)，有一投資商想要購(gòu)買一塊荒地用于開發(fā)城市居民區(qū)，那么投資商究竟應(yīng)該投標(biāo)多少金額呢?進(jìn)一步假設(shè)投資商估計(jì)要在這片荒地上投入10億元進(jìn)行基礎(chǔ)設(shè)施開發(fā)，然后按照現(xiàn)有可比性的的相同住宅的現(xiàn)價(jià)，估計(jì)用2年時(shí)間將基礎(chǔ)設(shè)施建成后，這片土地的價(jià)值為15億元。并且投資測(cè)算出當(dāng)前市場(chǎng)對(duì)未來(lái)土地價(jià)格預(yù)期的波動(dòng)率是0.3，同期無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是5%。7.1.2. 紅利對(duì)歐式期權(quán)價(jià)格影響

金融計(jì)算：基于Python5defdivbcall_option(S0，X，rf，div，divt，sigma，T):V=sum(div*exp(-rf*divt))d1=(log((S0-V)/X)+(rf+0.5*sigma**2)*T)/(sigma*sqrt(T))d2=d1-sigma*sqrt(T)C=(S0-V)*norm.cdf(d1)-X*exp(-rf*T)*norm.cdf(d2)returnC歐式看跌期權(quán)defdivbput_option(S0，X，rf，div，divt，sigma，T):V=sum(div*exp(-rf*divt))d1=(log((S0-V)/X)+(rf+0.5*sigma**2)*T)/(sigma*sqrt(T))d2=d1-sigma*sqrt(T)P=X*exp(-rf*T)*norm.cdf(-d2)-(S0-V)*norm.cdf(-d1)returnP[例7.1.3]考慮到期時(shí)間還有6個(gè)月的股票歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)。標(biāo)的股票在2個(gè)月和5個(gè)月后各有一個(gè)除息日，每個(gè)除息日的紅利期望值為0.5元，已知當(dāng)前股票價(jià)格為40元，行權(quán)價(jià)格是40元，股票年波動(dòng)率為30%，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為9%。試求兩種期權(quán)的價(jià)格。7.1.3. 風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖分析風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖是指通過(guò)投資或購(gòu)買與標(biāo)的資產(chǎn)收益波動(dòng)負(fù)相關(guān)的某種資產(chǎn)或衍生證券，來(lái)沖銷標(biāo)的資產(chǎn)潛在損失的一種策略。在進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖時(shí)經(jīng)常用到的定量參數(shù)有:Delta、Gamma、Vega、Theta、Rho。這些參數(shù)一般是某些變量變化的比率，反映了一些變量對(duì)另外一些變量的相對(duì)變化。金融計(jì)算：基于Python6Delta對(duì)沖defdc_Delta(S0,X,rf,sigma,T):d1=(log(S0/X)+(rf+0.5*sigma**2)*T)/(sigma*sqrt(T))d2=d1-sigma*sqrt(T)Delta=norm.cdf(d1)returnDeltadefdc_Gamma(S0，X，rf，sigma，T):d1=(log(S0/X)+(rf+0.5*sigma**2)*T)/(sigma*sqrt(T))d2=d1-sigma*sqrt(T)nd1=1/(sqrt(2*3.14159265))*exp(-d1**2/2)Gamma=nd1/(S0*sigma*sqrt(T))returnGammaVega=Sn(d_1)√Tdefdc_Vega(S0，X，rf，sigma，T):d1=(log(S0/X)+(rf+0.5*sigma**2)*T)/(sigma*sqrt(T))d2=d1-sigma*sqrt(T)nd1=1/(sqrt(2*3.14159265))*exp(-d1**2/2)Vega=S0*nd1*sqrt(T)returnVegadefdc_Theta(S0，X，rf，sigma，T):d1=(log(S0/X)+(rf+0.5*sigma**2)*T)/(sigma*sqrt(T))d2=d1-sigma*sqrt(T)nd1=1/(sqrt(2*3.14159265))*exp(-d1**2/2)Theta=-S0*nd1*sigma/(2*sqrt(T))-rf*X*exp(-rf*T)*norm.cdf(d2)returnThetadefdc_Rho(S0，X，rf，sigma，T):d1=(log(S0/X)+(rf+0.5*sigma**2)*T)/(sigma*sqrt(T))d2=d1-sigma*sqrt(T)nd1=1/(sqrt(2*3.14159265))*exp(-d1**2/2)Rho=X*T*exp(-rf*T)*norm.cdf(d2)returnRho[例7.1.4]考慮一個(gè)不支付紅利股票的歐式看漲期權(quán)，其標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格是50元，行權(quán)價(jià)格是50元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率是10%，年波動(dòng)率為30%，權(quán)力期間還有6個(gè)月，求其相應(yīng)的對(duì)沖參數(shù)。金融計(jì)算：基于Python77.1.4. 隱含波動(dòng)率作為Black-Scholes歐式期權(quán)定價(jià)公式最重要的參數(shù)，波動(dòng)率σ是標(biāo)的資產(chǎn)本身的波動(dòng)率。我們更關(guān)心的是當(dāng)時(shí)的報(bào)價(jià)所反映的市場(chǎng)對(duì)波動(dòng)率的估計(jì)，這個(gè)估計(jì)的波動(dòng)率稱為隱含波動(dòng)率(ImpliedVolatility)。這里的過(guò)程實(shí)際上是在Black-Scholes歐式期權(quán)定價(jià)公式中，假設(shè)另外4個(gè)參數(shù)確定，期權(quán)價(jià)格已知，反解σ。當(dāng)計(jì)算得到看漲期權(quán)價(jià)格和給定看漲期權(quán)價(jià)格之間的絕對(duì)值小于我們?cè)O(shè)定的一個(gè)臨界值，如1分錢，即|c-3.3|<0.01時(shí)，就停止計(jì)算。金融計(jì)算：基于Python8defimpvol(S0,X,T,rf,c):fromscipy.statsimportnormforiinrange(200):sigma=0.005*(1+i)d1=(log(S0/X)+(rf+0.5*sigma**2)*T)/(sigma*sqrt(T))d2=d1-sigma*sqrt(T)diff=c-(S0*norm.cdf(d1)-X*exp(-rf*T)*norm.cdf(d2))ifabs(diff)<=0.01:returni,sigma,diff[例7.1.5]考慮一個(gè)不支付紅利股票的歐式看漲期權(quán)，其標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格是40元，行權(quán)價(jià)格是40元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)年利率是10%，權(quán)力期間還有6個(gè)月，假設(shè)看漲期權(quán)價(jià)格為3.3元，求隱含波動(dòng)率。7.2. 期權(quán)定價(jià)的蒙特卡洛模擬

金融計(jì)算：基于Python97.2.2. 對(duì)數(shù)正態(tài)分布的隨機(jī)變量模擬

金融計(jì)算：基于Python10defsim_randvariable(S，rf，sigma，t):R=(rf-0.5*sigma**2)*tSD=sigma*sqrt(t)C=S*exp(R+SD*norm.cdf(1))returnC[例7.2.1]假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)現(xiàn)在價(jià)格是10元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率0.01，年標(biāo)準(zhǔn)差0.3，距離下一時(shí)刻的時(shí)間為6個(gè)月，計(jì)算下一時(shí)刻標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格7.2.3. 模擬歐式期權(quán)定價(jià)

金融計(jì)算：基于Python11defqqdj(S0，X，T，rf，sigma，n):z=random.standard_normal(n)ST=S0*exp((rf-0.5*sigma**2)*T+sigma*z*sqrt(T))ht=maximum(ST-X，0)C0=exp(-rf*T)*sum(ht)/nreturnC0[例7.2.2]不支付紅利股票的歐式看漲期權(quán)，資產(chǎn)價(jià)格是100元，無(wú)執(zhí)行價(jià)格是100元，風(fēng)險(xiǎn)利率0.1，年標(biāo)準(zhǔn)差0.25，期權(quán)有效期1年，模擬歐式看漲期權(quán)的價(jià)格7.2.4. 蒙特卡羅模擬精度的改進(jìn)7.2.4.1.對(duì)偶變量利用對(duì)偶技術(shù)可以增加估計(jì)穩(wěn)定性、提高估計(jì)精度根據(jù)對(duì)偶變量法的基本思想，編寫python函數(shù)的思路為：1) 模擬標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格路徑；2) 計(jì)算兩個(gè)期權(quán)損益值，其中一個(gè)是按照常規(guī)蒙特卡羅法計(jì)算的結(jié)果，另一個(gè)是己變所有正態(tài)分布符號(hào)計(jì)算出來(lái)的結(jié)果3) 計(jì)算期權(quán)的價(jià)格，即計(jì)算上述兩期權(quán)的平均值并將計(jì)算結(jié)果進(jìn)行貼現(xiàn)。金融計(jì)算：基于Python12defdoqqdj(S0,X,T,r,sigma,N):z=random.standard_normal(N)#模擬標(biāo)的變量路徑并計(jì)算估計(jì)值

ST1=S0*exp((r-0.5*sigma*sigma)*T+sigma*z*sqrt(T))hT1=maximum(ST1-X,0)#貼現(xiàn)

C1=exp(-r*T)*sum(hT1)/N#改變隨機(jī)變量z的符號(hào)，模擬標(biāo)的變量路徑并計(jì)算估計(jì)值

ST2=S0*exp((r-0.5*sigma*sigma)*T+sigma*(-z)*sqrt(T))hT2=maximum(ST2-X,0)#貼現(xiàn)

C2=exp(-r*T)*sum(hT2)/N#計(jì)算平均值

C=(C1+C2)/2returnC[例7.2.3]考慮不支付紅利股票的歐式看漲期權(quán)，它們的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格是100元，執(zhí)行價(jià)格是100元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是10%，年波動(dòng)率是25%，期權(quán)的有效期是1年，用對(duì)偶變量法計(jì)算其歐式看漲價(jià)格。7.2.4.2.控制變量法模擬控制變量法就是將與所估計(jì)的未知變量密切相關(guān)的另一個(gè)已知量的真實(shí)值和估計(jì)值之間的差異作為控制量，以提高估計(jì)精度。在定價(jià)實(shí)踐中，將兩種衍生證券用相同的隨機(jī)抽樣樣本和時(shí)間間隔，實(shí)施同樣的蒙特卡羅模擬過(guò)程，能夠得到兩個(gè)模擬估計(jì)值，以第二種衍生證券真實(shí)值與估計(jì)值之間的差異作為控制變量，最后得到第一種衍生證券的蒙特卡羅估計(jì)值。金融計(jì)算：基于Python13[例7.2.4]考慮不支付紅利股票的歐式看漲期權(quán)，它們的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格是100元，執(zhí)行價(jià)格是100元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是10%，年波動(dòng)率是25%，期權(quán)的有效期是1年，用控制變量法計(jì)算其歐式看漲價(jià)格。7.3.1.2.多期歐式看漲期權(quán)定價(jià)

金融計(jì)算：基于Python147.3.2. 二項(xiàng)式期權(quán)解析步驟根據(jù)二項(xiàng)式法的基本原理和二項(xiàng)式法的解析式，計(jì)算衍生證券價(jià)格的步驟： 將衍生證券的有效期分成N步等間隔時(shí)間段，每步步長(zhǎng)?t； 計(jì)算二項(xiàng)式的參數(shù)p，u和d； 構(gòu)建二叉樹； 通過(guò)二又樹倒推計(jì)算期權(quán)的價(jià)格。金融計(jì)算：基于Python157.3.3. 無(wú)收益資產(chǎn)歐式期權(quán)定價(jià)

金融計(jì)算：基于Python16defbinary_tree_ecop(S,X,r,sigma,times,steps):R=math.exp(r*(times/steps))u=math.exp(sigma*math.sqrt(times/steps))d=1.0/up_up=(R-d)/(u-d)p_down=1-p_upprices=np.zeros(steps+1)call_values=np.zeros(steps+1)prices[0]=S*d**(steps)foriinrange(1,(steps+1)):prices[i]=u**2*prices[i