2024屆高考數(shù)學(xué)（文科）精英模擬卷 【全國卷】含答案

2024屆高考數(shù)學(xué)（文科）精英模擬卷【全國卷】【滿分：150分】一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a等于()A.-1 B.0 C.1 D.22.設(shè)全集，集合，，則()A. B. C. D.3.已知向量a，b滿足，，則()A.4 B.3 C.2 D.04.設(shè)，則“”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知數(shù)列是等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，若，，則()A.10 B.15 C.20 D.406.中國的計(jì)量單位可追溯到4000多年前的氏族社會(huì)末期，秦王統(tǒng)一中國后，頒布了統(tǒng)一度量衡的詔書并制發(fā)了成套的權(quán)衡和容量標(biāo)準(zhǔn)器，如圖是當(dāng)時(shí)的一種度量工具“斗”（無蓋，不計(jì)厚度）的三視圖（正視圖和側(cè)視圖都是等腰梯形），若此“斗”的體積約為2000立方厘米，則其高約為()（單位：厘米）A.8 B.9 C.10 D.117.已知，若恒成立，則k的最大值為()A.4 B.5 C.24 D.258.若雙曲線（，）的左，右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P為C的左支上任意一點(diǎn)，直線l是雙曲線的一條漸近線，，垂足為Q.當(dāng)?shù)淖钚≈禐?時(shí)，的中點(diǎn)在雙曲線C上，則C的方程為()A. B.C. D.9.塹堵即底面為直角三角形的直棱柱，最早的文字記載見于《九章算術(shù)》.如圖所示，塹堵可以分割成一個(gè)陽馬（底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐）和一個(gè)鱉臑（四個(gè)面都為直角三角形的四面體）.已知鱉臑體積為6，，，則陽馬中AC與DF夾角的余弦值為()A. B. C. D.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將的圖象向右平移個(gè)單位長度，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，得到函數(shù)的圖象，若在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是()

A. B. C. D.11.設(shè)函數(shù)在R上滿足，且當(dāng)時(shí)，成立，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系是()A. B. C. D.12.已知橢圓的離心率為，左頂點(diǎn)是A，左?右焦點(diǎn)分別是，，M是C在第一象限上的一點(diǎn)，直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.若，則直線的斜率為()A. B. C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用x(萬元)4235銷售額y(萬元)49263954根據(jù)上表可得回歸方程中的為9.4，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)銷售額為________萬元.14.著名科學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，給出了“牛頓數(shù)列”，它在航空航天中應(yīng)用廣泛.其定義是：對于函數(shù)，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“牛頓數(shù)列”.已知函數(shù)，數(shù)列為“牛頓數(shù)列”，，且，，則__________.15.已知為銳角，，則__________.16.已知函數(shù)，若方程恰有5個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是__________．三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17.（12分）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個(gè)正三角形的面積依次為，，.已知，.（1）求的面積；（2）若，求b.18.（12分）為了了解手機(jī)用戶對手機(jī)操作系統(tǒng)A的期待程度，某公司隨機(jī)在20000人中隨機(jī)抽取了100人調(diào)查，記錄他們的期待值，將數(shù)據(jù)分成，，…，6組，其中期待值不低于60的稱為非常期待A系統(tǒng)，現(xiàn)整理數(shù)據(jù)得到如下頻率分布直方圖.（1）試估計(jì)樣本中期待值在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)；（2）請根據(jù)所提供的數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并判斷能否有99.5%的把握認(rèn)為是否非常期待A系統(tǒng)與性別有關(guān)；非常期待不非常期待合計(jì)男55女20合計(jì)100（3）為了答謝用戶對A系統(tǒng)的期待和信任，宣傳部門決定：從非常期待的人群中用分層抽樣的方法抽出六名代表參加A系統(tǒng)的宣傳發(fā)布會(huì)，在發(fā)布會(huì)的互動(dòng)環(huán)節(jié)中將抽取兩位代表贈(zèng)送手機(jī)，求這兩位代表為一男一女的概率.19.（12分）如圖，PA是三棱錐的高，線段BC的中點(diǎn)為M，且，.（1）證明：平面PAM；（2）求A到平面PBC的距離.20.（12分）已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若的極大值為5，求實(shí)數(shù)a的值.21.（12分）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，直線與C交于A，B兩點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)O）.（1）若，證明：直線過定點(diǎn)；（2）已知，直線在直線的右側(cè)，，與之間的距離，交C于M，N兩點(diǎn)，試問是否存在m，使得？若存在，求m的值；若不存在，說明理由.（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22.（10分）[選修4?–?4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線C和直線的極坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線C分別交于O，A兩點(diǎn)，直線與曲線C分別交于O，B兩點(diǎn)，求的面積.23.（10分）[選修4?–?5：不等式選講]已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）當(dāng)時(shí)，若存在，使得成立，求的取值范圍.

答案以及解析1.答案：A解析：因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以解得.故選A.2.答案：D解析：由得，則，所以.當(dāng)時(shí)，，則，所以.故選D.3.答案：B解析：.4.答案：B解析：由可得；由可得.故由推不出，而由能推出，故“”是“”的必要不充分條件.故選B.5.答案：C解析：法一：由題易知，，，，成等差數(shù)列，又，，則.法二：因?yàn)?，，所以，即，所?6.答案：B解析：此幾何體是上下均為正方形的臺體，上底面面積為，下底面面積為，設(shè)高為h，由臺體體積公式，得，即，解得.所以其高約為9厘米，故選B.7.答案：C解析：，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，即，由題意可得：，又，解得，故k的最大值為24.故選C.8.答案：B解析：，，又，，雙曲線的漸近線方程為，即，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，即的最小值為b，即，不妨設(shè)直線OQ為，，點(diǎn)，，的中點(diǎn)為，將其代入雙曲線C的方程得，即，解得，又，，，故雙曲線C的方程為.故選B.9.答案：C解析：將該三棱柱補(bǔ)全為長方體，如圖，則AC與DF的夾角即為AC與CG的夾角，即為.易知，.由，即，解得.易得，，，由余弦定理得.10.答案：C解析：的最小正周期為T，由題圖可得，，所以，，，得，，又，所以，所以.將的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到的圖象，再將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，得到的圖象，故.當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏锨∮?個(gè)零點(diǎn)，所以，得，故選C.11.答案：B解析：因?yàn)楹瘮?shù)滿足，且在R上是連續(xù)函數(shù)，所以函數(shù)是偶函數(shù).令，則是奇函數(shù)，且在R上是連續(xù)函數(shù)，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，成立，即，所以在上單調(diào)遞減，又在R上是連續(xù)函數(shù)，且是奇函數(shù)，所以在R上單調(diào)遞減，則，，，因?yàn)椋?，，所以，所以，故選B.12.答案：A解析：因?yàn)殡x心率為，故可設(shè)，，故，故橢圓方程為：，而，，故，因，故.故直線與x軸不垂直也不重合，故可設(shè)，，則，由可得，因在橢圓內(nèi)部，故恒成立，且，故，因，故，此時(shí)，，故M在第一象限，符合條件，的斜率為.13.答案：解析：由表可計(jì)算，，因?yàn)辄c(diǎn)在回歸直線上，且，所以，解得，故回歸方程為，令得，故答案為：.14.答案：128解析：由得，，所以，，因此，所以，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故.15.答案：解析：為銳角，，.，..16.答案：解析：當(dāng)時(shí)，，兩者不相等，不是方程的實(shí)根，當(dāng)時(shí)，，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，其中，當(dāng)時(shí)，，畫出的圖象，如下：要想方程恰有5個(gè)不等實(shí)根，需要滿足.17.答案：（1）（2）解析：（1）由，得，即.又，所以.由，得或（舍去），所以，則.（2）由，及正弦定理，知，所以，得.18.答案：（1）40（2）有的把握認(rèn)為是否非常期待A系統(tǒng)與性別有關(guān)（3）解析：（1）因?yàn)闃颖局衅诖挡恍∮?0的頻率為，所以樣本中期待值小于60的頻率為0.4，所以樣本中期待值在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為.（2）因?yàn)闃颖局蟹浅Ｆ诖鼳系統(tǒng)的人數(shù)為，所以非常期待A系統(tǒng)的男用戶人數(shù)為40.樣本中女用戶人數(shù)為.列表如下：非常期待不非常期待合計(jì)男401555女202545合計(jì)6040100，所以有的把握認(rèn)為是否非常期待A系統(tǒng)與性別有關(guān).（3）樣本中非常期待A系統(tǒng)的男用戶人數(shù)與女用戶人數(shù)之比為，故所抽6人包括4男2女.記4名男用戶分別為A、B、C、D；記2名女用戶分別為m、n.從6人中抽取2人，所抽兩人為1男1女記為事件M，從6人中抽取2人包含的樣本點(diǎn)有AB，AC，AD，Am，An，BC，BD，Bm，Bn，CD，Cm，Cn，Dm，Dn，mn，共15種，事件M包含的樣本點(diǎn)有Am，An，Bm，Bn，Cm，Cn，Dm，Dn，共8種，所以從6人中抽取2人，所抽兩人為1男1女的概率.19.答案：（1）證明見解析（2）解析：（1）證明：因?yàn)椋€段BC的中點(diǎn)為M，所以.因?yàn)镻A是三棱錐的高，所以平面ABC.因?yàn)槠矫鍭BC，所以.因?yàn)槠矫嫫矫?，，所以平面PAM.（2）法一：設(shè)A到平面PBC的距離為d，則在中，.在中，.因?yàn)镻A是三棱錐的高，所以，解得，所以A到平面PBC的距離為.法二：在平面PAM中，過A點(diǎn)作于點(diǎn)H，如圖所示，因?yàn)槠矫妫矫鍼AM，所以.因?yàn)?，平面，平面，，所以平面PBC.在中，.所以在中，，所以，所以A到平面PBC的距離為.20.答案：（1）見解析（2）解析：（1），，且.①若，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.②若，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.③若，則，為常數(shù)函數(shù)，不具有單調(diào)性.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，為常數(shù)函數(shù)，不具有單調(diào)性.（2）由（1）可得當(dāng)時(shí)，在處取得極大值，但，不符合題意；當(dāng)時(shí)，在處取得極大值，所以，解得，符合題意.綜上可得.21.答案：（1）證明見解析（2）存在，解析：（1）證明：將點(diǎn)代入，得，即.聯(lián)立得，設(shè)，，則，.因?yàn)?，所以恒成立，則，所以的方程為，故直線過定點(diǎn).（