2024年全國(guó)卷高考數(shù)學(xué)模擬試卷

1.已知全集"={0,1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A={xeN|x<5},

B={1,3,5,7,8}，則圖中陰影部分所表示的集合為（）

A.{0,2,4}B.{2,4}C.{0,4}D.{2,4,6}

2.已知復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（1,1）,則z+~1?的虛部為（）

Z

1313

A.-iB.-C.-D.-i

2222

3.已知xeR,則“9>8”是“|x|>2"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.某地投資。億元進(jìn)行基礎(chǔ)建設(shè)，/年后產(chǎn)生的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益為/（r）=ae"億元，若該地投資基礎(chǔ)建設(shè)4年

后產(chǎn)生的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益是投資額的2倍，且再過(guò)G年，該項(xiàng)投資產(chǎn)生的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益是投資額的8倍，則

1

A.4B.8C.12D.16

5.如圖，A3CD是邊長(zhǎng)2的正方形，P為半圓弧3C上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)）則

的取值范圍為（）

A.[2,6]B.[2,3]C.[4,6]D.[4,8]

6.己知函數(shù)/（x）=2sin無(wú)—e'+eT，則關(guān)于％的不等式

/12_4）+/（3%）<0的解集為（）

C.(—oo,T)(l,+oo)D.[—1,4]

7.從集合S={xeN|lWxV10}中任取3個(gè)不同的數(shù)，它們的和能被3整除的概率為（）

8./（尤）=2/—5/的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

A.OB.lC.2D.3

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.國(guó)際跳水比賽一共有八個(gè)評(píng)委現(xiàn)場(chǎng)打分，若八位評(píng)委給某個(gè)選手的打分分別為王,修，…，4,記這組數(shù)據(jù)的

平均分，中位數(shù)，方差，極差分別為1、Z、$2、去掉這組數(shù)據(jù)的一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，其平

均數(shù)，中位數(shù)，方差，極差分別為7、z'、（s'）,/，則下列判斷中一定正確的是（）

K.x<x'B.z=z'C.（s'）2<s2D./<j

10.在平面直角坐標(biāo)系中，已知角a的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與％軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)

（.71tA

—smcos

—9~,/*（無(wú)）=coscsin2x—sinccos2x則下列結(jié)論正確的是（）

\33）

A.1—cos2a=—

2

B.x=與是y=/（無(wú)）的一條對(duì)稱(chēng)軸

C.將函數(shù)y=/（x）圖象上的所有點(diǎn)向左平移著個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的函數(shù)解析式為y=sin2x

D.y=/（x）在0,口-內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)

11.如圖，已知二面角1一/一夕的棱/上有A,3兩點(diǎn)，C&a,AC±l,

D&/3,BD^l,且AC=AB=3Z)=1,則下列說(shuō)法正確的是(

A.CDAB^l

B.當(dāng)二面角a-l-/3的大小為60。時(shí)，CZ）與平面P所成的角為30°

C.若CD=5則四面體A68的體積為二-

12

，F(xiàn)i

D.若CD=J5,則二面角C—3D—A的余弦值為乙一

12.如圖，雙曲線(xiàn)C：/—y2=々2的左右頂點(diǎn)為A,B,尸為C右支

上一點(diǎn)（不包含頂點(diǎn)），APAB=a,/PBA=B,/APB=y,直線(xiàn)

/與C的漸近線(xiàn)交于尸、G,〃為線(xiàn)段產(chǎn)G的中點(diǎn)，則（）

A.雙曲線(xiàn)c的離心率為e=J5B.P到兩條漸近線(xiàn)的距離之積為a2

c.tana+tan夕+2tan/=0D.若直線(xiàn)/與。以的斜率分別為匕，k2,則秘?=1

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線(xiàn)上.

13.（2%-爐展開(kāi)式中》2項(xiàng)的系數(shù)是.

14.已知y>0,x+4y-xy+5=Q,則玉y的最小值為.

15.已知/是拋物線(xiàn)C:：/=8x的焦點(diǎn)，過(guò)拋物線(xiàn)。上一點(diǎn)〃作其準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為N,若

TT

/NFM=—,則Af點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

3

(xr日

16.對(duì)Vxrx2,當(dāng)1<%]<々<0時(shí)—----<0,則。的范圍為.

I%i7e

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(10分)

3JT

已知。，b,。分別是三角形三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，已知a=5，sinA=—,B—A=—

52

(I)求cos。的值；

(II)求△ABC的周長(zhǎng).

18.（12分）

己知｛4｝為等差數(shù)列，公差｛4｝中的部分項(xiàng)氣，/”恰為等比數(shù)歹U,且公比為q,若

=1,k、=6,左3=16

(I)求q;

(II)求數(shù)列｛幻｝的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)之和.

19.(12分)

如圖，平面ABCOL平面ABE,點(diǎn)石為半圓弧AB上異于A(yíng),3的點(diǎn)，在矩形

中，AB=4BC,設(shè)平面ABE與平面8石■的交線(xiàn)為/.

(I)證明：/〃平面A3CD;

(II)當(dāng)/與半圓弧A3相切時(shí)，求平面ADE與平面CDE的夾角的余弦值.

20.（12分）

如圖，某人設(shè)計(jì)了一個(gè)類(lèi)似于高爾頓板的游戲：將一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的中間入

口處，小球?qū)⒆杂上侣洌∏蛟谙侣涞倪^(guò)程中，將3次遇到黑色障礙物，已知小球每

次遇到黑色障礙物時(shí)，向左、右兩邊下落的概率都是,，最后落入A袋或3袋中.一

2

次游戲中小球落入A袋記1分，落入3袋記2分，游戲可以重復(fù)進(jìn)行.游戲過(guò)程中累

計(jì)得幾分的概率為&.

(I)求6,P2,鳥(niǎo).

(II)寫(xiě)出4與Ci之間的遞推關(guān)系，并求出1的通項(xiàng)公式.

,i,49

21.(12分)設(shè)動(dòng)圓〃與圓耳：(x+l1+/=工外切，與圓鳥(niǎo)：(％_1)-+,2=彳內(nèi)切.

(I)求點(diǎn)"的軌跡C的方程；

(II)過(guò)點(diǎn)尸2且不與％軸垂直的直線(xiàn)/交軌跡C于A(yíng),3兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于X軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A,。為

△4V3的外心，試探究是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

1^1

22.(12分)

己知函數(shù)/(x)=ln("zx),比是大于0的常數(shù).記曲線(xiàn)y=/(x)在點(diǎn)(％,〃％))處的切線(xiàn)為/,/在1軸上

的截距為馬，%>0

(1)當(dāng)％=』，帆=1時(shí)求切線(xiàn)/的方程；

e

11

(II)證明：石---2%2-------

mm

一、選擇題

題號(hào)123456789101112

答案ACABCCDDBCDABADACD

LA【解析】A={0,1,2,3,4}^^B={0,2,4,6}AA={0,2,4}

1311

2.C【解析】z+±='+±i.?.虛部為土

z222

3.A【解析】％3〉80%>2,國(guó)>2=%>2或％〈一2,前面可以推導(dǎo)后面，后面不能推導(dǎo)前面

4.B【解析】仁4時(shí)，〃4)=叱4、2口；"4"=2,再過(guò)乙年，/(4+口=馥(4+"'=8。

一”爐=8=23=嚴(yán)=>乙=8

5.C【解析】AP-^B=|AB|-(|AP|COSZPAS),由投影的定義知k4cosNPA3e[2,3卜..AP-ABG[4,6]

6.C【解析】+無(wú))=0，?,./(%)為奇函數(shù)，/'(%)=2c0SX-(^+e-T),2cosx<2

(x)wo；./(%)為減函數(shù)，/(X2-4)+/(3X)<0

of-4>-3%o%>1或％vy

7.D【解析】將S按3同余分類(lèi)得到：4={3,6,9}，4={1,4,7,10}.A,={2,5,8}.

.p_c；+c：+c；+Gc：G_7

??1——Q-?

如20

8.D【解析】由2/—5/=。得5=|,構(gòu)造函數(shù)g(x)=:,求導(dǎo)得g'(x)=

g(x)在(ro,0)上單調(diào)遞減，在(0,2)上單調(diào)遞增，(2,+8)上單調(diào)遞減，且g(O)=O，

g(2)=?>，及”時(shí)g(x)-0，g(x)的圖像如圖，得至Ug(x)=：有3個(gè)解.

0

9.BCD

.(.717111173

10.AB【解析】-sin—,cos—=-—-由三角函數(shù)的定乂的sina=—,cosa=--—

I33J[22)22

^a=—,.\f(x)=sin2iv——1,.'.A正確.

6k

2%

B：無(wú)=-^-時(shí)，/(x)=l正確

.(57ly

C：平移后應(yīng)為y=sin2x+—「所以C錯(cuò).

.f-5乃\八/

D：由sin2x----=0得2%--==—+—,僅左=0,1符合，恰有兩個(gè)零點(diǎn)，所以D錯(cuò).

I6)6122

H.AD【解析】A：CDAB=(CB+BD^AB=CBAB+BDAB=CBAB+G=AB1=\,故A正確；

B：如圖，過(guò)A作A石〃3D,且4石=跳＞,連接ED,EC,則ABDE1為正方形，NC4E為二面角

戊一/一廠(chǎng)的平面角，當(dāng)NCAE=60。時(shí)，易得AAC萬(wàn)為正三角形，過(guò)C作S_LAE,則CH_L平面

AED,故NCDH即為CD與平面夕所成的角.V\

在小△CDA中，sinZCDH=—=^=—,故B錯(cuò)誤；

CD2V244/

C：CD='時(shí)NC4E=90。，C到面夕的距離為1,所以四面體AgCE＞的

體積為』SAAm-l=L，所以C錯(cuò)

34t\DLJ6/

D：由C￡＞=J5可得NCAH=60。如圖，取AE的中點(diǎn)"，3。的中點(diǎn)N,連接CM,MN,CN則二

面角C—四？一A的平面角為NCMW,CM=—,MN=1,所以cosNCNM.

27

12.ACD【解析】等軸雙曲線(xiàn)的離心率為拒所以A正確，

叫引=［所以錯(cuò).

R會(huì)0/\-I.-%||/+%LB

B：以.P(尤0，%),44=—正---------

tana+tan"tana+tan"

C：tana-tanft—k-{—k)=—1>tan/=-tan(a+/?)

PAPB1-tana-tan02

所以tana+tan4+2tan/=0,c正確.

D：方法1：設(shè)/與雙曲線(xiàn)及其漸近線(xiàn)依次交于E,F,G,H

由<,=>(k2-l)x2+2mkx+tn2+a2=0得EH中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為冽上

[x2-y2=a2I)1-k2

由<:1n=>(左之-l)x2+2mkx+m2=0^#FG中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為'叱,

1%2_y2=0V)12

所以"f和產(chǎn)G的中點(diǎn)重合，即"為雙曲線(xiàn)弦2的中點(diǎn)，由點(diǎn)差法得人/2=1,所以D正確.

方法2：設(shè)戶(hù)（丹，必），G（x2,j2）＞Af（x0,y0）

%2_2=0

由＜式_J]0n(^+x2)(x1-x2)-(y1+%)(%—%)=°

.??2%。一2%左1=0=＞勺左2=1，所以D正確.

三.填空題：13.TO14.2515.6\6.a>e

13.-40【解析】Cj(2x)2(-l)3=-40x2

14.25【解析】x+Ay>Ay[xy

xy—5>Ay[xy=^>y[xy>5xy>25

15.6【解析】由拋物線(xiàn)的定義知|MV|=|"F|,所以

71

ZMNF=/MFN=ZNFO=—,

3

1^1=—^7=8,|MA^|=|MF|=8>\MF\^XM+2,所以X“=6.

cos—

3

，(、不巧

16.a>e【解析］———<0研

苞*兀

n

兩邊取對(duì)數(shù)玉/1—<。2—附oln%—1口玉<----—lnx2+-<In%1+—

所以/i(x)=lnx+@在(l,e)上單調(diào)遞減,所以〃(x)V0在(l,e)上恒成立,解出a二e

JC

四.解答題：

TTTT

17.解：(1)由5=—+A得：C=7i-A-B=——2A……2分

：.cosC=cos=sin2A=2sinAcosA

4

VB>A,故A為銳角，???cosA=—……4分

5

3424

/.cosC=2sinAcosA=2x—x—=——...6分

5525

jl\47

(2)由(1)知：sinB=sin—+A=cosA=-,inC=一

12J5s25

I.aa+Z?+c25

由正弦定理ro得ZR：-----=-------------------=一……10分/v

sinAsinA+sinB+sinC3

a+b+c=—14故8c的周長(zhǎng)為14....12分

18.解：(1)由4,a6,卬6成等比數(shù)列，故即％(q+15d)=(6+5d)~

即25d2=5axd,又dw0故q=5d,%=4+(〃一l)d=(H+4)d......2分

故等比數(shù)列的公比。="=2……4分

%

（2）在等差數(shù)列｛%｝中,ak=9+（%—l）d=&+4）d......6分

在等比數(shù)列｛%J中，akn=ak>-2"T=/-2"T=5d-2^

故（勺+4）d=5d-2"T，即幻=5-2"T—4……9分

《+左2+…?+Z”=5-（l+2+22+..2"T）—4〃=5-2”—4"—5……12分

19.解：（1）證明：：四邊形A8CD為矩形，，AB〃8,

：ABu平面ABE,CDz平面ABE,，8〃平面ABE.......2分

又CDu平面CDK,平面ABE7平面CDE=/,：.I//CD,4分

：CDu平面ABC。，；./〃平面ABCD........6分

（2）取A3,C。的中點(diǎn)分別為O,F,連接OE,OF,則OF_LAB,

:平面A3COJ_平面ABE,且交線(xiàn)為AB,。尸J_平面AB石，

又OEu平面ABE,OF±OE,當(dāng)/與半圓弧A3相切時(shí)，OE±l,即OE_LA8,

以O(shè)E,OB,O廠(chǎng)所在的直線(xiàn)分別為％,y,Z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，7分

不妨設(shè)6c=1,易得A（0,-2,0），C（0,2,l）,0（0,—2,1）,E（2,0,0），

則上=（2,2,-1）,AD=（O,O,l）,DC=（0,4,0）,

設(shè)加=（玉,%,zj為平面”LE的一個(gè)法向量，

則〈竺7一°,即14=。,P1=°,令石=1,則蔡=(1,-1,0)……9分

DE-m=0[2玉+2%一4=01%=一%

設(shè)九=（%2，%，Z2）為平面DCE的一個(gè)法向量，貝卜DCn=0

DE-n=0

即尸%=。=J%=。令%1,則〃=(1,0,2)……n分

[2X2+2y2—z2=0[2尤2=z?

cos（m,n\=/f-=一3，所以?xún)善矫娴膴A角的余弦值為

'/卜胴A/2-A/510

叵

分

lo-12

20.解：（1）小球三次碰撞全部向左偏或者全部向右偏落入3袋，故概率

13

小球落入A袋中的概率P（A）=1—P（3）=l—7=]……2分

故…⑷TH小9.2

（2）法1：游戲過(guò)程中累計(jì)得不到〃分，只可能在得到分后的一次游戲中小球落入3袋（+2分）故

即與=1_；么i（"?2）……8分

法2：游戲過(guò)程中累計(jì)得〃分可以分為兩種情況：得到2分后的一次游戲小球落入3袋中（+2分），或

得到〃分后的一次游戲中小球落入A袋中（+1）分，

3111

故匕=7月I+4P，，-2n匕+7El=匕7+7比2（“?3）

故（匕+；月11為常數(shù)數(shù)列且=1，故=1即2……8分

由E1n己41f—14J]……10分

4I43411

故P">為等比數(shù)列且首項(xiàng)為4_;=±_:=_工,公比為_(kāi)上

[5J1545204

21.解：（1）設(shè)動(dòng)圓半徑為廣，由圓,與圓耳外切得：|孫|=r+g,由圓拉與圓鳥(niǎo)內(nèi)切得:

7

|河鳥(niǎo)|=耳一外故|町|+|咋|=4>|月月|=2,2分

故點(diǎn)〃的軌跡是以耳，尸2為焦點(diǎn)的橢圓，且2a=4,2c=2,故/=3

廠(chǎng)y,

.?.點(diǎn),的軌跡C的方程為：—+"-=1……4分

43

(2)設(shè)/：y=左(％—1),4(%,%),B(x,,j2)

y=^(x-1)

由<%2,2=>(4V+3)^2-8FX+4F-12=0……6分

---1----1

143

財(cái)4k2-12(442-3k)

故再+%=2,2,%也=4Hq'A8的中點(diǎn)M

/1rvI3'I/vI、4左2+3'4左2+3,

/、

4k2

故AB的中垂線(xiàn)的方程為：y+—1^=--x—8分

-4左2+3k4左2+3)

因?yàn)锳A'的中垂線(xiàn)為1軸，故AB的中垂線(xiàn)與％軸的交點(diǎn)即為外心。,

左2e3(F+1)

令y=0得：xQ=2，故|。工|=……9分

^vK?D4嚴(yán)+3

12A/17F12(1+F)

又\AB\=Ji+/k_9|=Ji+/10分

4左2+34左2+3

--(定值)……12分

4

22.解：/'(%)=工...切線(xiàn)/的方程為：y-ln(mx1)=—(x-Xj)gp：y+

X再不

令J7=0得％2=芯2分

(1)當(dāng)％=！，〃?=1時(shí)切線(xiàn)/的方程為：y=ex-2.....4分

e

e

(2)由%>0得%(1—))>0:根>0「?玉>0，1—In/nX]>0=>0v玉v