廣西2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)押題試卷含解析

廣西重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)押題試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.函數(shù)〃x）=J3—5x+6的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.{x|x<2或x?3}B.{%卜<-3或％之一2}

C.1x|2<x<3}D.1%|-3<x<-2j

2.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4名學(xué)生平均分成兩個(gè)志愿者小組到校外參加兩項(xiàng)活動(dòng),則乙、丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)的

概率為

3.要得到函數(shù)），=6sin的圖象，只需將函數(shù)y=^sin圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)（

71

A.伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度

7T

B.伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖像向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度

I57r

C.縮短到原來(lái)的不倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向左平移二個(gè)單位長(zhǎng)度

224

D.縮短到原來(lái)的二倍（縱坐標(biāo)不變），再將得到的圖象向右平移坐個(gè)單位長(zhǎng)度

4.我國(guó)古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果，其中的《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》，

有豐富多彩的內(nèi)容，是了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn).這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期.某中學(xué)

擬從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，則所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝

時(shí)期專著的概率為（）

5.已知函數(shù)"（xeR）,若關(guān)于x的方程/（尤）-機(jī)+1=。恰好有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范

圍為（）

A.(卓,1)B.(0,華)C.(l,j+l)

6.函數(shù)/(%)=(尤2—4%+l)e'的大致圖象是()

7.以4(3,—1),8(-2,2)為直徑的圓的方程是

A.x2-]-y2-x-y-S=0B.x2y2-x-y-9=0

C.爐+產(chǎn)+%+丁―8=oD.x2+y2+x+y-9=0

8.已知向量a力滿足⑷=1,助=6且a與b的夾角為會(huì)則(。+加心-加=()

33

A.B.C.

2222

如圖，圓錐底面半徑為垃，體積為迪萬(wàn)，AB，CD是底面圓。的兩條互相垂直的直徑，￡是母線心的中

9.

3

點(diǎn)，已知過(guò)CD與E的平面與圓錐側(cè)面的交線是以E為頂點(diǎn)的拋物線的一部分，則該拋物線的焦點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)P的距

離等于()

「V10

L?---------

42

10.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-2j=|z+l],z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x,y),則()

A.2x-4y-3=0B.2%+4y-3=0C.4x+2y-3=0D.2x-4y+3=0

11.將函數(shù)〃x)=sin2x的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)為偶函數(shù)，則9的值為()

12.某工廠只生產(chǎn)口罩、抽紙和棉簽，如圖是該工廠2017年至2019年各產(chǎn)量的百分比堆積圖(例如：2017年該工

廠口罩、抽紙、棉簽產(chǎn)量分別占40%、27%、33%),根據(jù)該圖，以下結(jié)論一定正確的是()

A.2019年該工廠的棉簽產(chǎn)量最少

B.這三年中每年抽紙的產(chǎn)量相差不明顯

C.三年累計(jì)下來(lái)產(chǎn)量最多的是口罩

D.口罩的產(chǎn)量逐年增加

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

|logx-tz|,0<x<4

13.設(shè)函數(shù)f(x)=<2若存在實(shí)數(shù)也使得關(guān)于”的方程/(%)=加有4個(gè)不相等的實(shí)根，且這

/(8-x),4<x<8

4個(gè)根的平方和存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

14.函數(shù)/(乃=見匚的極大值為.

X

15.集合A={(x,y)M+N=a,a>0},B={(x,y)||xy|+1=|x|+|y|),若A8是平面上正八邊形的頂點(diǎn)所構(gòu)成的

集合，則下列說(shuō)法正確的為

①。的值可以為2；

②a的值可以為0;

③。的值可以為2+J5；

16.函數(shù)/(%)=等％—sinx在0,|上的最小值和最大值分別是

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)已知在二二二二中，角二二二的對(duì)邊分別為二二二,且上+，=吟

□□JUS.

(1)求的值;

(2)若心二一-、不m二=:，求二+二的取值范圍.

18.(12分)設(shè)S“為等差數(shù)列｛凡｝的前幾項(xiàng)和，且出=5,S6+S5=2S4+35.

(1)求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式；

(2)若滿足不等式力.(、5)"+(-1)13<0的正整數(shù)〃恰有3個(gè)，求正實(shí)數(shù)彳的取值范圍.

19.(12分)已知非零實(shí)數(shù)a1滿足a<b.

(1)求證：a3-b3<2crb-2alr；

(2)是否存在實(shí)數(shù)X,使得白24('-:卜亙成立？若存在，求出實(shí)數(shù)4的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

a-b-b)

20.(12分)已知｛q｝為各項(xiàng)均為整數(shù)的等差數(shù)列，S”為｛4｝的前“項(xiàng)和，若的為卜2和%3的等比中項(xiàng)，邑=49.

(1)求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式；

22222018

⑵若［=標(biāo)+蕊+—+...+藐二’求最大的正整數(shù)"使得

2019

,八、一L—皿/■/、In%+ax+1

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=----------.

(1)若對(duì)任意x〉0,f(x)<0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

22

(2)若函數(shù)/(X)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)XI,X2(X1<X2),證明：工+工>2.

/7T

22.（10分）如圖，四棱錐P-A3CD的底面是梯形.5C〃AO,A3=5C=CD=1,AD=2,=,PA=PC=C

2

(I)證明；AC±BP；

(II)求直線AO與平面APC所成角的正弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】

根據(jù)偶次根式被開方數(shù)非負(fù)可得出關(guān)于X的不等式，即可解得函數(shù)y=/(力的定義域.

【詳解】

由題意可得5X+620，解得x<2或x23.

因此，函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)閧無(wú)歸<2或1?3}.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查具體函數(shù)定義域的求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2、B

【解析】

「2c2

求得基本事件的總數(shù)為n=x團(tuán)=6,其中乙丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)的基本事件個(gè)數(shù)為m=C28=2,

A

利用古典概型及其概率的計(jì)算公式，即可求解.

【詳解】

由題意，現(xiàn)有甲乙丙丁4名學(xué)生平均分成兩個(gè)志愿者小組到校外參加兩項(xiàng)活動(dòng),

「202

基本事件的總數(shù)為n=x匈=6,

其中乙丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)的基本事件個(gè)數(shù)為m=&=2,

rn|

所以乙丙兩人恰好參加同一項(xiàng)活動(dòng)的概率為p=—=1,故選B.

n3

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了排列組合的應(yīng)用，以及古典概型及其概率的計(jì)算問(wèn)題，其中解答中合理應(yīng)用排列、組合的知識(shí)求得基

本事件的總數(shù)和所求事件所包含的基本事件的個(gè)數(shù)，利用古典概型及其概率的計(jì)算公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查

了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

3、B

【解析】

分析：根據(jù)三角函數(shù)的圖象關(guān)系進(jìn)行判斷即可.

詳解：將函數(shù)y=6sin[2x-g]圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），

得到y(tǒng)=若5沅（4x2x—工）=gs就（x—工），

-233

再將得到的圖象向左平移:個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=J云加（x-5+?）=氐加（X-菅），

故選B.

點(diǎn)睛：本題主要考查三角函數(shù)的圖象變換，結(jié)合0和9的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

4、D

【解析】

利用列舉法，從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，基本事件有10種情況，所選2部專著中至

少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著的基本事件有9種情況，由古典概型概率公式可得結(jié)果.

【詳解】

《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》，這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝

時(shí)期.記這5部專著分別為a,b,c,d,e,其中a,仇。產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期.從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)

學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，基本事件有制?,*,或7,四,加,兒7,加,8?,°6也,共10種情況，所選2部專著中至少有一部

是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著的基本事件有ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,,共9種情況，所以所選2部專著中至

m9

少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著的概率為P=—=不.故選D.

n10

【點(diǎn)睛】

本題主要考查古典概型概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，利用古典概型概率公式求概率時(shí)，找準(zhǔn)基本事件個(gè)數(shù)是解題的

關(guān)鍵，基本事件的探求方法有（1）枚舉法：適合給定的基本事件個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的；⑵樹狀圖法：適合于較

為復(fù)雜的問(wèn)題中的基本事件的探求.在找基本事件個(gè)數(shù)時(shí)，一定要按順序逐個(gè)寫出：先（4，用），（4,不）….（4,紇）,

再（4,4）,（4,不）.....⑷,紇）依次（A，4）（A，員）…?（&紇）…這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.

5、D

【解析】

討論x>0,x=Q,x<0三種情況，求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像得到答案.

【詳解】

當(dāng)x>0時(shí)，/（x）=4,故廣函數(shù)在1o,￡|上單調(diào)遞增，在；,+，|上單調(diào)遞減，且=等;

當(dāng)尤=0時(shí)，/（0）=0;

當(dāng)x<0時(shí)，/（x）=耳，=函數(shù)單調(diào)遞減；

如圖所示畫出函數(shù)圖像，則0<m—=等，故加e（l,容+1）.

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

6、A

【解析】

用工<0排除3,C；用x=2排除。；可得正確答案.

【詳解】

解：當(dāng)x<0時(shí)，X2-4x+l>0>e*>0，

所以/(x)>0,故可排除5,C；

當(dāng)尤=2時(shí)，f(2)=-3e2<0,故可排除D

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)圖象，屬基礎(chǔ)題.

7、A

【解析】

設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用待定系數(shù)法一一求出。力,廠，從而求出圓的方程.

【詳解】

設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(X-。了+”-力2=/，

由題意得圓心。3,6)為A,5的中點(diǎn)，

根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得。=3一-2=：1,6=—1￥+2=1

2222

又廠二口二加3+2)2+(-1—2)：二叵，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

222

1117

(^--)2+(y--)2=y?化簡(jiǎn)整理得犬+,2_》_/_8=0,

所以本題答案為A.

【點(diǎn)睛】

本題考查待定系數(shù)法求圓的方程，解題的關(guān)鍵是假設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，建立方程組，屬于基礎(chǔ)題.

8、A

【解析】

根據(jù)向量的運(yùn)算法則展開后利用數(shù)量積的性質(zhì)即可.

【詳解】

(〃+Z?)?(2〃—Z?)=2〃—b+tz,Z?=2—3+lx\/3x~~~=~,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

9、D

【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，求得拋物線的軌跡方程，解直角三角形求得拋物線的焦點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)P的距離.

【詳解】

將拋物線放入坐標(biāo)系，如圖所示，

PO=y[2>OE=1,OC=OD=y/2>

設(shè)拋物線y2=2°x,代入C點(diǎn),

可得同=-2%

二焦點(diǎn)為1一5，。）

即焦點(diǎn)為0E中點(diǎn)，設(shè)焦點(diǎn)為產(chǎn)，

EF=-,PE=1，：.PF=—.

22

故選:D

【點(diǎn)睛】

本小題考查圓錐曲線的概念，拋物線的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，空間想象能力，推理論

證能力，應(yīng)用意識(shí).

10、B

【解析】

設(shè)2=%+河，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得到x、y的關(guān)系式，即可得解；

【詳解】

解：設(shè)2=尤+”

V|z—2z|=|z+11,x2+(y—2)2=(x+1)"+y2,解得2x+4y—3=0.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

11、D

【解析】

利用三角函數(shù)的圖象變換求得函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解，得到答案.

【詳解】

將將函數(shù)〃x）=sin2x的圖象向左平移。個(gè)單位長(zhǎng)度，

可得函數(shù)g（x）=sin[2（尤+。）]=sin（2尤+20）

又由函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，所以2夕=^+而/eZ,解得夕=?+與/eZ,

JTTT

因?yàn)?K°＜一,當(dāng)k=0時(shí)，（p=一,故選D.

24

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象變換，合理應(yīng)用

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

12、C

【解析】

根據(jù)該廠每年產(chǎn)量未知可判斷A、B、D選項(xiàng)的正誤，根據(jù)每年口罩在該廠的產(chǎn)量中所占的比重最大可判斷C選項(xiàng)的

正誤.綜合可得出結(jié)論.

【詳解】

由于該工廠2017年至2019年的產(chǎn)量未知，所以，從2017年至2019年棉簽產(chǎn)量、抽紙產(chǎn)量以及口罩產(chǎn)量的變化無(wú)法

比較，故A、B、D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

由堆積圖可知，從2017年至2019年，該工廠生產(chǎn)的口罩占該工廠的總產(chǎn)量的比重是最大的，則三年累計(jì)下來(lái)產(chǎn)量最

多的是口罩，C選項(xiàng)正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查堆積圖的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、（-8,1）

【解析】

先確定關(guān)于X的方程/（》）=機(jī)當(dāng)4為何值時(shí)有4個(gè)不相等的實(shí)根，再將這四個(gè)根的平方和表示出來(lái)，利用函數(shù)思想

來(lái)判斷當(dāng)a為何值時(shí)這4個(gè)根的平方和存在最小值即可.

【詳解】

tz-log2x,0<^<4

由題意，當(dāng)〃22時(shí),log2x-a<0,此時(shí)y（x）=<，此時(shí)函數(shù)/（九）在（0,4）單調(diào)遞減,

a-log2（8-x）,4<x<8

在（4,8）單調(diào)遞增，方程/（%）=〃?最多2個(gè)不相等的實(shí)根，舍

當(dāng)a<2時(shí)，函數(shù)/（龍）圖象如下所示:

從左到右方程〃x）=m,有4個(gè)不相等的實(shí)根，依次為占，x2,x3,%，gp%1<X2<X3<X4,

由圖可知〃—log2%i=log2%2—a，故%“2=4",且%3=8-X2，%4=8-％1，

_（4?"'（4"、

從而x；+尤；+%；+%：=2H——-16%+——+128,

Ixi）、%17

4a

令/=MH----，顯然1>4",

再

x；+x；+x；+x：=2/—161+128-4"匕要使該式在。>4〃時(shí)有最小值，則對(duì)稱軸/=4>4"，解得a<L

綜上所述，實(shí)數(shù)”的取值范圍是（-8,1）.

【點(diǎn)睛】

本題考查了函數(shù)和方程的知識(shí)，但需要一定的邏輯思維能力，屬于較難題.

1

14、-r

e

【解析】

先求函的定義域，再對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，再解不等式得單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求得極值點(diǎn)，即可求出函數(shù)/（X）的極大值.

【詳解】

.”、Inx—1小、

函數(shù)/(%)=------，XG(0,+O0),

X

f1-Qnx-1)_2-Inx

-J(%)=2=2，

XX

令/(%)=。得,%=/,

當(dāng)尤￡(0,/)時(shí)，尸⑴>0,函數(shù)/(%)單調(diào)遞增；當(dāng)%￡(/,+oo)時(shí)，-⑴<0,函數(shù)/(%)單調(diào)遞減，

.??當(dāng)x=e2時(shí)，函數(shù)/'(x)取到極大值，極大值為/(e2)=也二=[.

ee

故答案為：—.

e"

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意定義域

優(yōu)先法則的應(yīng)用.

15、②③

【解析】

根據(jù)對(duì)稱性，只需研究第一象限的情況，計(jì)算AC：y=(V2-l)x,得到A(1,0-1),C(V2+1,1),得到答案.

【詳解】

如圖所示：根據(jù)對(duì)稱性，只需研究第一象限的情況，

集合3：xy+l=x+y,故=即x=l或y=l,

集合A：x+y=a,A8是平面上正八邊形的頂點(diǎn)所構(gòu)成的集合，

故AC所在的直線的傾斜角為22.5。，左從。=tan22.5。=拒—1,故AC：y=(0—1,，

解得A0,0一1),此時(shí)也，C(V2+1,1),此時(shí)。=行+2.

故答案為：②③.

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)集合的交集求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力，利用對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵.

1G叵兀e應(yīng)力[

1b、-----------------1

824

【解析】

求導(dǎo)，研究函數(shù)單調(diào)性，分析，即得解

【詳解】

由題意得，/（X）=-cosX,

令八，）>。，解得?<K,f，

77

令"x）（°'解得。

7C]\7171

，/（九）在。,二上遞減，在7彳遞增.

L4；142J

.?J（X）1ran=U等等

而/(O)"/

故/（X）在區(qū)間［o,上的最小值和最大值分別是叵一變叵—1.

L2J824

故答案為：叵—立叵一1

824

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值的求解中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、（1）二二三（2）二一二E'-r.\,7'

2

【解析】試題分析：（1）本問(wèn)考查解三角形中的的“邊角互化”.由于求二的值，所以可以考慮到根據(jù)余弦定理將二…?，二

分別用邊表示，再根據(jù)正弦定理可以將會(huì)轉(zhuǎn)化為三，于是可以求出二的值；（2）首先根據(jù)工二-、,圣。:二=:求出角二的

xnx.一

值，根據(jù)第（1）問(wèn)得到的二值，可以運(yùn)用正弦定理求出二二二二外接圓半徑二，于是可以將二一二轉(zhuǎn)化為二二匯1+J：-nZi,

又因?yàn)榻嵌闹狄呀?jīng)得到，所以將二二二一二二,：□二轉(zhuǎn)化為關(guān)于二的正弦型函數(shù)表達(dá)式，這樣就可求出取值范圍；另外

本問(wèn)也可以在求出角二的值后，應(yīng)用余弦定理及重要不等式二+二之二二二求出二+二的最大值，當(dāng)然，此時(shí)還要注

意到三角形兩邊之和大于第三邊這一條件.

試題解析：（1）由「，」=」；一,

應(yīng)用余弦定理，可得

化簡(jiǎn)得二二-匚則二=—

(2)Tcos二+VlsinZ=2

?□€(?,□)-+7=3所以n=；

則，一=二??

=si二二一sin：子—二；

=Ls:n"*—ccs.Zl

=\7sm_ZI*7,.

又…二?二9二々匚+二空匚

9i

法二

因?yàn)槎び捎嘞叶ɡ矶?二-一二；-二匚必二

2

得；，二一二一匚二

又因?yàn)槎?lt;孑，,當(dāng)且僅當(dāng)二時(shí)“=”成立.

所以二二二一二：一，二二2(二+二)；?3(三三；=三士

一一一二二又由三邊關(guān)系定理可知-二二W

綜上二一二m—.\7'

，，

考點(diǎn)：1.正、余弦定理；2.正弦型函數(shù)求值域；3.重要不等式的應(yīng)用.

18、(1)?！?2〃+1；(2)[4,5).

【解析】

(1)設(shè)等差數(shù)列｛g｝的公差為d,根據(jù)題意得出關(guān)于%和d的方程組，解出這兩個(gè)量的值，然后利用等差數(shù)列的通

項(xiàng)公式可得出數(shù)列｛。,｝的通項(xiàng)公式;

(-1)"-n(n+2)

可得出2<

(2)求出Sn,可知當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)不等式不成立，只考慮〃為偶數(shù)的情況，利用數(shù)列單

調(diào)性的定義判斷數(shù)列｛2｝中偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列的單調(diào)性，由此能求出正實(shí)數(shù)彳的取值范圍.

【詳解】

(1)設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為d,

%=q+d=5

Oj+d=5

則6x5,_5x44x33+35,整理得

H———d+H———d—+-----3a+13d=35

2l

解得q=3,d=2,因此，4=q+(H—l)d=3+2(〃—1)=2〃+l

(2)S〃="1+4)=畸+2〃+1)一2+2人

〃22

滿足不等式2.(V2)n+(-l)，!-1S”<0的正整數(shù)“恰有3個(gè)，得彳<

(一1)〃〃(〃+2)

由于；1>0,若"為奇數(shù),則不等式彳<不可能成立.

(-1Y-n-(n+2)

只考慮〃為偶數(shù)的情況，令*=—心口-----，

(⑹

則砥二「二產(chǎn)，陽(yáng)+2=筌『?

?+1)(左+2)2k(k+l)("1)(2必)

-。2k+202k—2"12，T—2*T

當(dāng)左=1時(shí)，b4-b2>0,則&<%；

當(dāng)上=2時(shí)，％—d=。，則仇=仇；

當(dāng)上23時(shí)，b2k+2-b2k<0,則4>4>%；>，.

所以，&<仇=%>4>bl0>

,

又么=4,b4-b6-6,4=5,Z?10=—,..4<2<5.

因此，實(shí)數(shù)2的取值范圍是［4,5).

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查正實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能

力，是中檔題.

19、(1)見解析(2)存在，2e[-l,3]

【解析】

(1)利用作差法即可證出.

(2)將不等式通分化簡(jiǎn)可得￡!嗎互2人，討論">0或而>0,分離參數(shù)，利用基本不等式即可求解.

abab

【詳解】

(l)tz3-b3-(2a1b-lab1)+ab+b?)-2ab(a-b)

=(a-_ab+/)=_b)

a<b,:.a-b<0

又TI+|z?2>0

/.a3-Z?3<2a2b-2ab2

即"一+"+礦>

a2b2~ab''

①當(dāng)龍〉。時(shí)，(*)即於二產(chǎn)4+/1恒成立

balba與

?/-+->2-.-=2

abNab

(當(dāng)且僅當(dāng)〃=/?時(shí)取等號(hào))，故；l?3

②當(dāng)時(shí)而。,(*)會(huì)*\:+H恒成立

ba

—

ab

(當(dāng)且僅當(dāng)a=-b時(shí)取等號(hào))，故；IN—1

綜上，Ae[-1,3]

【點(diǎn)睛】

本題考查了作差法證明不等式、基本不等式求最值、考查了分類討論的思想，屬于基礎(chǔ)題.

20、(1)(2)1008

【解析】

(1)用基本量求出首項(xiàng)4和公差d,可得通項(xiàng)公式；

201Q

(2)用裂項(xiàng)相消法求得和T〃，然后解不等式】〈可而可得.

【詳解】

1f21

al=—a?-a.,(a]+2d}=—(CL+12t/)

解：⑴由題得r32叼3,即「i)3vii)

$7=49[7q+21d=49

r1fa=0

CL=II

解得二c或,7

d=2d=—

1〔3

因?yàn)閿?shù)列{a,J為各項(xiàng)均為整數(shù)，所以J[。，即

a=乙

b=2=______211

（2）令"anan+l（2n-l）（2n+l）2n-l2n+l

2n2018

-----<-----

335572n-l2n+l2n+l2n+l2019

i2018

即1------<——，解得“<1009

2n+l2019

所以〃的最大值為1008

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和公式，考查裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和.在等差數(shù)列和等比數(shù)列中基本量法是解

題的基本方法.

21、(1)a<-l；(2)證明見解析.

【解析】

(1)求出/■'(%),判斷函數(shù)/(%)的單調(diào)性，求出函數(shù)/(光)的最大值，即求。的范圍；

(2)由⑴可知，石e(L+(?).對(duì)/分%2?1，2)和％e[2,+co)兩種情況討論，構(gòu)造函數(shù)，利用放縮法

和基本不等式證明結(jié)論.

【詳解】

/、工“、lnx+ox+1Inx1如\Inx

(1)由"％)二-----------=一+-+a,得/(九)二——r.

XXXX

令/(x)=0,/.l=1.

當(dāng)Ov尤vl時(shí)，/(x)>0；當(dāng)x>l時(shí)，/(x)<0；

???以力在(0,1)上單調(diào)遞增，在(L+8)上單調(diào)遞減，

對(duì)任意%>0,/(x)<0恒成立，，a+1<0,。a<-1.

(2)證明：由(1)可知，“X)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，

：.\e(0,l),x2e(1,+co).

若乙?1,2),則2—9€(0,1),

令g（x）=/（x）-42—%）=皿1ln（2-x）1

-------,--0-<-x-<l

Xx2-x2-x

In[一（x—I）?+1]

ln（2-x）Inxln（2-x）

-------->--------------->0

（2-x）2%2x2

二g（x）在（0,1）上單調(diào)遞增，g（x）<g⑴=0,.?./（x）</（2—x）,

.,?/（2—石）>/（』）=〃％）.

%e(O,l),/.2-^>1,又馬〉1,/(%)在。，+⑹上單調(diào)遞減,

:.2-xi<x2,.\x1+x2>2.

若々G[2,+8）,則X]+%2>2顯然成立.

綜上，再+X?>2.

2I22I2

X—+x2>2—x%2=2%,土一+%>2^-xxl=2X2

xX

x2丫9i\l

以上兩式左右兩端分別相加，得