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絕密★啟用并使用完畢前
2024年1月高二期末學(xué)習(xí)質(zhì)量檢測(cè)
數(shù)學(xué)試題
本試卷共4頁(yè),22題,全卷滿(mǎn)分150分.考試用時(shí)120分鐘.
注意事項(xiàng):
1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.
2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改
動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在
本試卷上無(wú)效.
3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.
一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有
一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.直線x—y+i=°的傾斜角是()
A.30°B.45°C.60°D.120°
2.已知雙曲線匕=1,則其漸近線方程為()
2
]A/2
Ay=+—xB.y=±-----xC.y=±V2xD.y—±2x
22-
3.已知正項(xiàng)等比數(shù)列{4}中,a2-as=16,則生等于()
A.2B.4C.5D.8
4.在三棱柱48C-/4G中,若/C=a,AB=b>441=c,則=()
A.a+b-cB.a-"。C.-a+b-cD.-a+l)+c
5.2023年10月29日,“濟(jì)南泉城馬拉松”在濟(jì)南大明湖路拉開(kāi)序幕,約3萬(wàn)名選手共聚一堂,在金秋十月
享受了一場(chǎng)酣暢淋漓的馬拉松盛會(huì).某贊助商在沿途設(shè)置了10個(gè)飲水補(bǔ)給站,第一個(gè)補(bǔ)給站準(zhǔn)備了1千瓶
飲用水,第二站比第一站多2千瓶,第三站比第二站多3千瓶,以此類(lèi)推,第〃站比第n-1站多〃千瓶(〃之2
且〃eN*),第10站準(zhǔn)備的飲用水的數(shù)量為()
A45千瓶B,50千瓶C.55千瓶D.60千瓶
6.已知/(2,0),8(8,0),若直線y=區(qū)上存在點(diǎn)M使得加.嬴=0,則實(shí)數(shù)左的取值范圍為()
331r44'
A.---B.--------------------------------------------
L44」L33」
(3]「3'C4]一「4)
I4」14JI3」|_3)
22
7.已知雙曲線+-彳=1(。>0,6>0),其中/、居分別為雙曲線的左頂點(diǎn)、右焦點(diǎn),P為雙曲線上的點(diǎn),
ab
滿(mǎn)足尸耳垂直于x軸且|/月|=2|陰|,則雙曲線的離心率為()
34
A.-B.-C.2D.3
23
8.如圖所示為正八面體的展開(kāi)圖,該幾何體的8個(gè)表面都是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,在該幾何體中,P為
直線DE上的動(dòng)點(diǎn),則P到直線距離的最小值為()
41R瓜「Sn麗
A---D.---V/.---LJ.----
2345
二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多
項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.
9.一條光線從點(diǎn)4-2,3)射出,射向點(diǎn)3(1,0),經(jīng)x軸反射后過(guò)點(diǎn)C(a,l),則下列結(jié)論正確的是()
A.直線AB的斜率是-1B.AB1BC
C.。=3D.\AB\+\BC\=4y[2
10.已知片,耳分別是橢圓C:[+\=l的左,右焦點(diǎn),P為橢圓C上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)a2的動(dòng)點(diǎn),則
下列結(jié)論正確的是()
A.橢圓C的焦距為6B.△尸片鳥(niǎo)的周長(zhǎng)為16
C.2<|P7^|<8D.祀的面積的最大值為16
11.在棱長(zhǎng)為1的正方體48co—中,點(diǎn)P,0分別滿(mǎn)足方/=%瓦瓦,DQ=WA.,則()
A.32e(0,1),使P0,40且尸0,用。1
B.V2e(O,l),PQ//平面28瓦4
C.32e(0,1),使尸。與平面48CD所成角的正切值為§
D.V2e(O,l),AP與/。是異面直線
12.已知集合/二「卜二?"—:[,”6]^*},8={x,=3〃—2,"eN*}.將的所有元素從小到大依次
排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{4},記S),為數(shù)列{4}的前"項(xiàng)和,則下列說(shuō)法正確的是()
A.4=3B,an+4-an=6C.a2023=3035D.若S“〉2024,貝i]
?>52
三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
13.已知1=(2,1,1),6=(-6,2,-3),若斤〃3,則丸的值為_(kāi)_____.
14.已知等差數(shù)列{%}首項(xiàng)4=7,公差d=-2,則前〃項(xiàng)和S“的最大值為.
15.已知圓C:/+「=4,直線/:mx+y-加—1=0,直線/被圓。截得的最短弦長(zhǎng)為.
16.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為R過(guò)點(diǎn)尸作與x軸不垂直的直線/交C于點(diǎn)/,B,過(guò)點(diǎn)/做垂直于
\AB\
X軸的直線交C于點(diǎn)D,若點(diǎn)M是△48。的外心,則匕二的值為
\MF\
四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17.已知等差數(shù)列{a“},滿(mǎn)足2a2+%=15,a4=7.
(1)求數(shù)列{4}的通項(xiàng)公式;
⑵令么=(-1)"%,求{2}的前2n項(xiàng)和&.
18.已知圓心為C的圓經(jīng)過(guò)0(0,0),/(0,2百)兩點(diǎn),且圓心C在直線/:y=瓜上.
(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)點(diǎn)尸在圓C上運(yùn)動(dòng),求的取值范圍.
19.已知拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-2,直線/與拋物線交于48兩點(diǎn),。為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)若ACMB為等腰直角三角形,求A04B的面積;
(2)若CM,08,證明:直線/過(guò)定點(diǎn)P,并求出定點(diǎn)P的坐標(biāo).
20.如圖(1)所示△尸45中,AP1AB,AB=AP=\2.£>,C分別為尸4尸8中點(diǎn).將△PDC沿DC
向平面ABCD上方翻折至圖⑵所示的位置,使得上4=60.連接尸4PB,PC得到四棱錐尸—ABCD.記
尸3的中點(diǎn)為N,連接CN.
(1)證明:CNL平面「48;
(2)點(diǎn)。在線段CN上且。C=2QN,連接Z。,P0,求平面R4。與平面/BCD的夾角的余弦值.
21.設(shè)數(shù)列{4},其前"項(xiàng)和為S’,,2s:=3〃2+3〃,{4}為單調(diào)遞增的等比數(shù)列,乙她=729,
bx+a2=b3-a6.
(1)求數(shù)列{4},也}的通項(xiàng)公式;
(2)記%為也}在區(qū)間(0,盤(pán)](加eN*)中的項(xiàng)的個(gè)數(shù),求數(shù)列{cm}的前100項(xiàng)和工°。.
22.在平面直角坐標(biāo)系.xOy中,設(shè)4,4兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-2,0),(2,0).直線4反,4M相交于點(diǎn)
M,且它們的斜率之積是-1.
2
(1)求動(dòng)點(diǎn)"的軌跡方程;
(2)記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線£,過(guò)尸(1,0)作兩條互相垂直的直線/「,2,4與曲線£交于/、8兩點(diǎn),,2與
曲線£交于C、。兩點(diǎn),求元.赤的最大值.
絕密★啟用并使用完畢前
2024年1月高二期末學(xué)習(xí)質(zhì)量檢測(cè)
數(shù)學(xué)試題
本試卷共4頁(yè),22題,全卷滿(mǎn)分150分.考試用時(shí)120分鐘.
注意事項(xiàng):
1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.
2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改
動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在
本試卷上無(wú)效.
3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.
一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有
一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.直線x—y+i=°的傾斜角是()
A.30°B.45°C.60°D.120°
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)直線的一般方程與斜率的關(guān)系,結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.
【詳解】直線x—.v+l=0的斜率為1,故傾斜角為45°.
故選:B
2.已知雙曲線f—匕=1,則其漸近線方程為()
2
]J2
A.y=+—xB.y=+----xC.y=±V2xD.y—±2x
'22.
【答案】C
【解析】
【分析】利用雙曲線方程,求解漸近線方程即可.
【詳解】由于雙曲線為1=1,所以其漸近線方程為y=±&x.
故選:C.
3.已知正項(xiàng)等比數(shù)列{4}中,a2-as=16,則應(yīng)等于()
A.2B.4C.5D.8
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算即可.
【詳解】由題意易知生=16,
又{%}各項(xiàng)為正數(shù),所以%=4.
故選:B
4.在三棱柱4BC—451cl中,若/C=q,AB=b<441=c,則=()
A.a+b—cB.a—b+cC.—a+b—cD.—a+6+c
【答案】D
【解析】
【分析】利用空間向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可.
【詳解】由題可知函=出+而=而+方—4=—Z+B+".
故選:D
5.2023年10月29日,“濟(jì)南泉城馬拉松”在濟(jì)南大明湖路拉開(kāi)序幕,約3萬(wàn)名選手共聚一堂,在金秋十月
享受了一場(chǎng)酣暢淋漓的馬拉松盛會(huì).某贊助商在沿途設(shè)置了10個(gè)飲水補(bǔ)給站,第一個(gè)補(bǔ)給站準(zhǔn)備了1千瓶
飲用水,第二站比第一站多2千瓶,第三站比第二站多3千瓶,以此類(lèi)推,第〃站比第n-1站多n千瓶(〃》2
且〃eN*),第10站準(zhǔn)備的飲用水的數(shù)量為()
A.45千瓶B.50千瓶C.55千瓶D.60千瓶
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)第〃站的飲用水的數(shù)量為%("=1,2,3,…,10),由題意得:%=1,%一%=2,/一出=3,
L,?10-?9=10,然后利用累加法即可求解.
【詳解】設(shè)第〃站的飲用水的數(shù)量為%("=1,2,3,…,10),由題意得:%=1,出一%=2,%—%=3,
L,。]0—。9=10,以上等式相加得:,
(l+10)xl0_
。10=41+(。2-"1)+(“3-〃2)+.,?+(%0-。9)=]+2+3+…+10=—55,
2
即a1。=55.
故選:C
6.已知2(2,0),8(8,0),若直線>=丘上存在點(diǎn)M使得加.嬴=0,則實(shí)數(shù)上的取值范圍為()
3344
A.B.
4?4353
33MUt4+8
C.—co,---U-—,+GOD._oo,
44333
【答案】A
【解析】
【分析】由題可得點(diǎn)M的軌跡方程,再由直線與圓有公共點(diǎn)建立不等式,求解即可.
【詳解】因?yàn)椤?嬴=0,所以則點(diǎn)”在以48為直徑的圓上,
因?yàn)榈闹悬c(diǎn)坐標(biāo)為(5,0),|48|=6,所以點(diǎn)M的軌跡方程為(x-5y+V=9,
5A;33
由題可知,直線>=丘與圓(x-5『+/=9有公共點(diǎn),所以—^<3,解得:-一<k<~.
44
故選:C
22
7.已知雙曲線二-5=1(。>0,6>0),其中/、與分別為雙曲線的左頂點(diǎn)、右焦點(diǎn),尸為雙曲線上的點(diǎn),
ab
滿(mǎn)足羋垂直于X軸且|/月|=2|時(shí)|,則雙曲線的離心率為()
34
A.—B.—C.2D.3
23
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)P(G%),代入雙曲線方程求出|比|,根據(jù)月|=2歸耳|可得答案.
【詳解】設(shè)P(c,%),則《―胃.=1,解得尻|=匕,即忸園=乙,瑪|=a+c,
abaa
因?yàn)镠8|=2|尸鳥(niǎo)],所以a+C=2—,可得〃+QC=2(02,
3
2e2—e—3=0?解得e=—.
故選:A.
8.如圖所示為正八面體的展開(kāi)圖,該幾何體的8個(gè)表面都是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,在該幾何體中,P為
直線上的動(dòng)點(diǎn),則尸到直線45距離的最小值為()
,V2V6「SVio
v.LJR.--------------Un.
2345
【答案】B
【解析】
【分析】作出該幾何體,確定直線。E和直線為異面直線,再根據(jù)平面45。//平面DEE,結(jié)合等體積
法求得。到平面ABC的距離即可.
【詳解】把平面展開(kāi)圖還原為空間八面體,如圖所示:
由題意,尸到直線距離的最小值即直線QE到直線N3的距離,
XDFUAC,ZCu平面48C,Db仁平面48C,故Z>R〃平面48c.
又BC=BD=EC=ED=1,故四邊形8CED為菱形,則。E//BC.
BCu平面48C,£>£</平面48C,故。E//平面48c.
又DFC\DE=D,DF,DEu平面DEF,故平面DEE//平面48c.
故直線DF到直線AB的距離為平面DEF到平面ABC的距離.
則D到平面ABC的距離即為尸到直線AB距離的最小值.
設(shè)/方與3交于。,則易得。為正四棱錐8—ADFC中心.
則氏4=8C=8£>=ZC=ZD=1,CD=^AC2+AD2=41=^BC2+BD1>故△BC£>為直角三角
形,故0B二葉.
2
設(shè)。到平面Z5C的距離為3則由%TCD=/TBC,故;邑,8力。=;邑,BC?力,
故工x1x1x--h,解得h=--
2243
故選:B
二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多
項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得。分.
9.一條光線從點(diǎn)/(-2,3)射出,射向點(diǎn)8(1,0),經(jīng)x軸反射后過(guò)點(diǎn)C(a,l),則下列結(jié)論正確的是()
A.直線A8的斜率是-1B.AB1BC
C.a=3D.\AB\+\BC\=442
【答案】ABD
【解析】
【分析】選項(xiàng)A應(yīng)用斜率公式計(jì)算即可;選項(xiàng)B,先求得點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),進(jìn)而求得反射光線所在
直線的斜率,應(yīng)用兩條直線垂直的斜率公式判斷即可;選項(xiàng)C,求得反射光線所在直線的方程,進(jìn)而求得
點(diǎn)C的坐標(biāo);選項(xiàng)D應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式求解即可.
0-3
【詳解】由于/(—2,3)、5(1,0),由斜率公式得:k=———=-l,選項(xiàng)A正確;
AB1一(一2)
點(diǎn)4(-2,3)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)4的坐標(biāo)為(-2,-3),經(jīng)x軸反射后直線BC的斜率為:
0-(-3)
kBc=k&B=、且.左”二一1,所以4BJ.BC,選項(xiàng)B正確;
1一(一2)
直線3C即直線48的方程為:V—o=lx(x—1),即y=x—1,
將y=l代入得:X=2,所以點(diǎn)C(2,l),。=2,選項(xiàng)C不正確;
由兩點(diǎn)間距離公式得:
\AB\+\BC\=7[1-(-2)]2+(0-3)2+'(2_產(chǎn)+(1-0)2=4后,
選項(xiàng)D正確;
故選:ABD.
下列結(jié)論正確的是()
A.橢圓C的焦距為6B.4Pg的周長(zhǎng)為16
C.2<|P7^|<8D.八以祀的面積的最大值為16
【答案】AB
【解析】
【分析】由橢圓方程求得a,b,C的值,根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)結(jié)合選項(xiàng)即可逐一求解.
【詳解】由橢圓C:二+匕=1,得。=5,6=4,c=3,
2516
,橢圓。的焦距為2c=6,故A正確;
又尸為橢圓。上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)A,3的動(dòng)點(diǎn),丹的周長(zhǎng)為2a+2c=16,故B正確;
2=a-c<\PFl\<a+c=S9故C錯(cuò)誤;
當(dāng)P為橢圓C的短軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí),△PF\F2的面積取最大值為gX2cX6=be=12,
故D錯(cuò)誤.
故選:AB.
11.在棱長(zhǎng)為1的正方體48Go—44G0中,點(diǎn)尸,。分別滿(mǎn)足不=24瓦,DQ2D4,貝卜)
A.32e(0,1),使且尸0,耳£(1
B.V2e(O,l),「0//平面28g4
C.32e(0,1),使尸。與平面48co所成角的正切值為]
D.V2e(O,l),AP與20是異面直線
【答案】BCD
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量一一計(jì)算判定選項(xiàng)即可.
根據(jù)題意可知P(4%I),Q(%O"),4(I,O,I),A(O,O,I),B(I,I,O),/(I,O,O),
則加=(0,_42_1),南=(1,0,1),麗=(2-1,2-1,1),142=(2-1,0,2),
平面ABB4的一個(gè)法向量為m=(1,0,0),平面ABCD的一個(gè)法向量為n=(0,0,1),
對(duì)于A,若尸則網(wǎng)?函=(0,—42——1=0
n4=l走(0,1),故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,易知網(wǎng)?龍=(0,—X"—1>(1,0,0)=0恒成立,且平面28片4,
則P。//平面48與4,故B正確;
(「兀口
對(duì)于C,設(shè)尸。與平面48co所成角為aae0,-,
IL2JJ
22
若tana=]=>sina=—j=,
.I—?」~POn|2-1|23
即sina-cosPQ.n\=L——=/=—(=,解之得4=—或4=3,
1I卜耳?同"1)2+%Vi35
顯然(0,1),使得結(jié)論成立,故C正確;
對(duì)于D,因?yàn)辂?(2—1,2—1,1),血=(2—1,0,2),
2—1=k(4-1)
若麗,而共線,則存在實(shí)數(shù)左,使得加=左而nX—1=左乂0,解得4=1e(0,1),
1=kX
所以V2e(O,l),而,而不共線,故D正確.
故選:BCD
12.已知集合/=卜卜=2〃-1,〃€]\*},8=卜卜=3〃—2,〃eN*}.將/口5的所有元素從小到大依次
排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{%},記S“為數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和,則下列說(shuō)法正確的是()
A.?=3B,an+4-an=6C.a2023=3035D.若S“〉2024,貝!]
n>52
【答案】ABD
【解析】
【分析】求得/nszuB中的一些元素,結(jié)合等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、求和公式,對(duì)選項(xiàng)逐一判斷
即可.
【詳解】由題意可得:Zc8={xk=6〃一5,〃eN*},
可得={1,3,4,5,7,9,10,11,13,15,16,17,19,…},
則4]=1,=3,%=4,%=5,%=7,4=9,%=10,。8=1L…,
對(duì)于選項(xiàng)A:易得2=3,故A正確;
對(duì)于選項(xiàng)B:易得a〃+4-a”=6,故B正確;
a
對(duì)于選項(xiàng)C:由an+4-an=6,可得出023=3+505x6=4+3030=3034,故C錯(cuò)誤;
對(duì)于選項(xiàng)D:易得數(shù)列{4}每隔四個(gè)一組求和,可構(gòu)成等差數(shù)列,其首項(xiàng)為13,公差為24,
由13xl2+Lxl2xnx24=1070<2024,
2
13xl3+|xl3xl2x24=2041>2024,則E,〉2024,此時(shí)有〃之52,故D正確.
故選:ABD.
=
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:關(guān)鍵是通過(guò)%=1,?23,%=4嗎=5,%=7,%=9嗎=10,a8=11,???,找到
%+4-%=6,由此借助等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí),進(jìn)而求解即可.
三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
13.已知@=(2,1,1),Z?=(―6,九—3),若則X的值為.
【答案】-3
【解析】
【分析】根據(jù)向量共線即可求解.
一11
【詳解】由1=(2/[),b=(-6,2,-3),a//b-可得6=—3a,故%=-3,
故答案為:-3
14.已知等差數(shù)列{%}首項(xiàng)4=7,公差d=-2,則前n項(xiàng)和的最大值為.
【答案】16
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式和,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】等差數(shù)列{%}首項(xiàng)%=7,公差d=—2,
S=7n+x(-2)=-n2+8/7=-(〃-4了+16.
n"。7)
則前〃項(xiàng)和S“的最大值為16.
故答案為:16.
15.已知圓C:/+「=4,直線/:加x+y-?加一1=0,直線/被圓。截得的最短弦長(zhǎng)為.
【答案】20
【解析】
【分析】先求出直線/過(guò)定點(diǎn)Z。/),數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)/C與故直線/垂直時(shí),直線/被圓C截得的弦長(zhǎng)最
短,求出最短弦長(zhǎng).
【詳解】/:“+》一加一1=0變形為加(x—l)+y—l=0,故直線/過(guò)定點(diǎn)幺(1,1),
故當(dāng)NC與故直線/垂直時(shí),直線/被圓。截得的弦長(zhǎng)最短,
其中。:/+/=4的圓心為c(o,O),半徑為2,
止匕時(shí)弦長(zhǎng)為2,4_|時(shí)=272.
故答案為:2企
16.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為尸,過(guò)點(diǎn)尸作與x軸不垂直的直線/交C于點(diǎn)4B,過(guò)點(diǎn)/做垂直于
\AB\
x軸的直線交C于點(diǎn)。,若點(diǎn)M是△A5Q的外心,則匕二的值為
\MF\
【答案】2
【解析】
【分析】設(shè)直線/:》=叼+1(加*0),聯(lián)立方程,利用韋達(dá)定理求|45|以及點(diǎn)M的坐標(biāo),即可得結(jié)果.
【詳解】由題意可知:拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)廠(1,0),可知直線/與拋物線必相交,
設(shè)直線/:%=叼+1(加彳0),/(和必),3(%2,22),可得/(國(guó),一乂),
x-my+\
聯(lián)立方程〈2,消去X得/_4加y—4=0,
p=4%
則%+72=4加,=一4,
22
可得\AB\=71+mV16zM+16=4(加2+1),
歲(2=2掰,且七強(qiáng)=2掰2+1,即線段的中點(diǎn)(2加2+1,2加)
則線段AB的中垂線方程為y-2m=-m(x-2m2-1),
由題意可知:點(diǎn)M在x軸上,
令》=0,可得x=2加2+3,即兇(2丁+3,0),^]\MF\=2(m2+1),
\AB\4(/+1)
所以阿2(川+1)-
故答案為:2.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:對(duì)于弦中點(diǎn)問(wèn)題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”求解,在使用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí),在解決有關(guān)弦
中點(diǎn)、弦所在直線的斜率、弦中點(diǎn)與原點(diǎn)連線斜率問(wèn)題時(shí)可簡(jiǎn)化運(yùn)算,但要注意直線斜率是否存在.
四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17.已知等差數(shù)列{%},滿(mǎn)足2a2+生=15,%=7.
(1)求數(shù)列{%}的通項(xiàng)公式;
(2)令3,求也}的前2n項(xiàng)和T2n.
【答案】(1)an=2n-l
(2)T2n=2n
【解析】
2(Qi+d)+ai+4d=15
【分析】(1)由題意得《'C7一,代入等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解;
%+3d=7
(2)由"=(—1)”(2〃—1),代入求和即可.
【小問(wèn)1詳解】
2(q+d)+%+4d=15a.—\
由已知,得<,解得<d=2'故…T
a、+3d=7
【小問(wèn)2詳解】
由⑴得4=(—1)"(2〃—1),
所以&”+K-X=(-1)2"(4〃_1)+(―1)2"T(4〃-3)=4〃-1—(4〃-3)=2,
得&=3i+b2)+(b3+”)+…+02〃—+&〃)=2n.
18.已知圓心為C的圓經(jīng)過(guò)0(0,0),Z(0,2百)兩點(diǎn),且圓心C在直線/:了=屈上.
(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)點(diǎn)尸在圓C上運(yùn)動(dòng),求|PO「+|PZ『的取值范圍.
【答案】(1)(x—+—G『=4
(2)[8,24]
【解析】
【分析】(1)利用圓的對(duì)稱(chēng)性先確定圓心,再求半徑即可;
(2)設(shè)尸坐標(biāo),利用兩點(diǎn)距離公式及點(diǎn)在圓上消元轉(zhuǎn)化為函數(shù)求值域求范圍即可.
【小問(wèn)1詳解】
圓經(jīng)過(guò)0(0,0),2(0,2g)兩點(diǎn),得圓心在。4的中垂線y=G上,
ly=7Sx=1
又圓心C在直線/:了=瓜上,聯(lián)立直線方程有;L,得,
y=Cx3=下)
又/=仁0『=4,
故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-I)2+(J-V3)2=4.
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)月(才0,幾),易知七4一1,3],
則|P0「+=x;+了:+X;+(為一=紜+2(九一+6(*),
因?yàn)辄c(diǎn)尸在圓C上運(yùn)動(dòng),貝I(%—+(%—6了=4,
故(*)式可化簡(jiǎn)為,|PO『+|p/|2=2x:+2[4—(%—1『]+6=4XO+12,
由/e[-1,3]得|P0『+戶(hù)旬2的取值范圍為[8,24].
19.已知拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-2,直線/與拋物線交于48兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)若ACMB為等腰直角三角形,求ACMB的面積;
(2)若Q4LO8,證明:直線/過(guò)定點(diǎn)P,并求出定點(diǎn)尸的坐標(biāo).
【答案】(1)64
(2)證明見(jiàn)解析,尸(8,0)
【解析】
【分析】(1)先根據(jù)準(zhǔn)線方程求得拋物線方程,再由拋物線及等腰直角三角形的對(duì)稱(chēng)性得NZ08=90°,
OA=OB,從而求得43坐標(biāo)計(jì)算面積即可;
(2)設(shè)直線/方程及48坐標(biāo),與拋物線方程聯(lián)立,由垂直關(guān)系及韋達(dá)定理計(jì)算即可
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線為x=-2,可得拋物線的方程為:/=8x,
又為等腰直角三角形,
根據(jù)拋物線及等腰直角三角形的對(duì)稱(chēng)性可知:NAOB=90°,OA=OB,
且43兩點(diǎn)關(guān)于橫軸對(duì)稱(chēng),則直線。4:y=x.
y=x/、/、1/、
于是《得4(8,8),則8(8,-8),所以邑.B=7X8X(8+8)=64.
y2=8ox2
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)直線/:3=即+",4(再,必),3(%2,%),
x=my+n
聯(lián)立
V=8x
2
得-8加y—8〃=0,A=64W+32M>0)且必+%=8加,y,-y2=-8n
又因?yàn)?4,03,則七'?e8=里2=一1,即必%+工々=0?
XxX2
2222
,V?2
由y2=8x,得X]=",x2=—,x,x2==M>
,8281264
即必為+西X2=/-8〃=0,解得〃=8或〃=0(舍去).
當(dāng)〃=8時(shí),滿(mǎn)足A>0.此時(shí),直線/的方程》=叼+8.
則/過(guò)定點(diǎn)尸(8,0).
20.如圖(1)所示△尸48中,APLAB,AB=AP=12.£>,C分別為尸4尸8中點(diǎn).將△?DC沿。C
向平面ABCD上方翻折至圖(2)所示的位置,使得PA=6日連接尸4PB,PC得到四棱錐P-ABCD.記
P8的中點(diǎn)為N,連接CN.
(1)證明:CN,平面「45;
(2)點(diǎn)。在線段CN上且。C=2QN,連接2。,尸。,求平面02。與平面/BCD的夾角的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
⑵巫
19
【解析】
【分析】(1)根據(jù)空間中的垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化,結(jié)合線面垂直的判定即可求證,
(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用法向量的夾角即可求解平面的夾角.
【小問(wèn)1詳解】
取43中點(diǎn)M,連接NM,CM.
則CD///M,CD=,即四邊形AMCD為平行四邊形,
所以CW〃4D,
又因?yàn)樗?8CM,
由PQ_LCD,CD//AB,即
又ABLAD,PDcAD=D,PD,ADu平面尸/£),
所以451平面P/。,又4Pu平面故48L4P,
又因?yàn)镹M〃AP,則48J.7W,
又NMCCM=M,2W,CA/u平面NCW
所以AB1平面NCM,又CNu平面NCM,所以CN_L48,
又在APCD中,PD=CD=6且PDLCD,
在中,CM^BM=6SLCMLBM,
則PC=5。=6J2,又N為PB中點(diǎn)、,所以CVJ_PB,
又ABcPB=B,AB,PBu平面PAB,所以CN,平面PAB.
【小問(wèn)2詳解】
由=/£>=6,AP=6后,則PD-+AD2=AP2,
即尸QL4D,又PDA.CD,ADLCD,
故以。為坐標(biāo)原點(diǎn),以。4DC,Z)尸所在直線x分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則尸(0,0,6),£>(0,0,0),C(0,6,0),2(6,0,0),6(6,12,0),N(3,6,3),
__2_____________________________________.
故國(guó)=(3,0,3),莎=(6,0,—6),因?yàn)楹?]國(guó)=(2,0,2),
所以。(2,6,2),PQ=(2,6,-4),
設(shè)平面產(chǎn)么。的法向量〃1=(X1,J1,Z1),平面48CD的法向量〃2=(》2,%,22),
,----?
PA-n-6x.-6z.=0一
貝"一,取占=3,解得々=(3,1,3),
P。?萬(wàn)=2為+6%一44=0'
易知£(尸,平面48CD,即%=(0,0,1),
33M
所以cos(nn
1?2VlxV19-19
所以平面PAQ與平面ABCD的夾角的余弦值為獨(dú)9.
19
21.設(shè)數(shù)列{4},其前〃項(xiàng)和為S",2s"=3/+3〃,也}為單調(diào)遞增的等比數(shù)列,4她=729,
bx+a2=b3-a6.
(1)求數(shù)列{4},也}的通項(xiàng)公式;
(2)記或?yàn)橐玻趨^(qū)間(0,%』(加eN*)中的項(xiàng)的個(gè)數(shù),求數(shù)列{q}的前100項(xiàng)和幾°.
【答案】(1)%=3〃,4=3"(〃eN*)
(2)384
【解析】
【分析】(1)根據(jù)4,S”的關(guān)系即可求解%=3〃,根據(jù)等比數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解〃=3"
(2)利用列舉法即可逐一求解{%}的前100項(xiàng),即可求和得解.
【小問(wèn)1詳解】
對(duì)于數(shù)列{%},因?yàn)?s“=3/+3〃①,
所以2s,i=3(〃—1)2+3(〃—1),n>2,〃eN*②
①一②得%=3〃(〃22,〃eN*)
由①式,當(dāng)〃=1時(shí),得q=3,也滿(mǎn)足%=3〃,
所以%=3〃(〃eN*).
因?yàn)閿?shù)列低}為等比數(shù)列,由等比數(shù)列的性質(zhì)得姑24=&=729,得&=9,
設(shè)數(shù)列{〃}的公比為9,又因?yàn)?=6,4=18,
91
所以=4—4即—+6=9q_18,解得g=3或一;,
一q3
又因?yàn)椋?}為單調(diào)遞增的等比數(shù)列,所以4=3,
所以4=3"(〃eN*)
【小問(wèn)2詳解】
由于31=3,32=9,33=27,34=81135=243-36=7291
所以G,。2對(duì)應(yīng)的區(qū)間為(0,3],(0,6],則4=02=1,即有2個(gè)1;
。3,。4,…,。8對(duì)應(yīng)的區(qū)間為(°,9],(0,12],…,(0,24],則03=。4=???=/=2,即有6個(gè)2;
。9,。10,…,。26對(duì)應(yīng)的區(qū)間為(°,27],(0,30],???,(0,78],則C9=%=…=。26=3,即有18個(gè)3;
。27,。28,…,。80對(duì)應(yīng)的區(qū)間為(°,81],(0,84],―,(0,240],則027=。28=…=。80=4,即有54個(gè)4;
C81,c82,…,對(duì)應(yīng)的區(qū)間為(0,243],
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