山東省濟南市2023-2024學(xué)年高二年級上冊期末考試數(shù)學(xué)試題 附答案

絕密★啟用并使用完畢前

2024年1月高二期末學(xué)習(xí)質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)試題

本試卷共4頁，22題，全卷滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在

本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.直線x—y+i=°的傾斜角是（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

2.已知雙曲線匕=1,則其漸近線方程為（）

2

]A/2

Ay=+—xB.y=±-----xC.y=±V2xD.y—±2x

22-

3.已知正項等比數(shù)列｛4｝中，a2-as=16,則生等于()

A.2B.4C.5D.8

4.在三棱柱48C-/4G中，若/C=a，AB=b>441=c,則=()

A.a+b-cB.a-"。C.-a+b-cD.-a+l）+c

5.2023年10月29日，“濟南泉城馬拉松”在濟南大明湖路拉開序幕，約3萬名選手共聚一堂，在金秋十月

享受了一場酣暢淋漓的馬拉松盛會.某贊助商在沿途設(shè)置了10個飲水補給站，第一個補給站準備了1千瓶

飲用水，第二站比第一站多2千瓶,第三站比第二站多3千瓶，以此類推，第〃站比第n-1站多〃千瓶（〃之2

且〃eN*），第10站準備的飲用水的數(shù)量為（）

A45千瓶B,50千瓶C.55千瓶D.60千瓶

6.已知/（2,0）,8（8,0）,若直線y=區(qū)上存在點M使得加.嬴=0,則實數(shù)左的取值范圍為（）

331r44'

A.---B.--------------------------------------------

L44」L33」

（3]「3'C4]一「4）

I4」14JI3」|_3）

22

7.已知雙曲線+-彳=1（。>0,6>0）,其中/、居分別為雙曲線的左頂點、右焦點，P為雙曲線上的點，

ab

滿足尸耳垂直于x軸且|/月|=2|陰|,則雙曲線的離心率為（）

34

A.-B.-C.2D.3

23

8.如圖所示為正八面體的展開圖，該幾何體的8個表面都是邊長為1的等邊三角形，在該幾何體中，P為

直線DE上的動點，則P到直線距離的最小值為（）

41R瓜「Sn麗

A---D.---V/.---LJ.----

2345

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.一條光線從點4-2,3）射出，射向點3（1,0）,經(jīng)x軸反射后過點C（a,l）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.直線AB的斜率是-1B.AB1BC

C.。=3D.\AB\+\BC\=4y[2

10.已知片，耳分別是橢圓C：[+\=l的左，右焦點，P為橢圓C上異于長軸端點a2的動點，則

下列結(jié)論正確的是（)

A.橢圓C的焦距為6B.△尸片鳥的周長為16

C.2<|P7^|<8D.祀的面積的最大值為16

11.在棱長為1的正方體48co—中，點P,0分別滿足方/=%瓦瓦，DQ=WA.,則()

A.32e(0,1),使P0，40且尸0，用。1

B.V2e(O,l),PQ//平面28瓦4

C.32e(0,1),使尸。與平面48CD所成角的正切值為§

D.V2e(O,l),AP與/。是異面直線

12.已知集合/二「卜二？"—：[,”6]^*｝,8=｛x,=3〃—2,"eN*｝.將的所有元素從小到大依次

排列構(gòu)成一個數(shù)列｛4｝,記S),為數(shù)列｛4｝的前"項和，則下列說法正確的是()

A.4=3B,an+4-an=6C.a2023=3035D.若S“〉2024,貝i]

?>52

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知1=(2,1,1),6=(-6,2,-3),若斤〃3，則丸的值為______.

14.已知等差數(shù)列｛%｝首項4=7,公差d=-2,則前〃項和S“的最大值為.

15.已知圓C:/+「=4,直線/：mx+y-加—1=0,直線/被圓。截得的最短弦長為.

16.已知拋物線C:y2=4x的焦點為R過點尸作與x軸不垂直的直線/交C于點/,B,過點/做垂直于

\AB\

X軸的直線交C于點D,若點M是△48。的外心，則匕二的值為

\MF\

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知等差數(shù)列｛a“｝,滿足2a2+%=15,a4=7.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

⑵令么=(-1)"%,求｛2｝的前2n項和&.

18.已知圓心為C的圓經(jīng)過0(0,0),/(0,2百)兩點，且圓心C在直線/：y=瓜上.

(1)求圓C的標準方程；

(2)點尸在圓C上運動，求的取值范圍.

19.已知拋物線的準線方程為x=-2,直線/與拋物線交于48兩點，。為坐標原點.

(1)若ACMB為等腰直角三角形，求A04B的面積；

(2)若CM，08,證明：直線/過定點P,并求出定點P的坐標.

20.如圖(1)所示△尸45中，AP1AB,AB=AP=\2.￡>,C分別為尸4尸8中點.將△PDC沿DC

向平面ABCD上方翻折至圖⑵所示的位置,使得上4=60.連接尸4PB,PC得到四棱錐尸—ABCD.記

尸3的中點為N,連接CN.

(1)證明：CNL平面「48；

(2)點。在線段CN上且。C=2QN,連接Z。,P0,求平面R4。與平面/BCD的夾角的余弦值.

21.設(shè)數(shù)列｛4｝,其前"項和為S’,，2s:=3〃2+3〃,｛4｝為單調(diào)遞增的等比數(shù)列,乙她=729,

bx+a2=b3-a6.

(1)求數(shù)列｛4｝,也｝的通項公式；

(2)記%為也｝在區(qū)間(0,盤］(加eN*)中的項的個數(shù)，求數(shù)列｛cm｝的前100項和工°。.

22.在平面直角坐標系.xOy中，設(shè)4，4兩點的坐標分別為(-2,0),(2,0).直線4反，4M相交于點

M,且它們的斜率之積是-1.

2

(1)求動點"的軌跡方程；

(2)記動點M的軌跡為曲線￡,過尸(1,0)作兩條互相垂直的直線/「，2,4與曲線￡交于/、8兩點，,2與

曲線￡交于C、。兩點，求元.赤的最大值.

絕密★啟用并使用完畢前

2024年1月高二期末學(xué)習(xí)質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)試題

本試卷共4頁，22題，全卷滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在

本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.直線x—y+i=°的傾斜角是（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)直線的一般方程與斜率的關(guān)系，結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.

【詳解】直線x—.v+l=0的斜率為1,故傾斜角為45°.

故選：B

2.已知雙曲線f—匕=1,則其漸近線方程為（）

2

]J2

A.y=+—xB.y=+----xC.y=±V2xD.y—±2x

'22.

【答案】C

【解析】

【分析】利用雙曲線方程，求解漸近線方程即可.

【詳解】由于雙曲線為1=1,所以其漸近線方程為y=±&x.

故選：C.

3.已知正項等比數(shù)列｛4｝中，a2-as=16,則應(yīng)等于（）

A.2B.4C.5D.8

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)等比中項的性質(zhì)計算即可.

【詳解】由題意易知生=16,

又｛%｝各項為正數(shù)，所以%=4.

故選：B

4.在三棱柱4BC—451cl中，若/C=q,AB=b<441=c,則=（）

A.a+b—cB.a—b+cC.—a+b—cD.—a+6+c

【答案】D

【解析】

【分析】利用空間向量的線性運算計算即可.

【詳解】由題可知函=出+而=而+方—4=—Z+B+".

故選：D

5.2023年10月29日，“濟南泉城馬拉松”在濟南大明湖路拉開序幕，約3萬名選手共聚一堂，在金秋十月

享受了一場酣暢淋漓的馬拉松盛會.某贊助商在沿途設(shè)置了10個飲水補給站，第一個補給站準備了1千瓶

飲用水，第二站比第一站多2千瓶，第三站比第二站多3千瓶，以此類推，第〃站比第n-1站多n千瓶（〃》2

且〃eN*），第10站準備的飲用水的數(shù)量為（）

A.45千瓶B.50千瓶C.55千瓶D.60千瓶

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)第〃站的飲用水的數(shù)量為%（"=1,2,3,…,10）,由題意得：%=1,%一％=2，/一出=3,

L,?10-?9=10,然后利用累加法即可求解.

【詳解】設(shè)第〃站的飲用水的數(shù)量為%（"=1,2,3,…,10）,由題意得：%=1,出一%=2,%—%=3,

L,。］0—。9=10,以上等式相加得：，

(l+10)xl0_

。10=41+(。2-"1)+(“3-〃2)+.,?+(%0-。9)=]+2+3+…+10=—55，

2

即a1。=55.

故選：C

6.已知2（2,0）,8（8,0）,若直線＞=丘上存在點M使得加.嬴=0,則實數(shù)上的取值范圍為（）

3344

A.B.

4?4353

33MUt4+8

C.—co,---U-—,+GOD._oo,

44333

【答案】A

【解析】

【分析】由題可得點M的軌跡方程，再由直線與圓有公共點建立不等式，求解即可.

【詳解】因為■?嬴=0，所以則點”在以48為直徑的圓上,

因為的中點坐標為（5,0）,|48|=6,所以點M的軌跡方程為（x-5y+V=9,

5A；33

由題可知，直線＞=丘與圓（x-5『+/=9有公共點，所以—^＜3,解得：-一＜k＜~.

44

故選：C

22

7.已知雙曲線二-5=1（。＞0,6＞0）,其中/、與分別為雙曲線的左頂點、右焦點，尸為雙曲線上的點,

ab

滿足羋垂直于X軸且|/月|=2|時|,則雙曲線的離心率為（）

34

A.—B.—C.2D.3

23

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)P（G%）,代入雙曲線方程求出|比|,根據(jù)月|=2歸耳|可得答案.

【詳解】設(shè)P（c,%）,則《―胃.=1,解得尻|=匕，即忸園=乙，瑪|=a+c,

abaa

因為H8|=2|尸鳥］,所以a+C=2—,可得〃+QC=2(02,

3

2e2—e—3=0?解得e=—.

故選：A.

8.如圖所示為正八面體的展開圖，該幾何體的8個表面都是邊長為1的等邊三角形，在該幾何體中，P為

直線上的動點，則尸到直線45距離的最小值為（）

,V2V6「SVio

v.LJR.--------------Un.

2345

【答案】B

【解析】

【分析】作出該幾何體，確定直線。E和直線為異面直線，再根據(jù)平面45。//平面DEE,結(jié)合等體積

法求得。到平面ABC的距離即可.

【詳解】把平面展開圖還原為空間八面體，如圖所示:

由題意，尸到直線距離的最小值即直線QE到直線N3的距離，

XDFUAC,ZCu平面48C,Db仁平面48C,故Z>R〃平面48c.

又BC=BD=EC=ED=1,故四邊形8CED為菱形，則。E//BC.

BCu平面48C,￡>￡</平面48C,故。E//平面48c.

又DFC\DE=D,DF,DEu平面DEF,故平面DEE//平面48c.

故直線DF到直線AB的距離為平面DEF到平面ABC的距離.

則D到平面ABC的距離即為尸到直線AB距離的最小值.

設(shè)/方與3交于。，則易得。為正四棱錐8—ADFC中心.

則氏4=8C=8￡>=ZC=ZD=1,CD=^AC2+AD2=41=^BC2+BD1>故△BC￡>為直角三角

形，故0B二葉.

2

設(shè)。到平面Z5C的距離為3則由%TCD=/TBC，故;邑，8力。=；邑，BC?力，

故工x1x1x--h，解得h=--

2243

故選：B

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多

項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分.

9.一條光線從點/(-2,3)射出，射向點8(1,0),經(jīng)x軸反射后過點C(a,l),則下列結(jié)論正確的是()

A.直線A8的斜率是-1B.AB1BC

C.a=3D.\AB\+\BC\=442

【答案】ABD

【解析】

【分析】選項A應(yīng)用斜率公式計算即可；選項B,先求得點A關(guān)于x軸的對稱點，進而求得反射光線所在

直線的斜率，應(yīng)用兩條直線垂直的斜率公式判斷即可；選項C,求得反射光線所在直線的方程，進而求得

點C的坐標；選項D應(yīng)用兩點間距離公式求解即可.

0-3

【詳解】由于/(—2,3)、5(1,0),由斜率公式得：k=———=-l,選項A正確；

AB1一(一2)

點4(-2,3)關(guān)于x軸的對稱點4的坐標為(-2,-3),經(jīng)x軸反射后直線BC的斜率為：

0-(-3)

kBc=k&B=、且.左”二一1，所以4BJ.BC,選項B正確；

1一(一2)

直線3C即直線48的方程為：V—o=lx(x—1),即y=x—1,

將y=l代入得：X=2,所以點C(2,l),。=2,選項C不正確；

由兩點間距離公式得：

\AB\+\BC\=7[1-(-2)]2+(0-3)2+'(2_產(chǎn)+(1-0)2=4后，

選項D正確；

故選：ABD.

下列結(jié)論正確的是()

A.橢圓C的焦距為6B.4Pg的周長為16

C.2<|P7^|<8D.八以祀的面積的最大值為16

【答案】AB

【解析】

【分析】由橢圓方程求得a,b,C的值，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)結(jié)合選項即可逐一求解.

【詳解】由橢圓C:二+匕=1,得。=5,6=4,c=3,

2516

，橢圓。的焦距為2c=6,故A正確；

又尸為橢圓。上異于長軸端點A,3的動點，丹的周長為2a+2c=16,故B正確;

2=a-c<\PFl\<a+c=S9故C錯誤；

當P為橢圓C的短軸的一個端點時，△PF\F2的面積取最大值為gX2cX6=be=12,

故D錯誤.

故選：AB.

11.在棱長為1的正方體48Go—44G0中，點尸，。分別滿足不=24瓦，DQ2D4，貝卜)

A.32e(0,1),使且尸0，耳￡(1

B.V2e(O,l),「0//平面28g4

C.32e(0,1),使尸。與平面48co所成角的正切值為］

D.V2e(O,l),AP與20是異面直線

【答案】BCD

【解析】

【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量一一計算判定選項即可.

根據(jù)題意可知P(4%I),Q(%O")，4(I,O,I)，A(O,O,I),B(I,I,O),/(I,O,O),

則加=(0,_42_1),南=(1,0,1),麗=(2-1,2-1,1),142=(2-1,0,2),

平面ABB4的一個法向量為m=(1,0,0),平面ABCD的一個法向量為n=(0,0,1),

對于A,若尸則網(wǎng)?函=(0,—42——1=0

n4=l走(0,1),故A錯誤；

對于B,易知網(wǎng)?龍=(0,—X"—1>(1,0,0)=0恒成立，且平面28片4，

則P。//平面48與4,故B正確；

(「兀口

對于C,設(shè)尸。與平面48co所成角為aae0,-,

IL2JJ

22

若tana=]=>sina=—j=,

.I—?」~POn|2-1|23

即sina-cosPQ.n\=L——=/=—(=,解之得4=—或4=3,

1I卜耳?同"1)2+%Vi35

顯然(0,1),使得結(jié)論成立，故C正確；

對于D,因為麗=(2—1,2—1,1),血=(2—1,0,2),

2—1=k（4-1）

若麗，而共線，則存在實數(shù)左，使得加=左而nX—1=左乂0,解得4=1e（0,1）,

1=kX

所以V2e（O,l）,而，而不共線，故D正確.

故選：BCD

12.已知集合/=卜卜=2〃-1,〃€]\*},8=卜卜=3〃—2,〃eN*}.將/口5的所有元素從小到大依次

排列構(gòu)成一個數(shù)列{%},記S“為數(shù)列{%}的前〃項和，則下列說法正確的是（）

A.?=3B,an+4-an=6C.a2023=3035D.若S“〉2024,貝！]

n>52

【答案】ABD

【解析】

【分析】求得/nszuB中的一些元素，結(jié)合等差數(shù)列的定義、通項公式、求和公式，對選項逐一判斷

即可.

【詳解】由題意可得：Zc8={xk=6〃一5,〃eN*},

可得={1,3,4,5,7,9,10,11,13,15,16,17,19,…},

則4]=1,=3,%=4,%=5,%=7,4=9,%=10,。8=1L…，

對于選項A:易得2=3,故A正確；

對于選項B:易得a〃+4-a”=6,故B正確；

a

對于選項C:由an+4-an=6,可得出023=3+505x6=4+3030=3034,故C錯誤；

對于選項D:易得數(shù)列{4}每隔四個一組求和，可構(gòu)成等差數(shù)列，其首項為13,公差為24,

由13xl2+Lxl2xnx24=1070<2024,

2

13xl3+|xl3xl2x24=2041>2024,則E,〉2024,此時有〃之52,故D正確.

故選：ABD.

=

【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵是通過%=1,?23,%=4嗎=5,%=7,%=9嗎=10,a8=11,???,找到

%+4-%=6,由此借助等差數(shù)列的相關(guān)知識，進而求解即可.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知@=(2,1,1),Z?=(―6,九—3)，若則X的值為.

【答案】-3

【解析】

【分析】根據(jù)向量共線即可求解.

一11

【詳解】由1=(2/[)，b=(-6,2,-3)，a//b-可得6=—3a，故％=-3,

故答案為：-3

14.已知等差數(shù)列｛%｝首項4=7,公差d=-2,則前n項和的最大值為.

【答案】16

【解析】

【分析】利用等差數(shù)列前〃項和公式和，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】等差數(shù)列｛%｝首項%=7,公差d=—2,

S=7n+x(-2)=-n2+8/7=-(〃-4了+16.

n"。7)

則前〃項和S“的最大值為16.

故答案為：16.

15.已知圓C:/+「=4,直線/:加x+y-?加一1=0,直線/被圓。截得的最短弦長為.

【答案】20

【解析】

【分析】先求出直線/過定點Z。/)，數(shù)形結(jié)合得到當/C與故直線/垂直時，直線/被圓C截得的弦長最

短，求出最短弦長.

【詳解】/:“+》一加一1=0變形為加(x—l)+y—l=0,故直線/過定點幺(1,1),

故當NC與故直線/垂直時，直線/被圓。截得的弦長最短，

其中。:/+/=4的圓心為c(o,O),半徑為2,

止匕時弦長為2,4_|時=272.

故答案為：2企

16.已知拋物線C:y2=4x的焦點為尸，過點尸作與x軸不垂直的直線/交C于點4B,過點/做垂直于

\AB\

x軸的直線交C于點。，若點M是△A5Q的外心，則匕二的值為

\MF\

【答案】2

【解析】

【分析】設(shè)直線/:》=叼+1（加*0）,聯(lián)立方程，利用韋達定理求|45|以及點M的坐標，即可得結(jié)果.

【詳解】由題意可知：拋物線C:y2=4x的焦點廠（1,0）,可知直線/與拋物線必相交，

設(shè)直線/：%=叼+1（加彳0）,/（和必）,3（%2，22），可得/（國,一乂），

x-my+\

聯(lián)立方程〈2，消去X得/_4加y—4=0,

p=4%

則%+72=4加,=一4,

22

可得\AB\=71+mV16zM+16=4（加2+1）,

歲（2=2掰，且七強=2掰2+1,即線段的中點（2加2+1,2加）

則線段AB的中垂線方程為y-2m=-m（x-2m2-1）,

由題意可知：點M在x軸上，

令》=0,可得x=2加2+3,即兇（2丁+3,0）,^]\MF\=2（m2+1）,

\AB\4（/+1）

所以阿2（川+1）-

故答案為：2.

【點睛】方法點睛：對于弦中點問題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”求解，在使用根與系數(shù)的關(guān)系時，在解決有關(guān)弦

中點、弦所在直線的斜率、弦中點與原點連線斜率問題時可簡化運算，但要注意直線斜率是否存在.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知等差數(shù)列{%},滿足2a2+生=15,%=7.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)令3,求也｝的前2n項和T2n.

【答案】(1)an=2n-l

(2)T2n=2n

【解析】

2(Qi+d)+ai+4d=15

【分析】(1)由題意得《'C7一，代入等差數(shù)列通項公式即可求解;

%+3d=7

(2)由"=(—1)”(2〃—1),代入求和即可.

【小問1詳解】

2(q+d)+%+4d=15a.—\

由已知，得＜,解得＜d=2'故…T

a、+3d=7

【小問2詳解】

由⑴得4=(—1)"(2〃—1),

所以&”+K-X=(-1)2"(4〃_1)+(―1)2"T(4〃-3)=4〃-1—(4〃-3)=2,

得&=3i+b2)+(b3+”)+…+02〃—+&〃)=2n.

18.已知圓心為C的圓經(jīng)過0(0,0),Z(0,2百)兩點，且圓心C在直線/：了=屈上.

(1)求圓C的標準方程；

(2)點尸在圓C上運動，求|PO「+|PZ『的取值范圍.

【答案】(1)(x—+—G『=4

(2)[8,24]

【解析】

【分析】(1)利用圓的對稱性先確定圓心，再求半徑即可；

(2)設(shè)尸坐標，利用兩點距離公式及點在圓上消元轉(zhuǎn)化為函數(shù)求值域求范圍即可.

【小問1詳解】

圓經(jīng)過0(0,0),2(0,2g)兩點，得圓心在。4的中垂線y=G上，

ly=7Sx=1

又圓心C在直線/：了=瓜上，聯(lián)立直線方程有；L，得,

y=Cx3=下）

又/=仁0『=4,

故圓C的標準方程為(x-I)2+(J-V3)2=4.

【小問2詳解】

設(shè)月(才0，幾)，易知七4一1,3],

則|P0「+=x；+了：+X；+(為一=紜+2(九一+6(*),

因為點尸在圓C上運動，貝I(%—+(%—6了=4,

故(*)式可化簡為，|PO『+|p/|2=2x：+2[4—(%—1『]+6=4XO+12,

由/e[-1,3]得|P0『+戶旬2的取值范圍為[8,24].

19.已知拋物線的準線方程為x=-2,直線/與拋物線交于48兩點，O為坐標原點.

(1)若ACMB為等腰直角三角形，求ACMB的面積；

(2)若Q4LO8,證明：直線/過定點P,并求出定點尸的坐標.

【答案】(1)64

(2)證明見解析，尸(8,0)

【解析】

【分析】(1)先根據(jù)準線方程求得拋物線方程，再由拋物線及等腰直角三角形的對稱性得NZ08=90°，

OA=OB,從而求得43坐標計算面積即可；

(2)設(shè)直線/方程及48坐標，與拋物線方程聯(lián)立，由垂直關(guān)系及韋達定理計算即可

【小問1詳解】

因為拋物線的準線為x=-2,可得拋物線的方程為：/=8x,

又為等腰直角三角形，

根據(jù)拋物線及等腰直角三角形的對稱性可知：NAOB=90°，OA=OB,

且43兩點關(guān)于橫軸對稱，則直線。4:y=x.

y=x/、/、1/、

于是《得4(8,8),則8(8,-8),所以邑.B=7X8X(8+8)=64.

y2=8ox2

【小問2詳解】

設(shè)直線/：3=即+",4（再,必）,3（%2，%）,

x=my+n

聯(lián)立

V=8x

2

得-8加y—8〃=0,A=64W+32M>0)且必+%=8加，y,-y2=-8n

又因為04,03,則七'?e8=里2=一1,即必%+工々=0?

XxX2

2222

，V?2

由y2=8x,得X]="，x2=—，x,x2==M>

,8281264

即必為+西X2=/-8〃=0,解得〃=8或〃=0(舍去).

當〃=8時，滿足A>0.此時，直線/的方程》=叼+8.

則/過定點尸(8,0).

20.如圖（1）所示△尸48中，APLAB,AB=AP=12.￡>,C分別為尸4尸8中點.將△?DC沿。C

向平面ABCD上方翻折至圖（2）所示的位置，使得PA=6日連接尸4PB,PC得到四棱錐P-ABCD.記

P8的中點為N,連接CN.

（1）證明：CN，平面「45；

（2）點。在線段CN上且。C=2QN,連接2。,尸。，求平面02。與平面/BCD的夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵巫

19

【解析】

【分析】（1）根據(jù)空間中的垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，結(jié)合線面垂直的判定即可求證,

（2）建立空間直角坐標系，利用法向量的夾角即可求解平面的夾角.

【小問1詳解】

取43中點M,連接NM,CM.

則CD///M,CD=,即四邊形AMCD為平行四邊形,

所以CW〃4D,

又因為所以48CM,

由PQ_LCD,CD//AB,即

又ABLAD,PDcAD=D,PD,ADu平面尸/￡),

所以451平面P/。，又4Pu平面故48L4P,

又因為NM〃AP,則48J.7W,

又NMCCM=M,2W,CA/u平面NCW

所以AB1平面NCM，又CNu平面NCM,所以CN_L48,

又在APCD中，PD=CD=6且PDLCD,

在中，CM^BM=6SLCMLBM,

則PC=5。=6J2，又N為PB中點、,所以CVJ_PB,

又ABcPB=B,AB,PBu平面PAB,所以CN，平面PAB.

【小問2詳解】

由=/￡>=6,AP=6后，則PD-+AD2=AP2，

即尸QL4D,又PDA.CD,ADLCD,

故以。為坐標原點，以。4DC,Z)尸所在直線x分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,

則尸(0,0,6),￡>(0,0,0),C(0,6,0),2(6,0,0),6(6,12,0),N(3,6,3),

__2_____________________________________.

故國=(3,0,3)，莎=(6,0,—6)，因為函=］國=(2,0,2),

所以。(2,6,2),PQ=(2,6,-4),

設(shè)平面產(chǎn)么。的法向量〃1=(X1,J1,Z1),平面48CD的法向量〃2=(》2，%，22)，

，----?

PA-n-6x.-6z.=0一

貝"一，取占=3,解得々=(3,1,3),

P。?萬=2為+6%一44=0'

易知￡(尸，平面48CD,即％=(0,0,1),

33M

所以cos(nn

1?2VlxV19-19

所以平面PAQ與平面ABCD的夾角的余弦值為獨9.

19

21.設(shè)數(shù)列｛4｝,其前〃項和為S"，2s"=3/+3〃，也｝為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，4她=729,

bx+a2=b3-a6.

(1)求數(shù)列｛4｝,也｝的通項公式;

(2)記或為也｝在區(qū)間(0,%』(加eN*)中的項的個數(shù)，求數(shù)列｛q｝的前100項和幾°.

【答案】(1)%=3〃，4=3"(〃eN*)

(2)384

【解析】

【分析】(1)根據(jù)4,S”的關(guān)系即可求解%=3〃，根據(jù)等比數(shù)列基本量的計算即可求解〃=3"

(2)利用列舉法即可逐一求解｛%｝的前100項，即可求和得解.

【小問1詳解】

對于數(shù)列｛%｝,因為2s“=3/+3〃①，

所以2s,i=3(〃—1)2+3(〃—1),n>2,〃eN*②

①一②得%=3〃(〃22,〃eN*)

由①式，當〃=1時，得q=3,也滿足%=3〃，

所以%=3〃(〃eN*).

因為數(shù)列低｝為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)得姑24=&=729,得&=9,

設(shè)數(shù)列｛〃｝的公比為9,又因為%=6，4=18,

91

所以=4—4即—+6=9q_18,解得g=3或一；，

一q3

又因為｛4｝為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，所以4=3,

所以4=3"(〃eN*)

【小問2詳解】

由于31=3，32=9,33=27，34=81135=243-36=7291

所以G，。2對應(yīng)的區(qū)間為(0,3]，(0,6],則4=02=1,即有2個1；

。3，。4，…，。8對應(yīng)的區(qū)間為(°，9]，(0,12],…，(0,24],則03=。4=???=/=2,即有6個2；

。9，。10，…，。26對應(yīng)的區(qū)間為(°，27],(0,30],???,(0,78],則C9=%=…=。26=3，即有18個3；

。27，。28，…，。80對應(yīng)的區(qū)間為(°，81],(0,84],―,(0,240],則027=。28=…=。80=4，即有54個4；

C81,c82,…，對應(yīng)的區(qū)間為(0,243],