2023年高考第-次模擬考數(shù)學(xué)試卷（新高考Ⅰ卷A卷）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE12023年高考第—次模擬考試卷（新高考Ⅰ卷A卷）數(shù)學(xué)一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，集合，則（

）A．B．C．D．2．歐拉是世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，在很多領(lǐng)域中都有杰出的貢獻(xiàn)．由《物理世界》發(fā)起的一項調(diào)查表明，人們把歐拉恒等式“”與麥克斯韋方程組并稱為“史上最偉大的公式”．其中，歐拉恒等式是歐拉公式：的一種特殊情況．根據(jù)歐拉公式，（

）A． B． C． D．3．如果對于任意實(shí)數(shù)表示不超過的最大整數(shù)，那么“”是“成立”的（

）.A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件4．生物學(xué)家采集了一些動物體重和脈搏率對應(yīng)的數(shù)據(jù)，并經(jīng)過研究得到體重和脈搏率的對數(shù)型關(guān)系：（其中是脈搏率（心跳次數(shù)，體重為，為正的常數(shù)），則體重為的豚鼠和體重為的小狗的脈搏率之比為（

）A． B． C．3 D．275．如圖甲所示，古代中國的太極八卦圖是以同圓內(nèi)的圓心為界，畫出相等的兩個陰陽魚，陽魚的頭部有眼，陰魚的頭部有個陽殿，表示萬物都在相互轉(zhuǎn)化，互相涉透，陰中有陽，陽中有陰，陰陽相合，相生相克，蘊(yùn)含現(xiàn)代哲學(xué)中的矛盾對立統(tǒng)一規(guī)律.其平面圖形記為圖乙中的正八邊形ABCDEFGH，其中，則以下結(jié)論錯誤的是（）A． B．C． D．6．已知雙曲線（，）的左，右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)是雙曲線右支上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足，.若，則雙曲線的離心率為（

）A．3 B．4 C．5 D．67．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則的最小值為（

）.A．1 B． C． D．8．在正四棱臺中，，．當(dāng)該正四棱臺的體積最大時，其外接球的表面積為（

）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．為響應(yīng)自己城市倡導(dǎo)的低碳出行，小李上班可以選擇公交車、自行車兩種交通工具，他分別記錄了100次坐公交車和騎車所用時間（單位：分鐘），得到下列兩個頻率分布直方圖：基于以上統(tǒng)計信息，則正確的是（

）A．騎車時間的中位數(shù)的估計值是22分鐘B．騎車時間的眾數(shù)的估計值是21分鐘C．坐公交車時間的40%分位數(shù)的估計值是19分鐘D．坐公交車時間的平均數(shù)的估計值小于騎車時間的平均數(shù)的估計值10．在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)的軌跡為，則（

）A．的周長為B．（不重合時）平分C．面積的最大值為6D．當(dāng)時，直線與軌跡相切11．對于定義域為的函數(shù)，若同時滿足下列條件：①，；②，，，則稱函數(shù)為“函數(shù)”.下列結(jié)論正確的是（

）A．若為“函數(shù)”，則其圖象恒過定點(diǎn)B．函數(shù)在上是“函數(shù)”C．函數(shù)在上是“函數(shù)”（表示不大于的最大整數(shù)）D．若為“函數(shù)”，則一定是上的增函數(shù)12．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線：（）的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上的動點(diǎn)，則（

）A．的最小值為B．的準(zhǔn)線方程為C．D．當(dāng)時，點(diǎn)到直線的距離的最大值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知定義在上的偶函數(shù)滿足，則的一個〖解析〗式為___________．14．2022年北京冬奧會開幕式始于24節(jié)氣倒計時，它將中國人的物候文明、傳承久遠(yuǎn)的詩歌、現(xiàn)代生活的畫面和諧統(tǒng)一起來.我國古人將一年分為24個節(jié)氣，如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣的日晷長變化量相同，冬至日晷長最長，夏至日晷長最短，周而復(fù)始.已知冬至日晷長為13.5尺，芒種日晷長為2.5尺，則一年中夏至到大雪的日晷長的和為______尺.15．為普及空間站相關(guān)知識，某航天部門組織了空間站建造過程模擬編程競賽活動．該活動由太空發(fā)射、自定義漫游、全尺寸太陽能、空間運(yùn)輸?shù)?個程序題目組成，則該活動的題目順序安排中，全尺寸太陽能排在前兩位，且太空發(fā)射與自定義漫游相鄰，但兩者均不與空間運(yùn)輸相鄰的概率為__．16．若存在，，滿足，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知的內(nèi)角的對邊分別為,且.（1）求的值;（2）給出以下三個條件:條件①:;條件②:,;條件③:.這三個條件中僅有兩個正確,請選出正確的條件并回答下面的問題:（i）求的值;（ii）求的角平分線的長.18．（12分）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，前項和為，若．（1）求的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證：；（3）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求滿足的最小正整數(shù)的值．19．（12分）北京冬奧會的舉辦使得人們對冰雪運(yùn)動的關(guān)注度和參與度持續(xù)提高.某地很多中小學(xué)開展了模擬冬奧會賽事的活動，為了深入了解學(xué)生在“自由式滑雪”和“單板滑雪”兩項活動的參與情況，在該地隨機(jī)選取了10所學(xué)校進(jìn)行研究，得到如下數(shù)據(jù)：（1）從這10所學(xué)校中隨機(jī)抽取2所，在抽取的2所學(xué)校參與“單板滑雪”的人數(shù)超過30人的條件下，求這2所學(xué)校參與“自由式滑雪”的人數(shù)超過30人的概率；（2）“自由式滑雪”參與人數(shù)超過40人的學(xué)?？梢宰鳛椤盎貙W(xué)校”，現(xiàn)在從這10所學(xué)校中隨機(jī)抽取3所，記為選出“基地學(xué)?！钡膫€數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）現(xiàn)在有一個“單板滑雪”集訓(xùn)營，對“滑行?轉(zhuǎn)彎?停止”這3個動作技巧進(jìn)行集訓(xùn)，且在集訓(xùn)中進(jìn)行了多輪測試.規(guī)定：在一輪測試中，這3個動作至少有2個動作達(dá)到“優(yōu)秀”，則該輪測試記為“優(yōu)秀”.已知在一輪集訓(xùn)測試的3個動作中，甲同學(xué)每個動作達(dá)到“優(yōu)秀”的概率均為，每個動作互不影響且每輪測試互不影響.如果甲同學(xué)在集訓(xùn)測試中獲得“優(yōu)秀”次數(shù)的平均值不低于8次，那么至少要進(jìn)行多少輪測試？20．（12分）已知矩形中，，，是的中點(diǎn)，如圖所示，沿將翻折至，使得平面平面.（1）證明：；（2）若是否存在，使得與平面所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.21．（12分）已知橢圓的離心率為，橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合．（1）求橢圓的方程；（2）如圖，、是橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率不為的直線交橢圓于點(diǎn)、，直線與直線交于點(diǎn)．記、、的斜率分別為、、，是否存在實(shí)數(shù)，使得？22．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求證：；（2）求證：——★參考答案★——一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．〖答案〗D〖解析〗由得：，解得：，即，.故選：D.2〖答案〗C〖解析〗，因此，.故選：C.3．〖答案〗A〖解析〗若，則，故則，則，故充分性滿足；若，取，滿足，但，故必要性不滿足.故“”是“成立”的充分不必要條件.故選：.4．〖答案〗C〖解析〗（其中是脈搏率（心跳次數(shù)，體重為，為正的常數(shù)），當(dāng)時，則脈搏率，即，則，當(dāng)時，則脈搏率，即，則，，即體重為的豚鼠和體重為的小狗的脈搏率之比為3，故選：C．5〖答案〗D〖解析〗由題意可知，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，因為正八邊形ABCDEFGH，所以作，則,因為，所以，所以，同理可得其余各點(diǎn)坐標(biāo)，，對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，，所以，故C正確；對于D,，，，故D不正確.故選：D.6．〖答案〗C〖解析〗因為，所以是的角平分線，又因為點(diǎn)在直線上，且在雙曲線中，點(diǎn)是雙曲線右支上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，則的內(nèi)切圓圓心在直線上，即點(diǎn)是的內(nèi)心，如圖，作出，并分別延長、、至點(diǎn)、、，使得，，，可知為的重心，設(shè)，，，由重心性質(zhì)可得，即，又為的內(nèi)心，所以，因為，所以，，則，所以雙曲線的離心率.故選：C.7．〖答案〗D〖解析〗因為函數(shù)，所以其最小正周期為，而區(qū)間的區(qū)間長度是該函數(shù)的最小正周期的，因為函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，所以當(dāng)區(qū)間關(guān)于它的圖象對稱軸對稱時，取得最小值，對稱軸為，此時函數(shù)有最值，不妨設(shè)y取得最大值，則有，所以，解得，得，所以，所以的最小值為，故選：D.8．〖答案〗D〖解析〗設(shè)底邊長為a，原四棱錐的高為h，如圖1，分別是上下底面的中心，連結(jié)，，，根據(jù)邊長關(guān)系，知該棱臺的高為，則，由，且四邊形為直角梯形，，，可得，則，圖1圖2圖3當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時棱臺的高為1.上底面外接圓半徑，下底面半徑，設(shè)球的半徑為R，顯然球心M在所在的直線上.顯然球心M在所在的直線上.當(dāng)棱臺兩底面在球心異側(cè)時，即球心M在線段上，如圖2，設(shè)，則，，顯然則，有，即解得，舍去.當(dāng)棱臺兩底面在球心異側(cè)時，顯然球心M在線段的延長線上，如圖3，設(shè)，則，顯然即，即解得，，此時，外接球的表面積為.故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．〖答案〗BCD〖解析〗對于A：，，所以騎車時間的中位數(shù)在這一組，為分鐘，故A錯誤；對于B：騎車時間的眾數(shù)的估計值是分鐘，故B正確；對于C：，，所以坐公交車時間的40%分位數(shù)的估計值在這一組，為分鐘，故C正確；對于D：坐公交車時間的平均數(shù)的估計值為：，騎車時間的平均數(shù)的估計值為：，則坐公交車時間的平均數(shù)的估計值小于騎車時間的平均數(shù)的估計值，故D正確.故選：BCD.10．〖答案〗ABD〖解析〗設(shè)，因為，且點(diǎn)滿足，可得，整理得，即曲線的方程為．對于A中，曲線為半徑為的圓，所以周長為，所以A正確；對于B中，因為，所以，所以，延長到，使，連結(jié)，如圖所示，因為，所以，所以，所以，，因為，所以，所以，即平分，所以B正確．對于C中，由的面積為，要使得的面積最大，只需最大，由由點(diǎn)的軌跡為，可得，所以面積的最大值為，所以C錯誤；對于D中，當(dāng)時，或，不妨取，則直線，即，因為圓心到直線的距離為，所以，即直線與圓相切，所以D正確．故選：ABD．11．〖答案〗AC〖解析〗對于A：不妨令，則，因為，，所以，故，故A正確；對于B：不妨令，，則，，，即，這與，，矛盾，故B錯誤；對于C：由題意可知，，，不妨令，其中為整數(shù)部分，為小數(shù)部分，則；再令，其中為整數(shù)部分，為小數(shù)部分，則；若，則；若，則，從而，，成立，故C正確；對于D：由題意可知，常函數(shù)為“H函數(shù)”，但不是增函數(shù)，故D錯誤.故選：AC.12．〖答案〗BCD〖解析〗對于A、B，由拋物線的焦點(diǎn)，則，即，其準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則，設(shè)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，易知，如下圖：故A錯誤，B正確；對于C，由題意可知，過點(diǎn)的直線可設(shè)為，代入拋物線，可得，設(shè)，則，，將代入上式，可得，故C正確；對于D，由C可得直線的方程為，可設(shè)直線的方程為，易知點(diǎn)到直線的距離等于兩平行線與的距離，令，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，，可得，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗∵為上的偶函數(shù)，∴，又，∴用替換，得，∴，∴的周期為4，則的一個〖解析〗式可以為故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）．14．〖答案〗84〖解析〗依題意，冬至日晷長為13.5尺，記為，芒種日晷長為2.5尺，記為，因相鄰兩個節(jié)氣的日晷長變化量相同，則從冬至日晷長到芒種日晷長的各數(shù)據(jù)依次排成一列得等差數(shù)列，數(shù)列的公差，因夏至與芒種相鄰，且夏至日晷長最短，則夏至的日晷長為，又大雪與冬至相鄰，且冬至日晷長最長，則大雪的日晷長為，顯然夏至到大雪的日晷長依次排成一列是遞增等差數(shù)列，首項為1.5尺，末項為12.5尺，共12項，所以一年中夏至到大雪的日晷長的和為(尺).故〖答案〗為：8415．〖答案〗〖解析〗8個程序題目全排列共有種方法；全尺寸太陽能排在前兩位，可分類討論：①全尺寸太陽能排在首位：太空發(fā)射與自定義漫游相鄰，將二者捆綁起來有種方法，兩者均不與空間運(yùn)輸相鄰，可先將其余4個全排列，有種方法，再插空有種排法，故此時共有種方法；②全尺寸太陽能排在第二位，再分兩種情況首位排空間運(yùn)輸，太空發(fā)射與自定義漫游相鄰，將二者捆綁起來有種方法，和余下4個元素一起全排列，有種方法，共種方法；首位不排空間運(yùn)輸，余下四個一般元素挑一個排在首位，有種方法，太空發(fā)射與自定義漫游相鄰，將二者捆綁起來有種方法，余下3個一般元素全排列，有種方法，最后在4個空位中對空間運(yùn)輸和捆綁元素插空有種，共；由①②所有符合條件的排法有；故所求概率為：．故〖答案〗為：．16．〖答案〗,〖解析〗因為，所以，當(dāng)時，上式變?yōu)?，與矛盾，當(dāng)時，上式為，令，則，，，令，，，所以在上單調(diào)遞增，又，所以在上，，，單調(diào)遞減，在上，，，單調(diào)遞增，所以，趨向于0或時，均趨向于，所以，即，所以或，故的取值范圍為,．故〖答案〗為：,．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．解：（1）由題意知,即,,故;（4分）（2）由（1）得,,故條件②不成立,即條件①③正確,在中,由余弦定理可得:,即,對于條件①:,與上式結(jié)合可得,對于條件③:,故,所以,將代入可得:,（6分）（i）在中,由正弦定理可得:,即,,（8分）（ii）是的角平分線,,,,,在中,由余弦定理可得,故.綜上:條件①③正確,,.（10分）18．（1）解：當(dāng)時，，解得：；當(dāng)且時，，整理可得：，又，，（2分）數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，.（4分）（2）證明：由（1）得：，（6分）.（8分）（3）解：由得：，，；（9分）①當(dāng)為偶數(shù)時，；由得：，又，；（10分）②當(dāng)為奇數(shù)時，；（11分）綜上所述：滿足的最小正整數(shù)的值為.（12分）19．解：（1）由題可知10個學(xué)校，參與“自由式滑雪”的人數(shù)依次為27，15，43，41，32，26，56，36，49，20，參與“單板滑雪”的人數(shù)依次為46，52，26，37，58，18，25，48，33，30，其中參與“單板滑雪”的人數(shù)超過30人的學(xué)校有6個，參與“單板滑雪”的人數(shù)超過30人，且“自由式滑雪”的人數(shù)超過30人的學(xué)校有4個，記“這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校參與“單板滑雪”的人數(shù)超過30人”為事件，“這10所學(xué)校中隨機(jī)選取2所學(xué)校參與“自由式滑雪”的人數(shù)超過30人”為事件，則，，（2分）所以，.（4分）（2）參與“自由式滑雪”人數(shù)在40人以上的學(xué)校共4所，的所有可能取值為，所以，，，，（6分）所以的分布列如下表：0123所以（8分）（3）記“甲同學(xué)在一輪測試中獲得“優(yōu)秀””為事件，則，由題意，甲同學(xué)在集訓(xùn)測試中獲得“優(yōu)秀”的次數(shù)服從二項分布，（10分）由題意列式，得，因為，所以的最小值為11，故至少要進(jìn)行11輪測試（12分）20．（1）證明：依題意矩形，，，是中點(diǎn)，所以，又，所以，，，（2分）因為平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以.（4分）（2）解：以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.則，，，，（6分）設(shè)是的中點(diǎn)，因為，所以，又平面平面，平面平面，所以平面，，（8分）假設(shè)存在滿足題意的，則由.可得，.設(shè)平面的一個法向量為，則，令，可得，，即，（10分）設(shè)與平面所成的角為，所以解得（舍去），綜上，存在，使得與平面所成的角的正弦值為.（12分）21．（1）解：拋物線的焦點(diǎn)為，由題意可得，，，故，因此，橢圓的方程為.（3分）（2）解：設(shè)、，設(shè)直線的方程為，其中，聯(lián)立，得，，由韋達(dá)定理可得，，（6分）所以，易知點(diǎn)、，，所以，直線的方程為，（8分）將代入直線的方程可得，即點(diǎn)，，，（10分）所以，，所以，.（12分）22．（1）證明：要證，即證，即證，令，即證，（2分）令，當(dāng)時，即時，由，可得，因為，，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時，，所以；（5分）（2）證明：由（1）知，當(dāng)時，，令，則，（8分）即，所以，……．，（10分）以上各式相加，得，則，而，即.（12分）2023年高考第—次模擬考試卷（新高考Ⅰ卷A卷）數(shù)學(xué)一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，集合，則（

）A．B．C．D．2．歐拉是世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，在很多領(lǐng)域中都有杰出的貢獻(xiàn)．由《物理世界》發(fā)起的一項調(diào)查表明，人們把歐拉恒等式“”與麥克斯韋方程組并稱為“史上最偉大的公式”．其中，歐拉恒等式是歐拉公式：的一種特殊情況．根據(jù)歐拉公式，（

）A． B． C． D．3．如果對于任意實(shí)數(shù)表示不超過的最大整數(shù)，那么“”是“成立”的（

）.A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件4．生物學(xué)家采集了一些動物體重和脈搏率對應(yīng)的數(shù)據(jù)，并經(jīng)過研究得到體重和脈搏率的對數(shù)型關(guān)系：（其中是脈搏率（心跳次數(shù)，體重為，為正的常數(shù)），則體重為的豚鼠和體重為的小狗的脈搏率之比為（

）A． B． C．3 D．275．如圖甲所示，古代中國的太極八卦圖是以同圓內(nèi)的圓心為界，畫出相等的兩個陰陽魚，陽魚的頭部有眼，陰魚的頭部有個陽殿，表示萬物都在相互轉(zhuǎn)化，互相涉透，陰中有陽，陽中有陰，陰陽相合，相生相克，蘊(yùn)含現(xiàn)代哲學(xué)中的矛盾對立統(tǒng)一規(guī)律.其平面圖形記為圖乙中的正八邊形ABCDEFGH，其中，則以下結(jié)論錯誤的是（）A． B．C． D．6．已知雙曲線（，）的左，右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)是雙曲線右支上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿足，.若，則雙曲線的離心率為（

）A．3 B．4 C．5 D．67．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則的最小值為（

）.A．1 B． C． D．8．在正四棱臺中，，．當(dāng)該正四棱臺的體積最大時，其外接球的表面積為（

）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．為響應(yīng)自己城市倡導(dǎo)的低碳出行，小李上班可以選擇公交車、自行車兩種交通工具，他分別記錄了100次坐公交車和騎車所用時間（單位：分鐘），得到下列兩個頻率分布直方圖：基于以上統(tǒng)計信息，則正確的是（

）A．騎車時間的中位數(shù)的估計值是22分鐘B．騎車時間的眾數(shù)的估計值是21分鐘C．坐公交車時間的40%分位數(shù)的估計值是19分鐘D．坐公交車時間的平均數(shù)的估計值小于騎車時間的平均數(shù)的估計值10．在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)的軌跡為，則（

）A．的周長為B．（不重合時）平分C．面積的最大值為6D．當(dāng)時，直線與軌跡相切11．對于定義域為的函數(shù)，若同時滿足下列條件：①，；②，，，則稱函數(shù)為“函數(shù)”.下列結(jié)論正確的是（

）A．若為“函數(shù)”，則其圖象恒過定點(diǎn)B．函數(shù)在上是“函數(shù)”C．函數(shù)在上是“函數(shù)”（表示不大于的最大整數(shù)）D．若為“函數(shù)”，則一定是上的增函數(shù)12．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線：（）的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上的動點(diǎn)，則（

）A．的最小值為B．的準(zhǔn)線方程為C．D．當(dāng)時，點(diǎn)到直線的距離的最大值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知定義在上的偶函數(shù)滿足，則的一個〖解析〗式為___________．14．2022年北京冬奧會開幕式始于24節(jié)氣倒計時，它將中國人的物候文明、傳承久遠(yuǎn)的詩歌、現(xiàn)代生活的畫面和諧統(tǒng)一起來.我國古人將一年分為24個節(jié)氣，如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣的日晷長變化量相同，冬至日晷長最長，夏至日晷長最短，周而復(fù)始.已知冬至日晷長為13.5尺，芒種日晷長為2.5尺，則一年中夏至到大雪的日晷長的和為______尺.15．為普及空間站相關(guān)知識，某航天部門組織了空間站建造過程模擬編程競賽活動．該活動由太空發(fā)射、自定義漫游、全尺寸太陽能、空間運(yùn)輸?shù)?個程序題目組成，則該活動的題目順序安排中，全尺寸太陽能排在前兩位，且太空發(fā)射與自定義漫游相鄰，但兩者均不與空間運(yùn)輸相鄰的概率為__．16．若存在，，滿足，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知的內(nèi)角的對邊分別為,且.（1）求的值;（2）給出以下三個條件:條件①:;條件②:,;條件③:.這三個條件中僅有兩個正確,請選出正確的條件并回答下面的問題:（i）求的值;（ii）求的角平分線的長.18．（12分）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，前項和為，若．（1）求的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證：；（3）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求滿足的最小正整數(shù)的值．19．（12分）北京冬奧會的舉辦使得人們對冰雪運(yùn)動的關(guān)注度和參與度持續(xù)提高.某地很多中小學(xué)開展了模擬冬奧會賽事的活動，為了深入了解學(xué)生在“自由式滑雪”和“單板滑雪”兩項活動的參與情況，在該地隨機(jī)選取了10所學(xué)校進(jìn)行研究，得到如下數(shù)據(jù)：（1）從這10所學(xué)校中隨機(jī)抽取2所，在抽取的2所學(xué)校參與“單板滑雪”的人數(shù)超過30人的條件下，求這2所學(xué)校參與“自由式滑雪”的人數(shù)超過30人的概率；（2）“自由式滑雪”參與人數(shù)超過40人的學(xué)?？梢宰鳛椤盎貙W(xué)校”，現(xiàn)在從這10所學(xué)校中隨機(jī)抽取3所，記為選出“基地學(xué)?！钡膫€數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）現(xiàn)在有一個“單板滑雪”集訓(xùn)營，對“滑行?轉(zhuǎn)彎?停止”這3個動作技巧進(jìn)行集訓(xùn)，且在集訓(xùn)中進(jìn)行了多輪測試.規(guī)定：在一輪測試中，這3個動作至少有2個動作達(dá)到“優(yōu)秀”，則該輪測試記為“優(yōu)秀”.已知在一輪集訓(xùn)測試的3個動作中，甲同學(xué)每個動作達(dá)到“優(yōu)秀”的概率均為，每個動作互不影響且每輪測試互不影響.如果甲同學(xué)在集訓(xùn)測試中獲得“優(yōu)秀”次數(shù)的平均值不低于8次，那么至少要進(jìn)行多少輪測試？20．（12分）已知矩形中，，，是的中點(diǎn)，如圖所示，沿將翻折至，使得平面平面.（1）證明：；（2）若是否存在，使得與平面所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.21．（12分）已知橢圓的離心率為，橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合．（1）求橢圓的方程；（2）如圖，、是橢圓的左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率不為的直線交橢圓于點(diǎn)、，直線與直線交于點(diǎn)．記、、的斜率分別為、、，是否存在實(shí)數(shù)，使得？22．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求證：；（2）求證：——★參考答案★——一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．〖答案〗D〖解析〗由得：，解得：，即，.故選：D.2〖答案〗C〖解析〗，因此，.故選：C.3．〖答案〗A〖解析〗若，則，故則，則，故充分性滿足；若，取，滿足，但，故必要性不滿足.故“”是“成立”的充分不必要條件.故選：.4．〖答案〗C〖解析〗（其中是脈搏率（心跳次數(shù)，體重為，為正的常數(shù)），當(dāng)時，則脈搏率，即，則，當(dāng)時，則脈搏率，即，則，，即體重為的豚鼠和體重為的小狗的脈搏率之比為3，故選：C．5〖答案〗D〖解析〗由題意可知，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，因為正八邊形ABCDEFGH，所以作，則,因為，所以，所以，同理可得其余各點(diǎn)坐標(biāo)，，對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，，所以，故C正確；對于D,，，，故D不正確.故選：D.6．〖答案〗C〖解析〗因為，所以是的角平分線，又因為點(diǎn)在直線上，且在雙曲線中，點(diǎn)是雙曲線右支上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，則的內(nèi)切圓圓心在直線上，即點(diǎn)是的內(nèi)心，如圖，作出，并分別延長、、至點(diǎn)、、，使得，，，可知為的重心，設(shè)，，，由重心性質(zhì)可得，即，又為的內(nèi)心，所以，因為，所以，，則，所以雙曲線的離心率.故選：C.7．〖答案〗D〖解析〗因為函數(shù)，所以其最小正周期為，而區(qū)間的區(qū)間長度是該函數(shù)的最小正周期的，因為函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，所以當(dāng)區(qū)間關(guān)于它的圖象對稱軸對稱時，取得最小值，對稱軸為，此時函數(shù)有最值，不妨設(shè)y取得最大值，則有，所以，解得，得，所以，所以的最小值為，故選：D.8．〖答案〗D〖解析〗設(shè)底邊長為a，原四棱錐的高為h，如圖1，分別是上下底面的中心，連結(jié)，，，根據(jù)邊長關(guān)系，知該棱臺的高為，則，由，且四邊形為直角梯形，，，可得，則，圖1圖2圖3當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，此時棱臺的高為1.上底面外接圓半徑，下底面半徑，設(shè)球的半徑為R，顯然球心M在所在的直線上.顯然球心M在所在的直線上.當(dāng)棱臺兩底面在球心異側(cè)時，即球心M在線段上，如圖2，設(shè)，則，，顯然則，有，即解得，舍去.當(dāng)棱臺兩底面在球心異側(cè)時，顯然球心M在線段的延長線上，如圖3，設(shè)，則，顯然即，即解得，，此時，外接球的表面積為.故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．〖答案〗BCD〖解析〗對于A：，，所以騎車時間的中位數(shù)在這一組，為分鐘，故A錯誤；對于B：騎車時間的眾數(shù)的估計值是分鐘，故B正確；對于C：，，所以坐公交車時間的40%分位數(shù)的估計值在這一組，為分鐘，故C正確；對于D：坐公交車時間的平均數(shù)的估計值為：，騎車時間的平均數(shù)的估計值為：，則坐公交車時間的平均數(shù)的估計值小于騎車時間的平均數(shù)的估計值，故D正確.故選：BCD.10．〖答案〗ABD〖解析〗設(shè)，因為，且點(diǎn)滿足，可得，整理得，即曲線的方程為．對于A中，曲線為半徑為的圓，所以周長為，所以A正確；對于B中，因為，所以，所以，延長到，使，連結(jié)，如圖所示，因為，所以，所以，所以，，因為，所以，所以，即平分，所以B正確．對于C中，由的面積為，要使得的面積最大，只需最大，由由點(diǎn)的軌跡為，可得，所以面積的最大值為，所以C錯誤；對于D中，當(dāng)時，或，不妨取，則直線，即，因為圓心到直線的距離為，所以，即直線與圓相切，所以D正確．故選：ABD．11．〖答案〗AC〖解析〗對于A：不妨令，則，因為，，所以，故，故A正確；對于B：不妨令，，則，，，即，這與，，矛盾，故B錯誤；對于C：由題意可知，，，不妨令，其中為整數(shù)部分，為小數(shù)部分，則；再令，其中為整數(shù)部分，為小數(shù)部分，則；若，則；若，則，從而，，成立，故C正確；對于D：由題意可知，常函數(shù)為“H函數(shù)”，但不是增函數(shù)，故D錯誤.故選：AC.12．〖答案〗BCD〖解析〗對于A、B，由拋物線的焦點(diǎn)，則，即，其準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則，設(shè)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，易知，如下圖：故A錯誤，B正確；對于C，由題意可知，過點(diǎn)的直線可設(shè)為，代入拋物線，可得，設(shè)，則，，將代入上式，可得，故C正確；對于D，由C可得直線的方程為，可設(shè)直線的方程為，易知點(diǎn)到直線的距離等于兩平行線與的距離，令，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，，可得，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗∵為上的偶函數(shù)，∴，又，∴用替換，得，∴，∴的周期為4，則的一個〖解析〗式可以為故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）．14．〖答案〗84〖解析〗依題意，冬至日晷長為13.5尺，記為，芒種日晷長為2.5尺，記為，因相鄰兩個節(jié)氣的日晷長變化量相同，則從冬至日晷長到芒種日晷長的各數(shù)據(jù)依次排成一列得等差數(shù)列，數(shù)列的公差，因夏至與芒種相鄰，且夏至日晷長最短，則夏至的日晷長為，又大雪與冬至相鄰，且冬至日晷長最長，則大雪的日晷長為，顯然夏至到大雪的日晷長依次排成一列是遞增等差數(shù)列，首項為1.5尺，末項為12.5尺，共12項，所以一年中夏至到大雪的日晷長的和為(尺).故〖答案〗為：8415．〖答案〗〖解析〗8個程序題目全排列共有種方法；全尺寸太陽能排在前兩位，可分類討論：①全尺寸太陽能排在首位：太空發(fā)射與自定義漫游相鄰，將二者捆綁起來有種方法，兩者均不與空間運(yùn)輸相鄰，可先將其余4個全排列，有種方法，再插空有種排法，故此時共有種方法；②全尺寸太陽能排在第二位，再分兩種情況首位排空間運(yùn)輸，太空發(fā)射與自定義漫游相鄰，將二者捆綁起來有種方法，和余下4個元素一起全排列，有種方法，共種方法；首位不排空間運(yùn)輸，余下四個一般元素挑一個排在首位，有種方法，太空發(fā)射與自定義漫游相鄰，將二者捆綁起來有種方法，余下3個一般元素全排列，有種方法，最后在4個空位中對空間運(yùn)輸和捆綁元素插空有種，共；由①②所有符合條件的排法有；故所求概率為：．故〖答案〗為：．16．〖答案〗,〖解析〗因為，所以，當(dāng)時，上式變?yōu)?，與矛盾，當(dāng)時，上式為，令，則，，，令，，，所以在上單調(diào)遞增，又，所以在上，，，單調(diào)遞減