2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試·仿真模擬數(shù)學試卷A（北京數(shù)學試卷）（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE12023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試·仿真模擬卷A（北京卷）數(shù)學第一部分（選擇題共40分）一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知全集，，，則集合等于（

）A． B．C． D．〖答案〗C〖解析〗，則.故選C．2．已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足，則（

）A．2 B．1 C． D．〖答案〗D〖解析〗法一：因為，所以，所以；法二：因為，所以，所以.故選：D.3．下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗對于A，根據(jù)奇函數(shù)定義可知不是奇函數(shù)，所以A錯誤；對于B，易知圖象關于原點對稱，是奇函數(shù)，但其在區(qū)間上不是增函數(shù)，即B錯誤；對于C，函數(shù)是奇函數(shù)，且時，是增函數(shù)，所以C正確；對于D，易知為偶函數(shù)，故D錯誤.故選：C4．在的展開式中，若二項式系數(shù)的和為，則的系數(shù)為（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗二項式系數(shù)的和為，所以，展開式的通項為，令，則，所以的系數(shù)為．故選：A5．已知雙曲線經(jīng)過點，其漸近線方程為，則的標準方程為（

）．A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗雙曲線的漸近線方程為，設雙曲線的方程為：，雙曲線經(jīng)過點，，雙曲線的方程為：，故選：D.6．《九章算術·商功》中記載：“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑，不易之率也.”我們可以翻譯為：取一長方體，分成兩個一模一樣的直三棱柱，稱為塹堵.再沿塹堵的一頂點與相對的棱剖開，得一個四棱錐和一個三棱錐，這個四棱錐稱為陽馬，這個三棱錐稱為鱉臑.現(xiàn)已知某個鱉臑的體積是1，則原長方體的體積是（

）A．8 B．6 C．4 D．3〖答案〗B〖解析〗如圖所示，原長方體，設矩形的面積為，，鱉臑的體積為，即，所以，即原長方體的體積是.故選：B.7．在標準溫度和大氣壓下，人體血液中氫離子的物質的量的濃度（單位mol/L，記作）和氫氧根離子的物質的量的濃度（單位mol/L，記作）的乘積等于常數(shù)．已知pH的定義為，健康人體血液的pH保持在7．35～7．45之間，那么健康人體血液中的可以為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗由題設有，又，所以，所以．又，只有在范圍之中，故選C．『點石成金』：利用之間的關系把轉化為，再利用指對數(shù)的關系求出，從而得到的范圍，依次檢驗各值是否在這個范圍中即可．8．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗由題圖，，則，可得，又，故，，所以，，又，則.綜上，，.故選：A.9．設函數(shù)，則“”是“與”都恰有兩個零點的（）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗顯然是的最小值，若有兩個零點，設，且，由得或，由題意只有兩個零點，因此無解，有兩個不等實根，即，，必要性得證，若，由于，因此有兩個零點，設為，不妨設，由得或，顯然無解，有兩個不等實根，即有兩個零點，充分性得證，故題中是充分必要條件，故選C.10．在平面直角坐標系中，和是圓上的兩點，且，點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗，取中點為，，且，延長至，使得，所以，因為，所以的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，因為，所以.故選：A.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11．已知點，點，向量，若，則實數(shù)y的值為______.〖答案〗7〖解析〗由題意，，，因為，所以，解得.故〖答案〗為：7.12．各項都為正數(shù)的等差數(shù)列中，，則___________.〖答案〗8.〖解析〗∵為各項都為正數(shù)的等差數(shù)列，又∴，即，∴.故〖答案〗為：8.13．拋物線上一點到點與到準線的距離和最小，則點的坐標為______________〖答案〗〖解析〗由題知，如圖，連接，由拋物線的定義得點到準線的距離等于，即，所以，當且僅當三點共線時，等號成立，此時點在點的位置.此時直線的方程為，即，所以聯(lián)立方程得，解得或，根據(jù)題意得，所以，，所以點的坐標為.故〖答案〗為：.14．已知函數(shù)其中.若，則函數(shù)的值域是______；若函數(shù)有且僅有2個零點，則的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗（1）時，，當時，，當時，，綜上：，即函數(shù)的值域是.（2），當時，令，得，故在上，函數(shù)有一個零點，當時，設，由題意可知：在上有且僅有一個零點，所以或，解得或，所以的取值范圍是.故〖答案〗為：；.15．已知函數(shù)滿足，，則下列各式恒成立的是__________．①；②；③；④．〖答案〗①②③〖解析〗①，∴，故①正確；②，故②正確；③，故③正確；④，，，故④錯誤；故〖答案〗為：①②③．三、解答題：共6小題，共85分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16．設函數(shù)，從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，使得存在．（1）求函數(shù)的〖解析〗式；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值．條件①：；條件②：的最大值為；條件③：的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為．注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多組條件分別解答，按第一組解答計分．解：（1）若選擇條件①，因為，所以，由可得對恒成立，與矛盾，所以選擇條件②③，由題意可得，設，由題意可得，其中，，因為的最大值為，所以，解得，所以，，由的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為可得，所以解得，所以.（2）由正弦函數(shù)的圖象可得當時，，，所以在區(qū)間上的最大值為，最小值為.17．如圖，在三棱柱中，底面為等腰直角三角形，側面底面為中點，.（1）求證：；（2）再從條件①?條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求二面角的余弦值.條件①：；條件②：.（1）證明：因為，為中點，所以，又因為面面，面面，面，所以平面，又平面，所以；（2）解：選①，取的中點，連接，則且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為，為的中點，所以，又平面，所以平面，又，所以平面，又平面，所以，因為，所以，如圖，以點為原點，建立空間直角坐標系，由，得，則，則，因為平面，所以即為平面的一條法向量，設平面的法向量為，則有，可取，則，由圖可知，二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.選②，取的中點，連接，則且，所以四邊形為平行四邊形，所以且，因為且，所以四邊形為平行四邊形，所以且，又因為，所以，又，，所以，則，在中，因為，所以，如圖，以點為原點，建立空間直角坐標系，下同選①的〖答案〗.18．為了慶祝神舟十四號成功返航，學校開展了“航天知識”講座，為了解講座效果，從高一甲乙兩班的學生中各隨機抽取5名學生的測試成績，這10名學生的測試成績（百分制）的莖葉圖如圖所示．（1）若，分別為甲、乙兩班抽取的成績的平均分，，分別為甲、乙兩班抽取的成績的方差，則______，______．（填“>”或“<”）（2）若成績在85分（含85分）以上為優(yōu)秀，（?。募装嗨槿〉?名學生中任取2名學生，則恰有1人成績優(yōu)秀的概率；（ⅱ）從甲、乙兩班所抽取的成績優(yōu)秀學生中各取1人，則甲班選取的學生成績不低于乙班選取的學生成績的概率．解：（1）由莖葉圖知，，，所以<；，，所以>.（2）（?。┏槿〉膬擅麑W生成績分別為，把他們記為，從甲班所抽取的5名學生中任取2名學生，他們的成績組成的不同結果：，共10個，恰有1人成績優(yōu)秀的事件有：，共6個，所以恰有1人成績優(yōu)秀的概率.（ⅱ）依題意，甲班成績優(yōu)秀學生有2人，成績分別為，乙班成績優(yōu)秀學生有4人，成績分別為，從甲、乙兩班所抽取的成績優(yōu)秀學生中各取1人，按甲班的在前、乙班的在后寫在括號內(nèi)，不同結果有：，共8個，甲班選取的學生成績不低于乙班選取的學生成績的事件有：，共5個，所以甲班選取的學生成績不低于乙班選取的學生成績的概率.19．已知橢圓經(jīng)過兩點，設過點的直線橢圓交E于M，N兩點，過M且平行于y軸的直線與線段AB交于點T，點H滿足．（1）求橢圓E的方程：（2）證明：直線HN過定點．（1）解：因為橢圓E的方程為經(jīng)過兩點，則，解得，，所以橢圓E的方程為：.（2）證明：因為，所以，①假設過點的直線過原點，則，代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，過點.②分析知過點的直線斜率一定存在，設.聯(lián)立得，可得，所以，，且因為點H滿足，所以為的中點，聯(lián)立可得可求得此時，假設直線HN過定點，將，代入整理得，將代入，得顯然成立，綜上，可得直線HN過定點.20．已知函數(shù).（1）求在點處的切線方程；（2）求證：當時，.（3）若時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.（1）解：由題意，，又由導數(shù)的幾何意義，，所以在點處的切線方程：，即；（2）證明：當時，恒成立，等價于恒成立，設，則，當時，，所以，即在上為增函數(shù)，所以，即恒成立，恒成立，所以當時，，問題得證；（3）解：若時，恒成立，等價于恒成立，令，則，令，得，當時，；當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，則，故當時，原不等式恒成立.21．記無窮數(shù)列的前項中最大值為，最小值為，令，則稱是“極差數(shù)列”.（1）若，求的前項和；（2）證明：的“極差數(shù)列”仍是；（3）求證：若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列.（1）解：∵無窮數(shù)列的前項中最大值為，最小值為，，，是遞增數(shù)列，∴，∴的前項和.（2）證明：∵，，∴，∴，∵，∴，∴的“極差數(shù)列”仍是（3）證明：當數(shù)列是等差數(shù)列時，設其公差為，，根據(jù)，的定義，得：，，且兩個不等式中至少有一個取等號，當時，必有，∴，∴是一個單調遞增數(shù)列，∴，，∴，∴，∴是等差數(shù)列，當時，則必有，∴，∴是一個單調遞減數(shù)列，∴，，∴，∴.∴是等差數(shù)列，當時，，∵，中必有一個為0，根據(jù)上式，一個為0，為一個必為0，∴，，∴數(shù)列是常數(shù)數(shù)列，則數(shù)列是等差數(shù)列.綜上，若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列.2023年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試·仿真模擬卷A（北京卷）數(shù)學第一部分（選擇題共40分）一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知全集，，，則集合等于（

）A． B．C． D．〖答案〗C〖解析〗，則.故選C．2．已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足，則（

）A．2 B．1 C． D．〖答案〗D〖解析〗法一：因為，所以，所以；法二：因為，所以，所以.故選：D.3．下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且在區(qū)間上是增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗對于A，根據(jù)奇函數(shù)定義可知不是奇函數(shù)，所以A錯誤；對于B，易知圖象關于原點對稱，是奇函數(shù)，但其在區(qū)間上不是增函數(shù)，即B錯誤；對于C，函數(shù)是奇函數(shù)，且時，是增函數(shù)，所以C正確；對于D，易知為偶函數(shù)，故D錯誤.故選：C4．在的展開式中，若二項式系數(shù)的和為，則的系數(shù)為（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗二項式系數(shù)的和為，所以，展開式的通項為，令，則，所以的系數(shù)為．故選：A5．已知雙曲線經(jīng)過點，其漸近線方程為，則的標準方程為（

）．A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗雙曲線的漸近線方程為，設雙曲線的方程為：，雙曲線經(jīng)過點，，雙曲線的方程為：，故選：D.6．《九章算術·商功》中記載：“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑，不易之率也.”我們可以翻譯為：取一長方體，分成兩個一模一樣的直三棱柱，稱為塹堵.再沿塹堵的一頂點與相對的棱剖開，得一個四棱錐和一個三棱錐，這個四棱錐稱為陽馬，這個三棱錐稱為鱉臑.現(xiàn)已知某個鱉臑的體積是1，則原長方體的體積是（

）A．8 B．6 C．4 D．3〖答案〗B〖解析〗如圖所示，原長方體，設矩形的面積為，，鱉臑的體積為，即，所以，即原長方體的體積是.故選：B.7．在標準溫度和大氣壓下，人體血液中氫離子的物質的量的濃度（單位mol/L，記作）和氫氧根離子的物質的量的濃度（單位mol/L，記作）的乘積等于常數(shù)．已知pH的定義為，健康人體血液的pH保持在7．35～7．45之間，那么健康人體血液中的可以為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗由題設有，又，所以，所以．又，只有在范圍之中，故選C．『點石成金』：利用之間的關系把轉化為，再利用指對數(shù)的關系求出，從而得到的范圍，依次檢驗各值是否在這個范圍中即可．8．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗由題圖，，則，可得，又，故，，所以，，又，則.綜上，，.故選：A.9．設函數(shù)，則“”是“與”都恰有兩個零點的（）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗顯然是的最小值，若有兩個零點，設，且，由得或，由題意只有兩個零點，因此無解，有兩個不等實根，即，，必要性得證，若，由于，因此有兩個零點，設為，不妨設，由得或，顯然無解，有兩個不等實根，即有兩個零點，充分性得證，故題中是充分必要條件，故選C.10．在平面直角坐標系中，和是圓上的兩點，且，點，則的取值范圍是（）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗，取中點為，，且，延長至，使得，所以，因為，所以的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，因為，所以.故選：A.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11．已知點，點，向量，若，則實數(shù)y的值為______.〖答案〗7〖解析〗由題意，，，因為，所以，解得.故〖答案〗為：7.12．各項都為正數(shù)的等差數(shù)列中，，則___________.〖答案〗8.〖解析〗∵為各項都為正數(shù)的等差數(shù)列，又∴，即，∴.故〖答案〗為：8.13．拋物線上一點到點與到準線的距離和最小，則點的坐標為______________〖答案〗〖解析〗由題知，如圖，連接，由拋物線的定義得點到準線的距離等于，即，所以，當且僅當三點共線時，等號成立，此時點在點的位置.此時直線的方程為，即，所以聯(lián)立方程得，解得或，根據(jù)題意得，所以，，所以點的坐標為.故〖答案〗為：.14．已知函數(shù)其中.若，則函數(shù)的值域是______；若函數(shù)有且僅有2個零點，則的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗（1）時，，當時，，當時，，綜上：，即函數(shù)的值域是.（2），當時，令，得，故在上，函數(shù)有一個零點，當時，設，由題意可知：在上有且僅有一個零點，所以或，解得或，所以的取值范圍是.故〖答案〗為：；.15．已知函數(shù)滿足，，則下列各式恒成立的是__________．①；②；③；④．〖答案〗①②③〖解析〗①，∴，故①正確；②，故②正確；③，故③正確；④，，，故④錯誤；故〖答案〗為：①②③．三、解答題：共6小題，共85分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16．設函數(shù)，從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知，使得存在．（1）求函數(shù)的〖解析〗式；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值．條件①：；條件②：的最大值為；條件③：的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為．注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多組條件分別解答，按第一組解答計分．解：（1）若選擇條件①，因為，所以，由可得對恒成立，與矛盾，所以選擇條件②③，由題意可得，設，由題意可得，其中，，因為的最大值為，所以，解得，所以，，由的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為可得，所以解得，所以.（2）由正弦函數(shù)的圖象可得當時，，，所以在區(qū)間上的最大值為，最小值為.17．如圖，在三棱柱中，底面為等腰直角三角形，側面底面為中點，.（1）求證：；（2）再從條件①?條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求二面角的余弦值.條件①：；條件②：.（1）證明：因為，為中點，所以，又因為面面，面面，面，所以平面，又平面，所以；（2）解：選①，取的中點，連接，則且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為，為的中點，所以，又平面，所以平面，又，所以平面，又平面，所以，因為，所以，如圖，以點為原點，建立空間直角坐標系，由，得，則，則，因為平面，所以即為平面的一條法向量，設平面的法向量為，則有，可取，則，由圖可知，二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.選②，取的中點，連接，則且，所以四邊形為平行四邊形，所以且，因為且，所以四邊形為平行四邊形，所以且，又因為，所以，又，，所以，則，在中，因為，所以，如圖，以點為原點，建立空間直角坐標系，下同選①的〖答案〗.18．為了慶祝神舟十四號成功返航，學校開展了“航天知識”講座，為了解講座效果，從高一甲乙兩班的學生中各隨機抽取5名學生的測試成績，這10名學生的測試成績（百分制）的莖葉圖如圖所示．（1）若，分別為甲、乙兩班抽取的成績的平均分，，分別為甲、乙兩班抽取的成績的方差，則______，______．（填“>”或“<”）（2）若成績在85分（含85分）以上為優(yōu)秀，（?。募装嗨槿〉?名學生中任取2名學生，則恰有1人成績優(yōu)秀的概率；（ⅱ）從甲、乙兩班所抽取的成績優(yōu)秀學生中各取1人，則甲班選取的學生成績不低于乙班選取的學生成績的概率．解：（1）由莖葉圖知，，，所以<；，，所以>.（2）（?。┏槿〉膬擅麑W生成績分別為，把他們記為，從甲班所抽取的5名學生中任取2名學生，他們的成績組成的不同結果：，共10個，恰有1人成績優(yōu)秀的事件有：，共6個，所以恰有1人成績優(yōu)秀的概率.（ⅱ）依題意，甲班成績優(yōu)秀學生有2人，成績分別為，乙班成績優(yōu)秀學生有4人，成績分別為，從甲、乙兩班所抽取的成績優(yōu)秀學生中各取1人，按甲班的在前、乙班的在后寫在括號內(nèi)，不同結果有：，共8個，甲班選取的學生成績不低于乙班選取的學生成績的事件有：，共5個，所以甲班選取的學生成績不低于乙班選取的學生成績的概率.19．