2023年新高考全國(guó)Ⅰ卷模擬測(cè)數(shù)學(xué)試卷02（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE12023年新高考全國(guó)Ⅰ卷模擬測(cè)試卷02數(shù)學(xué)一、單選題1．若集合，，則（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗，，則.故選：D.2．在等差數(shù)列中，若，，則（

）A．16 B．18 C．20 D．22〖答案〗B〖解析〗因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，設(shè)其公差為，所以，解得，所以.故選：B．3．在三棱錐中，平面BCD，，則三棱錐的外接球的表面積與三棱錐的體積之比為（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗取的中點(diǎn),連接，因?yàn)槊婷婷嫠?，所以，所以，，因?yàn)槊婷嫠悦妫忠驗(yàn)槊?，所以，所以，所以，所以為三棱錐的外接球的圓心,半徑，所以球的表面積為，三棱錐的體積為，故.故選：D4．已知函數(shù)，則的大致圖象為（

）A． B．C． D．〖答案〗C〖解析〗，令，所以在和上單調(diào)遞增，故選：C5．現(xiàn)將除顏色外其他完全相同的6個(gè)紅球和6個(gè)白球平均放入A、B兩個(gè)封閉的盒子中，甲從盒子A中，乙從盒子B中各隨機(jī)取出一個(gè)球，若2個(gè)球同色，則甲勝，且將取出的2個(gè)球全部放入盒子A中；若2個(gè)球異色，則乙勝，且將取出的2個(gè)球全部放入盒子B中．按上述規(guī)則重復(fù)兩次后，盒子A中恰有8個(gè)球的概率是（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗若兩次取球后，盒子A中恰有8個(gè)球，則兩次取球均為甲勝，即兩次取球均為同色．若第一次取球甲、乙都取到紅球，概率為，則第一次取球后盒子A中有4個(gè)紅球和3個(gè)白球，盒子B中有2個(gè)紅球和3個(gè)白球，第二次取同色球分為取到紅球或取到白球，概率為，故第一次取球甲、乙都取到紅球且兩次取球后，盒子A有8個(gè)球的概率為，同理，第一次取球甲、乙都取到白球且兩次取球后，盒子A中有8個(gè)球的概率為，所以?xún)纱稳∏蚝螅凶覣中恰有8個(gè)球的概率是．故選:A．6．已知p：，q：，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗令，，且，故為奇函數(shù)，時(shí)，遞增，則也遞增，又為奇函數(shù)，則在上遞增，，若，則，則，即即；，若，則等價(jià)于，即，由在上遞增，則，即，故p是q的充要條件，故選：C.7．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契于1202年寫(xiě)成《計(jì)算之書(shū)》，其中第12章提出兔子問(wèn)題，衍生出數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，….記該數(shù)列為，則，，.如圖，由三個(gè)圖（1）中底角為60°等腰梯形可組成一個(gè)輪廓為正三角形（圖（2））的圖形，根據(jù)改圖所揭示的幾何性質(zhì)，計(jì)算（

）A．1 B．3 C．5 D．7〖答案〗B〖解析〗從圖（2）可得到正三角形的面積等于三個(gè)等腰梯形的面積加上小正三角形的面積，所以，整理可得，由此可推斷出也可構(gòu)成以下正三角形，所以，整理可得，所以故選：B.8．雙曲線(xiàn)的左，右焦點(diǎn)分別為，過(guò)作垂直于軸的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于兩點(diǎn)，的內(nèi)切圓圓心分別為，則的面積是（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗由題意如圖所示：由雙曲線(xiàn)，知，所以，所以，所以過(guò)作垂直于軸的直線(xiàn)為，代入中，解出，由題知的內(nèi)切圓的半徑相等，且，的內(nèi)切圓圓心的連線(xiàn)垂直于軸于點(diǎn)，設(shè)為，在中，由等面積法得：由雙曲線(xiàn)的定義可知：由，所以，所以，解得：，因?yàn)闉榈牡慕瞧椒志€(xiàn)，所以一定在上，即軸上，令圓半徑為，在中，由等面積法得：，又所以，所以，所以，，所以，故選：A.二、多選題9．有兩組樣本數(shù)據(jù)1，3，5，7，9和1，2，5，8，9，則這兩組樣本數(shù)據(jù)的（

）A．樣本平均數(shù)相同 B．樣本中位數(shù)相同 C．樣本方差相同 D．樣本極差相同〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)選項(xiàng)A：平均數(shù)分別為，，正確；對(duì)選項(xiàng)B：中位數(shù)分別為，，正確；對(duì)選項(xiàng)C：方差分別為，，不正確；對(duì)選項(xiàng)D：極差分別為，，正確.故選：ABD.10．已知角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．〖答案〗AC〖解析〗角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故選：AC.11．如圖，透明塑料制成的長(zhǎng)方體容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器以BC為軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則（

）A．有水的部分始終是棱柱B．水面所在四邊形EFGH為矩形且面積不變C．棱始終與水面平行D．當(dāng)點(diǎn)H在棱CD上且點(diǎn)G在棱上（均不含端點(diǎn)）時(shí)，不是定值〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A，有水部分的幾何體，有兩個(gè)面都垂直于BC，這兩個(gè)面始終平行，而，并且BC始終與水面平行，即有，若點(diǎn)H在棱上，由面面平行的性質(zhì)知，，若點(diǎn)H在棱CD上，，因此該幾何體有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行，即該幾何體是棱柱，A正確；對(duì)于B，因?yàn)樗鏋榫匦?，邊的長(zhǎng)不變，隨旋轉(zhuǎn)角的變化而變化，矩形的面積不是定值，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)槭冀K與平行，而始終與水面平行，并且不在水面所在平面內(nèi)，即棱始終與水面平行，C正確；對(duì)于D，當(dāng)點(diǎn)在棱上且點(diǎn)在棱上（均不含端點(diǎn)）時(shí)，有水部分的棱柱的底面為三角形，而水的體積不變，高不變，則底面面積不變，即為定值，D錯(cuò)誤.故選：AC12．十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過(guò)程如下：將閉區(qū)間[0，1]均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第1次操作：再將剩下的兩個(gè)區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第2次操作：；每次操作都在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個(gè)區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段；操作過(guò)程不斷地進(jìn)行下去，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”.若第n次操作去掉的區(qū)間長(zhǎng)度記為，則（

）A． B．C． D．〖答案〗BC〖解析〗由題可知，；，；，由此可知，即一個(gè)等比數(shù)列；A：，A錯(cuò)誤；B：，因?yàn)椋栽摂?shù)列為遞減數(shù)列，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以恒成立，B正確；C：，即，兩邊約去得到，當(dāng)時(shí)，，原式成立；當(dāng)時(shí)，恒成立，所以成立，即成立，C正確；D：令，再令，令解得，因?yàn)?，所以取，由此可知時(shí)；時(shí)，故為最大值，，根據(jù)單調(diào)性，即不恒成立，D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題13．已知點(diǎn)D為△ABC的邊BC的中點(diǎn)，，，，，的夾角為，則______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，所以．故〖答案〗為?14．某單位有10000名職工，想通過(guò)驗(yàn)血的方法篩查乙肝病毒攜帶者，假設(shè)攜帶病毒的人占，如果對(duì)每個(gè)人的血樣逐一化驗(yàn)，就需要化驗(yàn)10000次.統(tǒng)計(jì)專(zhuān)家提出了一種化驗(yàn)方法：隨機(jī)地按5人一組分組，然后將各組5個(gè)人的血樣混合再化驗(yàn)，如果混合血樣呈陰性，說(shuō)明這5個(gè)人全部陰性；如果混合血樣呈陽(yáng)性，說(shuō)明其中至少有一人的血樣呈陽(yáng)性，就需要對(duì)每個(gè)人再分別化驗(yàn)一次.按照這種化驗(yàn)方法，平均每個(gè)人需要化驗(yàn)______次.（結(jié)果保留四位有效數(shù)字）（，，）.〖答案〗0.4262〖解析〗設(shè)每個(gè)人需要的化驗(yàn)次數(shù)為X，若混合血樣呈陰性，則；若混合血樣呈陽(yáng)性，則；因此，X的分布列為，，，說(shuō)明每5個(gè)人一組，平均每個(gè)人需要化驗(yàn)0.4262次.故〖答案〗為：0.4262.15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，若對(duì)任意，等式恒成立，則_______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有，兩式相減得，即有，整理得：，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，，則，所以，又因?yàn)閷?duì)任意，等式恒成立，所以，解得.故〖答案〗為：16．若等差數(shù)列滿(mǎn)足，則n的最大值為_(kāi)__．〖答案〗50〖解析〗由題意知：等差數(shù)列滿(mǎn)足，故等差數(shù)列不是常數(shù)列，且中的項(xiàng)一定滿(mǎn)足或，且項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)，等差數(shù)列的公差為，不妨設(shè)，此時(shí)，，則，且，即，故，.又，則，故，即有，則，可得，解得，又，即有的最大值為，的最大值為.故〖答案〗為：50.四、解答題17．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若．（1）求的值；（2）若，求cosB的值．解：（1）由，則，設(shè)，則，根據(jù)余弦定理，可得，化簡(jiǎn)可得，根據(jù)正弦定理可得：，則.（2）由，根據(jù)余弦定理，可得，整理可得，則，，由，則，由，則，根據(jù)正弦定理，可得，即，故，.18．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，數(shù)列滿(mǎn)足．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，顯然，所以，解得，由于，所以的通項(xiàng)公式為，；所以，，所以的通項(xiàng)公式為，．（2）因?yàn)楹愠闪?，即?duì)于任意的恒成立．令，，則，當(dāng)時(shí)，所以，即的最小值為，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.19．如圖，，O分別是圓臺(tái)上、下底的圓心，AB為圓O的直徑，以O(shè)B為直徑在底面內(nèi)作圓E，C為圓O的直徑AB所對(duì)弧的中點(diǎn)，連接BC交圓E于點(diǎn)D，，，為圓臺(tái)的母線(xiàn)，．（1）證明；平面；（1）若二面角為，求與平面所成角的正弦值．（1）證明：連接，C為圓O的直徑AB所對(duì)弧的中點(diǎn)，所以△為等腰直角三角形，即，又在圓上，故△為等腰直角三角形，所以且，又是母線(xiàn)且，則，故且，則為平行四邊形，所以，而面，面，故平面.（2）解：由題設(shè)及（1）知：、、兩兩垂直，構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，過(guò)作，則為的中點(diǎn)，再過(guò)作，連接，由圓，即圓，圓，則，又，則，故二面角的平面角為，而，所以.則，，，，所以，，，若為面的一個(gè)法向量，則，令，則，，故與平面所成角的正弦值.20．某小區(qū)有居民2000人，想通過(guò)驗(yàn)血的方法篩查出乙肝病毒攜帶者，為此需對(duì)小區(qū)全體居民進(jìn)行血液化驗(yàn)，假設(shè)攜帶病毒的居民占a%，若逐個(gè)化驗(yàn)需化驗(yàn)2000次.為減輕化驗(yàn)工作量，隨機(jī)按n人一組進(jìn)行分組，將各組n個(gè)人的血液混合在一起化驗(yàn)，若混合血樣呈陰性，則這n個(gè)人的血樣全部陰性；若混合血樣呈陽(yáng)性，說(shuō)明其中至少有一人的血樣呈陽(yáng)性，就需對(duì)每個(gè)人再分別單獨(dú)化驗(yàn)一次.假設(shè)每位居民的化驗(yàn)結(jié)果呈陰性還是陽(yáng)性相互獨(dú)立.（1）若，，試估算該小區(qū)化驗(yàn)的總次數(shù)；（2）若，每人單獨(dú)化驗(yàn)一次花費(fèi)10元，n個(gè)人混合化驗(yàn)一次花費(fèi)元.求n為何值時(shí)，每位居民化驗(yàn)費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望最小.（注：當(dāng)時(shí)，）解：（1）設(shè)每位居民需化驗(yàn)的次數(shù)為X，若混合血樣為陰性，則，若混合血樣呈陽(yáng)性，則，所以，，，所以2000名居民總化驗(yàn)次數(shù)約為次；（2）設(shè)每組n人總費(fèi)用為Y元，若混合血樣呈陰性則，若混合血樣為陽(yáng)性，則，所以，，所以，每位居民的化驗(yàn)費(fèi)用為：元，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故時(shí)，每位居民化驗(yàn)費(fèi)用的期望最小.21．已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)重合，且橢圓E截拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)得到的弦長(zhǎng)為3．（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)兩條不同的直線(xiàn)m與直線(xiàn)l交于E的右焦點(diǎn)F，且互相垂直，直線(xiàn)l交橢圓E于點(diǎn)A，B，直線(xiàn)m交橢圓E于點(diǎn)C，D，探究：A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)是否可以在同一個(gè)圓上？若可以，請(qǐng)求出所有這樣的直線(xiàn)m與直線(xiàn)l；否則請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，

設(shè)，由已知得，，，，所以，即，，解得，，則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）因?yàn)閮蓷l不同的直線(xiàn)m與l直線(xiàn)均過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，且互相垂直，由題意可知當(dāng)斜率均存在且不為0時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)l為，直線(xiàn)m為，其中，

，，，，將直線(xiàn)l的方程代入橢圓方程得，，所以，，

若A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)可以在同一個(gè)圓上，則，

所以，所以，所以，，同理，所以，

則，所以，此時(shí)存在這樣的直線(xiàn)m與直線(xiàn)l，其方程為和．當(dāng)直線(xiàn)l的斜率為0或斜率不存在時(shí)，A，B，C，D顯然不在同一個(gè)圓上．綜上，存在這樣的直線(xiàn)m與直線(xiàn)l，其方程為和．22．已知函數(shù).（1）若且函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；（2）設(shè)的導(dǎo)函數(shù)為，若滿(mǎn)足，證明：.（1）解：當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)遞增函數(shù)，所以在上恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，令，，所以在上遞增，即，所以在上恒成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，，，且在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以存在唯一使得，所以當(dāng)時(shí)，，在遞減，即，，不符合題意；綜上所述；（2）證明：，當(dāng)時(shí)，由（1）可知是增函數(shù)，所以，設(shè)，，移項(xiàng)得，由（1）知，即，所以，即，①設(shè)，，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以，即，所以，代入①式中得到，即，所以，命題得證.2023年新高考全國(guó)Ⅰ卷模擬測(cè)試卷02數(shù)學(xué)一、單選題1．若集合，，則（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗，，則.故選：D.2．在等差數(shù)列中，若，，則（

）A．16 B．18 C．20 D．22〖答案〗B〖解析〗因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，設(shè)其公差為，所以，解得，所以.故選：B．3．在三棱錐中，平面BCD，，則三棱錐的外接球的表面積與三棱錐的體積之比為（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗取的中點(diǎn),連接，因?yàn)槊婷婷嫠?，所以，所以，，因?yàn)槊婷嫠悦?，又因?yàn)槊妫?，所以，所以，所以為三棱錐的外接球的圓心,半徑，所以球的表面積為，三棱錐的體積為，故.故選：D4．已知函數(shù)，則的大致圖象為（

）A． B．C． D．〖答案〗C〖解析〗，令，所以在和上單調(diào)遞增，故選：C5．現(xiàn)將除顏色外其他完全相同的6個(gè)紅球和6個(gè)白球平均放入A、B兩個(gè)封閉的盒子中，甲從盒子A中，乙從盒子B中各隨機(jī)取出一個(gè)球，若2個(gè)球同色，則甲勝，且將取出的2個(gè)球全部放入盒子A中；若2個(gè)球異色，則乙勝，且將取出的2個(gè)球全部放入盒子B中．按上述規(guī)則重復(fù)兩次后，盒子A中恰有8個(gè)球的概率是（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗若兩次取球后，盒子A中恰有8個(gè)球，則兩次取球均為甲勝，即兩次取球均為同色．若第一次取球甲、乙都取到紅球，概率為，則第一次取球后盒子A中有4個(gè)紅球和3個(gè)白球，盒子B中有2個(gè)紅球和3個(gè)白球，第二次取同色球分為取到紅球或取到白球，概率為，故第一次取球甲、乙都取到紅球且兩次取球后，盒子A有8個(gè)球的概率為，同理，第一次取球甲、乙都取到白球且兩次取球后，盒子A中有8個(gè)球的概率為，所以?xún)纱稳∏蚝螅凶覣中恰有8個(gè)球的概率是．故選:A．6．已知p：，q：，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗令，，且，故為奇函數(shù)，時(shí)，遞增，則也遞增，又為奇函數(shù)，則在上遞增，，若，則，則，即即；，若，則等價(jià)于，即，由在上遞增，則，即，故p是q的充要條件，故選：C.7．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契于1202年寫(xiě)成《計(jì)算之書(shū)》，其中第12章提出兔子問(wèn)題，衍生出數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，….記該數(shù)列為，則，，.如圖，由三個(gè)圖（1）中底角為60°等腰梯形可組成一個(gè)輪廓為正三角形（圖（2））的圖形，根據(jù)改圖所揭示的幾何性質(zhì)，計(jì)算（

）A．1 B．3 C．5 D．7〖答案〗B〖解析〗從圖（2）可得到正三角形的面積等于三個(gè)等腰梯形的面積加上小正三角形的面積，所以，整理可得，由此可推斷出也可構(gòu)成以下正三角形，所以，整理可得，所以故選：B.8．雙曲線(xiàn)的左，右焦點(diǎn)分別為，過(guò)作垂直于軸的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于兩點(diǎn)，的內(nèi)切圓圓心分別為，則的面積是（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗由題意如圖所示：由雙曲線(xiàn)，知，所以，所以，所以過(guò)作垂直于軸的直線(xiàn)為，代入中，解出，由題知的內(nèi)切圓的半徑相等，且，的內(nèi)切圓圓心的連線(xiàn)垂直于軸于點(diǎn)，設(shè)為，在中，由等面積法得：由雙曲線(xiàn)的定義可知：由，所以，所以，解得：，因?yàn)闉榈牡慕瞧椒志€(xiàn)，所以一定在上，即軸上，令圓半徑為，在中，由等面積法得：，又所以，所以，所以，，所以，故選：A.二、多選題9．有兩組樣本數(shù)據(jù)1，3，5，7，9和1，2，5，8，9，則這兩組樣本數(shù)據(jù)的（

）A．樣本平均數(shù)相同 B．樣本中位數(shù)相同 C．樣本方差相同 D．樣本極差相同〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)選項(xiàng)A：平均數(shù)分別為，，正確；對(duì)選項(xiàng)B：中位數(shù)分別為，，正確；對(duì)選項(xiàng)C：方差分別為，，不正確；對(duì)選項(xiàng)D：極差分別為，，正確.故選：ABD.10．已知角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．〖答案〗AC〖解析〗角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故選：AC.11．如圖，透明塑料制成的長(zhǎng)方體容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器以BC為軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則（

）A．有水的部分始終是棱柱B．水面所在四邊形EFGH為矩形且面積不變C．棱始終與水面平行D．當(dāng)點(diǎn)H在棱CD上且點(diǎn)G在棱上（均不含端點(diǎn)）時(shí)，不是定值〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A，有水部分的幾何體，有兩個(gè)面都垂直于BC，這兩個(gè)面始終平行，而，并且BC始終與水面平行，即有，若點(diǎn)H在棱上，由面面平行的性質(zhì)知，，若點(diǎn)H在棱CD上，，因此該幾何體有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行，即該幾何體是棱柱，A正確；對(duì)于B，因?yàn)樗鏋榫匦?，邊的長(zhǎng)不變，隨旋轉(zhuǎn)角的變化而變化，矩形的面積不是定值，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)槭冀K與平行，而始終與水面平行，并且不在水面所在平面內(nèi)，即棱始終與水面平行，C正確；對(duì)于D，當(dāng)點(diǎn)在棱上且點(diǎn)在棱上（均不含端點(diǎn)）時(shí)，有水部分的棱柱的底面為三角形，而水的體積不變，高不變，則底面面積不變，即為定值，D錯(cuò)誤.故選：AC12．十九世紀(jì)下半葉集合論的創(chuàng)立，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，著名的“康托三分集”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過(guò)程如下：將閉區(qū)間[0，1]均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第1次操作：再將剩下的兩個(gè)區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第2次操作：；每次操作都在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個(gè)區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段；操作過(guò)程不斷地進(jìn)行下去，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”.若第n次操作去掉的區(qū)間長(zhǎng)度記為，則（

）A． B．C． D．〖答案〗BC〖解析〗由題可知，；，；，由此可知，即一個(gè)等比數(shù)列；A：，A錯(cuò)誤；B：，因?yàn)椋栽摂?shù)列為遞減數(shù)列，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以恒成立，B正確；C：，即，兩邊約去得到，當(dāng)時(shí)，，原式成立；當(dāng)時(shí)，恒成立，所以成立，即成立，C正確；D：令，再令，令解得，因?yàn)?，所以取，由此可知時(shí)；時(shí)，故為最大值，，根據(jù)單調(diào)性，即不恒成立，D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題13．已知點(diǎn)D為△ABC的邊BC的中點(diǎn)，，，，，的夾角為，則______．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，所以．故〖答案〗為?14．某單位有10000名職工，想通過(guò)驗(yàn)血的方法篩查乙肝病毒攜帶者，假設(shè)攜帶病毒的人占，如果對(duì)每個(gè)人的血樣逐一化驗(yàn)，就需要化驗(yàn)10000次.統(tǒng)計(jì)專(zhuān)家提出了一種化驗(yàn)方法：隨機(jī)地按5人一組分組，然后將各組5個(gè)人的血樣混合再化驗(yàn)，如果混合血樣呈陰性，說(shuō)明這5個(gè)人全部陰性；如果混合血樣呈陽(yáng)性，說(shuō)明其中至少有一人的血樣呈陽(yáng)性，就需要對(duì)每個(gè)人再分別化驗(yàn)一次.按照這種化驗(yàn)方法，平均每個(gè)人需要化驗(yàn)______次.（結(jié)果保留四位有效數(shù)字）（，，）.〖答案〗0.4262〖解析〗設(shè)每個(gè)人需要的化驗(yàn)次數(shù)為X，若混合血樣呈陰性，則；若混合血樣呈陽(yáng)性，則；因此，X的分布列為，，，說(shuō)明每5個(gè)人一組，平均每個(gè)人需要化驗(yàn)0.4262次.故〖答案〗為：0.4262.15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，若對(duì)任意，等式恒成立，則_______.〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，有，兩式相減得，即有，整理得：，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，，則，所以，又因?yàn)閷?duì)任意，等式恒成立，所以，解得.故〖答案〗為：16．若等差數(shù)列滿(mǎn)足，則n的最大值為_(kāi)__．〖答案〗50〖解析〗由題意知：等差數(shù)列滿(mǎn)足，故等差數(shù)列不是常數(shù)列，且中的項(xiàng)一定滿(mǎn)足或，且項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，設(shè)，等差數(shù)列的公差為，不妨設(shè)，此時(shí)，，則，且，即，故，.又，則，故，即有，則，可得，解得，又，即有的最大值為，的最大值為.故〖答案〗為：50.四、解答題17．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若．（1）求的值；（2）若，求cosB的值．解：（1）由，則，設(shè)，則，根據(jù)余弦定理，可得，化簡(jiǎn)可得，根據(jù)正弦定理可得：，則.（2）由，根據(jù)余弦定理，可得，整理可得，則，，由，則，由，則，根據(jù)正弦定理，可得，即，故，.18．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，數(shù)列滿(mǎn)足．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，顯然，所以，解得，由于，所以的通項(xiàng)公式為，；所以，，所以的通項(xiàng)公式為，．（2）因?yàn)楹愠闪?，即?duì)于任意的恒成立．令，，則，當(dāng)時(shí)，所以，即的最小值為，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.19．如圖，，O分別是圓臺(tái)上、下底的圓心，AB為圓O的直徑，以O(shè)B為直徑在底面內(nèi)作圓E，C為圓O的直徑AB所對(duì)弧的中點(diǎn)，連接BC交圓E于點(diǎn)D，，，為圓臺(tái)的母線(xiàn)，．（1）證明；平面；（1）若二面角為，求與平面所成角的正弦值．（1）證明：連接，C為圓O的直徑AB所對(duì)弧的中點(diǎn)，所以△為等腰直角三角形，即，又在圓上，故△為等腰直角三角形，所以且，又是母線(xiàn)且，則，故且，則為平行四邊形，所以，而面，面，故平面.（2）解：由題設(shè)及（1）知：、、兩兩垂直，構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，過(guò)作，則為的中點(diǎn)，再過(guò)作，連接，由圓，即圓，圓，則，又，則，故二面角的平面角為，而，所以.則，，，，所以，，，若為面的一個(gè)法向量，則，令，則，，故與平面所成角的正弦值.20．某小區(qū)有居民2000人，想通過(guò)驗(yàn)血的方法篩查出乙肝病毒攜帶者，為此需對(duì)小區(qū)全體居民進(jìn)行血液化驗(yàn)，假設(shè)攜帶病毒的居民占a%，若逐個(gè)化驗(yàn)需化驗(yàn)2000次.為減輕化驗(yàn)工作量，隨機(jī)按n人一組進(jìn)行分組，將各組n個(gè)人的血液混合在一起化驗(yàn)，若混合血樣呈陰性，則這n個(gè)人的血樣全部陰性；