高中數(shù)學(xué)北師大版必修5課時作業(yè)第2章解三角形18

§18單元測試二班級________姓名________分?jǐn)?shù)________一、選擇題：(每小題5分，共5×10＝50分)1．在△ABC中，已知b2＝ac且2c＝3a，則cosA.eq\f(7,12)B.eq\f(3,4)C.eq\f(5,12)D.eq\f(2\r(2),3)2．在△ABC中，B＝45°，A＝75°，c＝1，則最長邊的邊長為()A．1B.eq\f(3,2)C.eq\f(3\r(2)＋\r(6),6)D.eq\f(\r(6),3)3．若△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊a，b，c滿足(a＋b)2－c2＝ab，則C＝()A.eq\f(2π,3)B.eq\f(π,2)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,4)4．已知A、B、C為△ABC的三個內(nèi)角，且關(guān)于x的方程(eq\f(1,4)＋x2)sinA＋xsinB＋(eq\f(1,4)－x2)sinC＝0有兩個相等實(shí)根，則△ABC的形狀為()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等邊三角形5．在△ABC中，三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若a>b，則下列不等式正確的是()A．sinA<sinBB．sinA>sinBC．cosA<sinBD．cosA>sinB6．在△ABC中，a＝15，b＝10，cosB＝eq\f(\r(6),3)，則sinA＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(3),3)D．17．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，A＝eq\f(π,3)，a＝2，若△ABC有兩解，則邊b可以是()A.eq\r(5)B.eq\r(3)C．2D．18．已知三角形的三邊a∶b∶c＝5∶7∶8，則三角形的最大角與最小角的和是()A．30°B．60°C．120°D．150°9．若△ABC的角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a＝1，∠B＝135°，S△ABC＝2，則b＝()A．25B．5eq\r(2)C.eq\r(41)D．2eq\r(2)10．黑板上有一道有正確解的解三角形的習(xí)題，一位同學(xué)不小心把其中一部分擦去了，現(xiàn)在只能看到：在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知a＝2，……，解得b＝eq\r(6).根據(jù)以上信息，你認(rèn)為下面哪個選項(xiàng)可以作為這個習(xí)題的其余已知條件()A．A＝30°，B＝45°B．c＝1，cosC＝eq\f(1,3)C．B＝60°，c＝3D．C＝75°，A＝45°二、填空題：(每小題6分，共6×5＝30分)11．在△ABC中，已知a＝20，b＝10eq\r(2)，sinA＝eq\f(\r(2),2)，則B＝________.12．在△ABC中，a＝2，b＝3，c＝4，則abcosC＋bccosA＋accosB＝________.13．一般信號塔越高覆蓋區(qū)域越大，某地為測量信號覆蓋區(qū)域，決定測量信號塔高度，某技術(shù)人員在C點(diǎn)測得信號塔在南偏西80°，塔頂仰角為45°，此人沿南偏東40°方向前進(jìn)100米到D，測得塔頂A的仰角為30°，則信號塔高為________米．14．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，已知A＝eq\f(π,3)，cosB＝eq\f(\r(6),3)，且c2＝a2＋(eq\r(6)－1)b.則eq\f(c,b)＝________.15．如圖，D是直角△ABC斜邊BC上一點(diǎn)，AB＝AD，記∠CAD＝α，∠ABC＝β.若AC＝eq\r(3)DC，則sinβ的值是________．

三、解答題：(共70分，其中第16小題10分，第17～21小題各12分)16．在△ABC中，eq\f(AC,AB)＝eq\f(cosB,cosC)，又A＝eq\f(π,3)，證明：△ABC為正三角形．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，已知c＝2，a＋b＝ab，C＝eq\f(π,3).求a，b的值．

18.在△ABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊，若a＝4eq\r(3)且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.求△ABC的周長和面積．某公司為慶祝公司成立十五周年，回饋政府的支持和幫助，決定于市中心新建一三角形綠地廣場，如圖，△ABC為一個等腰三角形形狀的綠地，腰CA的長為3(百米)，底AB的長為4(百米)，現(xiàn)決定在綠地內(nèi)筑一條筆直的小路EF(寬度不計(jì))，將該綠地分成一個四邊形和一個三角形，設(shè)分成的四邊形和三角形的周長相等、面積分別為S1和S2.(1)若小路一端E為AC的中點(diǎn)，求此時小路的長度；(2)求eq\f(S1,S2)的最小值．

20.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知tanB＝eq\f(2sinC－sinA,cosA－2cosC).(1)求eq\f(sinC,sinA)的值；(2)若cosB＝eq\f(1,4)，b＝2，求邊a，c的長．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a2＋c2－b2＝eq\f(2\r(3),3)acsinB.(1)求角B的大??；(2)若b＝eq\r(3)，且A∈(eq\f(π,6)，eq\f(π,2))，求邊長c的取值范圍．一、選擇題1．A∵b2＝ac,2c＝3a，∴b2＝eq\f(3,2)a2，∴cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋\f(9,4)a2－\f(3,2)a2,3a2)＝eq\f(7,12).2．CC＝180°－45°－75°＝60°，∴a邊最長，由正弦定理得eq\f(a,sin75°)＝eq\f(1,sin60°)，∴a＝eq\f(3\r(2)＋\r(6),6).3．A由(a＋b)2－c2＝ab，得a2＋b2－c2＋2ab＝ab.由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC＝－ab，所以C＝eq\f(2π,3).4．BΔ＝(sinB)2－(sinA－sinC)(sinA＋sinC)＝(sin2B＋sin2C－sin2A)＝0，∴b2＋c2－a5．BA>B，∴a>b，由正弦定理得sinA>sinB.6．B依題意得0°<B<60°，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(\r(3),2).7．A當(dāng)bsineq\f(π,3)<a<b時△ABC有兩解，因此2<b<eq\f(4,3)eq\r(3)，經(jīng)驗(yàn)證，只有A符合條件．8．C設(shè)中間角為θ，則cosθ＝eq\f(52＋82－72,2×5×8)＝eq\f(1,2).θ＝60°，180°－60°＝120°為所求．9．C由S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝2，a＝1，∠B＝135°，得c＝4eq\r(2)；再由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b＝eq\r(41).10．Deq\f(2,sin45°)＝eq\f(b,sin60°)，b＝eq\r(6).二、填空題11．30°解析：sinB＝eq\f(1,2)，b<a，∴B＝30°.12.eq\f(29,2)解析：abcosC＋bccosA＋accosB＝eq\f(aba2＋b2－c2,2ab)＋eq\f(bcc2＋b2－a2,2bc)＋eq\f(aca2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋b2＋c2,2)＝eq\f(29,2).13．100解析：如圖，設(shè)塔高為h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，則OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，則OD＝eq\r(3)h，在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝100，由余弦定理得：OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，即(eq\r(3)h)2＝h2＋1002－2h×100×cos120°，∴h2－50h－5000＝0，解得h＝100或h＝－50(舍)．14.eq\f(\r(6)＋1,2)解析：∵A、B、C為△ABC的內(nèi)角，且A＝eq\f(π,3)，cosB＝eq\f(\r(6),3)，∴C＝π－(A＋B)，sinB＝eq\f(\r(3),3)，∴sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f(3\r(2)＋\r(3),6).由余弦定理得：c2＝a2＋(eq\r(6)－1)b＝b2＋c2－2bccosA＋(eq\r(6)－1)b，即b－c＋eq\r(6)－1＝0.由正弦定理得：c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(\r(6)＋1,2)b.15.eq\f(\r(3),2)解析：∵AB＝AD，∴∠ADB＝β，∴∠C＝β－α.又∠B＋∠C＝90°，即2β－α＝90°，則2β＝90°＋α，cos2β＝－sinα，即cos2β＋sinα＝0.①在△ADC中，eq\f(DC,sinα)＝eq\f(AC,sinβ)，即sinβ＝eq\r(3)sinα.②①代入②整理得：2eq\r(3)sin2β－sinβ－eq\r(3)＝0.解得sinβ＝eq\f(\r(3),2)或sinβ＝－eq\f(\r(3),3)(舍去)．三、解答題16．證明：在△ABC中，由正弦定理及已知得eq\f(sinB,sinC)＝eq\f(cosB,cosC).于是sinBcosC－cosBsinC＝0，即sin(B－C)＝0.因?yàn)椋?lt;B－C<π，從而B－C＝0.所以B＝C.又A＝eq\f(π,3)，∴A＝B＝C＝eq\f(π,3)，∴△ABC為正三角形．17．由題意可知a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4(舍去ab＝－1)，∴a＝b＝2.18．由已知，根據(jù)正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b即a2＝b2＋c2＋bc，∴cosA＝－eq\f(1,2)，∴sinA＝eq\f(\r(3),2)∴b2＋c2＋bc＝48又bc＝16，∴(b＋c)2＝64，∴b＋c＝8∴S＝eq\f(1,2)bcsinA＝4eq\r(3).∴△ABC的周長為8＋4eq\r(3)，面積為4eq\r(3).19．(1)∵E為AC中點(diǎn)，∴AE＝EC＝eq\f(3,2)，∵eq\f(3,2)＋3<eq\f(3,2)＋4，∴F不在BC上．即F在AB上，則AE＋AF＝3－AE＋4－AF＋3，∴AE＋AF＝5.∴AF＝eq\f(7,2)<4，在三角形ABC中，cosA＝eq\f(2,3).在三角形AEF中，EF2＝AE2＋AF2－2AE·AFcosA＝eq\f(15,2)，∴EF＝eq\f(\r(30),2).即小路一端E為AC中點(diǎn)時小路的長度為eq\f(\r(30),2)百米．(2)若小路的端點(diǎn)E、F點(diǎn)都在兩腰上，如圖1，設(shè)CE＝x，CF＝y(tǒng)，則x＋y＝5.eq\f(S1,S2)＝eq\f(SABC－SCEF,SCEF)＝eq\f(SABC,SCEF)－1＝eq\f(\f(1,2)CA·CBsinC,\f(1,2)CE·CFsinC)－1＝eq\f(9,xy)－1＝eq\f(9,x5－x)－1＝eq\f(9,－x－\f(5,2)2＋\f(25,4))－1≥eq\f(11,25)，當(dāng)x＝y(tǒng)＝eq\f(5,2)時取等號．若小路的端點(diǎn)E、F分別在一腰(不妨設(shè)腰AC)上和底上，如圖2.設(shè)AE＝x，AF＝y(tǒng)，則x＋y＝5.eq\f(S1,S2)＝eq\f(SABC－SAEF,SAEF)＝eq\f(SABC,SAEF)－1＝eq\f(12,xy)－1＝eq\f(12,x5－x)－1＝eq\f(12,－x－\f(5,2)2＋\f(25,4))－1≥eq\f(23,25)，當(dāng)x＝y(tǒng)＝eq\f(5,2)時取等號．∴eq\f(S1,S2)的最小值為eq\f(11,25).20．(1)∵tanB＝eq\f(2sinC－sinA,cosA－2cosC).即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB，化簡可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．又A＋B＋C＝π，所以sinC＝2sinA.因此eq\f(sinC,sinA)＝2.(2)由eq\f(sinC,sinA)＝2得c＝2a，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB及cosB＝eq\f(1,4)，b＝2，得4＝a2＋4a2－4a2×eq\f(1,4).解得a＝1.從而c＝2.21．(1)在△ABC中，根據(jù)余弦定理a2＋c2－b2＝2accosB，且a2＋c2－b2＝eq\f(2\r(3),3)acsinB，得2accosB＝eq\f(2\r