2023北京五中高二下學期期末數學試題及答案

2023北京五中高二（下）期末數學一、單選題（每小題4分，共40分）A=x1xABB=xx21.已知集合，，那么等于（）x1x2x2x3x1x2x2xD.A.B.C.=?，則|z=（2.若復數ziz34i）A.10B.5C.7C.6D.25(x?2y)4的展開式中含x2y2的項的系數為（））3.B.?24D.6?A.244.關于向量a，b，c，下列命題中正確的是（aa∥cA.若，則abbB.若ab，b∥c，則abC.若ab，則aD.若，則ab5.布達佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達·芬奇方磚，在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1·芬奇方磚形成圖2的組合，這個組合表達了圖3所示的幾何體．若圖3中每個正方體的棱長為，則點A到平面的距離是（）12312A.B.C.D.422x2y26.點F是拋物線x2=8y的焦點，A為雙曲線C：?=1的左頂點，直線AF平行于雙曲線C的一8b條漸近線，則實數b的值為（）A.27.在a=B.4C.8D.16中，角,B,C所對的邊分別為a,b,c，A=，且的面積為，若，則b+c=63（）A.26B.5C.D.2730(+)()?()fxfx021fx11128.已知函數是偶函數，當時，）恒成立，設1a=f?=()=(),bf2,cf3a,b,c的大小關系為（，則2A.abcB.cbaC.b<c<ac2a}”是“為遞增數列”的（nD.bac()a}a=n2?nN*9.數列的通項公式為．則“）nnA.充分而不必要條件C.充分必要條件B.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件()(()()M=x,yy=fxx,yMx,yM10.已知集合，若對于任意，存在，使得1122xx+yy=0成立，則稱集合M是“Ω集合”．給出下列5個集合：12121x?1exM=()=x,yyM=(x,y)y=；③M=(x,y)y=1?x2①；②；x；⑤）+2x+x,yycosxsinx．M=x,yy=x()2M=()=+④其中是“Ω集合”的所有序號是（A.②③B.①④⑤C.③⑤D.①②④二、填空題（每小題5分，共25分）x(x)2()=fx=______．f(f，則已知函數(?)()x1x112.能夠說明“若0abc，則abc”是假命題的一組實數a,b,c的值依次為__________.滿足=,nN=，若，則=aanan+2a2n1*a7a354a3的值為13.已知數列________．ny=2x的焦點，,B是拋物線上的兩點，線段AB的中點P的坐標為(m,n)，若_________214.設F是拋物線AF+BF=5m，則實數的值為．中，對任意的都有，且，給出下列四個結論：?=n12an1naN*an015.在數列nn①對于任意的n3，都有a2n；a01，數列不可能為常數列；a②對于任意n012a2為遞增數列；an③若④若，則數列n22ana.1，則當時，1其中所有正確結論的序號為_____________.三、解答原（第16-19、21題14分，第20題15分）6f(x)=Ax+)0,|f=1；②16.已知同時滿足下列四個條件中的三個：①22f(x)=Ax+)|y=sinx?x的圖像平移得到；③相鄰兩條對稱軸之間的圖象可以由的距離為；④最大值為2（1）請指出這三個條件，并說明理由；y=f(x)的對稱軸只有一條落在區(qū)間m]（2）若曲線17.如圖，在四棱錐P上，求m的取值范圍.?中，⊥底面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，⊥，//，==2=CD=2，點E在棱PB上．（1）證明：平面EAC⊥平面PBC；（2）當BE=2EP時，求二面角P??E的余弦值．18.某單位有A，B兩家餐廳提供早餐與午餐服務，甲、乙兩人每個工作日早餐和午餐都在單位用餐，近100選擇餐廳（早餐，午餐）（A，A）（A，B）（B，A）（B，B）甲乙3020202540151040假設用頻率估計概率，且甲、乙選擇餐廳用餐相互獨立．（1）估計一天中甲選擇2個餐廳用餐的概率；（2）記X為一天中甲用餐選擇的餐廳的個數與乙用餐選擇的餐廳的個數之和，求X的分布列和數學期望E（X（3）判斷甲、乙兩人在早餐選擇A餐廳用餐的條件下，哪位更有可能在午餐選擇B餐廳用餐？說明理由．x22y223+=ab0)的左、右頂點分別為A,AAA=4，，橢圓E的離心率為1219.已知橢圓E:．交12ab2（1）求橢圓E的標準方程；5D0)AMx=與直線（2）過作直線l與橢圓E交于不同的兩點M，Nl與x軸不重合，直線122N于點P，判斷直線與DP的位置關系，并說明理由．()=x，()=(+)（aRfxgxxae20.已知函數y=fx()在點(f1())處的切線方程；（1）求曲線x=fxgx（2）設()()()，請判斷(x)是否存在極值？若存在，求出極值；若不存在，說明理由；11()fs()?()?（3）當a=0時，若對于任意st0，不等式gsgtk恒成立，求k的取值范()ft圍．21.已知各項均為整數的數列A:a,a,,aNNNN.滿足1aN0，且對任意i=2,，都有N12|i?i1≤1.記S(A)=a+a+.N12a=31A；6（1）若，寫出一個符合要求的ANa中存在使得a=0；k（2）證明：數列k（3）若S(N)是N的整數倍，證明：數列ANaS(N)=Na中存在使得.rr參考答案一、單選題（每小題4分，共40分）1.【答案】C【分析】先解絕對值不等式求出集合B,再應用交集定義計算求解即可.B{x|x=BAB2=2=(【詳解】.故選:C.2.【答案】B3?z=【分析】計算出，利用復數模長的性質計算出答案.i3?9+163?【詳解】iz=3?4i，故z=，則|z|===5.ii1故選：B3.【答案】A【分析】寫出展開式的通項，從而計算可得.=C?r【詳解】二項式所以展開式中含(x?2y)4展開式的通項為r1x42(?2yr（且rN0r4r4xy2y2的項為T=C24x2(2y)2=24xy2，3即展開式中含x22的項的系數為24.故選：A4.【答案】C【分析】利用向量相等、向量共線的條件、向量模的定義，逐一對各個選項分析判斷即可得出結果.a【詳解】選項A，因為，只說明兩向量的模長相等，但方向不一定相同，故選項A錯誤；選項B，當b=0時，有ab，b∥c，但a可以和c不平行，故選項B錯誤；選項C，若a=?b，由向量相等的條件知：ab，故選項C正確；選項D，因向量不能比較大小，只有模長才能比較大小，故選項D錯誤.故選：C5.【答案】C【分析】建立空間直角坐標系，求平面【詳解】建立空間直角坐標系如圖所示：的法向量，用點到平面的距離公式計算即可.則C(0,0)，Q2)，G(0,2)，0)，QC=(?1,2,?2)，=(=(0)，?x=0?x+2y?2z=0n設平面的法向量為n=(x,y,z)，則，即，則平面的一個法向量n為n，=n則點A到平面的距離d=.2n故選：C6.【答案】BbF,Ak2=【分析】由題可得坐標，根據可得答案.822()【詳解】由題()，A?22,0，則F0,2k==.因直線AF平行于雙曲線C的一條漸近22222b=b=4.線，則82故選：B7.【答案】A【分析】根據三角形面積可推出bc=4，利用余弦定理即可求得答案.1233【詳解】由于A=,==bc=3，解得bc=4，bcsinAbc，故有44又b+c=6，則a=b2+c2?bccosA=b+c)?bc=36?12=26,2故選：A．8.【答案】D【分析】利用函數的單調性及偶函數的性質，結合函數的對稱性即可求解.【詳解】因為當11xf2()?()恒成立，即()()恒成立，fx0fxfx時，2121+)所以f(x)在上單調遞增，f(x+因為是偶函數，所以f(x)的圖象關于x=1對稱，1a=f?=f5，2b=()c=f3)f2，，因為因為2523，2512()f2()()f2?f3()，ff3f所以2，即所以bac．故選：D．9.【答案】A【分析】根據充分條件和必要條件的定義，結合數列的單調性判斷【詳解】根據題意，已知數列的通項公式為a=n?，an2n若數列為單調遞增數列，則有anan1?an=[(n+所以c2n+1，2?c(n+?(n2?cn)=2n+1?c0（nN*因為nN*，所以c3，所以當c2時，數列為單調遞增數列，an而當數列為單調遞增數列時，c2不一定成立，an所以“c2”是“數列為單調遞增數列”的充分而不必要條件，an故選：A.10.【答案】Cy=f(x)上過任意一點與原點的直線，都存在過另一點與原【分析】根據集合M是“集合”，即滿足曲線點的直線垂直，逐項判定，即可求解.y=f(x)上過任意一點與原點的直線，都存在過另一點與【詳解】題意，集合M是“集合”，即滿足曲線原點的直線垂直，1M=(x,y)|y=對于①中，則存在兩點x，假設集合M是“集合”，1111Ax,Bx,x1122xx222=1，方程無解，，，滿足=1，即12112所以假設不成立，所以集合M不是“集合”；x?12?xy==y對于②中，函數，則，exexx(,2)y0，函數單調遞增，當當時，1ey=時，x(2,+)y0x=2時，，函數單調遞減，且當，圖象如圖所示，x?1Ax,yx0設圖象上對任意一點()()時，則kyx?1，ex===exxxx?1ex1k==1，即x?1=ex?=ex?1，若令，也即x1x?1exy=?y=ex?1k無交點，即==1無解，由函數的圖象與函數的圖象xk1，所以OAk=?1時不存在k=1，此時不存在一點B，使得⊥成立，故對于x?1M=(x,y)|y=不是“集合”；所以集合exM=x,y|y=1?x()2xx的圖象表示一個在軸上方的半圓（包括對于③中，集合如圖所示，根據圓的性質，可得對任意一點A，總是存在一點B，使得⊥成立，M=x,y|y=1?x()2是“集合”；所以集合y=x2+2x+2=(x++1，當點(0,2),B(x,y)時，222對于④中，函數xx+yy=0y=0不成立，2若，則12122x不是“集合”；M==+(,y)|yx2所以集合π4y=x+sinx=2sinx+對于⑤中，函數，其大致圖象如下.設A是其圖象上任意一點，由圖可知直線OA的斜率的范圍是(?+)根據圖象可得，其圖象上任意一點A，總是存在一點B，使得⊥成立，M=(x,y)|y=x+sin是“集合”.所以集合故選：C.【點睛】關鍵點睛：本題主要考查了集合M是“集合”的新定義及應用，其中解答的關鍵是理解對于任(x,y)M(x,y)Mxx+yy=0y=f(x)成立，即滿足曲線上過任意一點與原點意，存在，使得11221212的直線，都存在過另一點與原點的直線垂直，著重考查了分析問題和解答問題的能力.二、填空題（每小題5分，共25分）【答案】0【分析】由內向外，逐步代入，即可求出結果.f(f))=f(2)=lg1=0．【詳解】由題意，f=2=21故答案為：011112.【答案】,,（答案不唯一）432【分析】由條件可得存在值.a,b,c0abc，abc，由此可得c1，再取滿足條件的特殊滿足條件【詳解】由“若0abc，則abc是假命題可得，”a,b,c0abcabc，存在滿足條件，但由此可得bbc，故c1，1214112c=a=，則b，故可取b=.若取，3111,,故答案為：（答案不唯一）.43213.【答案】1或1a【分析】由等比的定義結合其性質得出的值.3aa=a2n1nN為等比數列，設其公比為q，a【詳解】因為，*，所以數列nn+2n74a=16aa=a24=4a=2，所以4q3==8，由，，得735q=2所以，a4q==1；q2a=2，則a當當時，43a4q=?2a=?2a3==?1.時，，則4qa綜上，的值為1或1.3故答案為：1或114.【答案】2【分析】設()()，根據焦點弦公式得x+x=4m，再利用中點公式即得到的值.Ax,yBx,y112212y2=2x的焦點，【詳解】是拋物線121F,0=?，準線方程x，2設()()，Ax,yBx,y1122121|AF|+|BF=1++x2+=5x+x=4，，122線段AB的中點橫坐標為2，即m=2.故答案為：2.15.【答案】③④a?2=a2n1?an1?2=a?2a+)，得到an?2()(a?2同n1【分析】對數列遞推關系變形得到與nn1n10120n2，①錯誤；號，當當時，a=2為常數列，②錯誤；an時，推導出此時10120an12，求出數列為遞增數列，③正確；an作差法結合時，由an2與同號，得到當，有，結合作差法得到為遞減數列，④正確a.n?a?2a21a2nn1a?2=a2?an1?2=(an1?2)(an1+)n1【詳解】因為n12?an1n，所以=，na因為任意的nN都有n0，所以a+10，n1所以an2與?a?2同號，當012，則n3時，都有0n2，①錯誤；n1a?2a2+1a=21a2?2=1=0a=22an2n3=()a，此時為常數列，②錯誤；n當時，，所以，同理得：n1?an=?n12+2an1=?(an1?)2+1，0120an12，由A選項知：若，則所以a?nn=?an1+2an1=?(an1?)+11+1=0，221則數列為遞增數列，③正確；an?2a21n2a2時，都有，n由an2與?a同號，當，則n1且此時a?nn=?an1+2an1=?(an1?)+11+1=0，221所以數列為遞減數列，ana21n2ana時，，④正確.1綜上：若，則當故答案為：③④三、解答原（第16-19、21題14分，第20題15分）,16.12）.36）先分析②③④成立時的情況，然后推出矛盾即可確定出滿足的三個條件；（2）先根據（1）求解出()的解析式，然后采用整體替換的方法求解出()的對稱軸方程，然后對fxfxk進行賦值，確定出在區(qū)間m上僅有一條對稱軸時的取值范圍.）三個條件是：①③④，理由如下：m4y=sinx?cosx=2sinx?若滿足②：因為若滿足③：因為，所以A=2,=1；T==，所以==，所以T2，22若滿足④：A2，=由此可知：若滿足②，則③④均不滿足，所以滿足的三個條件是：①③④；fx=2sin2x+（2）由③④知：()()，63312f=1，所以2sin+=1，所以sin+=由①知：，又因為|，+=2k+,kZ或+=2k+,kZ，23636或所以=2?,kZ=2k+,kZ，62所以=?，所以f(x)=2sin2x?，66k2x?=k+,kZx=x=+,kZ，不妨令，所以6223當k=1時，x=?；當k=0時，；當k=1x=時，，63636m上，只需m,y=f(x)所以若要的對稱軸只有一條落在區(qū)間,36m,所以的取值范圍是.gx=Asinx+【點睛】方法點睛：已知函數()()0)，若求函數()圖象的對稱軸，則令x+=k+，kZ；gx2若求函數()圖象的對稱中心或零點，則令17.1）證明見解析22x+=k，kZ．gx（2）3）由線面垂直得到線線垂直，求出各邊長，由勾股定理逆定理得到⊥，從而證明出線面垂直，面面垂直；（2）解法一：以C為原點，CB，CA，CP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建系，寫出點的坐標及平面的法向量，求出二面角的余弦值；解法二：取AB的中點G，連接CG，以點C為原點，CG，CD，CP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建系，寫出點的坐標及平面的法向量，求出二面角的余弦值；【小問1⊥ABCD，AC因為所以底面平面ABCD，⊥．因為AB2，=AD=CD=1，所以==2．所以AC2+BC2=AB2，所以⊥．又因為=C，所以⊥平面PBC．又AC平面EAC，平面PBC，BC平面PBC，所以平面EAC⊥平面PBC．【小問2解法一：以點C為原點，CB，CA，CP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則)()，(()，，)．P2C0,0B(2,0,0A2,0()=(??設點E的坐標為(x,y,z)，因為BE??)x,y,2z，x2,y,z2=2EP，所以42432=y=0z=E,0,即x，，，所以．33342()CE=CA=2,0,0,．所以，33)，則設平面ACE的一個法向量為n=(x,y,z．nCE=02y=0=y=0z=?1．，所以，取x22，則24x+z=033()n=22,0,1所以平面ACE的一個法向量為．(2,0,0)．又因為平面，所以平面C的一個法向量為CB=設平面C與平面ACE的夾角為，222⊥223cos=,CB==則．22()222(2)+(?)122所以，平面C與平面夾角的余弦值為．3解法二：取AB的中點G，連接CG，以點C為原點，CG，CD，CP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則()，(?)，(B1,0)，()．P2C0,0A0設點E的坐標為(x,y,z)，因為BE=2EP，所以(?+)=(???)，x,y,2zxyz211343114333x=y=?z=E,,?即，，，所以．314=0)，CE=,?,所以CA．333設平面ACE的一個法向量為n=(x,y,z)，則．nx+y=03x=3，則y=3?z=?，．所以114，取x?y+z=023333n=??所以，平面ACE的一個法向量為．2=(?)⊥平面，所以平面C的一個法向量為CB1,0．又因為設平面C與平面ACE的夾角為，31+(?)(?)31223cos=,CB==則2．32+?1+(?)232+(3)22223所以，平面C與平面夾角的余弦值為18.1）0.6；（2）分布列見解析，期望為3；（3）乙更有可能在午餐選擇B餐廳用餐）由統(tǒng)計圖表得出一天中甲選擇2個餐廳用餐的天數，然后計算概率；2,3,4（2）得出X的可能值是，計算出概率的分布列，由期望公式計算期望．（3）直接由統(tǒng)計圖表計算甲、乙兩人在早餐選擇A餐廳用餐的條件下，午餐選擇B餐廳用餐的概率，比較即得．【小問160P==0.6；由統(tǒng)計圖表，一天中甲選擇2個餐廳用餐的天數為60，概率為【小問21002,3,4易知X的可能值是，406040406060P(X=2)=P(X=4)==0.24，P(X==+=0.52，1001006040100100100100=0.24，100100X的分布列為X234P0.240.520.24E(X)=20.24+30.52+40.24=3．【小問320P==0.4，甲在早餐選擇A餐廳用餐的條件下午餐選擇B餐廳用餐的概率為150255P=2=0.4乙在早餐選擇A餐廳用餐的條件下午餐選擇B餐廳用餐的概率為所以乙更有可能在午餐選擇B餐廳用餐．，459x2+y2=1；19.1）橢圓E的標準方程為4（2）平行，理由見解析.a,b,ca,b,c?？傻脵E圓方程；）由條件列關于的方程，解方程求k=k（2）根據題意設直線及M、N點坐標，結合題意求點P的坐標，結合韋達定理證明【小問1即可.2Nx22y22+=c1的半焦距為，設橢圓ab由已知點的坐標分別為2(?)()，a,0,a,0A,A1AA=42a=4a=2因為，所以，所以，，123c3又橢圓E的離心率為，所以=2a2所以c所以b=a所以橢圓E的標準方程為=3，2?c2=1，x2+y2=1；4【小問2因為直線MN與x軸不重合，且過點D0)，所以可設直線MN的方程為xmy+1x=+1，m2+4y)+2?3=0，22，消去x可得聯(lián)立方程xy2=14方程m2+4y)Mx,y,Nx,y2)+2?3=0=4m()+12m+40，222的判別式設∴()(1122m3y+y=?,yy=?12，12m2+m2+4411+2y22?2∵(A2,0,A0)，則k1M)(2=,k2N=111+2y=(x+2)，AM1則直線的方程為)91(+)215591y=x=P,代入可得，即222x+2(2191(+)312152∴k==，1+2?123(1y2)1y2+?2y231y231k?k=?=?=則2N?+?+(1+)(?)2212my21331122m6m()??+?k=3y+y2yk，即2N0∵∴12122+2+m4m4k=k，2N2N所以直線與DP平行.【點睛】關鍵點點睛：(1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或)建立一元二次方程，然后借助根與系數的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系．(2)涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．20.1）yex?=0（2）不存在，理由見詳解（3）?e,+)）先求得()，從而得到()f1()f1，，再根據導數的幾何意義和直線的點斜式方程即可求fx出切線方程；（2）先求(x)，要判斷(x)是否存在極值，即判斷在(x)在(?a,+)上單調情況，即判斷(x)(?+)上的符號情況；a,ex（3）將原恒成立條件轉化為對于任意x0，不等式k?恒成立，從而構造函數，再根據函數在定義域x上的最值即可求得k的取值范圍．【小問1由f(x)=exf(x)=ex()=f1e()=f1e，，，則，所以y=fx()在點(f1())?=(?)yeex1處的切線方程為，即y?ex=0．故曲線【小問2()=()()=xfxgxexax(+)x?a由，，1x+a1x+a則(x)=x(+)+exaex=exxa(+)+x?a，，1x+a令m(x)=(x+a)+，x?a，11x+a?1()=mx?=x?a，，則22x+a(+)(+)xaxa()mx()mx，此時當0x+a1，即?ax1?a時，0單調遞減；當x+a1，即x1?a時，()mx，此時()mx單調遞增，0()=(?)=mxm1a10，所以minx?a，都有(x)0所以對任意，所以(x)在(?a,+)上單調遞增，即(x)不存在極值．【小問3當a=0時，()=gxx，11()fs()?()?對于任意st0，不等式gsgtk恒成立，()ftkk()ft()?gsgt()?等價于對于任意st0，不等式恒成立，()fskkex()=()?hxgx=x?在()等價于函數上單調遞增，()fx1k等價于導函數h(x)=+x()上恒成立，0在xeex等價于對于任意x0，不等式k?恒成立，xexexx?x(?x)exe1()=?令nx()=?，則nx=，x0，xx2x2當0x1時，()()nx，此時單調遞增；nx0當x1時，()()nx，此時單調遞減，nx0()=()=??enxn1ek所以，即，max故k的取值范圍為?e,+)．【點睛】關鍵點點睛：涉及不等式恒成立問題，將給定的不等式等價轉化，構造函數，進而通過導函數使問題得到解決是解答此類問題的關鍵．21.1）0,?1(答案不唯一)2）證明見解析（3）證明見解析.Aa0即可；6）根據條件寫出，滿足相鄰項相差為0或1，6（2）假設1aN0，把AN