2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破第1章集合常用邏輯用語(yǔ)不等式第4講一元二次不等式及其解法考點(diǎn)3一元二次不等式恒成立問(wèn)題

一元二次不等式恒成立問(wèn)題[解析](1)要使mx2－mx－1<0恒成立，若m＝0，顯然－1<0；若m≠0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,Δ＝m2＋4m<0))?－4<m<0.所以m的取值范圍為(－4,0]．(2)要使f(x)<－m＋5在[1,3]上恒成立，只需mx2－mx＋m<6恒成立(x∈[1,3])，又因?yàn)閤2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，所以m<eq\f(6,x2－x＋1).令y＝eq\f(6,x2－x＋1)＝eq\f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4)).因?yàn)閠＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)在[1,3]上是增函數(shù)，所以y＝eq\f(6,x2－x＋1)在[1,3]上是減函數(shù)．因此函數(shù)的最小值ymin＝eq\f(6,7).所以m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(6,7))).(3)將不等式f(x)<0整理成關(guān)于m的不等式為(x2－x)m－1<0.令g(m)＝(x2－x)m－1，m∈[－1,1]．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g－1<0，,g1<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋x－1<0，,x2－x－1<0，))解得eq\f(1－\r(5),2)<x<eq\f(1＋\r(5),2)，即x的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(5),2)，\f(1＋\r(5),2))).名師點(diǎn)撥：一元二次不等式恒成立問(wèn)題1．在R上恒成立(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0)對(duì)于一切x∈R恒成立的條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac<0或≤0.))(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(或≤0)對(duì)于一切x∈R恒成立的條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ＝b2－4ac<0或≤0.))2．在給定某區(qū)間上恒成立(1)當(dāng)x∈[m，n]，f(x)＝ax2＋bx＋c≥0恒成立，結(jié)合圖象，只需f(x)min≥0即可．(2)當(dāng)x∈[m，n]，f(x)＝ax2＋bx＋c≤0恒成立，只需f(x)max≤0即可．3．解決恒成立問(wèn)題一定要搞清誰(shuí)是自變量，誰(shuí)是參數(shù)．一般地，知道誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是自變量，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù)．4．“不等式f(x)≥0有解(或解集不空)的參數(shù)m的取值集合”是“f(x)<0恒成立的參數(shù)m取值集合”的補(bǔ)集；“f(x)>0的解集為?”即“f(x)≤0恒成立．”注意：ax2＋bx＋c>0恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac<0；))ax2＋bx＋c<0恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b＝0，,c<0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ＝b2－4ac<0.))【變式訓(xùn)練】1．若不等式(a－3)x2＋2(a－3)x－4<0對(duì)一切x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a取值的集合為(D)A．(－∞，3) B．(－1,3)C．[－1,3] D．(－1,3][解析]當(dāng)a＝3時(shí)，－4<0恒成立；當(dāng)a≠3時(shí)，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<3，,Δ＝4a－32＋16a－3<0，))解得－1<a<3.所以－1<a≤3.故選D.2．(2024·山西忻州第一中學(xué)模擬)已知關(guān)于x的不等式x2－4x≥m對(duì)任意的x∈(0,1]恒成立，則有(A)A．m≤－3 B．m≥－3C．－3≤m<0 D．m≥－4[解析]令f(x)＝x2－4x，x∈(0,1]，∵f(x)圖象的對(duì)稱軸為直線x＝2，∴f(x)在(0,1]上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得最小值－3，∴m≤－3，故選A.3．已知對(duì)于任意的a∈[－1,1]，函數(shù)f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值總大于0，則x的取值范圍是(B)A．{x|1<x<3} B．{x|x<1或x>3}C．{x|1<x<2} D．{x|x<1或x>2}[解析]記g(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，a∈[－1,1]，依題意，只需eq\b\