2022北京西城區(qū)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題和答案

2022北京西城高一（下）期末數(shù)學(xué)一、選擇題共小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。14分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=i+i2對應(yīng)的點(diǎn)在()A．第一象限24分）設(shè)向量a=，b=(?2)，則(aA．B．?9B．第二象限C．第三象限=(C．?7D．第四象限))D．?534分）設(shè)m，n為兩條直線，，為兩個(gè)平面．若//，m//n，m⊥，則()A．n//C．m//B．n⊥D．以上答案都不對344分）若cos=，則sin(?)=()52353445A．B．?C．D．?5554分）函數(shù)f(x)=sin(2x+)，x[0，]的最大值和最小值分別為()62112121A1，1B．,?C．，D1，?)2264分）在ABC中，若a2+b2?c2=，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(11A．(2)B．(C．(?，)D．2274分）已知向量a，b|a=4，|b=2，(abb，那么向量a，b的夾角為()A．B．C．D．63361?cos2xsinx84分）函數(shù)f(x)=A．關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖像()B．關(guān)于y軸對稱C．關(guān)于直線x=對稱D．關(guān)于點(diǎn)(，0)對稱294分）設(shè)(,)，則“(?，)”是“sin+cos0”的()44A．充分而不必要條件C．充分必要條件B．必要而不充分條件D．既不充分也不必要條件104分）如圖，正方形ABCD的邊長為2，P為正方形ABCD四條邊上的一個(gè)動點(diǎn)，則PA的取值范圍是()A．[?1，2]B．[0，2]C．[0，4]D．[?1，4]二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。5分）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足zi=1?i，則|z=．3125分）在ABC中，a=3，A=，sinB=b=．33135分）已知長、寬、高分別為，4，5的長方體的八個(gè)頂點(diǎn)均在一個(gè)球的表面上，那么該球的表面積等于．145分）在直角ABC中，斜邊=4，則+=．15．（5分）已知a為常數(shù)，θ∈，2π），關(guān)于θ的方程sin2θcosθa0有以下四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)0時(shí)，方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根；②存在實(shí)數(shù)a，使得方程有4個(gè)實(shí)數(shù)根；③使得方程有實(shí)數(shù)根的a的取值范圍是[1，；④如果方程共有n個(gè)實(shí)數(shù)根，記n的取值集合為，那么1∈，∈M．其中，所有正確結(jié)論的序號是．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角以O(shè)x為始邊，終邊經(jīng)過點(diǎn)(2)．（Ⅰ）求tan的值；（Ⅱ+)的值．417分）如圖，在四棱錐P?ABCD)中，⊥平面ABCD，AD//BC，BAD=90，AD=2BC，E為的中點(diǎn)．（Ⅰ）若2，求四棱錐PABCD的體積；===?（Ⅱ）求證：BC⊥平面；（Ⅲ）求證：EC//平面．211813分）在ABC中，b=27，B=，從①c=2a；②sinA=；③a=2這三個(gè)條件中任選一個(gè)作為題314目的已知條件．（Ⅰ）求sinC的值；（ⅡABC的面積．319分）已知函數(shù)f(x)=2cosxsin(x+)?．32（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；（Ⅱa0，若函數(shù)f(x)在區(qū)間a)上單調(diào)遞增，求a的最大值．20分）如圖，在正方體?ABCD中，AA=2，O為上底面ABCD的中心．111111111（Ⅰ）求證：AO⊥BD；（Ⅱ）求點(diǎn)A到平面1BD的距離；（Ⅲ）判斷棱1上是否存在一點(diǎn)E，使得AO//BE？并說明理由．2115分）設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋琣f(ax)=Tf(x)，則稱函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P．y=x是否具有性質(zhì)P？（結(jié)論不要求證明）2]，其中常數(shù)a1．若存在常數(shù)T0，使得對任意的x，a]，都有（Ⅰ）當(dāng)x，100]時(shí)，判斷函數(shù)y=x2和（Ⅱa=3，函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P，且當(dāng)x，3]時(shí)，f(x)=sin(x)，求不等式f(x)3的解集；6（Ⅲ）已知函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P，f（1）=0，且f(x)的圖像是軸對稱圖形．若f(x)在，a]上有最大值1(A0)，且存在0[a+?1，a]使得f(0)=A，求證：其對應(yīng)的T=1．a(chǎn)參考答案一、選擇題共小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1【解答】解：z=i+i故選：B．2=?1+i對應(yīng)的點(diǎn)(位于第二象限．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題．2a坐標(biāo)，再由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求(a【解答】解：由題設(shè)，a?，=5(+(2=11．．所以(a故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．3【解答】解：，m⊥，n⊥，又//，n⊥．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了空間中的線面關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．4335【解答】解：因?yàn)閏os=，所以sin(?)=?cos=?．52故選：B．【點(diǎn)評】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．52x+的取值范圍，從而由正弦函數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)y=f(x)的最大值和最小值．6【解答】解：因?yàn)閤[0，]，2所以2x+[，]，666所以當(dāng)2x+=，即x=時(shí)，f(x)的最大值為1，62612當(dāng)2x+=，即x=時(shí)，f(x)的最小值為?．66212即f(x)=sin(2x+)，x[0，]的最大值和最小值分別為1，?．62故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)，考查了函數(shù)思想，屬于基礎(chǔ)題．6k的取值范圍．?c2=，【解答】解：a2+b2?c2kabkcosA===．2ab2ab2，?1cosA1，解得?2k2．故實(shí)數(shù)k的取值范圍是(．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了余弦定理和三角函數(shù)的取值范圍，屬基礎(chǔ)題．7a，再利用向量的夾角公式即可求解．【解答】解：因?yàn)閨a=4，|b=2，(a，所以(a所以a，，12所以cosa，b=?，2|a又a，b[0，]，所以a，b故選：C．．3【點(diǎn)評】本題主要考查兩向量夾角的求法，考查向量垂直的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．8f(x)=2sinx，可得函數(shù)為奇函數(shù)，可判斷，求得對稱軸與對稱中心可判斷CD．1?cos2x1??2sin2x)2sinx2【解答】解：f(x)====2sinx，sinxsinxsinxf(?x)=2sin(?x)=2sinx=?f(x)，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，故圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故A正確，B錯(cuò)誤，函數(shù)f(x)的對稱軸為x=k+，kZ，故C錯(cuò)誤；2函數(shù)f(x)的對稱中心為(k,0)，kZ，故D錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)評】本題考查二倍角的余弦公式，以及函數(shù)的奇偶性，對稱軸與對稱中心，屬基礎(chǔ)題．9sin+cos=2+)，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)，以及充分、必要條件的定義，即可求解．4【解答】解：sin+cos=2+)，4當(dāng)(?,)時(shí)，則+(0,)，此時(shí)sin+cos0，充分性成立，444當(dāng)sin+cos0，則+[2k,2k+]且kZ，即[2k?,2k+]且kZ，444,)，(?，)，必要性成立，44故“(?，)”是“sin+cos0”的充分必要條件．44故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)，以及充分、必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題．10P在CD上，點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)P在上，點(diǎn)P在上，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解．【解答】解：建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：則(0,2)，B(2,2)，當(dāng)點(diǎn)P在CD上時(shí)，設(shè)P(x，0)(0則=(x,2),=(x??2)，，所以PA=x(x?2)+4=(x?2+34]；當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，設(shè)P(2，y)(0則PA=(2,y?2),PB=y?2)，，所以PAPB=(y?2)[0,4]；2當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，設(shè)P(x，2)(0則=(x,0),=(x?0)，，所以PA=x(x?2)=(x??1[0]；2當(dāng)點(diǎn)P在上時(shí)，設(shè)P(0，y)(0則=y?2),=(y?2)，，所以PAPB=(y?2)2[0,4]；綜上：PA的取值范圍是[?1，4]．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和取值范圍的問題，屬于中檔題．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分?！窘獯稹拷猓??i?ii?i，z===?1?i，ii2|z=(?2+(?=2．2故答案為：2．【點(diǎn)評】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，以及復(fù)數(shù)模的公式，屬于基礎(chǔ)題．a(chǎn)b12=可求b．sinAsinB33abasinB3【解答】解：由正弦定理得：=，得b===2．sinAsinBsinA32故答案為：2．【點(diǎn)評】本題考查了正弦定理，屬基礎(chǔ)題．13．【分析】因?yàn)殚L方體的對角線為外接球的直徑，由長方體的棱長可得外接球的直徑，代入球的表面積公式，求出其值．【解答】解：因?yàn)殚L方體的對角線為外接球的直徑，設(shè)外接球的直徑為2R，則(2R)4R=50．2=32+42+5=50，即22所以外接球的表面積S4R=2=，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查長方體的對角線與外接球的直徑的關(guān)系，球的表面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14【解答】解：因?yàn)樵谥苯茿BC中，斜邊4，=所以AB+=AC+CB=AB(AC+CB)=AB|AB|=16，故答案為：16．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．15．【分析】利用同名三角函數(shù)將題上方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于θ且含有參數(shù)a的一元二次方程進(jìn)行求解．【解答】解：由于關(guān)于θ的方程sin2θ﹣cos+＝0且θ∈，2π化簡為cos2+cosθ﹣（+1）＝，令＝cos∈[﹣，1]，則2+﹣（a+1）＝0，t+t＝﹣，t?t＝﹣（+1Δ＝4+5．1212對于①：當(dāng)a0時(shí)，Δ＞，cosθ＝θ∈，2π），故θ有2個(gè)值，故①正確．對于②：當(dāng)0時(shí)，若θ∈（﹣11），θ就有兩個(gè)解，又∈[02π），θ可能對應(yīng)有四個(gè)解，故②正確．對于③：令cos＝，∈﹣1，，則（）＝﹣2﹣++1要有實(shí)數(shù)根即：Δ≥0、（﹣1）且（1）；即4a+5≥0、a﹣，即﹣≤a≤﹣1，故③錯(cuò)．對于④：當(dāng)0時(shí)，無實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ0，θ可能有一個(gè)解，θ可能有12個(gè)值；當(dāng)＞0時(shí)，θ可能有兩個(gè)不同的值，則θ可能有234個(gè)值，故④對．故答案為：①②④．【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：同名三角函數(shù)的轉(zhuǎn)化，三角函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，參數(shù)和方程的根的關(guān)系，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題，易錯(cuò)題．三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。16）直接根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義即可求解tan的值，進(jìn)而利用二倍角的正切公式可求tan的值．（Ⅱ）根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義可求sin，cos的值，進(jìn)而利用兩角和的余弦公式即可求解+)的值．4）因?yàn)樵谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，角以O(shè)x為始邊，終邊經(jīng)過點(diǎn)(2)，2所以tan==2，12tan2243所以tan===?；1?tan21?2222551+?5（Ⅱ）由題意可得sin==?，cos==?，(2+(2)2(2(2)2552255210所以+)=cos?sinsin=(?)?(?)=．44452210【點(diǎn)評】本題主要考查了任意角三角函數(shù)的定義和二倍角的正切公式以及兩角和的余弦公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．17(I)由題設(shè)知ABCD為直角梯形，結(jié)合已知求其面積，根據(jù)⊥平面ABCD，知四棱錐P?ABCD的高為，利用體積公式可求四棱錐P?ABCD的體積；(II)由題設(shè)得BC⊥AB，線面垂直的性質(zhì)有PA⊥BC，根據(jù)線面垂直的判定可證結(jié)論；(III)取中點(diǎn)N，連結(jié)EN，CN，通過證平面CEN//平面，可證EC//平面．【解答】解：(I)由AD//BC，BAD=90，知ABCD為直角梯形，又AD=2BC，2，且⊥平面ABCD，===12BC=1，故SABCD=2+2)=3，1四棱錐P?ABCD的體積為23=2；3(II)由題設(shè)知：⊥，而AD//BC，故BC⊥AB，又平面ABCD，BC平面ABCD，PABC，⊥⊥，，面，故BC⊥平面；(III)證明：如圖，取中點(diǎn)N，連結(jié)EN，CN，為的中點(diǎn)，EN//AP，AD=2BC，AN=BC，D，四邊形ABCN是平行四邊形，AB//CN，，BA，平面CEN//平面，平面ENC，CE//平面．【點(diǎn)評】本題考查求空間幾何體的體積，考查線面垂直，線面平乖的證明，屬中檔題．18(I)選①，由余弦定理求出a=2，c=4，再由正弦定理即可求出答案；選②由sinC=sin(A+B)由兩角和的正弦公式代入即可求出答案；選③，由正弦定理求出sinA，再由sinC=sin(A+B)代入兩角和的正弦公式即可求出答案；(II)選①或③，直接由面積公式代入即可得出答案，選②，由正弦定理求出a，再由面積公式即可求得答案．【解答】解：(I)由題知，三角形為鈍角三角形，a2+c2?b2a2+4a2?281選①，由余弦定理得：B===?，解得a=2，c=4，2ac2a2a234cbcsinB2172=，所以sinC===；由正弦定理得：sinCsinBb27215714選②，因?yàn)閟inA=，所以cosA=，1421157143217所以sinC=sin(A+B)=sinAB+AsinB=(?)+=；142232abasinB142=，sinA===，選③由正弦定理得：sinAsinBb2757所以cosA=，1421157143217所以sinC=sin(A+B)=sinAB+AsinB=(?)+=；1422113(II)選①，因?yàn)閍=2，c=4，B=，所以ABC的面積S=acsinB=24=23．32222127abbsinAsinB14選②，由正弦定理得：=，a===2，sinAsinB3211217所以ABC的面積S=absinC=227=23．227選③，因?yàn)閎=27，a=2，sinC=，11217所以ABC的面積S=absinC=227=23．22【點(diǎn)評】本題考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．19Ⅰ）由題意，利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性，得出結(jié)論．（Ⅱ）由題意，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得a的最大值．3）函數(shù)f(x)=2cosxsin(x+)?32133=2cosx(sinx+cosx)?222121+cos2x3=sin2x+3?22=sin(2x+)，3故該函數(shù)的最小正正周期為=．2（Ⅱ），函數(shù)f(x)在區(qū)間a)上單調(diào)遞增，則2x+(，2a+)，2a+，求得0a，33333212故a的最大值為．12【點(diǎn)評】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，屬于中檔題．20(I)連接AB，AD，三角形ABD是等邊三角形，即可證明⊥BD，進(jìn)一步通過//BD，所以11111111AO⊥BD．(II)設(shè)點(diǎn)A到平面1BD的距離為d，所以VA?A,BD=V1?ADB，代入即可得出答案，(III)畫出圖形，得出1B是平行四邊形，再證明不存在即可．【解答】證明：(I)連接AB，AD，因?yàn)锳B=AD，O為BD的中點(diǎn)，111111所以⊥BD，又因?yàn)?/BD，所以AO⊥BD．1111解：(II)設(shè)點(diǎn)A到平面1的距離為d，所以VA?1BD=V1?ADB,1131233所以Sd=SABDAA1，則(4+4)2d=222．所以d=．1BD4233233所以A到平面1的距離為．(III)不存在，如下圖，作一個(gè)相同的正方體?BC，11取O為上底面BCGH的中心，連接OO，OB，易知AOOB是平行四邊形，111111所以AO//OB，而OB與相交，11所以棱1上不存在一點(diǎn)E，使得AO//BE．【點(diǎn)評】本題考查點(diǎn)到面的距離，考查學(xué)生的空間想象能力及運(yùn)算能力，屬于中檔題．21Ⅰ）由函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P判斷即可；（Ⅱ）若a=3，函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P，當(dāng)x，3]時(shí)，f(x)=sin(x)，可確定T的值，再利用性質(zhì)P求出f(x)6在x，9]上的解析式，按分段函數(shù)解不等式即可；（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)f(x)具有性質(zhì)P，且函數(shù)圖像是軸對稱圖形，在區(qū)間，a]上有最大值(A0)，分別討論0T1，T1時(shí)，函數(shù)的最值情況，得出矛盾，