2022北京海淀區(qū)高一下學期期末數(shù)學試題和答案

2022北京海淀高一（下）期末數(shù)學一、選擇題共10小題，每小題440分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1．已知正四棱錐的底面邊長為23，則它的體積為()A．2B．4C．6D．122．向量a=，b2)，則=|a?b=()A．4B．C．4D．133．將函數(shù)f(x)=sin2x的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)f(x)=sin(2x?3)的圖象，則的最小值是()A．B．C．D．D．63364．cos=()126?26+23+22?6A．B．C．44445．已知直線m和平面，，則下列四個命題中正確的是()A．若⊥，m，則m⊥C．若//，m/，則m//B．若m/，m//，則//D．若//，m⊥，則m⊥6．函數(shù)ysin=2x的最小正周期與其圖象的對稱中心分別是(1)A．,(k+,)(kZ)B．,(k+,0)(kZ)424k1kC．,(+,)(kZ)D．,(+,0)(kZ)242247．已知向量a，b是兩個單位向量，則“a，b為銳角”是“|a?b2”的()A．充分不必要條件C．充分必要條件B．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件8．已知函數(shù)f(x)=2sinx在區(qū)間[?,]上的最小值為2，則的取值范圍是()3499A．(?,?]B．(?,?]22C．(，?2]，+)D．(?,2]5?19．底與腰（或腰與底）之比為黃金分割比()的等腰三角形稱為黃金三角形，其中頂角為的黃金三角形被2認為是最美的三角形．據(jù)此可得216的值是()4+51+53+51?25A．B．?C．?D．848410．在ABC中，aA=bB，則的形狀是()A．等腰直角三角形B．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形二、填空題共5小題，每小題420分。．已知圓柱的底面半徑為12，則其側(cè)面積為．12．向量a=(2,?，b=(2,t)，ata?b)，則實數(shù)t=．13．在正方形ABCD中，E是的中點，則(BE+CE)BC=．14．函數(shù)f(x)=3sinx?cos(x?)，x[?,]的值域是22．315．如圖，在棱長為1的正方體ABCD?ABCD中，E是棱上的一個動點，給出下列四個結(jié)論：11111①三棱錐11的體積為定值；?②存在點E，使得1D⊥平面BED；1③對每一個點E，在棱上總存在一點P，使得AP//平面1；6④M是線段BC上的一個動點，過點A的截面垂直于，則截面的面積的最小值為．112其中所有正確結(jié)論的序號是．三、解答題共4小題，共40分。解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程。169分）如圖，在四棱錐P?ABCD中，BC//平面，ADBC，E，F(xiàn)，H，G分別是棱，，，的中點，（Ⅰ）求證：//AD；（Ⅱ）判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說明理由．33141710中，bcosA+a=2c，c=8，sinA=．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）求的面積．18分）如圖，在直棱柱ABCD?ABCD中，底面ABCD是菱形，=2，=，=a，E，F(xiàn)11111分別是棱，1的中點．（Ⅰ）求證：C；⊥（Ⅱ）求證：EF//平面1；（Ⅲ）是否存在正數(shù)a，使得平面1BC平面⊥A1？若存在，求a的值；若不存在，說明理由．19分）若點(x，y)在函數(shù)f(x)的圖象上，且滿足yf(y)，則稱x0是f(x)的點．函數(shù)f(x)的所有0000點構(gòu)成的集合稱為f(x)的集．（Ⅰ）判斷是否是函數(shù)f(x)=x的點，并說明理由；3（Ⅱ）若函數(shù)f(x)sin(x=+0)的集為，求R的最大值；（Ⅲ）若定義域為R的連續(xù)函數(shù)f(x)的集D滿足D，求證：{x|f(x)=．選做題：（本題滿分0分。所得分數(shù)可計人總分，但整份試卷得分不超過10020．正弦信號是頻率成分最為單一的信號，復雜的信號，例如電信號，都可以分解為許多頻率不同、幅度不等的正+Vt)表示正弦弦型信號的疊加．正弦信號的波形可以用數(shù)學上的正弦型函數(shù)來描述：Vt)Asin(2ft=)，其中信號的瞬時大小電壓V（單位：V)是關(guān)于時間t（單位：s)的函數(shù)，而A0表示正弦信號的幅度，是正弦信號f1的頻率，相應的T=為正弦信號的周期，為正弦信號的初相．由于正弦信號是一種最簡單的信號，所以在電路f系統(tǒng)設(shè)計中，科學家和工程師們經(jīng)常以正弦信號作為信號源（輸入信號）去研究整個電路的工作機理．如圖是一種典型的加法器電路圖，圖中的三角形圖標是一個運算放大器，電路中有四個電阻，電阻值分別為R，R，R，R1234（單位：1(t)和Vt)2是兩個輸入信號，Vt)0表示的是輸出信號，根據(jù)加法器的工作原理，Vt)與V(t)和Vt0124RVt)+RVt)2112的關(guān)系為：ot)=+)3．R+21例如當R1=234===，輸入信號1t)=sint2t)=cost，時，輸出信號：11sint+1costVt)=+)=sint+cost．o1+11（Ⅰ）若R2341，輸入信號====Vt)=sintVt)=cost，，則Vt)的最大值為0；112（Ⅱ）已知2=3=24=1，，，輸入信號Vt)=sin(t+1)，Vt)=cos(t+2)．若Vt)=At+o)（其633中A0)則R=1；3（Ⅲ）已知31，=4=02R，，且Vt)=sintVt)=2t，．若Vt)的最大值為，則滿足條件01122的一組電阻值R，R分別是．12參考答案一、選擇題共10小題，每小題440分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1P?ABCD中，=2，=3，利用體積公式求出該正四棱錐的體積．【解答】解：如圖，正四棱錐P?ABCD中，2，==3，131所以P?ABCD故選：B．=SABCD=223=4．3【點評】本題考查正四棱錐的體積的求法，考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力以及應用意識，考查數(shù)形結(jié)合思想等，是中檔題．2a?b的坐標，再由模的坐標運算求解即可．【解答】解：因為向量a=，b=2)，所以a2?4)，所以|ab|4．?故選：C．【點評】本題主要考查向量的坐標運算，及模的運算，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．3【解答】解：將將函數(shù)f(x)sin2x的圖象向右平移個單位長度后，=得到函數(shù)y=sin2(x?)=sin(2x?)=sin(2x?)，3所以=?+2k，kZ，即=?2k+kZ，，36當k0時，取得最小值為=．6故選：A．【點評】本題主要考查三角函數(shù)圖象的變換，誘導公式的應用，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．412326?2【解答】解：故選：A．=?)=?cos(+)=?(?)=．12123422224【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的變換，三角函數(shù)的誘導公式，三角函數(shù)的值，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎(chǔ)題．5【解答】解：對于A選項，若⊥，m，則m可能與平行，故錯誤；A對于B選項，若m/，m//，則，可能平行或者相交，則C錯誤；對于C選項，若//，m/，則m可能與平行或者在平面內(nèi)，故B錯誤；對于D選項，由面面平行以及線面垂直的性質(zhì)可知，D正確；故選：D．【點評】本題主要考査了直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．6性整體代換即可求解．1?cos2x【解答】解：因為y=sin2x=，2所以函數(shù)的最小正周期為T==，2k令2x=k+，kZ，解得x=+,kZ，224k1所以函數(shù)的對稱中心為(+，)，kZ，242故選：C．【點評】本題考查了三角函數(shù)的周期性和對稱性，考查了余弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．7【解答】解：向量a，b是兩個單位向量，由a，b為銳角可得cosa|a，，反過來，由|a?b2兩邊平方可得a2ab?+b2，2?2cosa,b2，a,b0，a,b[0,)，a，b不一定為銳角，2故“a，b為銳角是的充分不必要條件，“|a?b2””故選：A．【點評】本題考查充分與必要條件的概念，平面向量數(shù)量積的定義與性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．8x的范圍求出x的范圍，根據(jù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[?,]上的最小值為2，可得到?，343232即，然后對分大于00兩種情況討論最值可確定答案．0時，?【解答】解：當，3432由題意知?，即，32當0時，x?，43，即，由題意知42綜上知，的取值范圍是(?,2]故選：D．．【點評】本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性和最值問題．考查三角函數(shù)基礎(chǔ)知識的掌握程度，三角函數(shù)是高考的一個重要考點一定要強化復習．9cos72的值，然后利用二倍角公式，誘導公式求解即可．【解答】解：由題意可知：把頂角為的等腰三角形稱為黃金三角形，它的底和腰之比為黃金分割比5?10.618，該三角形被認為是最美的三角形．215?12如圖，則可得：B=5?1=，4可得cos72=，cos72=2cos236?145?1即2cos236?1=，425+65+1所以236==()2，4245+1所以cos36=，45+1所以cos216=+36)=?cos36=?故選：B．．4【點評】本題考查二倍角公式，誘導公式在三角函數(shù)化簡求值中的應用，屬于基礎(chǔ)題．10sin2A=sin2B，進一步利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換求出結(jié)果．【解答】解：利用正弦定理：aAbB轉(zhuǎn)換為=sinAA=sinBB，整理得sin2Asin2B，=故2A=2B或2A+2B=；所以AB或=A+B=；2故三角形為等腰三角形或直角三角形．故選：D．【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)的關(guān)系式變換，正弦定理的應用，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于中檔題．二、填空題共5小題，每小題420分。【解答】解：圓柱的底面半徑為12，則其側(cè)面積為S=12=．故答案為：4．【點評】本題考查圓柱的結(jié)構(gòu)特征、圓柱的側(cè)面積等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．a(chǎn)⊥ta?b)12ta?b=(2tt)，然后根據(jù)??可得出t的值．【解答】解：tat?t)，a，23ata?b)=2(2t?2)+t=0，解得t=．2故答案為：．3【點評】本題考查了向量坐標的減法、數(shù)乘和數(shù)量積的運算，向量垂直的充要條件，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．13【解答】解：如圖(CE)(CE)(EC)(CE)(CE)CE，+=++=+?=?因為|||CE|，所以(+CE)=0=；故答案為：．【點評】本題主要考查平面向量數(shù)量積的運算，屬于基礎(chǔ)題．14．【分析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進一步利用函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域．1331【解答】解：f(x)=3sinx?cos(x?)=3sinx?x?sinx=sinx?x=sin(x?)；322226由于x[?,]，22,]，所以x?[?6333故f(x)[?]．23故答案為：[?]．2【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎(chǔ)題．215．【分析】對于①，由//，得AA//平面BBD，從而點E到平面BBD的距離為h=，再由11111112122S=BD=，由此能求出三棱錐B?的體積為定值；對于②，當E為棱的中點時，取BD1D111111121的中點為F，連接，推導出EF⊥1D，由正方體性質(zhì)得BD⊥BDEBD⊥不成立，從而不存在點，使得1平面11BED，故；對于③，當E與點A重合時，無論點P在何位置，直線與平面BED相交；對于④，推導出11C⊥DM，由余弦定理、截面面積能求出結(jié)果．【解答】解：對于①，如圖，在棱長為1的正方體ABCD?ABCD中，1111//，平面BBD，平面BBD，AA//平面BBD，111111111112點E是棱AA1上的一個動點，點E到平面1D的距離為h=，12122S=BD=，1D1112111三棱錐B?的體積V=Sh=，故①正確；1124對于②，當E為棱的中點時，取BD的中點為F，連接，如圖，11則EF//AC，又，⊥⊥，BD，1⊥1BBD11B⊥1D，平面，又平面，11由正方體性質(zhì)得B是矩形，不是正方體，11⊥BDEF不成立，又，11不存在點E，使得BD⊥平面BED，故②錯誤；11對于③，當E與點A重合時，無論點P在何位置，直線與平面1相交，故③錯誤；對于④，根據(jù)題意，作圖如下，正方體ABCD?ABCD中，AC⊥平面，AC⊥DM，1111111設(shè)Gx，則=AG=1+x12，CG=?x)2+1，1+x2+x2?2x+2?3x2?x則△AGC中，AGC==，1121+x2x2?2x+21+x2x?2x+22x2?x2x2?2x+2sin=1?()2=，1+x2x2?2x+21+x22x?2x+221134則該截面面積S=2AGCGsinAGC=2x?2x+2=2(x?)2+，112216，，當x=時，Smin=，故④正確．22故答案為：①④．【點評】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題．三、解答題共4小題，共40分。解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程。16(I)利用線面平行的性質(zhì)定理進行證明即可，(II)證明//FH，且，即可證明直線與直線的位置關(guān)系．【解答】證明：(I)因為BC//平面，平面證明：(II)直線與直線相交．理由如下：連接，，，，如圖所示，ABCD，平面ABCDPAD=AD平面，所以//AD．1因為E，G分別是，的中點，所以是的中位線，所以//AD，且，=2因為F，H分別是，的中點，所以是的中位線，1所以//，且FH=BC，2因為//AD，所以//FH，因為ADBC，所以，所以四邊形EFHG是梯形，所以直線與直線相交．【點評】本題考查線面平行，考查學生的推理能力，屬于中檔題．17Ⅰ）利用正弦定理，兩角和的正弦，即可解出；（Ⅱ）由正弦定理以及三角形面積公式，即可解出．Ⅰ）由正弦定理可得，2sinBAsinA2sinC，+=C=，2sinBA+sinA=2sin(A+B)=2sinAB+2AsinB，1B=，，2)B=；3331412（Ⅱ）sinA=，B=，30AcosA=，，61314437sinC=sin(A+B)=sinAB+AsinB=，c14332R==，sinC14333a=2RsinA==3，314113SABC=acsinB=38=63．222【點評】本題考查了解三角形，正余弦定理，面積公式，學生的數(shù)學運算能力，屬于基礎(chǔ)題．18(I)根據(jù)線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理證明；(II)根據(jù)線面平行的判定定理證明；(III)假設(shè)存在正數(shù)a，使得平面ABC⊥平面A，根據(jù)面面垂直的判定定理得⊥，在直角三角形BOD11中，由BO2+2=2，得a=0a與已知為正數(shù)矛盾，進而得證．【解答】(I)證明：如圖，連接，因為底面ABCD是菱形，所以，直棱柱⊥ABCD?ABCD中，AA1⊥平面ABCD，11111111所以AA1⊥，且AA，所以平面⊥A，11所以C；⊥(II)證明：取AD的中點M，連接、，則為三角形A的中位線，11111所以//AD且=AD，又因為AD//BC且AD=BC，111111111111221又BE//BC且=BC，所以//BE且，=11112所以四邊形為平行四邊形，A平面1所以//，EF平面，，所以EF//平面A；11解：(III)不存在正數(shù)a，使得平面ABC⊥平面A，證明如下：11因為⊥平面AB，所以⊥AB，11在直角△A中，AB=a2+4,CB=2，所以C=a+8，211假設(shè)存在正數(shù)a，使得平面ABC⊥平面A，如圖，11過B作⊥AC且與AC交于O點，連接，平面ABC平面A=，11111BC2a2+42a+42所以⊥平面A，所以⊥，在直角△A中，==，同理=，11a2+82a+8因為底面ABCD是菱形，2，==，所以=2，2a2+4+82a2+4+8在直角三角形BOD中，BO+22=2，得()2+()2=4，a2a2化簡得a0與已知為正數(shù)矛盾，所以不存在正數(shù)，使得平面=aaABC⊥1平面A．1【點評】本題考查線面垂直，考查學生的分析能力，屬于中檔題．19(I)直接求出y=3，再判斷出f(y)0，即可得到y(tǒng)f(y)0，即可得到結(jié)論；0000(II)先說明，若，則T2，由題設(shè)得到T，推出矛盾，再說明的值可以等于，令=0，利用三角函數(shù)的值域加以證明即可；(III)由題設(shè)知，必存在xR，使得f(x)f(y)0，結(jié)合零點存在定理說明函數(shù)f(x)必存在零點，即可證明．000【解答】解：(I)不是函數(shù)f(x)=x的點，3理由如下：設(shè)0=，則y0=tan=3,f(y0)=tan3，33因為3，所以f(0)=tan30，所以0f(y0)0，2所以不是函數(shù)f(x)=x的點；3(II)先證明，若，則函數(shù)f(x)的最小正周期T=2，因為函數(shù)f(x)sin(x=+0)的集為R，所以對xR，x是f(x)的零點，00令0f(0)，則=yf(y)00，因為函數(shù)f(x)=x+0)的值域為[?1，，所以當y[0，時，必有f(y)，00即f(x)sin(x=+)x[0對于，恒成立，T所以，即f(x)的最小正周期T，與T2矛盾；2再證明的值可以等于，令f(x)sinx，對xR，=0當y=f(x)[0，時，f(y)[0，，yf(y)；00000當y=f(x)[?1，0]時，f(y)[1，0]，yf(y)，00000所以x0是f(x)的點，即函數(shù)f(x)=x+0)的集為R，綜上所述，的最大值是；(III)因為函數(shù)f(x)的集D滿足DR，所以存在0R，使得y=f(x)yf(y)0且，即f(x)f(y)0，000000因為若0y0，則因為函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，不妨設(shè)xy，由零點存在定理知，必存在x(0，0=f(x)f(y)=(f(y2，所以xy，00000y)f(1)=0使得，001所以f(x)存在零點，即{x|f(x)=．【點評】本題考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查學生的運算能力，屬于難