專題03 圓中最值之一箭穿心、瓜豆原理與相切（原卷版）

專題03圓中最值之一箭穿心、瓜豆原理與相切一箭穿心得最值圓外一定點A到圓上一動點P的距離最值，分兩種情況：（核心---AP所在直線過圓心）瓜豆原理之圓一、模型：A為圓外一定點，當點P在圓O上運動時，則AP中點M（如上圖）的運動軌跡為：以AO中點O’為圓心，O‘M為半徑的圓。二、模型結論：1.軌跡：點M的軌跡是個圓。2.圓心：O'是AO的中點。3.O’M=1三、模型的五種常考圖典例分析典例分析：典例1如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，P是△ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足PA⊥PB，則PC的取值范圍為5-1≤PC≤5典例1解題思路：據(jù)條件可知線段AB是定值且AB所對的張角∠APB是定值，根據(jù)直徑所對圓周角為直角可知，動點P的運動軌跡在過點A、B、P三點的圓周上（不與A、B重合），（隱圓）連接CO并延長交圓O分別為P1、P2，PC的在P1C最小，P2C最大，（一箭穿心）答案詳解：解：∵PA⊥PB，即∠APB＝90°，AB＝BC＝2，∴點P在以AB為直徑、AB的中點O為圓心的⊙O上，如圖，連接CO交⊙O于點P1，并延長CO交⊙O于點P2，∵BO=12AB＝1、BC＝2，∠ABC＝∴CO=B當點P位于點P1時，PC的長度最小，此時PC＝OC﹣OP=5-當點P位于點P2時，PC的長度最大．此時PC＝OC+OP=5+∴5-1≤PC≤5所以答案是：5-1≤PC≤5典例2如圖，已知線段OP交⊙O于點B，且OB＝PB＝4，點A是⊙O上的一個動點，那么點B到直線AP距離的最大值為2典例2試題分析：如圖，過點B作BH⊥AP于H，過點O作OT⊥AP于T．利用三角形中位線定理證明BH=12OT，求出答案詳解：解：如圖，過點B作BH⊥AP于H，過點O作OT⊥AP于T．∵∠BHP＝∠OTB＝90°，∴BH∥OT，∵BP＝OB，∴TH＝HP，∴BH=12當PA與⊙O相切時，OT＝4，此時BH的值最大，最大值為2，所以答案是：2．實戰(zhàn)訓練實戰(zhàn)訓練一．最值之一箭穿心類1．如圖，菱形ABCD邊長為4，∠A＝60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C的最小值是（）A．23 B．3+1 C．27-2 D2．如圖，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，以A為圓心，1為半徑畫⊙A，E是圓⊙A上一動點，P是BC上一動點，則PE+PD最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．233．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，P是△ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足PA⊥PB，則PC的取值范圍為．二．最值之瓜豆原理4．如圖，在直角坐標系中，⊙A的半徑為2，圓心坐標為（4，0），y軸上有點B（0，3），點C是⊙A上的動點，點P是BC的中點，則OP的范圍是．5．如圖，等邊△ABC中，AB＝2，點D是以A為圓心，半徑為1的圓上一動點，連接CD，取CD的中點E，連接BE，則線段BE的最大值與最小值之和為．6．如圖，已知A（6，0），B（4，3）為平面直角坐標系內(nèi)兩點，以點B圓心的⊙B經(jīng)過原點O，BC⊥x軸于點C，點D為⊙B上一動點，E為AD的中點，則線段CE長度的最大值為．7．如圖，A是⊙B上任意一點，點C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等邊三角形，則△BCD的面積的最大值為（）A．43+4 B．4 C．43+8 D三．最值之相切類8．如圖，等邊三角形ABC的邊長為4，⊙C的半徑為3，P為AB邊上一動點，過點P作⊙C的切線PQ，切點為Q，則PQ的最小值為（）A．3 B．23 C．32 D．199．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，點D為線段BC上一動點．以CD為⊙O直徑，作AD交⊙O于點E，連BE，則BE的最小值為（）A．6 B．8 C．10 D．1210．如圖，已知⊙O的直徑AB為8，點M是⊙O外一點，若MB是⊙O的切線，B為切點，且MB＝3，Q為⊙O上一動點，則MQ的最小值為．11．如圖，△ABC中，AB＝10，BC＝8，AC＝6，點P在線段AC上，以P為圓心，PA長為半徑的圓與邊AB相交于另一點D，點Q在直線BC上，且DQ是⊙P的切線，則PQ的最小值為．12．如圖所示，在R