專(zhuān)題06 巧作輔助線(xiàn)構(gòu)造全等形（原卷版）

專(zhuān)題06巧作輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等形【典例解析】【例1】（2020·江蘇江都月考）問(wèn)題背景：如圖1：在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°．探究圖中線(xiàn)段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G．使DG＝BE．連結(jié)AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；實(shí)際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，1.5小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．【變式1-1】（2020·重慶巴南月考）(1)問(wèn)題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F(xiàn)分別是BC,CD上的點(diǎn)，且∠EAF=60°，探究圖中線(xiàn)段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG=BE，連結(jié)AG，先證明ΔΔADG，再證明ΔΔAGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是．(2)探索延伸：如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，∠EAF=∠BAD，上述結(jié)論是否依然成立？并說(shuō)明理由．【變式1-2】（2019·山東嘉祥·初二期中）現(xiàn)閱讀下面的材料，然后解答問(wèn)題：截長(zhǎng)補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種常見(jiàn)輔助線(xiàn)的做法．在證明線(xiàn)段的和、差、倍、分等問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用．截長(zhǎng)法：在較長(zhǎng)的線(xiàn)段上截一條線(xiàn)段等于較短線(xiàn)段，而后再證明剩余的線(xiàn)段與另一段線(xiàn)段相等．補(bǔ)短法：就是延長(zhǎng)較短線(xiàn)段與較長(zhǎng)線(xiàn)段相等，而后證延長(zhǎng)的部分等于另一條線(xiàn)段．請(qǐng)用截長(zhǎng)法解決問(wèn)題（1）（1）已知：如圖1等腰直角三角形中，，是角平分線(xiàn)，交邊于點(diǎn)．求證：．圖1請(qǐng)用補(bǔ)短法解決問(wèn)題（2）（2）如圖2，已知，如圖2，在中，，是的角平分線(xiàn)．求證：．圖2【例2-1】（2020·唐山市豐南區(qū)）如圖，在△ABC中，AC=5，中線(xiàn)AD=7，則AB邊的取值范圍是()A． B．C． D．【例2-2】（2020·余干縣月考）（1）閱讀理解：課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：在△ABC中，AB＝9，AC＝5，求BC邊上的中線(xiàn)AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法（如圖1）：①延長(zhǎng)AD到Q，使得DQ＝AD；②再連接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得4<AQ<14，則AD的取值范圍是_____________．感悟：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線(xiàn)”等條件，可以考慮倍長(zhǎng)中線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形，把分散的己知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中．（2）請(qǐng)你寫(xiě)出圖1中AC與BQ的位置關(guān)系并證明．（3）思考：已知，如圖2，AD是△ABC的中線(xiàn)，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠FAC＝90°．試探究線(xiàn)段AD與EF的數(shù)量和位置關(guān)系，并加以證明．圖1圖2【變式2-1】（2019·山西模考）閱讀材料，解答下列問(wèn)題．如圖1，已知△ABC中，AD為中線(xiàn)．延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使DE=AD．在△ADC和△EDB中，AD=DE，∠ADC=∠EDB，BD=CD，所以，△ACD≌△EBD，進(jìn)一步可得到AC=BE，AC//BE等結(jié)論．圖1圖2在已知三角形的中線(xiàn)時(shí)，我們經(jīng)常用“倍長(zhǎng)中線(xiàn)”的輔助線(xiàn)來(lái)構(gòu)造全等三角形，并進(jìn)一步解決一些相關(guān)的計(jì)算或證明題．解決問(wèn)題：如圖2，在△ABC中，AD是三角形的中線(xiàn)，點(diǎn)F為AD上一點(diǎn)，且BF=AC，連結(jié)并延長(zhǎng)BF交AC于點(diǎn)E，求證：AE=EF．【變式2-2】（2020·北京朝陽(yáng)期末）閱讀下面材料：數(shù)學(xué)課上，老師給出了如下問(wèn)題：如圖，AD為△ABC中線(xiàn)，點(diǎn)E在AC上，BE交AD于點(diǎn)F，AE＝EF．求證：AC＝BF．經(jīng)過(guò)討論，同學(xué)們得到以下兩種思路：思路一如圖①，添加輔助線(xiàn)后依據(jù)SAS可證得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以進(jìn)一步證得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，從而證明結(jié)論．圖①思路二如圖②，添加輔助線(xiàn)后并利用AE＝EF可證得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依據(jù)AAS可以進(jìn)一步證得△ADC≌△GDB，從而證明結(jié)論．圖②完成下面問(wèn)題：（1）①思路一的輔助線(xiàn)的作法是：；②思路二的輔助線(xiàn)的作法是：．（2）請(qǐng)你給出一種不同于以上兩種思路的證明方法（要求：只寫(xiě)出輔助線(xiàn)的作法，并畫(huà)出相應(yīng)的圖形，不需要寫(xiě)出證明過(guò)程）．【例3-1】（2020·華中科技大學(xué)附屬中學(xué)月考）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＋∠BDC=180°．（1）求證：AD為∠BDC的平分線(xiàn)；（2）若∠DAE=∠BAC，且點(diǎn)E在BD上，直接寫(xiě)出BE、DE、DC三條線(xiàn)段之間的等量關(guān)系_______．【例3-2】（2020·無(wú)錫市胡埭中學(xué)月考）如圖，BD是△ABC的外角∠ABP的角平分線(xiàn)，DA＝DC，DE⊥BP于點(diǎn)E，若AB＝5，BC=3，則BE的長(zhǎng)為_(kāi)____________【變式3-1】（2020·江蘇江都月考）如圖，點(diǎn)P為定角∠AOB的平分線(xiàn)上的一個(gè)定點(diǎn)，且∠MPN與∠AOB互補(bǔ)．若∠MPN在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，其兩邊分別與OA，OB相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：（1）PM＝PN恒成立，（2）OM＋ON的值不變，（3）四邊形PMON的面積不變，（4）MN的長(zhǎng)不變，其中正確的為_(kāi)_________（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)結(jié)論前面的序號(hào)）．

【變式3-2】（2020·四川達(dá)州期末）已知：如圖，BD為△ABC的角平分線(xiàn)，且BD=BC，E為BD延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，BE=BA，過(guò)E作EF⊥AB，F(xiàn)為垂足．下列結(jié)論：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=AE=EC；④BA+BC=2BF；其中正確的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【變式3-3】（2020·四川成都開(kāi)學(xué)考試）如圖，AD是ABC的角平分線(xiàn)，DF⊥AB，垂足為F，DE＝DM，△ADM和△AED的面積分別為58和40，則EDF的面積為（）A．11 B．10 C．9 D．8【變式3-4】（2020·內(nèi)蒙古扎魯特旗期末）已知∠BAC的平分線(xiàn)與BC的垂直平分線(xiàn)DG相交于點(diǎn)D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，（1）連接CD、BD，求證：△CDF≌△BDE；（2）若AE＝5，AC＝3，求BE的長(zhǎng)．【習(xí)題專(zhuān)練】1.（2020·南部縣月考）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若∠AEB=∠CED=90°，AE=BE，CE=DE=2，則圖中陰影部分的面積等于__________．2.（2020·江蘇泰州月考）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，則四邊形ABCD的面積為_(kāi)____．3.（2020·啟東市月考）P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠PBC＝30°，∠PBA＝8°，且∠PAB＝∠PAC＝22°，則∠APC的度數(shù)為_(kāi)____．4.（2020·四川成華期末）（1）如圖1，在ABC中，AB=4，AC=6，AD是BC邊上的中線(xiàn)，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使DE=AD，連接CE，把AB，AC，2AD集中在ACE中，利用三角形三邊關(guān)系可得AD的取值范圍是；（2）如圖2，在ABC中，AD是BC邊上的中線(xiàn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，且DE⊥DF，求證：BE+CF＞EF；（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠A為鈍角，∠C為銳角，∠B+∠ADC=180°，DA=DC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，AB上，且∠EDF=∠ADC，連接EF，試探索線(xiàn)段AF，EF，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．5．（2020·武漢市期中）在中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，分別在AB，AC上．且DE⊥DF，連EF．（1）如圖1，AB=AC，∠BAC=90°，求證：∠DEF=45°；（2）如圖2，求證：BE+CF＞EF．圖1圖26.（2020·北京海淀期中）已知，如圖：AD是△ABC的中線(xiàn)，AE⊥AB，AE=AB，AF⊥AC，AF=AC，連結(jié)EF．試猜想線(xiàn)段AD與EF的關(guān)系，并證明.7.（2020·四川成都）已知，如圖AD為△ABC的中線(xiàn)，分別以AB和AC為一邊在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，且AE＝AB，AF＝AC，連接EF，∠EAF+∠BAC＝180°（1）如圖1，若∠ABE＝63°，∠BAC＝45°，求∠FAC的度數(shù)；（2）如圖1請(qǐng)?zhí)骄烤€(xiàn)段EF和線(xiàn)段AD有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；（3）如圖2，設(shè)EF交AB于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)R，延長(zhǎng)FC，EB交于點(diǎn)M，若點(diǎn)G為線(xiàn)段EF的中點(diǎn)，且∠BAE＝70°，請(qǐng)?zhí)骄俊螦CB和∠CAF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．8.（2020·湖北黃石期末）如圖1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延長(zhǎng)線(xiàn)上．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）圖中與∠DBE相等的角有：；（2）直接寫(xiě)出BE和CD的數(shù)量關(guān)系；（3）若△ABC的形狀、大小不變，直角三角形BEC變?yōu)閳D2中直角三角形BED，∠E＝90°，且∠EDB＝∠C，DE與AB相交于點(diǎn)F．試探究線(xiàn)段BE與FD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．9．（2020·江蘇泰州月考）如圖，△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，DE⊥AB于E，DH⊥AC于H，且滿(mǎn)足DE=DH，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，G為直線(xiàn)AC上一動(dòng)點(diǎn)，滿(mǎn)足DG＝DF，若AE=4cm，則AG=_____cm．10.（2020·黃石經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)月考）如圖，A(－t，0)、B(0，t)，其中t＞0，點(diǎn)C為OA上一點(diǎn)，OD⊥BC于點(diǎn)D，且∠BCO=45°＋∠COD(1)求證：BC平分∠ABO(2)求