2024屆湖南省邵陽市高三年級上冊一模數(shù)學(xué)試題及答案

2024年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題卷

數(shù)學(xué)

本試卷共4頁，22個小題.滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級、考號填寫在答題卡上.將條形碼橫貼在答題卡上“條形

碼粘貼區(qū)

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑：

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)

位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上

要求作答無效.

4.保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，只交答題卡，試題卷自行保存.

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的）

1.已知集合〃={xlx=4〃,〃eN},8={3,4,8,9},則集合4cB的元素個數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

2.下列各式的運算結(jié)果不是純虛數(shù)的是（）

A.（l+i）2B.（l-i）2

l-i

C.—D.（l+i）4

1+1

3.命題“土￡1<X2-4'+6<0”的否定為（）

A.GR,x2-4x+6>0B.3xGR,x2-4x+6?0

C.VXGR,x2-4x+6<0D.VxeR,x2-4x+6...0

4.若拋物線一二2勿（2>0）上一點/（〃,6）到焦點的距離是4p,則P的值為（）

12767

A.—B.—C.-D.一

71276

5.如圖所示，四邊形是正方形，",N分別8C,OC的中點，若方=幾而+〃麗,則

22-4的值為（)

6.苗族四月八日“姑娘節(jié)”是流傳于湖南省綏寧縣的民俗活動，國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一.假設(shè)在即將舉辦的

"姑娘節(jié)''活動中，組委會原排定有8個“歌舞”節(jié)目，現(xiàn)計劃增加2個“對唱”節(jié)目.若保持原來8個節(jié)目的相對

順序不變，則不同的排法種數(shù)為（）

A.56B.90C.110D.132

7.已知函數(shù)/(x)=2sin|在

0,五a上單調(diào)遞增，在互。，§兀上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范

I61

圍為（

7677889

A.0,—JtB.一兀,一無C.-71,一nD.一無,一n

17171717171717

8.設(shè)q=包=亞,c=￡，則a,b,c的大小關(guān)系為()

8756

A.a<c<bB.a<h<c

C.h<a<cD.c<a<h

二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）

9.設(shè)點P（xj）為圓。:/+歹2=1上一點，已知點4（4,0）,5（5,0）,則下列結(jié)論正確的有（）

A.x+y的最大值為J5

B.x2+y2一4x—4y的最小值為8

c.存在點p使歸B|=J5|/訓(xùn)

D.過/點作圓。的切線，則切線長為店

10.下列說法正確的有

A.將總體劃分為2層，通過分層隨機抽樣，得到兩層的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為I，兀和且

X]=，則總體方差S?=g+s；)

B.在研究成對數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系時，相關(guān)關(guān)系越強，相關(guān)系數(shù)卜|越接近于1

C.已知隨機變量X?若P(xNl)+P(xN5)=l,則〃=3

D.己知一組數(shù)據(jù)為50,40,39,45,32,34,42,37,則這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為39

11.如圖所示，已知正四棱柱NBC?！?與G。中，=4,48=2,￡為幺4的中點，則()

A.QE〃平面4C4

B.Z)￡_L平面2GE

C.P為棱4用上任一點，則三棱錐C-PDE的體積為定值

7T

D.平面。CE截此四棱柱的外接球得到的截面面積為石

X

12.已知函數(shù)/(x)與其導(dǎo)函數(shù)g(x)的定義域均為R,且/(x-l)和g(2x+l)都是奇函數(shù)，且g(0)=；,

則下列說法正確的有()

A.g(x)關(guān)于x=-l對稱關(guān)于(1,0)對稱

12

C.g(x)是周期函數(shù)D.?>g(2i)=4

/=1

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.(|+-Ip的展開式中x2的系數(shù)為.

14.已知數(shù)列｛4｝的首項為2,%+a“+|=2〃+1(〃eN*),則％°=.

1f7T71|

15.已知cos6cos2ecos4e=—,。引一,一，則2cos?4?！猚os6=.

8174)

16.已知橢圓和雙曲線有相同的焦點片，鳥，它們的離心率分別為e”e2,點尸為它們的一個交點，且

cos/FFB=一；?當(dāng)e；+七最取最小值時,e；的值為.

四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（10分）現(xiàn)有兩臺車床加工同一型號的零件.第1臺車床的正品率為95%,第2臺車床的正品率為

93%,將加工出來的零件混放在一起.已知第1,2臺車床加工的零件數(shù)分別為總數(shù)的60%,40%.

（1）從混放的零件中任取1件，如果該零件是次品，求它是第2臺車床加工出來的概率；

（2）從混放的零件中可放回抽取10次，每次抽取1件，且每次抽取均相互獨立.用X表示這10次抽取的零

件是次品的總件數(shù)，試估計X的數(shù)學(xué)期望E（X）.

18.（12分）在AZBC中，內(nèi)角力滿足JJsin2/-cos2/=2.

（1）求角Z的大?。?/p>

AD

（2）若加=2而，求的最大值.

BD

19.（12分）如圖所示，圓臺的上、下底面圓半徑分別為2cm和3cm,Z4,84為圓臺的兩條不同的母線.

分別為圓臺的上、下底面圓的圓心，且AO/B為等邊三角形.

（1）求證：//AB；

（2）截面48片4與下底面所成的夾角大小為60",

求異面直線AA,與5,（9,所成角的余弦值.

20.（12分）設(shè)數(shù)列｛%｝（〃cN*）滿足：%+/+…+%="2等比數(shù)列出｝的首項4=1,公比為2.

（1）求數(shù)列｛4,｝,｛〃｝的通項公式；

（2）求數(shù)列｛平｝的前〃項和7；.

21.（12分）已知陌圓。:0+/=1（。>6>0）的短軸長為百，右頂點到右焦點的距離為;.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）如圖所示，設(shè)點Z是橢圓C的右頂點.過點（3,0）的直線/與橢圓C相交于不同的兩點E,F,且都在x

軸的上方.在x軸上是否存在點P，使/4PE=NOPE,若存在，請求出點尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明

理由.

22.（12分）已知函數(shù)/（x）=aln（x-l）+（a+2）x+l,aH0.

（1）討論/（x）的單調(diào)性；

（2）設(shè)R（x）=/（x）+2sin（x-l）-4x,求證：當(dāng)a=l時，尸⑺恰有兩個零點.

2024年邵陽市高三第一次聯(lián)考試題參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)

數(shù)學(xué)

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的）

題號12345678

答案CDDADBCD

-—兀c兀兀，?f2E2兀2ATU兀._

7.C解析：由2%?！?x4—”—kGZ,侍---------?x?------1—,kGZ,

262,3939

???/(x)的單調(diào)增區(qū)間為半一?！?，冬+：，左eZ.

3939_

/(x)在0,—a上遞增，0<—一,0<—.

v7L72J72917

jrjr32/(71"TT2ATT4

由2Z:兀+,”3x+7”2%兀+5兀,得不一+為不一+§私人eZ,「./(x)的單調(diào)減區(qū)間為

2kn7i2kjt4_7TT17107兀10

------1—,-----1—兀?k.eL:.—?—a<—兀,.二—?cin—兀.

上=&—=上、e'ex(x-\\

8.D解析：b1II>設(shè)/(x)=—,0<x<l,/'(x)=―~/z(x)<0>

eexx

7T

8

「?/(x)在(0,1)上單調(diào)遞減.又三>石,「./(三］<a<b.又a-c/一3,

7X隊/)

x

設(shè)g(x)=，-ex,g'(x)=e-e9x<1時，g'(x)<0,.\g(x)在(一01)單調(diào)遞減.

⑴=o,:?a>。.綜上(:<。<b.

二、多選題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分)

題號9101112

答案ADBCDBCACD

H.BC解析：/錯.B.；CQ，平面瓦又平面

DgE,8對.C.：44〃〃平面8瓦，％皿為定值，C對.。.設(shè)外接球球心為O,即為

對角線4c中點.。到平面DCE距離為4到平面DCE距離的一半，4到平面CDE距離為J5,。到平面

CDE距離為半，正四棱柱外接球半徑為瓜：.截面圓半徑r==孚,S=兀/=號.：?D錯.

12.ACD解析：因為為奇函數(shù)，所以=一/(一x-l),所以/'(x-l)=/'(-x-l),即

g(xT)=g(rT)，所以g(x)的圖象關(guān)于直線x=-1對稱.因為g(2x+l)為奇函數(shù)，所以函數(shù)g(x)的

圖象關(guān)于點(1,0)對稱，所以8是函數(shù)g(x)的一個周期.因為g(0)=；,所以

1

z\

g(2U=-

\73g(6)=T所以

121

Z左8(2左)=(一1-2+3+4—5—6+7+8—9-10+11+12)、一=4.故選ACD.

k=l3

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

7

13.2514.915.116.-

8

2sin6cosecos2ecos4。sin2^cos2^cos46^2sin2^cos2^cos4^

15.1解析：cos6cos2ecos4。，所

2sin62sin。4sin。

-2sin46cos4esin861?門八.八加?八?0八八一c八/八\2小一

以=------------二------=一一sin86=-sin。，即sm0+sm8e=0,；故86+(—。)=兀+2e(左￡Z)或

8sin。8sin68

(TT7T,所以。="，故

86-(—6)=2E(A:eZ),因為

9

c2dzi八c28兀2兀16兀12711

2cos4，-cos，=2cos-----cos—=cos-----+l-cos—=1.

9999

7x2.222

解析：設(shè)橢圓方程為4=1(%〉4〉0),雙曲線方程為:___l>0>0).

16.-+=(a2A

?4

產(chǎn)|+|*=2a1，|尸耳1=%+%,

不妨設(shè)點尸為第一象限的交點，由題意知:|附|一閥|=2電"附|=

%-a2.

由余弦定理得：22222

4c=1^|+\PF21-2\PF}\-\PF2\-COSZFIPF2=>4c=3a,+a\.

31

---1---

.-.4c2c2?

，4

當(dāng)且僅當(dāng);e；=e：時取等號，e；='.

..317.27

e；2e；2e；'8-

四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（10分）

解：（1）不難知，第1臺加工零件的次品率為5%,第2臺加工零件的次品率為7%.

記事件A表示“從混放的零件中任取一個零件，該零件是次品”，

事件用表示“從混放的零件中任取一個零件，該零件是第i臺車床加工的“，/=1,2.

則P（即/）二駕單二—O4"。？=好

v27P（A）0.6x0.05+0.4x0.0729

（2）X的可能取值為0』,2,3,…,10,且X服從二項分布.

由（1）知，P（^）=0.6x0.05+0.4x0.07=0.058.

X?5（10,0.058）..-.E（X）=10x0.058=0.58.

18.（12分）

解：（1）由已知2sin12/—7）=2,二.sin（2Z—7J=1.

八,兀c,兀11

丁0<力<兀,...—<24—<—K.

666

兀兀./兀

..2A———...A——.

623

(2)v~DC=2BD,:.BD=-'BC=-(AC-AB

33、

______2___i___

又彳5=羽+筋=_而+_元,

33

令噎＞0,

c

汽〃+2人4_[3(/+1)|3(f+l)一

BDy/t2-Z+lVt2-t+ly(/+1)-—3(/+l)+3

當(dāng)且僅當(dāng)f=G-1取等號.

AD

???^的最大值為G+i.

BD

19.(12分)

(1)證明：???圓臺可以看做是由平行于圓錐底面的平面去截圓錐而得到，所以圓臺的母線也就是生成這個

圓臺的圓錐相應(yīng)母線的一部分.

母線AA｝與母線BB,的延長線必交于一點，

44,8出四點共面.

???圓面?！▓A面O,且平面/88/C圓面。=44，平面4844八圓面O=/8.

//AB.

(2)解：?.?△460為等邊三角形，

TT

.?.//OB=§,如圖建立空間直角坐標(biāo)系。一盯z,

設(shè)|oq|=?>o）.

^33/3）

?1（3,0,0）,5—,—^―,0j，4（2,0,Z）.

——/、一■（33^31

/4=（-1,0,6/8=15，拳0）

設(shè)平面的一個法向量4=（x,y,z）.則有:

-x+tz=0,

°令》=百，則y=i,z=乎,.?.萬?=（百,1,乎）

底面的一個法向量&=（0,0,1）,

因為截面與下底面所成的夾角大小為60°，

RC.cos60。=|cos（?1,n2）|=——盧”=","=-

所以I\"rrj67萬2，

3

t——,

2

病=，1,0,2，又麗=|布=（一1,6,0）,.?.用坐標(biāo)為11,瓜|

.二O[B1=（i,G,ob

2

異面直線力4與。國所成角的余弦是叵.

13

20.（12分）

解：（1）*.*CLAH——4-?—I——=??",n...1.

2n

/.a,+—4----+=（n-1）2,"2.

277-1

—=n2-（/2-I）2=2〃-1.即=〃（2〃-l）,%.2.

n

當(dāng)〃=1時，％=1,滿足上式.

="（2〃-1）=2n2_n,b〃=2M-1.

（2）由（1）知：口=（2〃一1>2"-1.

n

.-.7；,=1-2°+3-2I+---+（2M-1）-2,,-1,

27；=12+…+（2〃-3）-2"T+（2〃-1>2”.

-,

:.-Tn=1+2-2'+---+2-2"-（2n-1）-2"

2（1-2"叫

=1+2-7-（2H-1）-2"

=l+4（2fl-1-l）-（2n-l）-2n

=22-（2〃—1）2—3

=（3-2/7）-2"-3.

.?.7；=（2〃-3）2"+3.

21.（12分）

2b=V3,

解：（1）依題意得—c=5，

a2^b2+c2

解得a—l,h—~—,c——?

22

x2,2C=i

橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為3_.

4

（2）存在點P，使//尸￡=/。/^,點尸的坐標(biāo)為（",0）理由如下：

???直線/過點（3,0）,與橢圓C:V+：/=1交于不同的兩點E,F.且都在x軸上方.

???直線/的斜率存在且不為0,設(shè)直線/的方程為歹=%（x-3）,左H0.

y=他-3）,

聯(lián)立方程《242消去丁可得:

（3+4k2）x2-24k2x+36k2-3=0.

\zz/\24K36左~—3

設(shè)E（XQJ，尸（w，％），則%+%=——r,x,x2=

J+QK3?T'/C

?.?NAPE=NOPF,

yxy2左（玉一3）（工2—〃2）+左（工2—3）（王一〃2）

??kpE+kpF

xx-mx2-m（xj-77?）（X2-W）

12k2-6（、、24k2（

=k.2中2-（3+加）（％+超）+6加=k3+4,2—（+/>3+4=2+掰

（X]-/72）（x2-/H）（X1-A72）（x2-〃2）

,72k2-6-72k2-24加左2+187+24mk2

=K?----------------------------------=QA,

（X]-⑹（工2一加）.（3+442）

18m—6—0,.'.m——.

3

存在P點滿足條件.

二.P點坐標(biāo)為（g,o]

22.（12分）

/、a（Q+2）（X—1）+Q（Q+2）X—2

（1）解：f（x）=----+a+2=------------——=----------,x>l.

\7x-1x-1x-1

2

當(dāng)a=—2時，/'（X）=-----<0,；./（X）在（1,+“）上單調(diào)遞減.

X—1

當(dāng)一2<a<0時，/（x）在（1,二二]上單調(diào)遞減，（二二,+力]上單調(diào)遞增.

\a+2）<〃+2）

當(dāng)a〉0時，（a+2）x>2,（。+2）%-2>0,，/（%）在（1,+功上單調(diào)遞增.

當(dāng)Q<-2時，Q+2