2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)突破過(guò)關(guān)檢測(cè)4 立體幾何（附答案）

過(guò)關(guān)檢測(cè)四立體幾何

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.“直線(xiàn)m垂直于平面a內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)”是“加，以'的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

2.已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形,平面ABC,P4=2A3,則異面直線(xiàn)CD與

P3所成角的余弦值為（）

A遮n2V5"V5門(mén)V95

ATB-C-WD.而

3.在正方體ABCD-AiBiCiDi中,G是線(xiàn)段BCi上一點(diǎn)，且4G，31。,則（）

1

A.BG=^BCi

B.BCi=3GCi

C.BG=3GCi

D.G為線(xiàn)段BCi上任意一點(diǎn)

4.某保鮮封閉裝置由儲(chǔ)物區(qū)與充氮區(qū)（內(nèi)層是儲(chǔ)物區(qū)，用來(lái)放置新鮮易變質(zhì)物品，充氮區(qū)是

儲(chǔ)物區(qū)外的全部空間，用來(lái)向儲(chǔ)物區(qū)輸送氮?dú)鈴亩鴮?shí)現(xiàn)保鮮功能）構(gòu)成.如圖，該裝置外層

上部分是半徑為2的半球，下面大圓剛好與高度為3的圓錐的底面圓重合，內(nèi)層是一個(gè)高

度為4的倒置小圓錐，小圓錐底面平行于外層圓錐的底面，且小圓錐頂點(diǎn)與外層圓錐頂點(diǎn)

重合，為了保存更多物品，充氮區(qū)的體積最小為（）

5.（2023?廣西桂林模擬）已知三棱錐P-ABC的所有頂點(diǎn)均在半徑為2的球0的球面上，底

面三角形ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形.若三棱錐P-ABC的體積取得最大值時(shí)，該三棱

錐的內(nèi)切球的半徑為八則片（）

A.1B理

4

C.3D.^2

214

6.已知球。與棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-ALBCLDI的各個(gè)面都相切,〃為棱DDI的中點(diǎn)，

則平面AMC截球。所得截面的面積為（）

A.JB.=C.JID.^

333

7.（2023?湖南雅禮中學(xué)模擬）如圖，已知四棱柱ABCD-AICiDi的體積為V,四邊形A3CD

是平行四邊形，點(diǎn)E在平面ACC14內(nèi)，且版=；m+|宿，則三棱錐Di-ADC與三棱錐

E-3CD的公共部分的體積為（）

8.（2022.新高考/,8）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為/,其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積

為36兀，且3W/W3B,則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

「27641

c..43JD.[18,27]

二、選擇題:本題共4小題海小題5分洪20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.對(duì)于空間中的兩條不同直線(xiàn)。力和兩個(gè)不同平面a/,下列說(shuō)法正確的是（）

A.若a_La,6_La,則a//b

B.若則a//p

C.若a_La,6_l_Aa_L人貝!Ja_l_6

D.若a//a,a_L^，則

10.（2022?新高考〃，:11）如圖,四邊形ABCD為正方形,平面ABCD,FB//

E2A3=ED=2RB,記三棱錐E-ACD,F-ABC,E-ACF的體積分別為0,上,％,則（）

A.^=2V2B.V3=2VI

C.V3=VI+VID.2v3=3%

U.在意大利，有一座滿(mǎn)是“斗笠”的灰白小鎮(zhèn)阿爾貝羅貝洛,這些圓錐形屋頂?shù)钠嫣匦∥?/p>

名叫Trulli,于1996年被收入世界文化遺產(chǎn)名錄.現(xiàn)測(cè)量一個(gè)Trulli的屋頂，得到圓錐

S。（其中S為頂點(diǎn)，。為底面圓心），母線(xiàn)SA的長(zhǎng)為6m,C是母線(xiàn)SA上靠近點(diǎn)S的三等分

點(diǎn).從點(diǎn)A到點(diǎn)C繞屋頂側(cè)面一周安裝燈光帶，燈光帶的最小長(zhǎng)度為2舊m.下面說(shuō)法正

確的是（）

A.圓錐SO的側(cè)面積為12兀m2

B.過(guò)點(diǎn)S的平面截此圓錐所得截面面積最大值為18m2

C.圓錐SO的外接球的表面積為72兀m2

D.棱長(zhǎng)為遮m的正四面體在圓錐S。內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)

12.（2023?新高考/,12）下列物體中,能被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位:m）的正方體容器（容器壁

厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（）

A.直徑為0.99m的球體

B.所有棱長(zhǎng)均為1.4m的四面體

C.底面直徑為0.01m,高為1.8m的圓柱體

D.底面直徑為1.2m,高為0.01m的圓柱體

三、填空題沐題共4小題海小題5分洪20分.

13.已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6,其體積為30兀,則該圓錐的側(cè)面積為.

14.如圖，已知二面角A-EF-D的大小為45°泗邊形A3RE與四邊形CDER都是邊長(zhǎng)為1

的正方形，則5。兩點(diǎn)間的距離是.

15.如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-ALBICLDI中,般是棱AiA上的動(dòng)點(diǎn),N是棱3C的中

點(diǎn).當(dāng)平面DiMN與平面ABCD的夾角最小時(shí)5AiM=_________.

4

M

16.在菱形ABCD中,A3=2,ND43=60°,石為A3的中點(diǎn)，將AADE沿DE翻折成△ALDE,

當(dāng)三棱錐Ai-DEC的體積最大時(shí)，三棱錐Ai-DEC的外接球的表面積為.

四、解答題:本題共6小題，共70分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(10分)如圖，在直三棱柱ABC-AiBiCi中，側(cè)面ABBIAI,BCCIBIACCIAI的面積依次為

16,12,20,及尸分別為AiG,BC的中點(diǎn).

EC,

/rpi

-T/C

/F

求證:(1)平面平面BBiCiC;

(2)C尸〃平面A5E

18.(12分)如圖,四邊形ABC。是正方形,PA，平面ABCQ,PA〃EB,且PA=A5=3.

⑴求證:CE〃平面PAD;

(2)若求直線(xiàn)PD與平面PCE所成角的正弦值.

19.(12分)如圖,四棱錐P-ABCD的底面為矩形，尸底面為3C的中點(diǎn)15,

AM.

(1)求證:平面平面PBD;

⑵若PD=DC=1,求四棱錐P-ABCD的體積.

20.（12分）（2023?廣東中山模擬）已知四棱錐P-ABCD的底面A3CD是平行四邊形，側(cè)棱

平面ABCD,^M在棱DP上，且DM=2MP,點(diǎn)、N是在棱PC上的動(dòng)點(diǎn)（不是端點(diǎn)），如

圖所示.

（1）若N是棱PC的中點(diǎn)，

①畫(huà)出△P3D的重心G（保留作圖痕跡）,指出點(diǎn)G與線(xiàn)段AN的關(guān)系，并說(shuō)明理由；

②求證:平面AMN.

（2）若四邊形ABCD是正方形，且AP=AD=3,當(dāng)點(diǎn)N在何處時(shí)，直線(xiàn)PA與平面AMN所成

角的正弦值取得最大值？

21.（12分）（2023?山東青島一模）如圖，在RtAPAB中,且24=443=2,將△P43繞直

角邊PA旋轉(zhuǎn)g到AP4c處，得到圓錐的一部分，點(diǎn)D是底面圓?。ú缓它c(diǎn)）上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn).

（1）是否存在點(diǎn)D,使得5CLPD?若存在，求出NC4D的大小;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）當(dāng)四棱錐P-ABDC體積最大時(shí),求平面PCD與平面PBD夾角的余弦值.

22.（12分）如圖①，在菱形A3CD中,NA3C=120°,動(dòng)點(diǎn)E尸分別在邊AD,A3上（不含端

點(diǎn)），且存在實(shí)數(shù)幾使麗=7而，沿用將△AER向上折起得到MEf使得平面PER,平面

BCDEf如圖②所示.

B

圖①

圖②

（2）當(dāng)點(diǎn)E的位置變化時(shí)，二面角月尸廣3是否為定值?若是，求出該二面角的余弦值;若不

是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

過(guò)關(guān)檢測(cè)四立體幾何

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.B解析由直線(xiàn)機(jī)垂直于平面a內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)不能推出/n_La,但是由m±a一定能

推出直線(xiàn)機(jī)垂直于平面a內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)，所以“直線(xiàn)機(jī)垂直于平面a內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線(xiàn)”

是的必要不充分條件.故選B.

2.C解析連接（圖略），設(shè)A3=l,

則PA=2,A￡=V12+12-2X1X1xcosl20°:V3,PE=V4T3=V7,

BE=V3T1=2,PB=V4T1=遍.易知CD〃3E,所以NP3E是直線(xiàn)CD與P3所成的角

（或其補(bǔ)角）.又cos/P3E==系

2X2XV510

所以直線(xiàn)。與所成角的余弦值為余故選C.

3.D解析如圖，：平面ABBiAi,

AB

ZADXAiB.

又ABi±AIBABICYAD=A,

平面ABiD,

.\AiB±BiD.

同理

又AiBOBCi=B,

?平面AiBCi.

又AiGu平面AiBCi,

.：AiG±BiD.

故G為線(xiàn)段BCi上任意一點(diǎn).故選D.

4.B解析由題意可知內(nèi)層小圓錐底面半徑最大為=K，所以充氮區(qū)的體積最小

法xX23+|HX22X3-|TIx（a2乂4=等故選B.

5.B解析設(shè)底面三角形ABC的中心為0,連接50,。°,則3Q=3x噂X：=%，且。。，

底面ABC.

如圖，延長(zhǎng)Q。交球面于點(diǎn)P,連接。3,此時(shí)三棱錐P-ABC的體積取得最大值.

因?yàn)榍?。的半徑?所以03=2.

在RtAOQB中,。。=、22一（遮）2=1,

所以三棱錐的體積的最大值為2

P-ABCV=3-x—4x3x(2+l)=—4.

此時(shí)P3=J32+(V3)2=2V3,

所以SWP-ABC￥X32+3X=x3x/(2V3)2-(|)29V3(1+V13)

42724

所以尬=工X/”回xr,解得=叵.

4341+V134

6.A解析設(shè)球心。到截面的距離為d,截面圓的半徑為廠,由VO-ACM=MW-AOC,得

|.SAACM/M/SAAOC.因?yàn)閄2A/2xV3=V6,SAAOC=1X2A/2X1=VX所以d=?.又

屋+戶(hù)=1,所以『字所以平面AMC截球。所得截面的面積為兀戶(hù)=今故選A.

7.，_解吧找跳棱錐會(huì)共勢(shì)分，_,_,

由荏=：而+3宿，知：(AE-1C)=|(ZQ-族)，故而=3扇.

在CG上取點(diǎn)E,使得CE=3ECi,連接DE,

設(shè)DEnDiC=F,ACCyBD=G,^FG,

則三棱錐R-CDG為三棱錐Di-ADC與三棱錐E-BCD的公共部分.

:,ACEFSADIDF,；."=吧=3

FCCE3

FC3

D±C—7

.:點(diǎn)R到平面A3CD的距離是點(diǎn)Di到平面ABCD的距離的三.

17

又

SLCDG-S4^ABCD,

?T7113y

二一T7一.

??VF-CDG3x—4x—7xV=28

8.C解析記正四棱錐高與側(cè)棱的夾角為優(yōu)高為〃，底面中心到底面各頂點(diǎn)的距離為m.

:?正四棱錐外接球的體積為36兀,,：外接球的半徑尺二3.

又3W/W3V^,?：cos=：￡[p-y],?-Z=6cosdm=l?sin0=6sinOcos6,

6s[s,。,正四棱錐的底面積底，2

h--ta^n—。=sm鬻o=6cos2S2x2mx2m=2m.

cos。

故該正四棱錐的體積V=f底?/z=]x2m2h=144sin20cos40.

令x=cos20.Scos64,外

.,.X=COS23E,Ij.

.：sin20cos40=(1-cos20)-cos40=(1-x)-%2^

令)7=(1-X)-A2=-x3+X2,XG

故當(dāng)時(shí)y>0,區(qū)

當(dāng)xG(|,J時(shí)y<0,函婁

于是當(dāng)%=|時(shí),y取最大值，且ymax=-(|)+(|)=三,

當(dāng)x=1-

4

9

當(dāng)x=3-

464

故當(dāng)x=1時(shí),y取最小值宗

因而V的最大值Vmax=144X=

V的最小值Vniin=144X————.

644

故該正四棱錐體積的取值范圍為[孑,?].

二、選擇題:本題共4小題海小題5分洪20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.AC解析對(duì)于A,由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理知A正確;對(duì)于B,若。，瓦。，夕，則a〃B或

兀由所以B錯(cuò)誤;對(duì)于C,由可知a〃￡或兀氏又6，川,所以瓦所以C正確;

對(duì)于D,若a//a,a_L￡,則a//0或au￡或a與0相交，所以D錯(cuò)誤.故選AC.

10.CD解析設(shè)=&)=2FB=2d因?yàn)镋D,平面ABCD,FB〃ED,

貝1Vi=j-ED-SAACD=3-2a-j-(2a)2

V2=|-FB-SAABC=1-a-jG)2、/,連接BD交AC于點(diǎn)航,連接EM/M,易得BD±AC.

又ED,平面A3CD,ACu平面A3CD,則EDLAC.

又EDn3D=D,ED,3Du平面BDEF,則AC,平面BDEF,

又BM=DM*D=aa,過(guò)F作FG±DE于G,易得四邊形BDGF為矩形，則

FG=BD=2-\[2a,EG=a,

則EM-J(2a)2+(V2a)2=y[6a,FM=Ja2+(V2a)2=y/3a,EF=a2+(2缶)2=3a,

EM1+FM2=EF2,

則EM±FM,S^EFM=^EM-FM=~a2AC=2y/2a,

則H=VA-EFM+VC-EFM=ICSAEFM=2/,則2V3=30,丫3=3丫2,丫3=丫1+丫2,故A,B錯(cuò)誤;C,D正

確.故選CD.

ll.AD解析如圖，設(shè)圓錐底面半徑為rm,將圓錐側(cè)面展開(kāi)得到扇形AS4；在AASC

中,AS=6m,SC=2m^\'C=2y/13m,

則ficos/NAAS3G6+^4-5k2W1

所以XA'SC=^-,ff［以2兀廠=詈x6=4兀，廠=2,所以圓錐的側(cè)面積為7ix2x6=12?i（m2）,故A正

確.0

在中,COSNASB=2型把=-,sinZASB==竺與易知過(guò)點(diǎn)S的平面截此圓

2SASB9v819

錐所得截面面積最大為S^SAB=^SA-SB-sinZASB=^x6x6x手=8/（m2）,故B錯(cuò)誤.

設(shè)圓錐S。的外接球的半徑為Rm,則R2=（so-R）2+戶(hù)，又SO=y/SA2-r2=回五=4A②所

以K=（4A②R）2+4,解得H=逋，所以圓錐S。的外接球的表面積為4成2=%（^2）,故c錯(cuò)

42

誤.

設(shè)圓錐S。的內(nèi)切球的半徑為fm,則/="解得/=/,設(shè)棱長(zhǎng)為百m的正四面體的外

接球的半徑為nm,將該正四面體放在棱長(zhǎng)為，m的正方體中，可知該正四面體的外接球

也是該正方體的外接球，易知ri=T=￥，因?yàn)閚V,所以棱長(zhǎng)為舊m的正四

面體在圓錐S。內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，故D正確.故選AD.

12.ABD解析對(duì)于A選項(xiàng),正方體內(nèi)切球直徑為1m.因?yàn)?>0.99,故A正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，如圖⑴,正方體內(nèi)部最大的正四面體棱長(zhǎng)為34=魚(yú),魚(yú)>1.4,故8正確;

B

4D,

圖⑴

對(duì)于C選項(xiàng)，如圖（2）,因?yàn)閳A柱的底面直徑為0.01m（可忽略不計(jì)），故可將高為1.8m的圓

柱看作長(zhǎng)為1.8m的線(xiàn)段，而正方體的體對(duì)角線(xiàn)AG長(zhǎng)為舊m,且8<1.8,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，如圖⑶①，因?yàn)閳A柱體的高為0.01m（可忽略不計(jì)），可以將該圓柱體看作直

徑為1.2m的圓.設(shè)E,F,G,HJ,J為各棱的中點(diǎn)，六邊形EFGHIJ為正六邊形，如圖⑶②，其

棱長(zhǎng)為亨m,其內(nèi)切圓直徑的長(zhǎng)等于FH的長(zhǎng),/GFH=/GHF=30°,所以

FH=V^G=gGH=Mm）.因?yàn)椋?gt;1.2,故D正確.故選ABD.

三、填空題沐題共4小題海小題5分洪20分.

13.3971解析設(shè)該圓錐的高為。

:?體積V=|TIX62./Z=30兀,,：母線(xiàn)長(zhǎng)l=y/h2+r2=J(|)+62=^,

?：S側(cè)=7IT7=7IX6X萬(wàn)=39兀.

14.73-V2解析???麗=BF+FE+'ED,.".\BD\2=\BF\2+\FE\2+\ED\2+2BF-RE+2FE-

ED+2BF-~ED.

由題意可知I淀1=1屈1=1麗1=1,麗?豆=0,福?前=0,方?前

=lxlxcos135°,

______2______

.：|麗|="75.故B,D兩點(diǎn)間的距離是J3-VI

15.|解析如圖,建立空間直角坐標(biāo)系，則N(2,4,0),?(0,0,4),設(shè)M(4,0,a)(0<a<4),

所以麗=(-2,4,-0,瓦彌=(2,4,-4).

設(shè)平面DiMN的法向量為n=(x,y,z),

Jn-MlV=0,即(-2x+4y-az=0,

WO=0,⑵+4y-4z=0,

(4-a)z

4，

(a+4)z

8，

令z=8,則x=8-2a,y=a+4,所以n=(8-2a,a+4,8)為平面DiMN的一個(gè)法向量.

易知m=(0,0,l)為平面ABCD的一個(gè)法向量.

設(shè)平面DiMN與平面ABCD的夾角為0,

8

則COS9=瞥^=/8==>

|m||n|J(8-2a)2+(a+4產(chǎn)+64*-240+144

當(dāng)aq時(shí),cos6取最大值，則6取最小值，所以AM=4-音=

16.8K解析如圖,由余弦定理，

#DE=y/AD2+AE2-2AD-AEcos60°=V3,

CE=y/BE2+BC2-2BE-BCcos(180°-60°)二夕，

AE2+DE2=AD2,0(?+DE2=CE2,^AE±DE,DC±DE.

4

分別取CE,AiC的中點(diǎn)EM連接月0,則F為RtADEC的外心，因?yàn)榈拿娣e為定值,

所以當(dāng)平面AiDEL平面DEC時(shí)，點(diǎn)4到平面DEC的距離最大，此時(shí)三棱錐4-DEC的

體積最大，又AiELDE,所以AiE,平面DEC由分別為CEAC的中點(diǎn)，得RM〃AE,

所以歹航，平面DEC,易知〃是三棱錐4-DEC的外接球的球心.因?yàn)?/p>

AIC2=AIE2+CE2=]+7=8,所以所求外接球的表面積S=4TT(竽)=8兀.

四、解答題:本題共6小題，共70分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明:證明過(guò)程或演算步驟.

17.證明(1)在直三棱柱ABC-ALBCI中,331，平面A3C,A3u平面ABC,.'.BBi±AB.

丁側(cè)面A33IAI,BCCLBI,ACCIAI的面積依次為16,12,20,ZAB：BC：AC=4：3：5,

.:AB2+BC2=AC2,^PAB±BC.

又BBiCBC=B,「.AB_L平面BBiCiC,

又A3u平面ABE,.：平面ABE,平面BBiCiC.

(2)如圖，取A3的中點(diǎn)G,連接EG,GF.

7G,尸分別為的中點(diǎn),

1

/.GF//AC,GF=-AC.

2

:超為4G的中點(diǎn),

11

.".ECi=-AiCi=-AC.

22

又AiCi//AC,.'.ECi//GF,ECi=GF,

.：四邊形EGRC為平行四邊形，

/.C1F//EG.

又CFC平面ABE,EGu平面ABE,

.：CiR〃平面ABE.

18.⑴證明因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，

所以3C〃AD

又ADu平面尸4。,3。9平面PAD,

所以3c〃平面PAD.

同理EB〃平面PAD.

又BCCEBnB,所以平面E3C〃平面PAD.

又CEu平面EBC,所以CE〃平面PAD.

(2)解以A為原點(diǎn),AD,所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如

圖所示.

因?yàn)镻A=A3=3,所以3E=]PA=1,所以P(0,0,3),D(3,0,0),C(3,3,0),E(0,3,l),

所以而=(3,0,-3),PC=(3,3,-3),PE=(0,3,-2).

設(shè)平面PCE的法向量為m=(x,y,z),

m-PC—3x+3y-3z-0,

則

,m-PE=3y-2z=0,

(Z

X=",

3，

解得2z

3y=—3

令z=3,則x=l,y=2,所以m=(l,2,3)為平面PCE的一個(gè)法向量.

設(shè)直線(xiàn)尸。與平面PCE皿成的角為9,

ml.八?777^I\PDm\6y/7

則sin0=cos<PZ),m>=^—=廠］—=一,

191|PD||m|372x7147'

所以直線(xiàn)PD與平面PCE所成角的正弦值為

19.⑴證明因?yàn)榈酌鍭3CD,AMu平面ABCD,

所以產(chǎn)AM.

又PB±AM,PBHPD=P,

所以AM,平面PBD.

又AAfu平面PAM,

所以平面平面PBD.

(2)解由(1)可知AM,平面PBD,

所以AML3D,

所以△/MBs”..

設(shè)3M=x,則AD=2x,由警=煞即彳=｝得2x2=1,解得》等，

所以AD=V1

因?yàn)镻D±底面ABCD,^以四棱錐P-ABCD的體積為!xlxV2xl=y.

20.解⑴①設(shè)AC與3。的交點(diǎn)為。，連接P。與AN交于點(diǎn)G.

因?yàn)?。為AC的中點(diǎn),N為PC的中點(diǎn)，

所以P。與AN的交點(diǎn)G為△PAC的重心，

所以尸G=2GO.

又因?yàn)镻。為的邊3。的中線(xiàn)，

所以點(diǎn)G也為△P3D的重心，即重心G在線(xiàn)段AN上.

②證明:連接DG并延長(zhǎng)交尸3于點(diǎn)H,連接MG

M

因?yàn)镚為△PSD的重心，所以DG=2GH.

又因?yàn)?/p>

所以MG〃PH,MG//PB.

又因?yàn)镸Gu平面AMN,P3C平面AMN,

所以尸3〃平面AMN.

(2)因?yàn)樗倪呅蜛3CD為正方形，

所以ABLA。，

又因?yàn)镻A，平面ABCD,AB,AD^平面ABCD,

所以PA±AB,PA±AD,

所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以A3,AD,AP所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)

系，如圖所示，

設(shè)PN=ZPC,O<2<1,則麗=4麗=(3兒34,-37),

所以麗=ZP+P77=(3A,3A,-3A+3).

設(shè)平面AMN的法向量為n=(x,y,z),

n-AM=y+2z=0,化簡(jiǎn)得二蕊z取z=l,則n=(3-*2,l).

則

n-AN-3Ax+3Ay+(-3A+3)z=0,A

設(shè)直線(xiàn)PA與平面AMN所成角為0,

所以sin0=|cos<AP,n>|=^^=1

所以當(dāng);=3，=：,即點(diǎn)N在線(xiàn)段PC靠近點(diǎn)尸的三等分點(diǎn)處時(shí)，直線(xiàn)PA與平面AMN所成

A3

角的正弦值取最大值

21.解⑴當(dāng)。為圓弧的中點(diǎn)，即NC4D三時(shí)乃CLPD

證明如下：：Z＞為圓弧的中點(diǎn)，

.：/。4。=/84。3即4。為/。43的平分線(xiàn).

:NC=AB,.：AD為等腰三角形CAB的高線(xiàn)，即AD，BC.

VPA±AB,PA，ACABnAC=A,AB,ACu平面ABDC,

.：PA，平面ABDC,.'.PA±BC.

：/AnAD=A,.：BC，平面PAD,

.：BCLPD.

(2)由(1)得,PA為四棱錐P-A3DC的高，

:/A=4,.：當(dāng)?shù)酌娣eS四蛻ABDC取最大值時(shí),四棱錐P-A3DC體積最大.

設(shè)NCAD=Q,則NB4￡）W-Q"G（0號(hào)），

S四邊形x2x2xsin?+|x2x2xsin（與-a）

二25ina+sin得-a