指向“挑戰(zhàn)性”的高中數(shù)學問題設計

【摘要】當前數(shù)學課堂提問普遍存在過度誘導的弊端，消除這些弊端的方法就是讓課堂提問充滿“挑戰(zhàn)性”，通過賦予問題真實的情境、結構化的特征、更多的開放性使學生已有的認知、傳統(tǒng)的學習方式、數(shù)學思維的廣度與深度得到充分的發(fā)展?！娟P鍵詞】挑戰(zhàn)性；誘導性；問題設計；深度學習問題既是思維的起點，也是創(chuàng)造的前提，一切發(fā)明創(chuàng)造都是從問題開始的［1］，數(shù)學教學就是以不斷地提出問題并解決問題的方式來實現(xiàn)知識建構的過程。好的問題是打開學生思維的鑰匙、驅動學習進程的動力之源，正所謂“問得好即教得好”“善教者必善問”。但在實際教學中，由于教師對數(shù)學問題的教學功能認識不足，在問題設計上只強調“誘導性”，而忽視“挑戰(zhàn)性”，使得課堂提問無法取得預期的成效。下面筆者結合課堂教學實踐來談談自己的一些看法。一、過度誘導引發(fā)的教學弊端心理學家梅耶認為，當問題解決者想讓某種情境從一種狀態(tài)轉變?yōu)榱硪环N不同的狀態(tài)，而且問題解決者不知道如何掃除兩種狀態(tài)之間的障礙時，就產生了問題；而解決問題的有效辦法就是通過課堂提問來啟發(fā)和引導學生的思維，使學生調動自身的知識儲備和思維來進行問題的分析和探究。由此可見，“誘導性”是課堂提問中所要遵循的一個基本原則。但是課堂提問不能僅關注“誘導性”，也不能把“誘導性”作為問題設計的唯一準則，否則會引發(fā)一系列教學弊端。（一）過度誘導削弱思考能力的形成問題是一種特殊的情境，是個體面臨一個不易達到的目標和困難課題時的情境，必須運用相關的理論或方法，在教師的引導與啟迪下，師生之間、學生之間通過思想交流、思維碰撞才能解決問題。因此，問題的一個重要功能就是引發(fā)學生的獨立思考，而過度誘導會讓學生失去思考的能力。例如，在“導數(shù)的概念及其幾何意義”一課中，為了讓學生發(fā)現(xiàn)“導數(shù)的值就是切線的斜率”這一結論，教師設計了如下問題。問題1-1平均變化率[ΔyΔx=f（x0+Δx）-f（x0）Δx]的幾何意義是什么？學生都知道平均變化率表示的是割線P0P的斜率。教師首先讓學生在幾何畫板上動手操作，即拖動點P（[x0+Δx]，[f（x0+Δx）]）沿著曲線f（x）趨近于點P0（[x0]，[f（x0）]），接著又提出了第二個問題。問題1-2割線P0P與切線是否有某種內在聯(lián)系？教師在給出切線的一般定義后，又提出了下列問題。問題1-3在初中時，我們怎樣定義圓的切線？在學生回答問題后，教師接著追問。問題1-4圓的切線定義適合于任意曲線嗎？現(xiàn)在所學的切線的定義符合我們在初中學的圓的切線定義嗎？教師首先讓學生畫圖舉出反例，說明圓的切線定義不再適用任意曲線；接著再借助幾何畫板，讓學生驗證現(xiàn)在的切線定義對任意曲線都適用。以上教學設計，教師的意圖是以求導數(shù)的兩個步驟為依據(jù)，從平均變化率的幾何意義入手，探索導數(shù)的幾何意義，抓住[Δx→]0的聯(lián)系，在圖形上從割線入手來研究問題。教師讓學生在獲得直觀感知的基礎上，通過合作探索，親身經歷一般曲線切線的發(fā)生、發(fā)展過程，上升到理性思維，形成切線定義，體會逼近的思想。教師的設計意圖沒錯，但是這樣的課堂提問方式能否起到預期的效果？我們發(fā)現(xiàn)，無論是切線的定義還是對切線定義的驗證，學生都是在教師的“指令”下完成的，例如，教師要求學生“把點P拖動到點P0”或要求學生類比圓的切線或直接告訴學生切線的定義，至于為什么這樣做？這樣做有何目的？學生根本不知道，教師也沒有給學生思考的機會，學生只是按照教師的指令行事，糊里糊涂地學。（二）過度誘導影響學習經驗的積累傳統(tǒng)教學是以知識點為單位逐個實施教學，并以獲得知識為最終目標的一種教學方式。因此，傳統(tǒng)教學中提出的問題針對的就是教材中的特定內容，答案也是唯一的或者是教師預設好的，目的就是引導學生在規(guī)定的時間內順利發(fā)現(xiàn)與快速掌握有用的結論。這種“急于求成”的問題設計理念容易導致課堂提問出現(xiàn)過度誘導，學生根本不用動腦筋也能解決問題。例如，在“基本不等式”一課中，教師為了能夠快速完成基本不等式的幾何證明，設計了下面兩個問題。問題2-1如圖1，AB是圓O的直徑，過AB上一點C作垂直于AB的弦DE，連接AD，BD，比較OD，CD長度的大小關系。問題2-2設AC=a，BC=b，你能利用找到的OD，CD長度的大小關系解釋基本不等式嗎？如果教師已經明確告訴學生用基本不等式[a+b2≥ab]進行解釋，這兩個問題就無須思考，也無法達到讓學生掌握幾何證明的目的。在后續(xù)的教學中，當教師讓學生從趙爽弦圖中提取基本不等式時，學生也許根本無從下手，因為在前面兩個問題的解決過程中，學生沒有獲得從幾何圖形中提取不等關系的經驗。因此，過度誘導反而影響學生學習經驗的積累。（三）過度誘導讓學生“不會學”雖然問題的設計是在既定的目標下，層層深入，由此及彼，從而驅動學生思考和實踐，但過度誘導容易讓學生對教師產生過度依賴。當學生習慣于“教師問，學生答”的學習方式，學生思維就容易被禁錮在教師的問題中，從而逐步喪失提出問題的意識與能力，無法從“學會”走向“會學”。例如，在“函數(shù)的零點與方程的解”這節(jié)課中，有的教師就是按照以下設計問題來引導學生發(fā)現(xiàn)“函數(shù)零點存在定理”。問題3-1觀察二次函數(shù)f（x）=x2-2x-3的圖象，并計算其零點所在的區(qū)間［2，4］和［-2，0］上端點處的函數(shù)值，并說出你有什么發(fā)現(xiàn)。在區(qū)間［2，4］上，零點左側的圖象在x軸下方，零點右側的圖象在x軸上方。相應的函數(shù)f（x）的取值在零點左側小于0，在零點右側大于0，即函數(shù)在端點x=2和x=4的取值異號，f（2）f（4）＜0，在區(qū)間［-2，0］亦然。問題3-2對于一般的函數(shù)y=f（x），在其零點所在的區(qū)間［a，b］上，f（a）f（b）是否也有上面的結論？問題3-3當f（a）f（b）＜0時，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上的零點個數(shù)情況如何？問題3-4當f（a）f（b）＞0時，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上的零點個數(shù)情況如何？問題3-5根據(jù)以上結論，函數(shù)y=f（x）滿足什么條件時，在區(qū)間（a，b）上就一定有零點？函數(shù)y=f（x）滿足以下兩個條件時，在區(qū)間（a，b）內一定有零點：（1）函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線；（2）區(qū)間端點處的函數(shù)值異號，即f（a）f（b）＜0。這個結論我們稱為函數(shù)零點存在定理。上述問題囊括了構成“函數(shù)零點存在定理”的三個關鍵點：連續(xù)曲線、f（a）f（b）＜0、有零點。換句話說，這些問題是為這三個關鍵點量身打造的，所起到的誘導效果應該是比較好的，但能否把這些問題遷移運用到其他類似定理的建構當中呢？或者說，學生經歷了“函數(shù)零點存在定理”的學習，能否獲得運用函數(shù)視角來研究方程問題的經驗？答案顯然是否定的。二、“挑戰(zhàn)性”的問題要“挑戰(zhàn)”什么神經科學研究表明，“挑戰(zhàn)性”的問題能夠加快大腦中“網(wǎng)狀激活系統(tǒng)”的運行，讓大腦分泌更多的多巴胺，讓學生持續(xù)保持高度興奮的學習狀態(tài)［2］。在這種狀態(tài)下，不僅問題解決的進程得到加速，而且還會有更多的奇思妙想從學生頭腦中涌現(xiàn)出來。那么“挑戰(zhàn)性”的問題到底要“挑戰(zhàn)”什么？（一）挑戰(zhàn)學生已有的認知皮亞杰的“平衡化”觀點認為，認知發(fā)展是平衡不斷建構的過程，智力正是在有機體作用于環(huán)境（同化作用）和環(huán)境作用于有機體（順應作用）兩種機能作用下，經過不平衡—平衡—不平衡的不斷循環(huán)往復，從低到高不斷得以發(fā)展和豐富［3］。在問題設計上，教師要提供與已有經驗相矛盾的內容，挑戰(zhàn)學生已有的認知，從而引起認知沖突，打破原有的認知平衡狀態(tài)，促使其向新的平衡狀態(tài)發(fā)展。（二）挑戰(zhàn)傳統(tǒng)的學習方式以聽講、記憶、模仿、練習為主要形式的學習方式，雖然能夠讓學生在較短的時間里獲得知識，但從長期來看，這種單一的單向傳授、被動接受、機械訓練的學習行為容易削弱學生學習的主體性與能動性。因此，教師應通過設計“挑戰(zhàn)性”的問題，讓問題的解決變得不那么輕而易舉。例如，獨立思考、自主探究、動手實踐、合作交流等，都讓學生在數(shù)學學習中由“被動”變“主動”，由簡單“學會”到“會學”。（三）挑戰(zhàn)思維的廣度與深度思維廣度指的是橫向思考的能力，思維深度則體現(xiàn)在集中思考的方向；思維廣度意味著學生要能夠從多角度獨立地思考與解決問題，思維深度則更注重通過事物的現(xiàn)象能夠挖掘出其內在的本質?！疤魬?zhàn)性”的數(shù)學問題，不僅問題域寬廣，而且站在數(shù)學的重點、難點、疑點的制高點，直面思維的廣度與深度，需要學生通過對新知與已有心理圖式、認知框架的整合來實現(xiàn)問題的解決，最終達到發(fā)展高階思維能力的目標。三、如何賦予問題更具“挑戰(zhàn)性”美國心理學家蓋澤爾斯把數(shù)學問題大致分為三類：顯現(xiàn)型問題、發(fā)現(xiàn)型問題、創(chuàng)造型問題。顯現(xiàn)型問題的答案、求解思路均是現(xiàn)成的，學生只需照章辦事，無須想象與創(chuàng)造；發(fā)現(xiàn)型問題雖然有已知答案，但問題是由學生提出或發(fā)現(xiàn)的，對學生個體而言，是一種探索、獨立的發(fā)現(xiàn)；創(chuàng)造型問題是人們從未提出過的，屬原創(chuàng)性問題［4］。顯然，顯現(xiàn)型問題不具備“挑戰(zhàn)性”，要使問題的設計體現(xiàn)“挑戰(zhàn)性”，需要在發(fā)現(xiàn)型問題與創(chuàng)造型問題上做文章。（一）賦予問題真實的情境賦予問題真實的情境，就是要讓學生體會數(shù)學與真實世界的聯(lián)系，數(shù)學源于真實世界又應用于真實世界。真實情境不僅有助于激發(fā)學生的求知欲，而且能促使學生用數(shù)學的眼光觀察世界、用數(shù)學的思維理解世界、用數(shù)學的語言表達世界；讓學生經歷從真實世界中抽象出數(shù)量關系和空間形式的過程，挑戰(zhàn)的是學生的創(chuàng)新意識與質疑精神。例如，在“函數(shù)的零點與方程的解”這節(jié)課中，教師可以這樣改進問題的設計。情境：如圖2所示，觀察這兩幅圖，回答以下問題。（1）小馬是否過了河，請說明理由。（2）如果小馬過了河，小馬的行走路線與河流呈現(xiàn)什么關系？（行走路線穿過河流）（3）如果把河流看成x軸，如何用代數(shù)式表示小馬行走的路線“穿過”河流？“小馬過河”與函數(shù)零點存在定理的意象相通，通過類比過河的條件，建立數(shù)學與生活之間的聯(lián)系，為數(shù)學定理的抽象奠定認知基礎，明確探究的方向。對學生而言，要把“穿過”這個幾何現(xiàn)象用代數(shù)式進行刻畫非常具有“挑戰(zhàn)性”。首先，教師可以引導學生思考“穿過前”與“穿過后”函數(shù)值的變化趨勢，從而發(fā)現(xiàn)f（a）f（b）＜0這一結論；接著，教師再組織學生對結論從充分性與必要性的角度進行質疑與辨析，從而獲得完整的定理表述。（二）賦予問題結構化的特征在對數(shù)學知識整體把握的基礎上，從學生的認知水平出發(fā)，以科學性和梯度性為原則，將孤立、分散的小問題整合成具有邏輯關聯(lián)和綜合性、開放性的核心問題，讓學生圍繞核心問題進行深度思考和交流，感悟數(shù)學的本質與聯(lián)系。核心問題結構化著力于建構一個系統(tǒng)結構，引領學生挑戰(zhàn)知識的整體關聯(lián)建構，形成系統(tǒng)方法和思維。例如，在“導數(shù)的概念及其幾何意義”一課中，核心問題就是“如何認識切線”，圍繞這個核心問題可以設計以下問題。（1）當[Δx→]0時，[ΔyΔx=f（x0+Δx）-f（x0）Δx]的幾何意義是什么？請用你的方式進行說明。（既可以從數(shù)與形兩個角度進行說明，也可以借助信息技術）（2）請說明割線與切線之間的聯(lián)系。（3）與函數(shù)圖象只有一個交點的直線是切線嗎？反過來對不對？（4）能否給切線重新下個定義？以上教學設計，通過結構化的核心問題作用于學生主體，按照“切線”內部各要素之間的邏輯關系進行連接、組合，使各部分之間的聯(lián)系條理化、清晰化，從而實現(xiàn)對切線概念的整體建構。（三）賦予問題更多的開放性涂榮豹教授認為，啟發(fā)探究最重要的就是在教學中盡可能多采用一些元認知問題，即通過提高問題的開放性來激發(fā)學生探究的積極性。數(shù)學問題的開放性是相對于傳統(tǒng)的“條件完備、結論確定”的封閉性而言的，主要體現(xiàn)在條件開放、結論開放、解決問題的策略開放等方面。問題具備一定的開放性和自由度，能夠給學生的獨立思考和主動探究留下更多的時間與空間，提高學生用自己的數(shù)學觀念解決問題的能力。例如，在探索“基本不等式”的幾何證明中，可以設計以下開放性問題：在弦圖中，利用面積關系發(fā)現(xiàn)重要不等式[a2+b22≥ab]，那么你能否從線段長度的視角構造幾何圖形來解釋基本不等式[a+b2≥ab]？這個問題的結論具有開放性，構造圖形的思