專題5.6 二次根式（全章直通中考）（培優(yōu)練）-2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊全章復(fù)習(xí)與專題突破講與練（湘教版）

專題5.6二次根式（全章直通中考）（培優(yōu)練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2021·上?！そy(tǒng)考中考真題）下列實數(shù)中，有理數(shù)是（

）A． B． C． D．2．（2023·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．3．（2018·全國·九年級專題練習(xí)）使式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義的整數(shù)x有（）A．5個 B．3個 C．4個 D．2個4．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）估計的值應(yīng)在（

）A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間5．（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）實數(shù)a在數(shù)軸上的對應(yīng)位置如圖所示，則的化簡結(jié)果是（

）

A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a6．（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）估計的值應(yīng)在（

）A．10和11之間B．9和10之間 C．8和9之間 D．7和8之間7．（2021·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）若，則代數(shù)式的值為（

）A．7 B．4 C．3 D．8．（2021·廣東·統(tǒng)考中考真題）設(shè)的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則的值是（

）A．6 B． C．12 D．9．（2021·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）是某三角形三邊的長，則等于（

）A． B． C．10 D．410．（2021·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）能說明命題“若x為無理數(shù)，則x2也是無理數(shù)”是假命題的反例是（

）A． B． C． D．填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2017·遼寧盤錦·統(tǒng)考一模）若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是．12．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考中考真題）從、，中任意選擇兩個數(shù)，分別填在算式里面的“□”與“○”中，計算該算式的結(jié)果是．（只需寫出一種結(jié)果）13．（2020上·四川成都·八年級?？茧A段練習(xí)）實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡．14．（2022·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）人們把這個數(shù)叫做黃金比，著名數(shù)學(xué)家華羅庚優(yōu)選法中的“0.618法”就應(yīng)用了黃金比．設(shè)，，記，，…，，則．15．（2020·甘肅武威·統(tǒng)考中考真題）已知，當(dāng)分別取1，2，3，……，2020時，所對應(yīng)值的總和是．16．（2016上·江西撫州·八年級階段練習(xí)）觀察下列各等式：①；②；③…根據(jù)以上規(guī)律，請寫出第5個等式：．17．（2021·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）觀察下列等式：；；；……根據(jù)以上規(guī)律，計算．18．（2021·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）人們把這個數(shù)叫做黃金分割數(shù)，著名數(shù)學(xué)家華羅庚優(yōu)選法中的法就應(yīng)用了黃金分割數(shù)．設(shè)，，則，記，，…，．則．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）先化簡，再求值：，其中．20．（8分）（2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）先化簡，再求值：，其中．21．（10分）（2023·湖北恩施·統(tǒng)考中考真題）先化簡，再求值：，其中．22．（10分）（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）計算:（1）計算：；（2）按要求填空：小王計算的過程如下：解：

小王計算的第一步是（填“整式乘法”或“因式分解”），計算過程的第步出現(xiàn)錯誤.直接寫出正確的計算結(jié)果是.23．（10分）（2013·貴州黔西·中考真題）閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如：，善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：設(shè)（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有．∴．這樣小明就找到了一種把部分的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時，若，用含m、n的式子分別表示a、b，得a＝，b＝；（2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a、b、m、n，填空：＋＝（＋）2；（3）若，且a、b、m、n均為正整數(shù)，求a的值．24．（12分）（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）閱讀下面材料：將邊長分別為a，，，的正方形面積分別記為，，，．則例如：當(dāng)，時，根據(jù)以上材料解答下列問題：（1）當(dāng)，時，______，______；（2）當(dāng)，時，把邊長為的正方形面積記作，其中n是正整數(shù)，從（1）中的計算結(jié)果，你能猜出等于多少嗎？并證明你的猜想；（3）當(dāng)，時，令，，，…，，且，求T的值．參考答案：1．C【分析】先化簡二次根式，再根據(jù)有理數(shù)的定義選擇即可解：A、∵是無理數(shù)，故是無理數(shù)B、∵是無理數(shù)，故是無理數(shù)C、為有理數(shù)D、∵是無理數(shù)，故是無理數(shù)故選：C【點撥】本題考查二次根式的化簡、無理數(shù)的定義、有理數(shù)的定義、熟練掌握有理數(shù)的定義是關(guān)鍵2．B【分析】根據(jù)合并同類項，二次根式的乘法，完全平方公式，化簡絕對值的法則，依次判斷即可解答．解：不是同類項，無法合并，故A錯誤；，故B正確；，故C錯誤；當(dāng)時，；當(dāng)時，，故D錯誤，故選：B．【點撥】本題考查了合并同類項，二次根式的乘法，完全平方公式，化簡絕對值，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．3．C解：∵式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義∴解得：，又∵要取整數(shù)值，∴的值為：-2、-1、0、1.即符合條件的的值有4個.故選C.4．A【分析】先計算二次根式的乘法，再根據(jù)無理數(shù)的估算即可得．解：，，，即，，故選：A．【點撥】本題考查了二次根式的乘法、無理數(shù)的估算，熟練掌握二次根式的乘法法則是解題關(guān)鍵．5．B【分析】根據(jù)數(shù)軸得∶0<a<1，得到a>0，a-1<0，利用二次根式和絕對值的性質(zhì)化簡求解即可．解：解∶∵根據(jù)數(shù)軸得∶0<a<1，∴a>0，a-1<0，∴原式=|a|+1+1-a=a+1+1-a=2．故選∶B．【點撥】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡，實數(shù)與數(shù)軸，掌握是解題的關(guān)鍵．6．B【分析】先化簡，利用，從而判定即可．解：，∵，∴，∴，故選：B．【點撥】本題考查了二次根式混合運(yùn)算及無理數(shù)的估算，熟練掌握無理數(shù)估算方法是解題的關(guān)鍵．7．C【分析】先將代數(shù)式變形為，再代入即可求解．解：．故選：C【點撥】本題考查了求代數(shù)式的值，熟練掌握完全平方公式是解題關(guān)鍵，也可將x的值直接代入計算．8．A【分析】首先根據(jù)的整數(shù)部分可確定的值，進(jìn)而確定的值，然后將與的值代入計算即可得到所求代數(shù)式的值．解：∵，∴，∴的整數(shù)部分，∴小數(shù)部分，∴．故選：．【點撥】本題考查了二次根式的運(yùn)算，正確確定的整數(shù)部分與小數(shù)部分的值是解題關(guān)鍵．9．D【分析】先根據(jù)三角形三邊的關(guān)系求出的取值范圍，再把二次根式進(jìn)行化解，得出結(jié)論．解：是三角形的三邊，，解得：，，故選：D．【點撥】本題考查了二次根式的性質(zhì)及化簡，解題的關(guān)鍵是：先根據(jù)題意求出的范圍，再對二次根式化簡．10．C【分析】根據(jù)反例滿足條件，但不能得到結(jié)論，所以利用此特征可對各選項進(jìn)行判斷．解：A、，是無理數(shù)，不符合題意；B、，是無理數(shù)，不符合題意；C、，是有理數(shù)，符合題意；D、，是無理數(shù)，不符合題意；故選：C．【點撥】本題考查了無理數(shù)的概念以及二次根式的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則和定義是解題的關(guān)鍵．11．且【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0，分母不等于0列式計算即可得解．解：∵有意義，∴，∴且．故答案為：且．【點撥】本題考查的知識點為：分式有意義，分母不為0；二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．12．（或或，寫出一種結(jié)果即可）【分析】先利用完全平方公式計算二次根式的乘法，再計算二次根式的除法即可得．解：①選擇和，則．②選擇和，則．③選擇和，則．故答案為：（或或，寫出一種結(jié)果即可）．【點撥】本題考查了二次根式的乘除法，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．13．2【分析】利用數(shù)軸可得出，進(jìn)而化簡求出答案．解：由數(shù)軸可得：，則∴====2．故答案為：2．【點撥】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確得出a，b的取值范圍是解題關(guān)鍵．14．5050【分析】利用分式的加減法則分別可求S1=1，S2=2，S100=100，???，利用規(guī)律求解即可．解：，，，，，…，故答案為：5050【點撥】本題考查了分式的加減法，二次根式的混合運(yùn)算，求得，找出的規(guī)律是本題的關(guān)鍵．15．【分析】先化簡二次根式求出y的表達(dá)式，再將x的取值依次代入，然后求和即可得．解：當(dāng)時，當(dāng)時，則所求的總和為故答案為：．【點撥】本題考查了二次根式的化簡求值、絕對值運(yùn)算等知識點，掌握二次根式的化簡方法是解題關(guān)鍵．16．【分析】根據(jù)左邊根號外的因數(shù)與根號內(nèi)的分子相同，根號內(nèi)的分母為分子平方與1的差，右邊根號內(nèi)為左邊根號外與根號內(nèi)兩數(shù)之和，即可找到其中規(guī)律，從而寫出第n個等式，再將n=6代入即可求出答案．解：猜想第n個為：（n為大于等于2的自然數(shù)）；理由如下：∵n≥2，∴添項得：，提取公因式得：分解分子得：；即：；第5個式子，即n=6，代入得：，故填：．【點撥】本題考查二次根式的計算，需要通過觀察分析和尋求規(guī)律、歸納和論證的抽象思維能力，得出一般性的結(jié)論；解答此題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察、細(xì)致分析，局部找規(guī)律，整體找關(guān)系．17．【分析】根據(jù)題意，找到第n個等式的左邊為，等式右邊為1與的和；利用這個結(jié)論得到原式＝1+1+1+…+1﹣2021，然后把化為1﹣，化為﹣，化為﹣，再進(jìn)行分?jǐn)?shù)的加減運(yùn)算即可．解：由題意可知，，＝1+1+1+…+1﹣2021＝2020+1﹣+﹣+…+﹣﹣2021＝2020+1﹣﹣2021＝．故答案為：．【點撥】本題考查了二次根式的化簡和找規(guī)律，解題關(guān)鍵是根據(jù)算式找的規(guī)律，根據(jù)數(shù)字的特征進(jìn)行簡便運(yùn)算．18．10【分析】先根據(jù)求出（為正整數(shù)）的值，從而可得的值，再求和即可得．解：，（為正整數(shù)），，，，，則，故答案為：10．【點撥】本題考查了二次根式的運(yùn)算、分式的運(yùn)算，正確發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．19．【分析】先將括號內(nèi)的部分通分，再將分式分子、分母因式分解并化簡，再計算出x的值后，將代入即可求解．解：原式，，，，當(dāng)時，原式，．【點撥】本題考查了分式的化簡求值及實數(shù)的混合計算，熟悉通分、約分和分母有理化是解題的關(guān)鍵．20．，【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的加法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，最后把的值代入計算即可．解：當(dāng)時，原式【點撥】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．21．，【分析】先把括號內(nèi)的分式進(jìn)行通分，再將除法變?yōu)槌朔ɑ?，最后代入x的值計算即可．解：原式當(dāng)時,原式．【點撥】本題考查了分式的化簡求值和二次根式的混合運(yùn)算，正確化簡分式是解題的關(guān)鍵．22．（1）；（2）因式分解；三和五；【分析】（1）先化成最簡二次根式，然后根據(jù)二次根式的四則運(yùn)算法則求解即可；（2）按照分式的加減運(yùn)算法則逐步驗算即可.（1）解：原式；（2）解：由題意可知：故小王的計算過程中第三步和第五步出現(xiàn)了錯誤；最終正確的計算結(jié)果為.故答案為：因式分解，第三步和第五步，【點撥】本題考查二次根式的四則運(yùn)算法則及分式的加減運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.23．（1），；（2）13，4，2，1（答案不唯一）；（3）7或13．【分析】根據(jù)題意進(jìn)行探索即可.解：（1）∵，∴，∴a＝m2＋3n2，b＝2mn．故答案為m2＋3n2，2mn．（2）設(shè)m＝1，n＝2，∴a＝m2＋3n2＝13，b＝2mn＝4．故答案為13，4，1，2（答案不唯一）．（3）由題意，得a＝m2＋3n2，b＝2mn．∵4＝2mn，且m、n為正整數(shù)，∴m＝2