2024屆莆田高三3月市質(zhì)檢數(shù)學(xué)試題含答案

莆田市2024屆高中畢業(yè)班第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷

數(shù)學(xué)

本試卷共5頁(yè),19小題，滿(mǎn)分150分.考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.i為虛數(shù)單位,iz=l+i,則|z|=

A.1B.-JlC.V3D.2

2.若集合4={3,4,5},AHB=[3,4},則集合8可能為

A.[2,3,4}B.[2,3,5}C.[3,5,6}D.{4,5,6}

3.某校高三年級(jí)有男生600人，女生400人.為了獲得該校全體高三學(xué)生的身高信息，采用按比例

分配的分層隨機(jī)抽樣抽取樣本，得到男生、女生的平均身高分別為173cm和163cm,估計(jì)該校

高三年級(jí)全體學(xué)生的平均身高為

A.167cmB.168cmC.169cmD.170cm

4.柏拉圖多面體是指每個(gè)面都是全等正多邊形的正多面體，具有嚴(yán)格對(duì)稱(chēng)，結(jié)構(gòu)等價(jià)的特點(diǎn).

六氟化硫具有良好的絕緣性和廣泛的應(yīng)用性.將六氟化硫分子中的氟原子按圖1所示方式連

接可得正八面體（圖2）.若正八面體外接球的體積為h，則此正八面體的表面積為

C.273

D.473

痂*#獎(jiǎng)卷1市4市、

］-31

5.若P(42)=dP(4)=二,P(2)=T，則

A.事件4與B互斥B.事件4與8相互獨(dú)立

13-1

C.尸(4+8)=)D.P(AB)=y

6.已知拋物線/=4x的焦點(diǎn)為產(chǎn)，點(diǎn)M在拋物線上.若點(diǎn)Q在圓(彳-3尸+/=1上，

貝！］|M川+|MQ|的最小值為

A.5B.4C.3D.2

7.已知角a的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與彳軸的非負(fù)半軸重合,把它的終邊繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角乃后

經(jīng)過(guò)點(diǎn)］a呼=卷,萬(wàn)［0；)),則sina二

A心3363

B.一D.

656565

8.對(duì)于函數(shù)y=/(%)和y二g(光)，及區(qū)間。，若存在實(shí)數(shù)使得/(%)^kx+62g(%)對(duì)任意冗w。

恒成立，則稱(chēng)y=/(%)在區(qū)間D上“優(yōu)于"y=g(%).有以下四個(gè)結(jié)論：

①/(%)-COS%在區(qū)間R上“優(yōu)于"g(九)=1-;%2；

②/(%)=tan%在區(qū)間卜，上“優(yōu)于"g(%)=sin%；

③/(%)=ex-1在區(qū)間(T,+8)上“優(yōu)于"g(%)=In(%+1)；

④若/(%)=ax(x-1)在區(qū)間(0,+8)上“優(yōu)于"g(%)=In%,則a=1.

其中正確的有

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

二、選擇題：本題共3小題,每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.

全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.

9.已知函數(shù)/(%)=sin%cos%,則

B./(%)的最大值為1

C.f(x)在10,()上單調(diào)遞增

D.將函數(shù)/(支)的圖象向右平移TT個(gè)單位長(zhǎng)度后與/(")的圖象重合

痂*#獎(jiǎng)卷O市/+h4市、

10.在正方體43C￡>中，點(diǎn)M在平面4CQ上(M異于點(diǎn)C),則

A.直線與CM垂直

B.存在點(diǎn)M,使得

C.三棱錐A-BgM的體積為定值

D.滿(mǎn)足直線GM和4a所成的角為三的點(diǎn)M的軌跡是雙曲線

11.已知定義在R上的函數(shù)/(,)滿(mǎn)足：/(支+y)=/(")t/O)-3xy(x+y)，則

A.y=/(x)是奇函數(shù)

B.若/(1)=1,貝"(-2)=4

C.若/(1)=-1,則y=/(?)+/為增函數(shù)

D.若V”>0,/(%)+%3>0,則y=/(*)+x為增函數(shù)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知a=(l,有)，a-b=2,則|a|=,。在a上的投影向量的坐標(biāo)為.

(本小題第一空2分,第二空3分)

,/T

13.已知八ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,6,c,若cosC=—,a=266,

貝UcosA=.

14.如圖，點(diǎn)。是邊長(zhǎng)為1的正六邊形48COE/的中心，/是過(guò)

點(diǎn)。的任一直線，將此正六邊形沿著/折疊至同一平面上,

則折疊后所成圖形的面積的最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.(本小題滿(mǎn)分13分)

已知等差數(shù)列｛4｝的前w項(xiàng)和為S.，公差d關(guān)0,且a2,。4,g成等比數(shù)列，$5=15.

(1)求數(shù)列｛*｝的通項(xiàng)公式；

an,n為奇數(shù)，

(2)若加=求數(shù)列｛i｝的前2n項(xiàng)和T2n.

為偶數(shù),

痂*#獎(jiǎng)卷2市/+E4市、

16.(本小題滿(mǎn)分15分)

如圖，在四棱柱-45孰2中，底面48CZ)為直角梯形,481AD,AB//CD,CD=2AB.

(1)證明：品(?/平面4/q；

(2)若M1平面4BC0,AB=AAt=1,4。=2,

求二面角A,-BD1-D的正弦值.

17.(本小題滿(mǎn)分15分)

某商場(chǎng)將在“周年慶”期間舉行“購(gòu)物刮刮樂(lè)，龍騰旺旺來(lái)”活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則：

顧客投擲3枚質(zhì)地均勻的骰子.若3枚骰子的點(diǎn)數(shù)都是奇數(shù)，則中“龍騰獎(jiǎng)”，獲得兩張

“刮刮樂(lè)”；若3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為6的倍數(shù)，則中“旺旺獎(jiǎng)”，獲得一張“刮刮樂(lè)”；其他情況

不獲得“刮刮樂(lè)”.

(1)據(jù)往年統(tǒng)計(jì)，顧客消費(fèi)額X(單位:元)服從正態(tài)分布N(130,25?).若某天該商場(chǎng)有20000

位顧客，請(qǐng)估計(jì)該天消費(fèi)額X在［105,180］內(nèi)的人數(shù)；

附:若X~,則-crWX+(r)?0.6827,P〃-2CTWXWH+2(T)=0.9545.

31

(2)已知每張“刮刮樂(lè)”刮出甲獎(jiǎng)品的概率為?，刮出乙獎(jiǎng)品的概率為1.

(i)求顧客獲得乙獎(jiǎng)品的概率；

(ii)若顧客已獲得乙獎(jiǎng)品，求其是中“龍騰獎(jiǎng)”而獲得的概率.

痛叫#興的“市/+K〈市、

18.(本小題滿(mǎn)分17分)

22/V

已知橢圓E：=+4=l(a>b>0)的離心率為?，且E上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的最大值

ab2

為2+萬(wàn).

(1)求橢圓E的方程；

(2)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于E內(nèi)任一點(diǎn)P，直線0P交E于A,C兩點(diǎn)，點(diǎn)B，。在E上，且滿(mǎn)

足4=2而，求四邊形ABCD面積的最大值.

19.(本小題滿(mǎn)分17分)

已知函數(shù)/(彳)=ex-mx,xe(0,+8).

(1)證明：當(dāng)mWe時(shí),/(?)，0；

(2)若函數(shù)g(支)=f(x)-xlnx-1有兩個(gè)零點(diǎn)町，Q

(i)求正的取值范圍；

/2

(ii)證明：陽(yáng)+lnx2<m---.

痂*#獎(jiǎng)卷<市/+E4市、

莆田市2024屆高中畢業(yè)班第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)

數(shù)學(xué)試題參考解答及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

評(píng)分說(shuō)明：

1.本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要

考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制定相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則.

2.對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和

難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過(guò)該部分正確解答應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半;

如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分.

3.解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù).

4.只給整數(shù)分?jǐn)?shù).單項(xiàng)選擇題和單空填空題不給中間分.

一、選擇題：每小題5分，滿(mǎn)分40分.

題號(hào)I2345678

答案BACDBCAB

二、選擇題：每小題6分，滿(mǎn)分18分.（本題為多項(xiàng)選擇題，每小題中，全部選對(duì)得6分，部

分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分）

題號(hào)910H

答案ADACDABD

三、填空題：每小題5分，滿(mǎn)分15分.

12.2,（本小題第一空2分，第二空3分）

1廠

13.--14.6V3-9

皿4小r也a田1舌/44-1c\

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列及數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，邏輯推

理能力等；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，分類(lèi)與整合思想，函數(shù)與方程思想等；考查邏輯推理，

數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)；體現(xiàn)基礎(chǔ)性和綜合性.滿(mǎn)分13分.

解：方法一：（1）因?yàn)?，%，成等比數(shù)列，所以。;二的4，.................1分

即（%+3d）2=（/+d）（%+7d）,即a：+6%d+9/2a^+S^d+7d2,

所以I?=axd,............................................................2分

因?yàn)?wO,所以％=d.....................................................3分

5x4

又S5=15,所以5q+；—1=15,即q+21=3,..............................4分

所以〃i=d=l,............................................................5分

所以數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為%=%+—=l+—=〃.................6分

⑵由⑴可得T鬻哉...........

因?yàn)閎2k+1-%廣磔+1）—（2左一1）=2（左eN*）,

所以｛砥1是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列...............................8分

因?yàn)椋ァ?=二21=22=4（左eN*）,

所以也”｝是以4為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列...............................9分

所以4“=〃+4+…+如

=（4+“+…+仇"_1）+（仇+"+,一+&）................................1。分

=[1+3+…+（2〃-1）]+（22+24+…+2*）

=+4。-叫...............................................12分

21-4

皿4小r也a田cH

4〃+i_4

所以數(shù)列｛b,,｝的前2n項(xiàng)和為4="+土................................13分

方法二:（1）因?yàn)?5=15,所以5（%；%）=15,..............................................................1分

所以5%=15,即％=3.........................................................................................................2分

因?yàn)槌?，a4,做成等比數(shù)列，所以。:二名私，..................................3分

所以（/+"）-=（%—"）（03+54），...........................................................................................4分

即（3+d）2=（3-d）（3+5d）,所以9+6〃+屋=9+121—5屋，即6/=6d,

因?yàn)樗詃=1,..............................................................................................................5分

所以數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為g=%+（"_3）d=3+（"-3）xl=〃...............................6分

（2）同方法一.

16.本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)；

考查空間想象能力，邏輯推理能力，運(yùn)算求解能力等；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思

想等；考查直觀想象，邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)；體現(xiàn)基礎(chǔ)性和綜合性.滿(mǎn)分15分.

解：方法一：（1）如圖，取CQ中點(diǎn)V,CD中點(diǎn)N,連接4",CM,BN,D｝N.

因?yàn)?B〃CD,CD=2AB,匹

所以/叱如,立品砂

=/Z

所以四邊形即D是平行四邊形，所以3N幺40............................................￡............1分

又AD&AR,所以所以四邊形4即@是平行四邊形..............2分

因?yàn)?42皿，所以四邊形44地）|是平行四邊形，所以與河〃4A.

又因?yàn)閁平面4區(qū)01,4AU平面48〃，所以4M〃平面4區(qū)01....................3分

同理可得CM〃平面4A01...................................................................................................5分

又CA/n4/=M，CA/u平面4cA/,4/u平面4CM,

皿?也i田cH/44-1e-X

所以平面BtCM//平面48n.6分

又gcu平面耳cw,所以gc〃平面4臺(tái)2.7分

(2)如圖，以/為原點(diǎn)，以方，AD,甌的方向分別為x,y,Z軸的正方向，建立

空間直角坐標(biāo)系，則

4(0,0,1),5(1,0,0),Z)(0,2,0),A(0,2,1),

所以麗=(一1,2,0),西=(0,0,1),45=(1,0,-1),

設(shè)"i=(Xi，M，zJ是平面8。。的法向量，則

飲上°'所以尸+2%=。，所以2=2,,.................................§分

"[?DD]=0,Z=0.12]—0.

取必=1,貝1項(xiàng)=2,所以％=(2,1,0)是平面瓦肛的一個(gè)法向量...............10分

設(shè)〃2=(%2，%/2)是平面AXBDX的法向量，則

n?A^B=0,x—z=0,

22211分

n2=0,2%=

取Z?=1,則迎=1，所以"2=(1,0,1)是平面的一個(gè)法向量...............12分

設(shè)二面角A}-BDt-D的大小為9,則

|cos01=1cos<〃],〃2>1=?"J"??................................................13分

I?1II?2I

12x1+1x0+0x11710，“八

V5xV25

所以sin6=g,即二面角同一班)「。的正弦值為害.....................15分

方法二：(1)證明：如圖，取CD中點(diǎn)連接"8,1分

因?yàn)?8〃CD,CD=2AB,

所以

所以四邊形48四。是平行四邊形，所以W2分

皿斗M3/-44-1rH、

又所以員/幺42，所以四邊形48MA是平行四邊形.............3分

因?yàn)椤?幺48,AB&A[Bi,所以CM幺4耳，................................4分

所以四邊形4月。0是平行四邊形，所以4C〃4M.............................5分

又耳CU平面43孫，4"u平面/啰聞兀.................................6分

所以BXC//平面AtBMDt,即B.C//平面48n...................................7分

(2)如圖，以/為原點(diǎn)，以方，AD,苞的方向分別為x,y,2軸的正方向，建立

空間直角坐標(biāo)系，則

4(0,0,0),5(1,0,0),2)(0,2,0),

4(o,o,i),烏(i,o,i),，(0,2,1),

所以函=(1,0,1),50=(-1,2,0),西=(0,0,1),

8分

AB?A[B=0,

所以{9分

AB{9AXDX=0,

所以葩=(1,0,1)是平面4Aoi的一個(gè)法向量.................................10分

設(shè)〃=(x,y,z)是平面8?！ǖ姆ㄏ蛄?，則

麗二°，所以尸+2k0，所以[x=2y，...................................U分

n.DDx=0,[z=0.1z=0.

取y=l,則x=2,所以〃=(2,1,0)是平面灰)2的一個(gè)法向量.................12分

設(shè)二面角4-8,-。的大小為e,則

Icos01=1cos<AB,,n>1=〔]................................................13分

|2xl+lx0+0xl|VlO,3八

=-----r=-r=-----=>.............................................14分

V5xV25

所以sin6=半，即二面角4一8〃一。的正弦值為半......................15分

17.本小題主要考查正態(tài)分布，排列組合，條件概率與全概率公式等基礎(chǔ)知識(shí)；考查數(shù)據(jù)處理

能力，運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力等；考查統(tǒng)計(jì)與概率思想，分類(lèi)與整合思想等；考查

邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)據(jù)分析，數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)；體現(xiàn)基礎(chǔ)性，綜合性和應(yīng)用性.滿(mǎn)

分15分.

解：由顧客消費(fèi)額X服從正態(tài)分布N(130,252),得〃=130,。=25,......................1分

所以消費(fèi)額X在［105,180］內(nèi)的概率為

尸(105WX(180)=尸(〃-crWXW〃+2cr).......................................................................2分

0.6827+0.9545、八

X................................................................................................................3分

2

=0.8186..................................................................................................4分

所以該天消費(fèi)額X在［105,180］內(nèi)的人數(shù)約為20000x0.8186=16372.........................5分

(2)記事件同="顧客中龍騰獎(jiǎng)”，事件均="顧客中旺旺獎(jiǎng)”，事件2="顧客獲得乙獎(jiǎng)品”，

.......................................................................................................................................................6分

由題意知尸(4)=*=上尸(叫4)=1一g；=［，尸(叫4)=：.............................7分

事件4包括的事件是：“3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為6”，“3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為12”，“3

枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為18”，則

①若“3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為6”，則有“1點(diǎn)，1點(diǎn)，4點(diǎn)”，“1點(diǎn)，2點(diǎn)，3點(diǎn)”，“2點(diǎn)，

2點(diǎn),2點(diǎn)”三類(lèi)情況，共有C；?C：+H+l=10種;...........................8分

②若“3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為12”，則有“1點(diǎn)，5點(diǎn)，6點(diǎn)”，“2點(diǎn)，5點(diǎn),5點(diǎn)"，“2點(diǎn),

4點(diǎn)，6點(diǎn)”，“3點(diǎn)，4點(diǎn)，5點(diǎn)”，“3點(diǎn)，3點(diǎn)，6點(diǎn)”，“4點(diǎn)，4點(diǎn)，4點(diǎn)”六類(lèi)情況，

共有m+C；C；+W+H+C1C；+1=25種；..................................9分

③若“3枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為18”時(shí)，則只有“6點(diǎn)，6點(diǎn)，6點(diǎn)”一類(lèi)情況，共有1種.

與二i、in(A\10+25+1361/\

所以尸(4)=-—=/=%?......................................................................................10分

(i)由全概率公式得尸(5)=尸(4)尸(3|4)+尸(4)?(冏4)..........................................11分

71137

------1——x—=

81664384

即顧客獲得乙獎(jiǎng)品的概率是々.......................................................................................12分

384

皿4小r也a田/=/44-1c\

(ii)若顧客已獲得乙獎(jiǎng)品，是中“龍騰獎(jiǎng)”而獲得的概率是

一尸（4）尸（陰4）....................................................13分

P（B）

17

—X——

=匕/............................................................14分

384

-37,

所以，若顧客已獲得乙獎(jiǎng)品，是中“龍騰獎(jiǎng)”而獲得的概率是...............15分

37

18.本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，面積公式等基

礎(chǔ)知識(shí)；考查邏輯推理能力，運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)等；考查數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)

化思想，函數(shù)與方程思想等；考查直觀想象，邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)；體現(xiàn)基礎(chǔ)

性，綜合性與創(chuàng)新性.滿(mǎn)分17分.

解：方法一：(1)由題意可得，土=昱,....................................1分

a2

q+c=2+V3,.............................................................2分

所以i=2,c=8,........................................................3分

從而〃=。2_。2=］，........................................................4分

所以E的方程是0+丁=1..................................................5分

4

(2)設(shè)點(diǎn)5到直線ZC的距離為d,

因?yàn)辂?2兩，所以點(diǎn)5到直線NC的距離是點(diǎn)。到直線NC的距離的2倍.……6分

所以四邊形ABCD的面積為S=SAACB+SAACD..................................7分

=^\AC\d+^\AC\^

=^AC\d-.......................................8分

①當(dāng)直線/C垂直于x軸時(shí)，MG=2,點(diǎn)8到直線4C的距離d的最大值為2,

皿斗M3/-44-1rH、

3

?5max=-x2x2=3......................................................9分

②當(dāng)直線/C不垂直于x軸時(shí)，可設(shè)直線NC的方程為了=日，

，242

代入橢圓方程一+丁=1,整理得，x=---,即x=±7r三肅，............io分

4____1+4產(chǎn)W+4K

所以=4=4尸記...................11分

J1+4后2V4P+1

設(shè)過(guò)點(diǎn)B與直線AC平行的直線I的方程為y=kx+m,........................12分

代入橢圓方程，+r=1,并整理得，（1+4-）/+8加x+4〃/-4=0,..........13分

由A=(8而z)2-4(1+4/)(4加2_4)20,

得川W4嚴(yán)+1,............................................................14分

,|w-0|V4F+11〈人

所以d=................................................15分

7F+iV^+i

店2c314jl+」2Y4k2+1

所以S=一|/C|——\-=3,..................................16分

414*+17^71

當(dāng)上=0,且"7=1時(shí)，上述等號(hào)成立.

綜上，四邊形N8GD面積的最大值為3.17分

方法二：（1）同方法一.

（2）上同方法一,11分

設(shè)5(2cose,sine)，.........................................................12分

\lkcossin0\,,

則d=J——j-------........................................................13分

VFTi

\yj4k2+1sin(0-^)1、，“八

_Ir'(其中tan。=2左)..................................14分

jF+i

W*+l,..........................................................15分

jF+i

當(dāng)卜in（e-e）|=i時(shí)，等號(hào)成立.

皿4小r也a田cH/-H-ILH、

所以四邊形曲，面積=/電《磊?痣"

s16分

綜上，四邊形48co面積的最大值為3..............................................................................17分

方法三：(1)同方法一.

(2)因?yàn)榧?2可5,

所以點(diǎn)B到直線AC的距離是點(diǎn)D到直線AC的距離的2倍....................6分

所以四邊形ABCD的面積S=S-cB+S—CD

=//虛.........................................7分

=

3s—OB'.................................................................................8分

設(shè)A(2cosa,sina),B(2cos[3.sin/?),..................................................................................9分

則S)OB布卜in〃a.................................................................................................10分

\2

OA^B11分

12分

4cos2a+sin2a)(4cos20+sin2/?)一(4cosacos夕+sinasin/?)213分

2

cos2asin2尸一8cosacos/?sinasin尸+4sin2acos2[3

2

^(cos(7sin-cos(3sintz)2...................................................................................14分

=|sin(；0-a)\

Wl，............................................................................................................................15分

TT

當(dāng),—a=]+E/eZ)時(shí)，等號(hào)成立........................................16分

所以“'OB最大值是1，

所以四邊形4BCD的面積的最大值為3.............................................................................17分

皿4小r也3田八=

19.本小題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，不等式等基礎(chǔ)知識(shí)；考查邏輯推理能力，運(yùn)

算求解能力，直觀想象能力和創(chuàng)新意識(shí)等；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想，分類(lèi)

與整合思想等；考查直觀想象，數(shù)學(xué)運(yùn)算，邏輯推理等核心素養(yǎng)；體現(xiàn)基礎(chǔ)性，綜合性和

創(chuàng)新性.滿(mǎn)分17分.

解：方法一：(1)f'(x)=ex-m.............................................1分

①當(dāng)機(jī)W1時(shí)，/'(x)>1-加20對(duì)X￡(0,+8)怛成立，

所以/(X)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

所以.............................................................2分

②當(dāng)l<mWe時(shí)，由/'(x)=0，得x=lnm，

所以當(dāng)x￡(0,lnM時(shí)，<0;當(dāng)X￡(1IIM,+OO)時(shí)，/'(工)〉0,

所以/(%)在(0,In⑼上單調(diào)遞減,在(In加,+oo)上單調(diào)遞增,....................3分

所以/(%)，/(lnm)=elnw-mlnm=，

又因?yàn)镮vzwWe,所以IIIMWI,所以/'(x)2加(l-ln加)20.....................4分

綜上，當(dāng)加We時(shí)，.............................................5分

X-1

x

(2)(i)令g(%)=0，BPe-mx_x\nx-i=Q,所以---m-lnx——=0?

xx

設(shè)/(X)=J_inx-■-加，則g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)...........6分

XX

因?yàn)樾?=24+—飛1),

X2XX2X2

由/'(x)=0,得x=l，

所以當(dāng)尤e(0,1)時(shí)，I\x)<0;當(dāng)xe(l,+oo)時(shí),I'(x)>0,

所以/(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+oo)上單調(diào)遞增，

所以/(元)，/(l)=e-l-掰..................................................7分

①當(dāng)機(jī)<e-l時(shí)，/(x)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，舍去；8分

②當(dāng)〃z>e-l時(shí)，/(1)<0.

皿斗M3任1cH/44-1rM、

ez1-1

取/=ef,貝(II(t)=-----Int------m=----------]nt-m>-In/—m=-ln(e-/M)-加=0,

此時(shí)/(x)在七一加,1)上有唯一零點(diǎn)............................................9分

X2

由(1)知e*2ex,得/二便了》?,2,即砂2,.一；

由e"Nex,得ln(e")21n(ex),即x>1+lnx,即lnxWx-l.

4777pr1e?e2

取尸二-....，貝！!/(r)=-----Inr-------m>—r+1—r—1—m=(------V)r—m=0，

e-4rr44

此時(shí)/(x)在(1,孚—)上有唯一零點(diǎn)........................................10分

e-4

因此，根〉e-l時(shí)，/(%)有兩個(gè)零點(diǎn)，即g(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

綜上,加的取值范圍為(e-1,+8)....................................................................................11分

(ii)由(i)知/(再)=0,BP-----In%,---m=0?即加---In--

xl再再再

欲證玉+In/〈加一“^，只需證項(xiàng)+In/<----lnx1—-—，

2王X12

即證111(項(xiàng)%2)<----------項(xiàng)---e.............................12分

再再~T.

設(shè)G(x)=f-x」-電(x>0)，則G，(x)=(xTXe'「l)

xx2x

由e'Nex得e'T》x,所以e'Nx+1(當(dāng)且僅當(dāng)％=0時(shí)，等號(hào)成立),

所以，當(dāng)尤>0時(shí)，er-x-1>0.

令G'(x)=0,得x=l，所以當(dāng)xe(0,l)時(shí)，G'(x)<0;當(dāng)xe(l,+oo)時(shí)，G'(x)>0,

所以G(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

V2O3分

所以G(x)》G6=e-l-l->

V21

4分

要證ln(X1X2)<-----xt---

xxxx

令/(x)=/(x)-心(x》l),

X

:11

貝I」尸(x)=r(X)+4/心=eT,xT)+-L.-_'_I=(xT)(e-：e，+xJ,

XXXX1X

....................................................................................................................................................15分

皿叢林但任it—/-4+1c\

1_L]J.

令加(x)=e"-xex+x-1(x1),則mr(x)=ex-ex+—ex+1,

x

1-

因?yàn)閤Nl,所以0<—Wl,所以e“>e"

x

所以W(x)>0對(duì)X￡(1,+00)恒成立，

所以m(x)在(1,+co)上單調(diào)遞增，

所以m(x)2m(l)=0.

所以當(dāng)X￡(l,+o))時(shí)，F(xiàn)r(x)>0,所以尸(X)在(1,+00)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x>l時(shí)，F(xiàn)(x)>F(l)=0,即/(x)>/p)..............................16分

X

若0<%<1<.，則/(%)>/(')，所以/(%)>/(▲)，

x2x2

因?yàn)?(%)在(0,1)上單調(diào)遞減，所以玉<，,BPx,x2<1;

x2x2

若0<%2<1<不，貝1/(西)〉/(,)，所以/(%)>/(')，

占X1

因?yàn)?(X)在(0,1)上單調(diào)遞減，所以％2<,，即

命題得證...............................................................17分

方法二：(1)因?yàn)閍We,x>0,所以二x)=)-加工2e”-ex................2分

設(shè)/z(x)=ex-ex,貝Uh\x)=ex-e,..........................................3分

令h'(x)=0,得x=1,

所以當(dāng)xw(0,1)時(shí)，hf(x)<0；當(dāng)X￡(l,+oo)時(shí),hr(x)>0,

所以/z(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，.........................4分

所以〃⑴=0,即/(x)>0.............................................5分

(2)⑴同方法一.

xx,

e>1e1

(ii)由⑴矢口/(玉)=0,即----In/-----m=0,即加=----\nx1---.