山西省八校2023-2024學(xué)年高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

山西省八校2023-2024學(xué)年高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知函數(shù)/（x）=log2］）+11+出+3,則不等式/（lgX）>3的解集為（）

A.加0）B."卜…

C.D

10'

2.已知4卜6,0）,B（A0）,P為圓必+>2=1上的動點(diǎn)，AP=PQ,過點(diǎn)P作與AP垂直的直線/交直線08

于點(diǎn)M,若點(diǎn)"的橫坐標(biāo)為x,則N的取值范圍是（）

A.|x|>lB.國>1C.國之2D.|%|>^2

3.集合A={x|x—2<0},B=N,則AB=（）

A.{1}B.{1,2}C.{0,1}D.{0,1,2)

4.已知集合A={1,3,標(biāo)},B={l,m］,若=貝!|相=（）

A.。或若B.0或3C.1或占D.1或3

x-y+3>0

5.已知實數(shù)九,y滿足約束條件x+2y20，則z=3x+y的最小值為（）

x<2

A.-5B.2C.7D.11

6.若直線y=-2%的傾斜角為a,貝（Jsin2a的值為（）

443

A.—B.--c.±-D.--

5555

7.設(shè)i是虛數(shù)單位,貝!］（2+3。（3—2。=()

A.12+5zB.6-6zC.5iD.13

8.“紋樣”是中國藝術(shù)寶庫的瑰寶，“火紋”是常見的一種傳統(tǒng)紋樣.為了測算某火紋紋樣（如圖陰影部分所示）的面積,

作一個邊長為3的正方形將其包含在內(nèi)，并向該正方形內(nèi)隨機(jī)投擲200個點(diǎn)，己知恰有80個點(diǎn)落在陰影部分據(jù)此可估

計陰影部分的面積是（）

163218

A.——B.——C.10D.

55y

9.在AABC中，H為BC上異于B,C的任一點(diǎn)，/為AH的中點(diǎn)，若AM=+,則X+〃等于（）

10.已知雙曲線C："=1（。>03>0）的右焦點(diǎn)為P，若雙曲線c的一條漸近線的傾斜角為g,且點(diǎn)尸到該漸近

ab3

線的距離為石，則雙曲線C的實軸的長為

A.1B.2

C.4D.

5

———2x+3,x?11

11.已知函數(shù)</U）={，若關(guān)于“的方程/（x）=fcr——恰有4個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)上的取值范

Inx,x>12

圍是（）

12.設(shè)/a）=MX，若函數(shù)g（x）=/（x）-雙在區(qū)間（01）上有三個零點(diǎn)，則實數(shù)。的取值范圍是（）

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.定義在封閉的平面區(qū)域D內(nèi)任意兩點(diǎn)的距離的最大值稱為平面區(qū)域。的“直徑”.已知銳角三角形的三個點(diǎn)A,B,

C,在半徑為班的圓上，且/a4C=g,分別以ABC各邊為直徑向外作三個半圓，這三個半圓和ABC構(gòu)成平

面區(qū)域。，則平面區(qū)域。的“直徑”的最大值是.

14.設(shè)/(尤)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且/(x)+g(x)=(x+l)2—2"+L貝!I/⑴—g6=

uuULIuum

15.在AABC中，已知〃是的中點(diǎn)，且AM=1,點(diǎn)P滿足B4=2PW,則B4.(PB+PC)的取值范圍是.

16.一個房間的地面是由12個正方形所組成，如圖所示.今想用長方形瓷褥鋪滿地面，已知每一塊長方形瓷磚可以覆

蓋兩塊相鄰的正方形，即,則用6塊瓷磚鋪滿房間地面的方法有

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

1k

17.(12分)已知函數(shù)/(%)=(%——)lnx,g(x)=x——.

xx

(1)證明：函數(shù)〃%)的極小值點(diǎn)為1;

17

(2)若函數(shù)y=/(x)—g(x)在［1,+8)有兩個零點(diǎn)，證明：1W左＜木.

8

n1

18.(12分)如圖，在正四棱錐尸—A5CD中，AB=2,ZAPC=-,〃為依上的四等分點(diǎn)，即BP.

34

(1)證明：平面AMCJ_平面尸5C；

(2)求平面PDC與平面AMC所成銳二面角的余弦值.

19.(12分)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)耳(—0,0),K(V2,0),S(3行,0),動點(diǎn)N滿足|+|NS|=4百，點(diǎn)P

為線段NK的中點(diǎn)，拋物線C：》2=2m）；（機(jī)〉0）上點(diǎn)4的縱坐標(biāo)為#,OAOS=6瓜

（1）求動點(diǎn)P的軌跡曲線W的標(biāo)準(zhǔn)方程及拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若拋物線C的準(zhǔn)線上一點(diǎn)。滿足OPLOQ,試判斷薪『+擊『是否為定值，若是，求這個定值；若不是,

請說明理由.

20.（12分）如圖，焦點(diǎn)在工軸上的橢圓G與焦點(diǎn)在丁軸上的橢圓都過點(diǎn)M（0』），中心都在坐標(biāo)原點(diǎn)，且橢圓G

與的離心率均為走.

2

（I）求橢圓G與橢圓c2的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）過點(diǎn)M的互相垂直的兩直線分別與G，G交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A、3不同于點(diǎn)M）,當(dāng)AM鉆的面積取最大值

時，求兩直線M4,2斜率的比值.

21.（12分）函數(shù)/（x）=GC-ln（x+l）,g（x）=sinx,且/'（尤）..0恒成立.

（1）求實數(shù)。的集合

（2）當(dāng)aeM時，判斷了（》）圖象與g（x）圖象的交點(diǎn)個數(shù)，并證明.

（參考數(shù)據(jù)：M2。0.69,用:1.77）

22.（10分）已知拋物線W：V=2°式?！?）上一點(diǎn)C。,2）到焦點(diǎn)尸的距離為2,

（1）求/的值與拋物線W的方程；

（2）拋物線上第一象限內(nèi)的動點(diǎn)A在點(diǎn)C右側(cè)，拋物線上第四象限內(nèi)的動點(diǎn)B,滿足Q4,9"求直線A5的斜率

范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，得到-l<lgx<l,且IgxwO,解不等式得解.

【詳解】

由題得函數(shù)的定義域為（一8,0）、（0,+8）.

因為/（-%）=/（X），

所以/Xx）為（一8,0）,（0,+8）上的偶函數(shù),

因為函數(shù)股』+1,y=Jg+3都是在（°，+°°）上單調(diào)遞減?

所以函數(shù)于。）在（0,+8）上單調(diào)遞減.

因為〃l)=3"(lgx)>3=/(l),

所以一l<lgx<l,且IgxwO,

解得xe卜（1』0）.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌

握水平.

2、A

【解析】

由題意得|朋』=忸。|=2|0升，即可得點(diǎn)M的軌跡為以A,B為左、右焦點(diǎn)，a=l的雙曲線，根據(jù)雙曲線的

性質(zhì)即可得解.

【詳解】

如圖，連接OP,AM,

由題意得||八第—|肱1卜忸0|=2\OP\=2'

二點(diǎn)M的軌跡為以A,B為左、右焦點(diǎn)，。=1的雙曲線,

|x|>1.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了雙曲線定義的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.

3、D

【解析】

利用交集的定義直接計算即可.

【詳解】

A={x\x<2},故A，B={0,l,2},

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的交運(yùn)算，注意常見集合的符號表示，本題屬于基礎(chǔ)題.

4、B

【解析】

因為AD5=A,所以笈￡A,所以〃2=3或加=J

若m=3,則。={1,3,若},8={1,3},滿足AD5=A.

若機(jī)=，/,解得〃z=0或m=1.若加=0,則4={1,3,0},5={1,3,0},滿足AD5=A.若機(jī)=1,

A={1,3,1},3={1,1}顯然不成立，綜上m=0或m=3,選B.

5、A

【解析】

根據(jù)約束條件畫出可行域，再將目標(biāo)函數(shù)化成斜截式，找到截距的最小值.

【詳解】

x-y+3>0

由約束條件（x+2y>0,畫出可行域ABC如圖

x<2

z=3x+y變?yōu)閥=-3x+z為斜率為-3的一簇平行線，z為在y軸的截距,

二z最小的時候為過。點(diǎn)的時候,

x-y+3=0x=-2

解.得所以C(—2,1),

[x+2y=0y=i

此時z=3無+y=3x(—2)+1=—5

故選A項

【點(diǎn)睛】

本題考查線性規(guī)劃求一次相加的目標(biāo)函數(shù)，屬于常規(guī)題型，是簡單題.

6、B

【解析】

根據(jù)題意可得：tan1=-2,所求式子利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后,

將tane=-2代入計算即可求出值.

【詳解】

由于直線丁=一2%的傾斜角為a,所以tan1=-2,

.??.2sin?cos?2tan?-2x24

貝!(sin2a=2sinacosa=——---------—=——-------=------——=——

sin-?+cos-atan?+1(-2)-+15

故答案選B

【點(diǎn)睛】

本題考查二倍角的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系，熟練掌握公式是

解本題的關(guān)鍵.

7、A

【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可求得結(jié)果.

【詳解】

由復(fù)數(shù)的乘法法則得(2+3z)(3-2Z)=6+5Z-6Z2=12+51.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8、D

【解析】

直接根據(jù)幾何概型公式計算得到答案.

【詳解】

CQA1Q

根據(jù)幾何概型：故5=《.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)幾何概型求面積，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.

9、A

【解析】

根據(jù)題意，用4比4。表示出4",38與40,求出尢〃的值即可.

【詳解】

解：根據(jù)題意，設(shè)BH=xBC，則

AM=-AH=-(AB+BH)=-(AB+xBC)=-AB+-x(AC-AB)=-(l-x)AB+-xAC,

01八、1

01八、11

..X+4——(1-%)+~x——9

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是要找到一組合適的基底表示向量，是基礎(chǔ)題.

10、B

【解析】

雙曲線C的漸近線方程為丁=±2工，由題可知9=tan工=6.

aa3

IAl

設(shè)點(diǎn)E(c,O),則點(diǎn)尸到直線y=gx的距離為=5解得c=2,

所以02=〃+62="+3°2=4/=4,解得“=1,所以雙曲線C的實軸的長為2。=2,故選B.

11、D

【解析】

由已知可將問題轉(zhuǎn)化為：y=/(x)的圖象和直線；有4個交點(diǎn)，作出圖象，由圖可得：點(diǎn)(1,0)必須在直線

一!的下方，即可求得：k>[再求得直線y=入一!和相切時，k=立;結(jié)合圖象即可得解.

222p

【詳解】

若關(guān)于X的方程/(幻=丘一!恰有4個不相等的實數(shù)根，

則y=/(x)的圖象和直線y=h-；有4個交點(diǎn).作出函數(shù)y=/(x)的圖象，如圖,

故點(diǎn)(1,0)在直線y—kx—J的下方.

1?1

：.kxl——>0,解得左>一.

22

當(dāng)直線；和相切時，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為m,

.I,nmH—11/-

則k=2=-，??m=&?

m

m

此時，左=▲=立，/（x）的圖象和直線7=丘一工有3個交點(diǎn)，不滿足條件，

me2

故所求k的取值范圍是，曰:，

故選D..

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)與方程思想及轉(zhuǎn)化能力，還考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及計算能力、觀察能力，屬于難題.

12、D

【解析】

令g（x）=/（x）-av=0,可得/（x）=ov.

在坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)%）=|liu|的圖象（如圖所示）.

當(dāng)X>1時，/（芯）=111%.由1=111￥得了=工.

X

設(shè)過原點(diǎn)的直線y=Q與函數(shù)y=/"x的圖象切于點(diǎn)A（Xo，lnXo）,

Inx0=ax0

則有_1，解得1.

a=——a=—

［七〔e

所以當(dāng)直線y=口與函數(shù)y=/"x的圖象切時a=1.

e

又當(dāng)直線丫=必經(jīng)過點(diǎn)B（e?,2）時，有2=a-e2,解得。=視.

結(jié)合圖象可得當(dāng)直線丫=區(qū)與函數(shù)/（尤）=|血|的圖象有3個交點(diǎn)時，實數(shù)”的取值范圍是］

即函數(shù)g（x）=/（x）—依在區(qū)間（01）上有三個零點(diǎn)時，實數(shù)"的取值范圍是］搟,［.選D.

點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)（方程根的個數(shù)）求參數(shù)值（取值范圍）的方法

⑴直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

⑵分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解，對于一些比較復(fù)

雜的函數(shù)的零點(diǎn)問題常用此方法求解.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

9

13>一

2

【解析】

先找到平面區(qū)域D內(nèi)任意兩點(diǎn)的最大值為f+73sinB+V3sinC,再利用三角恒等變換化簡即可得到最大值.

【詳解】

由已知及正弦定理，得至■=」也=匹=2尺=26,所以BC=3,

sinBsinCsinA

AC=2A/3sinB,AB=243sinC?取AB中點(diǎn)E,AC中點(diǎn)F,BC中點(diǎn)G,

如圖所示

顯然平面區(qū)域任意兩點(diǎn)距離最大值為-+V3sinB+V3sinC,

2

而5+GsinB+百sinC=—+V3[sinB+sin(-^--B)]=

71

當(dāng)且僅當(dāng)3=§時，等號成立.

9

故答案為：—.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦定理在平面幾何中的應(yīng)用問題，涉及到距離的最值問題，在處理這類問題時，一定要數(shù)形結(jié)合，本題屬

于中檔題.

14、1

【解析】

令x=-1,結(jié)合函數(shù)的奇偶性，求得-，(D+g⑴=-1,即可求解/⑴-g⑴的值，得到答案.

【詳解】

由題意，函數(shù)/(x),g(x)分別是R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且/(x)+g(x)=(x+l)2—2i,

令x=—1,可得/(-I)+g(-l)=-/(I)+g(l)=(-1+1)2-2°=-1,

所以/⑴-g⑴=L

故答案為：L

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，其中解答中熟記函數(shù)的奇偶性，合理賦值求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與

運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

15、卜4

【解析】

由中點(diǎn)公式的向量形式可得PB+PC=2PAf，即有P4-(PB+PC)=2P4-PAf,

設(shè)PM=x,ZAPM=0,有PA?(尸B+尸。=2PA-PM=4/cos6,再分別討論三點(diǎn)AP,M共線和不共線時的情況，

找到X,。的關(guān)系，即可根據(jù)函數(shù)知識求出范圍.

【詳解】

M是的中點(diǎn)，.IPB+PC=2PM，即PA(PB+PC)=2PAPAf

設(shè)PM=x,<PA,PM>=e,于是尸4(PB+PC)=2P4PM=4X2COSO

⑴當(dāng)ARM共線時，因為AM=1,

1-?4

①若點(diǎn)P在40之間，則PM=g,<PA,PM〉=》，此時，PA(PB+PC)=--t

ULIULIULIU

②若點(diǎn)尸在AM的延長線上，則PM=L<B4,PM>=0,此時，PA-(PB+PC)=4.

⑵當(dāng)ARM不共線時，根據(jù)余弦定理可得，X2+4X2-2XX2XXCOS^=1

5r2-11,

解得cos。=土工由-1<COS0<1,解得—</<1

4x29

尸4.(P8+PC)=4?cos<9=5無2-1?(一.

uiruuruunr4"

綜上，PA(PB+PC)e--,4

4

故答案為：-§,4.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查學(xué)中點(diǎn)公式的向量形式和數(shù)量積的定義的應(yīng)用，以及余弦定理的應(yīng)用，涉及到函數(shù)思想和分類討論思想

的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是建立函數(shù)關(guān)系式，屬于中檔題.

16、11

【解析】

將圖形中左側(cè)的兩列瓷磚的形狀先確定，再由此進(jìn)行分類，在每一類里面又分按兩種形狀的瓷褥的數(shù)量進(jìn)行分類，在

其中會有相同元素的排列問題，需用至U“縮倍法”.采用分類計數(shù)原理，求得總的方法數(shù).

【詳解】

然后再貼剩下的部分，按如下分類:

5個

5!

3個=4,

1個=3，

(2)左側(cè)兩列如圖貼徜,

然后貼剩下的部分:

3個

1個,2個：2!=2,

綜上，一共有1+4+3+1+2=11（種）.

故答案為：11.

【點(diǎn)睛】

本題考查了分類計數(shù)原理，排列問題，其中涉及到相同元素的排列，用到了“縮倍法”的思想.屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)見解析(2)見解析

【解析】

⑴利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的增減.⑵函數(shù)y=/(x)-g(x)在[1,小)有兩個零點(diǎn)，即方程(無2-l)lnx-/=

在區(qū)間[1,+8)有兩解，令〃(%)=(尤2-尤②通過二次求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性證明參數(shù)范圍.

【詳解】

解：⑴證明：因為/(x)=(l+5)n%+[l—5],(%>0)

（0,1）時，lux/O,1H—0,1—1-<0,

當(dāng)xe/1W<o,

\X/X

所以/(可在區(qū)間(0,1)遞減；

當(dāng)xe(l,+co)時，1IIX>0,1+±>0,1—3>0,

X

所以/(力>0,所以外力在區(qū)間。,內(nèi))遞增;

且廣⑴=0,所以函數(shù)外力的極小值點(diǎn)為1

(2)函數(shù)丁=/(力-8(％)在［1,+<?)有兩個零點(diǎn)，

即方程(f-l)lnx-f=_左在區(qū)間］,+8)有兩解，

令〃(%)=(尤2-l)lnv-x2,貝！J/z'(x)=2xlwc-x--

X

令0(x)=/f(x)(xNl),則0<%)=21nx+3+1>0,

JC

所以“(力在［L+8)單調(diào)遞增，

又〃⑴=-2<0,/z,(2)=41n2-1>0

故存在唯一的相￡(1,2),使得力(加)=2加In加一加一工二0,即lnm=Ld——

m22m

所以/z(x)在(1,加)單調(diào)遞減，在區(qū)間(加,中冷)單調(diào)遞增，

且力⑴=/z(e)=—1，力(x)=^(m)=(加之-l^lnm-m2=(^m2-1V—+j-m2=|m2+^y|又因為

122zzzJ21zzzj

17

m?L2)，所以Mx*/一、，

o

方程關(guān)于X的方程(尤2—1)Inx-尤2=—左在［1,+8)有兩個零點(diǎn)，

17

由“X)的圖象可知，一~—<71(%)^<-k<h(l)=-l,

81111n

即1〈左<u.

8

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，確定函數(shù)的極值,利用二次求導(dǎo)，零點(diǎn)存在性定理確定參數(shù)范圍，屬于難題.

18、(1)答案見解析.(2)叵

7

【解析】

(1)根據(jù)題意可得PB=P￡)=E4=PC=20，在中，利用余弦定理可得AM_LM,然后同理可得

CMLPB,利用面面垂直的判定定理即可求解.

UULL

(2)以。為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，求出面PDC的法向量為4,AMC的法向量為%,利用空間向量的數(shù)量積即可

求解.

【詳解】

(1)由AB=2nAC=2行

兀

由NAPCPA=PC=AC=2>j2

3

因為是正四棱錐，故PB=PD=PA=PC=2近

于是BM=叵,PM=-s/2

22

由余弦定理，在中，設(shè)ZAPB=8

PA2+PB2-AB2_3

COS0=

2PAPB~4

再用余弦定理，在中，

7

AM2=+PM2-2PA-PMcos0=~

7i

AM2+MB-=-+-=4=AB2

22

二NAMB是直角，AM±PB

同理CMLPB,而必在平面尸8C上,

/.平面AMC±平面PBC

則D(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),P(l,l,瓜B(2,2,0)

uuu

設(shè)面PDC的法向量為nx，AMC的法向量為n2

則nx=PDxDC=(0,276,-2)

n2//PB,取%=PB=(1,L—庭)

々_^21

于是，二面角。的余弦值為：cos6=

l?i|-|?217

【點(diǎn)睛】

本題考查了面面垂直的判定定理、空間向量法求二面角，屬于基礎(chǔ)題.

19、（1）曲線W的標(biāo)準(zhǔn)方程為］+>2=1.拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為必=2幾入（2）見解析

【解析】

（1）由題知IPEI+IP尸2|=闕苦陽=2君>|四尸2|,判斷動點(diǎn)尸的軌跡W是橢圓，寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)平面

向量數(shù)量積運(yùn)算和點(diǎn)A在拋物線上求出拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，再表示出點(diǎn)N和。的坐標(biāo)，根

11

據(jù)題意求出中萬+77寸的值，即可判斷結(jié)果是否成立.

\OP\-10Q|-

【詳解】

（1）由題知忸q=號^,|尸用

所以忸團(tuán)+忸用」'用？'國=26>國閶，

因此動點(diǎn)P的軌跡W是以8，B為焦點(diǎn)的橢圓，

又知2a=2石，2c=2后，

所以曲線W的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+>2=1.

3-

又由題知4（5,、石），

所以0405=鼠,悶.（30,0）=3枝XA=6瓜,

所以％=2癡，

又因為點(diǎn)A（2出，迷）在拋物線C上，所以加="，

所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為V=2娓y.

（2）設(shè)。（馬，力），Q一半j,

由題知OPLOQ,所以?L=o,即々=?物（今70）,

22%p

--------T=-5--V---5---3+2%尸

所以|0P『耳+第3y|+3=3#+，)

2xp2

又因為?+/=1,療=1—9

3+2%p

11

所以西產(chǎn)+儲所為定值，且定值為1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓錐曲線的定義與性質(zhì)的應(yīng)用問題，考查拋物線的幾何性質(zhì)及點(diǎn)在曲線上的代換，也考查了推理與運(yùn)算能

力，是中檔題.

2

20、(1)—+y=1,盧￡T(2)19-屈)--------------

4-

【解析】

分析：（1）根據(jù)題的條件，得到對應(yīng)的橢圓的上頂點(diǎn)，即可以求得橢圓中相應(yīng)的參數(shù)，結(jié)合橢圓的離心率的大小，求得

相應(yīng)的參數(shù)，從而求得橢圓的方程；

⑵設(shè)出一條直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，消元，利用求根公式求得對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得向量的坐標(biāo)，將S

表示為關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系，從眼角函數(shù)的角度去求最值，從而求得結(jié)果.

詳解：（I）依題意得對G：b=l,eMYtneZuOuf，得G：—+/=1;

G/八2/I

2%1

同理。2：丁+T=1

(II)設(shè)直線MA,MB的斜率分別為%,右，則MA：y=左逮+1,與橢圓方程聯(lián)立得：

/22

X=9

<4'nf+4(左］%+1)2—4=0,得(4匕n+1)f+8左i%=0,^A~~TTTV7?YA■z1~~7~所以

y=k^x+1

甌-4婷+1

-4《2+/4女;+1

2

-2k、4-k：.所以MA=(——Rk,—-RAt),MB-2k、-2k；

同理可得8

、4+左22'4+&2,4婷+1的2+1八\4+l4+&2,

從而可以求得S=!8kl-2k；—2自—8婷_116左左2(左2—左)

秋2+1-5(4婷+1)(4+&2)因為左次2=-］，

24婷+74+&24+《2

j八,(］、k、+k；,,q、—4左J—9婷+1

所以s二'不妨設(shè)-0'…(%+/

/'(左)=0,,—4短—9婷+1=0,k；=屈J,所以當(dāng)S最大時，婷二噸-9,此時兩直線MA,MB斜率的比

點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)橢圓與直線的綜合題，在解題的過程中，注意橢圓的對稱性，以及其特殊性，與y軸的交點(diǎn)

即為橢圓的上頂點(diǎn)，結(jié)合橢圓焦點(diǎn)所在軸，得到相應(yīng)的參數(shù)的值，再者就是應(yīng)用離心率的大小找參數(shù)之間的關(guān)系，在

研究直線與橢圓相交的問題時，首先設(shè)出直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，求得結(jié)果，注意從函數(shù)的角度研究問題.

21、(1){1}；(2)2個，證明見解析

【解析】

(1)要，(無)-0恒成立，只要/Xx)的最小值大于或等于零即可，所以只要討論求解看了(元)是否有最小值;

(2)將/(%)圖像與g(x)圖像的交點(diǎn)個數(shù)轉(zhuǎn)化為方程/(x)=g(x)實數(shù)解的個數(shù)問題，然后構(gòu)造函數(shù)

以幻=/(x)-g(x),再利用導(dǎo)數(shù)討論此函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù).

【詳解】

(1)/(x)的定義域為(—1,+8),因為/'(x)=a------,

X+1

1。當(dāng)心0時，/'(為<0,/(%)在玉?(0,+?>)上單調(diào)遞減，去e(o,4w)時，使得/。)</(0)=0,與條件矛盾;

2。當(dāng)。>0時，由/'(幻<0,得—l<xJ—1；由/(x)>0,得x〉L—1,所以/(尤)在(―J—1］上單調(diào)遞減,

aayaJ

在—1,+s)上單調(diào)遞增，即有7mhi—“=1—〃+ln〃，由/(%)..。恒成立，所以1—a+lna.O恒成立,

令h(a)=1一Q+Ina(a>0),h\a)=-!+—=----

aa

若0vQ〈1,”(〃)〉0,h{d)</z(l)=0；

若a>l,〃(a)<OM(a)<〃(l)=O；而a=l時，h(a)=O,要使l—a+lna.0恒成立,

故ae{l}.

(2)原問題轉(zhuǎn)化為方程/(x)=g(x)實根個數(shù)問題,

當(dāng)a=l時，/(X)圖象與g(x)圖象有且僅有2個交點(diǎn)，理由如下:

由/(x)=g(x),gpx-ln(x+l)-sinx=0,令"(x)=x-ln(x+l)-sinx,

因為9(0)=0,所以x=0是O(x)=。的一根；(p'(x)=1——-——cosx,

x+1

1。當(dāng)-1cx<0時，1一一—(0,cosx)0,

x+1

所以°'(x)<0,9(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減，以幻>0(0)=0,即°(x)=0在(-1,0)上無實根;

2。當(dāng)0<x<3時，=1-+sinx>0,

(x+1)-

則°(x)在(0,3)上單調(diào)遞遞增，又9'［父=1一一二>0,9'(0)=-1<0,

)?+2

e|0,^|,且滿足11=cosx0,

所以夕(x)=0在(0,3)上有唯一實根毛,毛