2024年中考九年級(jí)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提升訓(xùn)練-因式分解 壓軸題

2024年中考九年級(jí)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提升訓(xùn)練一一因式分解壓軸題

1.通過(guò)課堂的學(xué)習(xí)知道，我們把多項(xiàng)式"+2必+/及02一2必+匕2叫做完全平方式，

如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中

出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法.

配方法是一種重要的解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解

因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題或求代數(shù)式最大值，最小值等.

例如：分解因式

X2+2X-3=(%2+2X+1)-4=(X+1)2-4=(X+1+2)(X+1-2)=(X+3)(X-1)；

22

再例如求代數(shù)式2d+4x-6的最小值，2/+4尤-6=2(X+2X-3)=2(X+l)-8.

可知當(dāng)x=-l時(shí)，2/+4x-6有最小值，最小值是-8,根據(jù)閱讀材料用配方法解決下

列問(wèn)題：

⑴代數(shù)式-/+2a+3的最大值為：

(2)若Af=/+/+口與N=6。-力，判斷M、N的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)已知：<7-6=2,ab+c2-4c+5^0,求代數(shù)式a+6+c的值.

2.材料一：一個(gè)正整數(shù)x能寫(xiě)成x=/一廿(/匕均為正整數(shù)，且償。)，則稱尤為“雪

松數(shù)”，a,b為x的一個(gè)平方差分解，在x的所有平方差分解中，若/+〃最大，則稱

a,6為尤的最佳平方差分解，此時(shí)尸(x)=/+b?.

例如：24=72-52,24為“雪松數(shù)”，7和5為24的一個(gè)平方差分解，32=92-72,

32=62—2?,因?yàn)??+7?>6+2?,所以9和7為32的最佳平方差分解,尸(32)=92+7：

材料二:若一個(gè)四位正整數(shù),它的千位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字相同，百位數(shù)字與十位數(shù)字相同，

但四個(gè)數(shù)字不全相同，則稱這個(gè)四位數(shù)為“南麓數(shù)”.例如4334,5665均為“南麓數(shù)”.

根據(jù)材料回答：

(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出兩個(gè)“雪松數(shù)”，并分別寫(xiě)出它們的一對(duì)平方差分解；

⑵試證明10不是：“雪松數(shù)”；

(3)若一個(gè)數(shù)r既是“雪松數(shù)”又是“南麓數(shù)”，并且另一個(gè)“南麓數(shù)”的前兩位數(shù)字組成的兩

位數(shù)與后兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)恰好是t的一個(gè)平方差分解，請(qǐng)求出所有滿足條件的數(shù)

t中尸⑺的最大值.

3.請(qǐng)根據(jù)閱讀材料利用整體思想解答下列問(wèn)題:

例1：分解因式(尤2+2X)(Y+2X+2)+1；

解：將“/+2元”看成一個(gè)整體，^x2+2x=y；

原式=y(y+2)+l=y2+2y+l=(y+l)~=(x。+2x+l)~=(x+1)4；

例2：已知仍=1,求+的值.

l+d1+b

左刀11ab1b1.

角牛---------1---=-----1---=----1---=].

1+6?1+Z?ab+a1+b1+b1+b'

(1)根據(jù)材料，請(qǐng)你模仿例1嘗試對(duì)多項(xiàng)式(爐-6》+8)卜2-6*+10)+1進(jìn)行因式分解;

⑵計(jì)算：

(1-2-3-...-2021)x(2+3+...+2022)-(1-2-3-...-2022)x(2+3+...+2021)=

⑶①已知而=1,求.+￡的值;

5a5b5c

②若abc=1,直接寫(xiě)出的值.

ab+a+1bc+b+1ca+c+1

4.我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成/+從（。、6是整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”.

例如，5是“完美數(shù)”.理由：因?yàn)?=2?+12,所以5是“完美數(shù)”.

［解決問(wèn)題］

（1）已知29是“完美數(shù)”，請(qǐng)將它寫(xiě)成/+〃（以/,是整數(shù)）的形式______；

⑵若f一6元+5可配方成（X-，"）-+"（機(jī)、〃為常數(shù)），則；

［探究問(wèn)題］

（3）已知丁+/一2x+4y+5=0,貝！|x+y=；

（4）已知S=Y+4y2+4x-12y+Z;（無(wú)、y是整數(shù)，左是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求

出符合條件的一個(gè)左值，并說(shuō)明理由.

［拓展結(jié)論］

（5）已知實(shí)數(shù)x、y滿足-V+gx+y-5=0,求x-2y的最值.

5.如果一個(gè)三角形有兩個(gè)頂點(diǎn)滿足橫坐標(biāo)的平方和等于橫坐標(biāo)積的二倍，且這兩個(gè)頂

點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上，則稱這個(gè)三角形為垂軸三角形，這兩點(diǎn)稱為垂頂點(diǎn).

⑴若已知A（后4）,8（3,3）,C（3,l）,判斷ASC是否為垂軸三角形；

⑵如圖，OAB為垂軸三角形，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn).設(shè)點(diǎn)A（a,6）,Q<b〈島.若OA=OB,

以。4為邊作等邊.AOP,頂點(diǎn)尸在落在第二象限，OF平分/POB,且NABR=30。,

連接尸尸交y軸于點(diǎn)E.

①探究AB與PF的位置關(guān)系；

②若尸點(diǎn)的坐標(biāo)為（5,4-機(jī)），求點(diǎn)尸的坐標(biāo)（用含。、機(jī)的式子表示）.

6.［項(xiàng)目學(xué)習(xí)］配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法.它是指將一個(gè)式子的某部分通過(guò)恒

等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法，這種方法常被用到代數(shù)式的變形

中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來(lái)解決一些問(wèn)題.

例如，把二次三項(xiàng)式/一2》+3進(jìn)行配方.

解：x2-2x+3=x2-2x+l+2=［x2-2x+l）+2^（x-l）2+2.

我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成/+匕2（。，6是整數(shù)）的形式，即兩個(gè)數(shù)的平方和形式，

則稱這個(gè)數(shù)為“雅美數(shù)”例如，5是“雅美數(shù)”.理由：因?yàn)?=22+F.再如，

M=d+2盯+2y2=（x+y）?+y2（x,y是整數(shù)），所以M也是“雅美數(shù)”.

（1）［問(wèn)題解決］4,6,7,8四個(gè)數(shù)中的“雅美數(shù)”是.

⑵若二次三項(xiàng)式d-6x+13（尤是整數(shù)）是“雅美數(shù)”，可配方成（x-相『+〃（加，”為

常數(shù)），則的值為;

3

（3）［問(wèn)題探究］已知S=/+4/+8x-12y+左（x,>是整數(shù)，k是常數(shù)且w,>*］），

要使S為“雅美數(shù)”，試求出符合條件的左值.

（4）［問(wèn)題拓展］已知實(shí)數(shù)M,N是“雅美數(shù)”，求證：是“雅美數(shù)”.

7.材料一：一個(gè)三位數(shù)若它的各數(shù)位上的數(shù)字均不為0,且滿足十位上的數(shù)字的

平方等于百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之積的左倍（人為整數(shù)），則稱M為絮階比例中項(xiàng)數(shù)”；

材料二：一個(gè)三位數(shù)P=詼，它的百位數(shù)字和十位數(shù)字組成的兩位數(shù)為瓦，十位數(shù)字

和個(gè)位數(shù)字組成的兩位數(shù)為瓦，規(guī)定歹（尸）=瓦+5瓦；

例如：244,因?yàn)?2=2x2x4,其中％=2,2是整數(shù)，所以244是“2階比例中項(xiàng)數(shù)”，

F（244）=24+5x44=244；

44

又如：321,因?yàn)?2=§x3xl,但§不是整數(shù)，所以321不是一個(gè)“左階比例中項(xiàng)數(shù)”，

"321）=32+5x21=137.

（1）363是“階比例中項(xiàng)數(shù)”；最大的"3階比例中項(xiàng)數(shù)”為；

⑵若N=100"?+10〃+l（其中1《機(jī)<4,2<o<8,m,"均為正整數(shù)，且"為偶數(shù)）

是一個(gè)“左階比例中項(xiàng)數(shù)”，且歹（N）被7除余1,求出所有滿足條件的N.

8.一個(gè)兩位數(shù)M,若將十位數(shù)字2倍的平方與個(gè)位數(shù)字的平方的差記為數(shù)N,當(dāng)N>0

時(shí)，我們把N放在M的右邊將所構(gòu)成的新數(shù)叫做M的“疊加數(shù)”.

例如：M=47,：N=(2x4)2—72=15>0,47的“疊加數(shù)”為4715；

M=26,N=(2x2)2-62=-20<0,26沒(méi)有“疊加數(shù)”.

(1)請(qǐng)判斷3420和5846是否為某個(gè)兩位數(shù)的“疊加數(shù)”，并說(shuō)明理由；

(2)兩位數(shù)M=10a+6(l<a<9,l<b<4,且。、6均為整數(shù))有“疊加數(shù)”，且12a—N

能被13整除，求所有滿足條件的兩位數(shù)M的“疊加數(shù)”.

9.觀察下列各式：(xwO)

(1)從上面的算式及計(jì)算結(jié)果，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律直接寫(xiě)下面的空格:

⑵用數(shù)學(xué)的整體思想方法，設(shè)［=根，分解因式：(療+機(jī)6+W+/+/+療+m+1),

(3)已知1+2+22+23+24+25+26+27=(32-04,(2、6、。、1都是正整數(shù),且。＞6＞。＞1,

化簡(jiǎn)求，包的值.

ycd)I17c)a

10.數(shù)形結(jié)合思想是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)

題的思想.我們常利用數(shù)形結(jié)合思想，借助形的幾何直觀性來(lái)闡明數(shù)之間某種關(guān)系，如：

探索整式乘法的一些法則和公式.

⑴探究一:

將圖1的陰影部分沿虛線剪開(kāi)后，拼成圖2的形狀，拼圖前后圖形的面積不變，因此可

得一個(gè)多項(xiàng)式的分解因式

(2)探究二：類似地，我們可以借助一個(gè)棱長(zhǎng)為。的大正方體進(jìn)行以下探索:

在大正方體一角截去一個(gè)棱長(zhǎng)為伏6＜。)的小正方體，如圖3所示，則得到的幾何體的

體積為

(3)將圖3中的幾何體分割成三個(gè)長(zhǎng)方體①、②、③，如圖4、圖5所示，'：BC=a,

AB=a-b,CF=b,...長(zhǎng)方體①的體積為ab(a-b).類似地，長(zhǎng)方體②的體積為.

長(zhǎng)方體③的體積為.(結(jié)果不需要化簡(jiǎn))

(4)用不同的方法表示圖3中幾何體的體積，可以得到的恒等式(將一個(gè)多項(xiàng)式因式分解)

為.

(5)問(wèn)題應(yīng)用：利用上面的結(jié)論，解決問(wèn)題：已知a-b=6,ab=2,求的值.

(6)類比以上探究，嘗試因式分解：?3+^=_.

11.我們知道，任意一個(gè)正整數(shù)〃都可以進(jìn)行這樣的分解：n=pxq（p,4是正整數(shù),

且在"的所有這種分解中，如果p,g兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小，我們就稱

是“的最佳分解，并規(guī)定；歹（"）=',例如12可以分解成1x12,2x6或3x4,因?yàn)?/p>

q

12-1>6-2>4-3,所以3x4是12的最佳分解，所以F（12）="

⑴求尸（24）；

（2）如果一個(gè)正整數(shù)〃只有1與根本身兩個(gè)正因數(shù)，則相稱為質(zhì)數(shù).若質(zhì)數(shù)加滿

足網(wǎng)m+4）=1,求的值；

⑶是否存在正整數(shù)〃滿足尸（力）=尸（〃+12）=；,若存在，求W的值：若不存在，說(shuō)明

理由.

12.閱讀題.

材料一:若一個(gè)整數(shù)m能表示成a2-b2（a,b為整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為"完美數(shù)".例如，

3=22-12,9=32。,12=42-22,則3,9,12都是"完美數(shù)”;再如,M=x2+2xy=（x+y）2-y2,（x,y

是整數(shù)），所以M也是"完美數(shù)”.

材料二：任何一個(gè)正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解：n=pxq（p、q是正整數(shù)，且p<q）.如

果pxq在n的所有這種分解中兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小，我們就稱pxq是n的最佳分

解，并且規(guī)定F(n)=K.例如18=1x18=2x9=3x6,這三種分解中3和6的差的絕對(duì)值

q

31

最小，所以就有F(18)===：.請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

62

(1)8(填寫(xiě)"是"或"不是")一個(gè)完美數(shù)，F(xiàn)?=.

⑵如果m和n都是"完美數(shù)"，試說(shuō)明mn也是完美數(shù)

⑶若一個(gè)兩位數(shù)n的十位數(shù)和個(gè)位數(shù)分別為x,y(l<x<9),n為"完美數(shù)"且x+y能夠被8整

除，求F(n)的最大值.

13.若一個(gè)兩位正整數(shù)m的個(gè)位數(shù)為8,則稱m為“好數(shù)”.

(1)求證：對(duì)任意“好數(shù)”m,11?一64一定為20的倍數(shù)；

(2)若m=p2-q2,且p,q為正整數(shù),則稱數(shù)對(duì)(p,q)為“友好數(shù)對(duì)”，規(guī)定："(〃?)=",

P

[68

例如68=182-162,稱數(shù)對(duì)(18,16)為“友好數(shù)對(duì)”，貝朋(68)=R=§,求小于50的“好

數(shù)”中，所有“友好數(shù)對(duì)”的H(m)的最大值.

14.把代數(shù)式通過(guò)配湊等手段，得到局部完全平方式，再進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算和解題，這種解

題方法叫做配方法.

如：①用配方法分解因式：a2+6a+S,

解：原式=〃+6。+8+1-1=。2+6。+9-1

=(。+3)2-12=[(a+3)+l][(a+3)-ll=(a+4)(?+2)

②M=a2-2aT,利用配方法求M'的最小值.

：4-_2a_]=q-_2a+1—2=(a-1)~—2

,."(a-b)2>0,.?.當(dāng)a=l時(shí)，M有最小值一2.

請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下列問(wèn)題：

(1)用期方渚因式分解：X2+2X-3.

(2)若河=2尤2_8X,求M的最小值.

(3)已知x2+2y2+z2-2xy-2y-4z+5=0,求x+y+z的值.

15.閱讀下列材料：

1637年笛卡爾在其《幾何學(xué)》中，首次應(yīng)用“待定系數(shù)法”將四次方程分解為兩個(gè)二次方

程求解，并最早給出因式分解定理.

他認(rèn)為：對(duì)于一個(gè)高于二次的關(guān)于龍的多項(xiàng)式，“關(guān)=。是該多項(xiàng)式值為0時(shí)的一個(gè)解”

與“這個(gè)多項(xiàng)式一定可以分解為（》一。）與另一個(gè)整式的乘積”可互相推導(dǎo)成立.

例如：分解因式三+2H-3.

,??％=1是d+2/_3=0的一個(gè)解，?,?二+2%2_3可以分解為（1-1）與另一個(gè)整式的乘積.

設(shè)+2/—3=（無(wú)一1）（以2+區(qū)+c）

而（X—1）（62+區(qū)+。）=61r3+9―〃）％2+（0_勾％_。，貝”有

。=1（

a=1

〃_〃—2

<人。，得膽=3，從而x3+2f-3=（x-l乂/+3犬+3）

運(yùn)用材料提供的方法，解答以下問(wèn)題:

(1)①運(yùn)用上述方法分解因式d+2x+3時(shí)，猜想出V+2x+3=0的一個(gè)解為

(只填寫(xiě)一個(gè)即可)，則d+2x+3可以分解為