新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)切線（選填題12種考法）（解析版）

專題08切線(選填題12種考法)

考法解讀

廣特征—該點(diǎn)為切點(diǎn)—未知切點(diǎn)先設(shè)切點(diǎn)

在點(diǎn)(x(),f(Xo))的切線方程

①求斜率：求導(dǎo)k=f(x),將切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入f'g)

-題型1切線方程一,

②求切線：點(diǎn)斜式求切線y-y『f(Xo)(x-Xo)

注意：若f(x(j)未知，將X。代入原函數(shù)求f(x0)

①切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；

{②切點(diǎn)在切線上，切點(diǎn)代入切線

③切點(diǎn)在曲線上，切點(diǎn)代入曲線

J服刑Q或舄柄一根據(jù)求參數(shù)解題思路列式-一消元一變成關(guān)于切點(diǎn)的函數(shù)一一

_題型3本最值根據(jù)函數(shù)特點(diǎn)選擇判斷單調(diào)性的方法--確定最值點(diǎn)求最值

r特征一該點(diǎn)不一定是切點(diǎn)

切

(1)設(shè)點(diǎn)：設(shè)切點(diǎn)的空標(biāo)(X。，y)

線0

(2)求導(dǎo)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'(x。)

)切點(diǎn)(%過的點(diǎn)

,題型1切線方程一f(Xo=2zb=y0)(xpV)

(3)列k:,xo-xi

y.=f(x.)

(4)點(diǎn)斜式：y-y0=f(x0)(x-xp

設(shè)切點(diǎn)：曲線f(x)切點(diǎn)(x0,y0)

u過

點(diǎn)求導(dǎo)數(shù):f(x)

J題型2求參數(shù)-

列k式：“f(xo)='—1①((X1,V。是過點(diǎn)的坐標(biāo))

列方程組.Xl-X0

代切點(diǎn)：將切點(diǎn)代入曲線f(x)或切線方程

r①設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)

②寫出切線方程或列切線k的方程，轉(zhuǎn)化成求切點(diǎn)橫坐標(biāo)的根

J題型3切線條數(shù)--的個(gè)數(shù)或根的范圍

1③根據(jù)需要轉(zhuǎn)化成交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題

①設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)

L題型4最值或

②寫出切線方程或列切線k的方程，轉(zhuǎn)化成切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程

取值范圍{

③根據(jù)方程的特征選擇判斷單調(diào)性的方法，進(jìn)而求最值

r①兩個(gè)函數(shù)在切點(diǎn)處的斜率相等

②切點(diǎn)既在切線上又在曲線上，代入切線或曲線，列出有關(guān)

題型1求參數(shù)

切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程組，通過解方程組求解.

匚③或者分別求出兩函數(shù)的切線，利用兩切線重合列方程組求解.

按題型1列出方程，根據(jù)方程的特征選擇判斷單調(diào)性的方法,

'題型2求最值

進(jìn)而求最值

一切線與傾斜角-k=tana=f(x0)=^—

XL?

切一

線

設(shè)點(diǎn):設(shè)曲線上的點(diǎn)坐標(biāo)

廠題型1點(diǎn)到曲線的距離最值列式:利用兩點(diǎn)間的距離

J最值：根據(jù)式子的特征選擇單調(diào)性的方法進(jìn)而求最值

切

平

行

線r設(shè)切線：設(shè)平行于直線且與曲線相切的直線方程

切

的

--求切線：利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義求切線

線

應(yīng)

法

用I求距離：點(diǎn)到曲線距離轉(zhuǎn)化成兩平行線的距離

r分參參數(shù)，水平線法

L題型3零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參--分離函數(shù)，切線法

匚移項(xiàng)到一邊，求導(dǎo)分類討論

典例剖析

f-考法一在點(diǎn)：求切線方程

一考法二在點(diǎn)：已知切線求參數(shù)

一考點(diǎn)三在點(diǎn)：求參數(shù)最值

一考法四過點(diǎn)：求切線方程

—考法五過點(diǎn)：已知切線求參數(shù)

切

線—考法六過點(diǎn)：求切線的數(shù)量

考

法一考法七過點(diǎn)：求最值與取值范圍

—考法八公切線

一考法九切線與傾斜角

考法一在點(diǎn)：求切線方程

【例1】（2023?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）曲線y=E在點(diǎn)門處的切線方程為（）

x+1I2）

eeeee3e

A.y=—xB.y=—xC.y=—x+—D.y=—x+——

424424

【答案】C

【解析】設(shè)曲線y=工在點(diǎn)卜,1處的切線方程為=

x+1\2）2

，e*（x+l）—e"XQA.eee、

因?yàn)閥=-r所以心（H仔=而尸所以人丁昌二所以丁萬=戶一1）

所以曲線y=￡在點(diǎn)［吟］處的切線方程為＞=++:

故選：c

【變式】

1.（2021?全國(guó),統(tǒng)考高考真題）曲線y=J■在點(diǎn)（T-3）處的切線方程為_______.

x+2

【答案］5%-y+2=0

【解析】由題，當(dāng)尸-1時(shí)，產(chǎn)-3,故點(diǎn)在曲線上.

2（x+2）-（2尤-1）5

求導(dǎo)得：、'=所以川-=5.

（x+2）2（x+2）2

故切線方程為5x-y+2=0.

故答案為：5%-y+2=0.

2.（2023?安徽?合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）曲線〃月=/-6/+18在點(diǎn)（2"（2））處的切線方程為

【答案】⑵+y—26=0

【解析】/（2）=23-6X22+18=2,又/'（x）=3d-12x,所以尸（2）=3x2?-12x2=-12,

所以切線方程為y-2=-12（x-2）,即12元+y—26=0.

故答案為：⑵+y-26=0.

3.（2023?遼寧?校聯(lián)考二模）已知函數(shù)"x）=（"l）x2"sinx是奇函數(shù)，則曲線y=/（X）在點(diǎn)（0,0）處的切線方

程為.

【答案】y=—x

【解析】由題意函數(shù)為奇函數(shù)可知/（-尤）=（aT）元2+asinx=-f（x）=-（a-l）x2+asiiw

所以a—1=0,所以a=l,

則函數(shù)可化為〃x）=-sinx,貝ir（x）=-co&r,/,（0）=-1,

則由導(dǎo)數(shù)得幾何意義可知曲線y="x）在點(diǎn)（0,0）處的切線斜率為-1.

所以曲線y=/（x）在點(diǎn)（0,0）處的切線方程為y=-X

故答案為：y=-x.

考法二在點(diǎn)：已知切線求參數(shù)

【例2-1］（2023?河南,校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若直線y=-3x+g與曲線，（尤）=屋工+"相切，則“=.

2

【答案】

【解析】依題意，設(shè)切點(diǎn)為（如/中），則e—+"=_3x0+g,

由〃x）=e⑶+。,求導(dǎo)得/，（》）=—先"。,于是一3e%+"=_3,解得一3x°+a=0,

從而則2〃=-：2.故答案為：-42

【例2-2】（2023?西藏日喀則?統(tǒng)考一模）已知直線y=笈+6是曲線/（x）=xe"在點(diǎn)處的切線方程，則

k+b=__________

【答案】e

【解析】由題設(shè)，/⑴=6且/（尤）=（尤+1）1,則尸（l）=2e,

所以，切線方程為y-e=2e（x-l）,即y=2ex-e,

所以左=2e,6=-e,故人+6=e.

故答案為：e

【變式】

1.（2023?安徽?池州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）=lnx-依+1（其中aeR）在x=l處的切

線為/,則直線/過定點(diǎn)的坐標(biāo)為.

【答案】（0,0）

【解析】根據(jù)題意：函數(shù)/（x）=h?6+1在x=l處有切線，，切點(diǎn)為

X-.f\x）=--a,故切線斜率為l-a,

X

二直線/的方程為y—(l—a)=(l-a)(xT)=>y=(l-a)x,

該直線過定點(diǎn)的坐標(biāo)為（O,O）.

故答案為：（0,0）

2.（2023?廣西?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若曲線/（力=。心%+/-2%在彳=1處的切線與直線x+4y-7=0相互垂直,

貝!]a=?

【答案】3

【解析】已知/（x）=alnx+x3-2x,則尸（無）=^+3無？-2,/'（l）=a+l

因?yàn)榍€/（x）=alnx+x3-2尤在了=1處的切線與直線尤+4y-7=0相互垂直，

所以（〃+l）x（）=一1,解得“=3.

故答案為：3.

3.（2023?廣東東莞?東莞實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考一模）已知直線>=依-1與曲線y=alnx+2相切，則。=.

【答案】3

【解析】對(duì)y=alnx+2求導(dǎo)，得y'=@,

a

—=a

%X0=1

設(shè)切點(diǎn)為（1,%）,則-%=QXQ—1,解得,%=2,

y0=alnxQ+2a=3

故答案為：3.

考點(diǎn)三在點(diǎn)：求參數(shù)最值

【例3】（2023?浙江?模擬預(yù)測(cè)）已知直線>=依+。與曲線y=lnex相切，則。+匕的最小值為（）

A.1B.1C.V2D.6

【答案】B

【解析】由y=lnex,知定義域?yàn)椋?,+℃）,

11,1

設(shè)切點(diǎn)為（%，%）=（%，Inex。），f'（x）=e?一=—,；#=—,

exx%

111e

所以一==一，故切點(diǎn)為（_,in—）,代入直線y=<zr+。方程，

x°aaa

e1

貝UIn—=a,—卜b=l+b,:.b=-Inci,

aa

.a+b=a—In----In——----1H（XQ）1-FInXQ,

令g(x)」+lnx,g'(x)=—V+-=^-，

XXXX

令夕(x)=0,解得尤=1,

當(dāng)0cx<1時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x>l時(shí)，g'(x)>0,g(無)單調(diào)遞增，

則g(尤)min=g(D=l，

故4+6的最小值為1.

故選：B

【變式】

1.(2023,新疆阿克蘇??？家荒?若直線>=奴+”與曲線y=lnx+L相切，則上的取值范圍是()

X

A.0°,；B.[4,+co)C.[-4,+co)D.；’+0°]

【答案】A

【解析】y=l-4=-f---T+-^->由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，左wj.故選：A

-xY(元2)444

2.(2023秋?河南商丘?高三商丘市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))已知a>0,b>0,直線y=x+2a與曲線

17

y=ei-A+l相切，則一+7的最小值為_____.

ab

【答案】8

【解析】設(shè)切點(diǎn)為(1,%)，

因?yàn)閥'=ei,所以e"=l,得%=1,

所以1+24=2—/?,即2a+Z?=l,

匚匚212(12\_7__b4a,lb4a

所以，一十—=—+—(2a+Z7、)=2+2+—+——>4+2./----=8o,

abyab)ab\ab

當(dāng)且僅當(dāng)2h=?4〃,即。=1；力=1：時(shí)，取最小值，

ab42

1?

所以上+：的最小值為8.

ab

故答案為：8.

3.(2023秋?青海西寧?高三統(tǒng)考開學(xué)考試)已知直線丁=以+"與曲線y=lnx+b相切，則5a-b的最小值為

()

A.21n2B.21n2-lC.41n2D.41n2-l

【答案】A

1

1ci——

--=CL%

【解析】設(shè)切點(diǎn)為（飛』啄+6）（無0＞o）,y=-,則J/解得

X

IIIXQ

lnx0+b=ax0+aZ?=1H------

X。

5(144i4r_4

所以5a_萬=---1+-------lnx=1啄+----1.令g(尤)=hu+__l,所以g'(x)=-------2=~r'

\0XXXX

令g'(x)>0,解得x>4,令g'(x)<0,解得0<x<4,

所以g（x）在（0,4）上單調(diào)遞減，在（4,+8）上單調(diào)遞增，所以1n=g（4）=21n2.

故選：A

4.（2023,全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知曲線y=ln（〃a+九）與直線2尤-y=。相切，則〃?+〃的最大值為（

A-7B-7C.e2D.2e2

【答案】C

【解析】設(shè)切點(diǎn)為（%，%）,y'=^-,m

%=%時(shí)，>=------,y=ln(mx0+n),

mx+nrruc0+n

切線方程為"n（叫）+〃）=嬴金（…。），又切線方程為2X7=。，即-2X,

m=2

nvc0+nVV]

所以,消去與得mIn-二加一2〃,易知根＞0,

mx02

ln(mx0+〃)=

nvc0+n

所以2(m+幾)=3m-mln一,

2

m

令him)=3m—mIn—,則h'(in)=2+In2—Inm,

2

當(dāng)0＜根＜2e?時(shí)，h\m）＞0,//（如遞增，當(dāng)機(jī)＞2ez時(shí),7z(m)<0,〃(㈤遞減,

2

所以m=2e?時(shí)，/?（m）max=2e,從而加+〃取得最大值e2.故選：C.

考法四過點(diǎn)：求切線方程

【例4】（2023春?上海浦東新）已知曲線/（力=2尤3-3%，過點(diǎn)M（0,32）作曲線的切線，則切線的方程為

【答案】21x-j+32=0

【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為N（xo,2￡-3x。），廣（0=6/_3,則切線的斜率左=廣（％）=6焉-3,

故切線方程為V=（6*-3）x+32,又因?yàn)辄c(diǎn)N（x°,2￡-3%）在切線上,

所以2片一3%=(6焉-3)x0+32,整理得到x：=-8,

解得％=-2,所以切線方程為，=2卜+32.

故答案為：21x-y+32=0.

【變式】

1.(2023吉林)已知函數(shù)/(無)=/+[￡一6工+1,則曲線y=/(x)過點(diǎn)(0,1)的切線方程為

【答案】6x+y-l=0或105x+16y-16=0

【解析】設(shè)切點(diǎn)為]一+|/-6/+1],廣(x)=3/+3x—6,則切線斜率為3』+3-6,

故曲線y=在x處的切線方程為P一—+十2-6r+lj=(3/+3L6)(xT),

將點(diǎn)(0,1)的坐標(biāo)代入切線方程可得1-1戶+1/_6f+1J=T”+3t-6),解/=0或/=_：,

379105<3、

故所求切線方程為丁一1二—6%或y——=—Xx+T，即6x+y—1=0或105x+16y—16=0.

641614J

故答案為：6x+y-l=0^105%+16y-16=0.

2.(2023?山東,河北衡水中學(xué)統(tǒng)考一模)過點(diǎn)(-1,1)與曲線"X)=111(x+1)-3^+2相切的直線方程為

【答案】2%+y+l=0

【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(孫乙)，/(x)=」：-3ex,/'(%)=[—-3e\

x+11+玉

J--39(xf),因?yàn)?-1,1)在切線上,

則切線方程為y-%

1+%)

所以1一%=J--3e*，

即％=—3爐(1+占)+2

11+%

又X=ln(x,+l)-3e*+2,所以InO+xJ+S^e*=0,

令y=ln(l+x)+3xe*,1=1一+3(l+x)e",當(dāng)%>-1時(shí)，y'>0,

所以y=ln(l+x)+3xe*在(-1,+8)上單調(diào)遞增，

所以方程ln(l+;q)+3羋為=0只有唯一解為為=0.

即切點(diǎn)坐標(biāo)為(O,T),故所求切線方程為>+1=-2無，即2x+y+l=0.

故答案為：2x+y+l=0

3.（2022,全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）曲線y=ln|x|過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為,.

【答案】y=-xy=--x

ee

【解析】【方法一］:化為分段函數(shù)，分段求

分x>0和x<0兩種情況，當(dāng)x>0時(shí)設(shè)切點(diǎn)為（M，ln~）,求出函數(shù)啟導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而

表示出切線方程，再根據(jù)切線過坐標(biāo)原點(diǎn)求出為,即可求出切線方程，當(dāng)x<0時(shí)同理可得；

解：因?yàn)閥=ln|x|,

當(dāng)x>0時(shí)y=ln無，設(shè)切點(diǎn)為（如心不），由y'=L所以川,=而=’,所以切線方程為'-Inx。=，

又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以Tn%=!（一%），解得尤°=e,所以切線方程為y-1=’（尤-e）,即y=L；

ee

當(dāng)x<0時(shí)y=ln（—x）,設(shè)切點(diǎn)為（占,111（—現(xiàn)）），由y'=L所以*『=,，所以切線方程為

X國(guó)

y-ln（-Xj）=-（x-xj,

x\

又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以Tn（Tj=，（f）,解得％=-e,所以切線方程為廣1=-L（x+e）,即尸-L；

再-ee

故答案為：y=-x-y=--x

ee

［方法二］:根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，數(shù)形結(jié)合

當(dāng)x>0時(shí)y=ln無，設(shè)切點(diǎn)為（七,In%）,由；/=’,所以所以切線方程為丫-山工。=,

xxoxo

又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以Tn%=▲（-%）,解得％=e,所以切線方程為>-1=4無-e）,即>=4；

%oee

因?yàn)?gt;=1川是偶函數(shù)，圖象為：

所以當(dāng)無<0時(shí)的切線，只需找到y(tǒng)=L關(guān)于y軸的對(duì)稱直線y=-L即可.

ee

［方法三］:

因?yàn)閥=ln|x|,

當(dāng)x>0時(shí)y=lnx,設(shè)切點(diǎn)為（%,In%）,由y=L所以所以切線方程為>一1nx0='（彳一/），

X4%0

又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以TnX。='（一%）,解得x0=e,所以切線方程為y-l=」（尤-e）,即y=L；

%ee

當(dāng)x<0時(shí)y=ln（-x）,設(shè)切點(diǎn)為（.In（-玉）），由y'=L所以所以切線方程為

X玉

xi

又切線過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以Tn（一玉）=’（-%），解得玉=-e,所以切線方程為y-l='~（%+e）,即y=-L；

須-ee

故答案為：y=-x；y=--x.

ee

考法五過點(diǎn)：已知切線求參數(shù)

【例5】（2023?北京）過原點(diǎn)的直線相，”與分別與曲線7（%）=爐，g（x）=liu相切，則直線〃4〃斜率的乘積為

A.-1B.1C.eD.-

e

【答案】B

【解析】設(shè)F（x）,g（x）的切點(diǎn)分別為（尤1,e&）,（尤2，In%），

由題意可得了'（x）=e，，g'（x）=1，

所以/（x）在x=X]處的切線為y-e*'=8（x—玉），g（x）在x=xZ處的切線為了-也％='（x-尤?），

X2

0—e西=e'】（0—石）（_]

又因?yàn)閮蓷l切線過原點(diǎn)，所以nq_1zn_、，解得“二，

m*^2（）I?^2e

、％2

所以直線狐〃斜率的乘積為（（西）8'（%）=$、1=1,

故選：B

【變式】

1.（2023春?河南周口）已知曲線/（無）=^-。111%在》=1處的切線過點(diǎn)（2,3）,則實(shí)數(shù)〃=（）

A.-1B.-3C.1D.3

【答案】B

【解析】因?yàn)?(x)=ei-alnx,所以廣")="

X

曲線/(%)=ei-〃lnx在％=1處的切線的斜率為左=即

又因?yàn)?1)=1,曲線/(力=廣，0山》在片1處的切線過點(diǎn)(2,3),

故-l-a=1—^=2,則q=-3.

2—1

故選：B.

2.(2023廣東湛江)過點(diǎn)尸(1,0)可以作曲線/(%)=*的兩條切線，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為如n,則療+/的

值為()

A.1B.2C.75D.3

【答案】D

【解析】r(x)=(x+l)e\設(shè)切點(diǎn)為坐標(biāo)(x,y),

y_

則(x+l)e*=------------，

x—1x—1

即(尤2=0,則&+/=1,玉?%=-1,

由題意知f—%—1=0有兩解，分別為相，幾,

22-

故〃『+zi=x；+x2=(%1+/)~-x2=1—2x(—1)=3,

故選：D.

考法六過點(diǎn)：求切線的數(shù)量

e

,x〉0

【例6】(2023?福建泉州?泉州五中?？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)=1%過點(diǎn)A(2,0)作曲線y=/(x)的

----2/<0

x

切線，則切線的條數(shù)為

【答案】2

【解析】當(dāng)1＞。時(shí)，/(%)=*,設(shè)切點(diǎn)為(%,}■)，%＞。，

又廣(x)=1^,

故過42,0)的切線方程為y-斗=?一岑"(X-/)，

%XQ

將42,。）代入可得-

解得%=1或4,均大于0,滿足要求;

QX0

當(dāng)XV。時(shí)，/（%）=一一-設(shè)切點(diǎn)為(利——Z-),m<0,

Xm

又-（x）=_R2￡

故過42,0）的切線方程為y+j=乙&_祖）,

mm

將A（2,0）代入，可得；=一/咚義（2一間，

mm

解得力=1或4,均大于0,不合要求，舍去.

故答案為：2.

【變式】

1.（2023春?甘肅張掖）若過點(diǎn)P。,。）作曲線y=d的切線，則這樣的切線共有（）

A.0條B.1條C.2條D.3條

【答案】C

【解析】設(shè)切點(diǎn)為（尤。,尤；），由y=a所以y=3d,所以yi『=3x02,

所以切線方程為曠—引=3葉"一/），即》=3/2彳一2嫣，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)P（l,o）,

3

所以0=3/2-2/3,解得%o=?；?=5,

所以過點(diǎn)尸（1,。）作曲線y=x3的切線可以作2條，

故選：C

二,R>0

2.（2023海南?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)x，過點(diǎn)。（°，°）作曲線）=/（力的切線，則切線的

一"<0

條數(shù)為.

【答案】1

【解析】當(dāng)尤>。時(shí)，/（x）=~T，設(shè)切點(diǎn)為％，—2~，%0>。,

x

其廿中上/…'(%、)=e-?(x-2)，

故過0（0,0）的切線方程為y-斗=△?（個(gè)一2）（彳一?。?

玉）玉）

將0（0,0）代入，可得烏二e'"?（x廠2）,解得％=3>0,滿足要求，

不）/

x（m、

當(dāng)xvO時(shí)，f（x）=~,設(shè)切點(diǎn)為九一一r,m<0,

x2VmJ

其中尸（x）=_e"（：2）,

故過0（0,0）的切線方程為y+與=-e'”,（〃「2）a-「）,

mm

將0（0,0）代入，可得二』（一2）,解得加=3>0,不合要求，舍去；

mm

故答案為：1

3.（2023?高二單元測(cè)試）已知函數(shù)/（x）=/-2x,則過點(diǎn)（2,-4）與曲線y=/（x）相切的直線有條.

【答案】2

【解析】曲線方程為〃x）=x3-2x,點(diǎn)（2,4不在曲線上，

設(shè)切點(diǎn)為〃（知幾）,則點(diǎn)A7的坐標(biāo)滿足%=其-2苫0①，

由f（x）=x3-2x,得fr（x）=3x2-2,

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，y=/（尤）在〃（x°,幾）處的切線的斜率為左=尸（%）=3片-2,

故切線的方程為y—%=（3尤尤0）,

因?yàn)辄c(diǎn)（2T）在切線上，所以-4-%=（3片-2）（2-%）②

聯(lián)立①②得君-3x；=0,解得%=?；騲0=3,

故所求切線方程為y=-2x或y=25x-54,

則過點(diǎn)（2,-4）與曲線y=f（x）相切的直線有2條.

故答案為：2.

考法七過點(diǎn)：求最值與取值范圍

【例7-1］（2022?全國(guó),統(tǒng)考高考真題）若曲線y=（x+a）e*有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則”的取值范圍

是.

【答案】（f,T）（O,y）

【解析】回y=(x+〃)e*,0/=(x+l+?)ex,

設(shè)切點(diǎn)為％,則為=(尤0+。)e*,切線斜率左=(%+1+a)e"0,

切線方程為：y_(%+a)e%=(^+l+a)e'°(x-x0),

回切線過原點(diǎn)，回-(%+動(dòng)爐1=(x(,+l+a)e%(-%)，

整理得：x；+ax0—a=0,

國(guó)切線有兩條，回A=a?+4a>0,解得。<-4或a>。，

回。的取值范圍是(-°°,T)(0,+ao),

故答案為：(YOT)(0,-KO)

【例7-2](2023?云南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))(多選)已知函數(shù)〃引=三一痛，若過點(diǎn)尸恰能作3條曲線

y=/(x)的切線，則機(jī)的值可以為()

3453

A.-B.-C.—D.一

4335

【答案】BC

【解析】設(shè)切點(diǎn)為尸(加九)，則尸(同=3/-租，所以切線的斜率為左=尸(力=3靖-加，

則切線的方程為y-%=(3/2-時(shí)(彳一天)，

因?yàn)辄c(diǎn)尸(一1,1)在切線上，所以1-尤()3+叫)=(3龍02-〃7)(-1-%),即〃7=2/3+3/2+1,

令g(x)=2/+3x?+1,則/(力=6彳2+6x,

令g'(x)=。，得x=0或無=-1,

當(dāng)x<-l或x>0時(shí)，g,(x)>0；當(dāng)-l<x<0時(shí)，g,(x)<0,

所以當(dāng)戶一1時(shí)，g(x)取得極大值g(-l)=2,

當(dāng)x=0時(shí)，g(元)取得極小值g(O)=l,

因?yàn)檫^點(diǎn)尸(-U)恰能作3條曲線y=/(%)的切線，所以直線y=根與y=g(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，

如圖所示:

所以加的取值范圍是1<機(jī)<2,故選：BC

【變式】

1.(2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)若過點(diǎn)(。/)可以作曲線y=e，的兩條切線，則()

A.eb<aB.ea<b

C.0<a<ebD.0<b<ea

【答案】D

【解析】在曲線y="上任取一點(diǎn)對(duì)函數(shù)y=/求導(dǎo)得)/=^,

所以，曲線y=/在點(diǎn)尸處的切線方程為y-d=e'(xT),即y=￡x+(l—)d,

由題意可知，點(diǎn)(。,6)在直線丁=—》+(1-。/上，可得b=ad+(l-r)d=(a+l—f)e',

令1(/)=(a+lT)e',則(⑺

當(dāng)時(shí)，r(/)>o,此時(shí)函數(shù)/⑴單調(diào)遞增，

當(dāng)/>，時(shí)，/(。<0,此時(shí)函數(shù)/⑺單調(diào)遞減，

所以，

由題意可知，直線>與曲線y=/(r)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則人</(。1mx=/，

當(dāng)/<a+l時(shí)，/(?)>0,當(dāng)r>°+i時(shí)，/(?)<0,作出函數(shù)/⑴的圖象如下圖所示:

由圖可知，當(dāng)0<6<e"時(shí)，直線y=b與曲線y=的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).

故選：D.

解法二：畫出函數(shù)曲線y=/的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點(diǎn)(。力)在曲線下方和x軸上方時(shí)才可以作

2.(2023?云南)過坐標(biāo)原點(diǎn)可以作曲線>=(x+a)ex兩條切線，貝I。的取值范圍是()

A.(-e,0)B.(-4,0)

C.(-co,-e)u(0,+co)D.(-oo,-4)u(0,+<?)

【答案】D

［解析］Ely=(尤+a)e*,回y'=(x+1+a)e',

設(shè)切點(diǎn)為(％,%),則%=(%+a)e%,切線斜率左=(飛+1+。)爐),

切線方程為y-(x()+a)e&=(xo+l+a)e”(x—xo),

回切線過原點(diǎn)，回一伍+a)e-=(5+l+a)e*(f)),

整理得：xo+axo—0=0,

團(tuán)切線有兩條，0A=a2+4fl>O,解得"-4或。>0,

的取值范圍是(ro,T)L(0,y),

故選：D

3.(2023?江西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))若過無軸上任意點(diǎn)4(。,0)(。>0)可作曲線〃x)=e'-"兩條切線，貝心的

取值范圍________.

【答案】(O,e)

【解析】設(shè)曲線上一點(diǎn)〃(4，幾)，1f(x)=e，一左

在M點(diǎn)的切線方程y-%=(e&)(x-Xo),

把A點(diǎn)代入切線方程得0-(e用-■)=(廣-k)(a-Xo),

得：成=(a+l-%o)e與，

令g(x)=(a+l—x)e'，貝！Jg〈x)=(a—x)e”,分別令g'(x)>0,g'(x)<0解得

g(x)在(ro,a)單調(diào)遞增，(。,4)單調(diào)遞減，，8(動(dòng)2=多,

當(dāng)x->-co,g(x)-O,x—+8,g(x)->-co,

成=(a+l-Xo)e&要有兩個(gè)解，

則0<成<g(x)1mx即對(duì)任意。>0,則%>0,

對(duì)任意。>0,貝！U<《，只要左,

令《0)=史，%)=」-；?",

aa

在(0,1)單調(diào)遞減，在(1,+⑹單調(diào)遞增，則上<e.

.-.0<^<e.故答案為：(0,e).

4.(2023?廣西玉林?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))若曲線/(》)=十有三條過點(diǎn)(0,。)的切線，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

【答案】

【解析】設(shè)該切線的切點(diǎn)為(力,弋)，則切線的斜率為左=/'(%)=詈，

所以切線方程為y-親=宗(尤-無。)，

又切線過點(diǎn)(OM),則a-W=±m(xù)(0-尤。),整理得。=毛.

eMe&e、0

要使過點(diǎn)(0,。)的切線有3條，需方程。=工有3個(gè)不同的解，

即函數(shù)y=與圖象與直線y在R上有3個(gè)交點(diǎn)，

e°

設(shè)g(x)=;，則g'(x)=A(2,X),

ee

令gz(x)>0=>0<x<2,令gf(x)<0=>x<0或x>2,

所以函數(shù)gM在(。，2)上單調(diào)遞增，在(-8,0)和(2,+8)上單調(diào)遞減,

4

即過點(diǎn)(0.)的切線有3條所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為。＜”/.

考法八公切線

【例8-1](2023?江西南昌?校考模擬預(yù)測(cè))若直線丫=入+"是曲線y=Ex+2的切線，也是曲線、=皿X+2)

的切線，則b的值為()

A.0B.1C.0或1D.0或-1

【答案】B

k=L

【解析】設(shè)、=辰+。是y=lnx+2在點(diǎn)m,lno+2)的切線，貝卜a,

\na+2-ka+b

同理設(shè)設(shè)尸區(qū)+》是y=ln(x+2)在點(diǎn)(c,ln(c+2))的切線，則c+2,

ln(c+2)=kc+b

k=l

b=1

由方程組得c+2=a,代入解得?

a=l

c=-l

故選：B

【例8-2](2023?河北?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))若曲線了(》)=39_2與曲線g(x)=-2-mlnx(加#0)存在公切線，則

實(shí)數(shù)加的最小值為()

A.-6eB.-3eC.2冊(cè)D.6e

【答案】A

【解析】因?yàn)?0)=3尤2_2,g(x)=-2-mlnx(m0),

所以/'(x)=6x,g'(x)=-—,

X

設(shè)公切線與/(%)切于點(diǎn)2),與曲線g(x)切于點(diǎn)(程―2—win%)，(/>0)，

—

—2—n?Inx2-(3%：2)-mlnx-3x^

所以6%=_%2

x2一%々一看

所以根=-6再入2，所以6%1二64」1n%2__更L,所以芭=0或%=2%2-2%21nx2,

x2-xl

因?yàn)橄唷?,所以王。0,所以玉=29-Z/ln%,

所以zn=-6(2X2-2X2lnx2)x2=12xfInx2-12xf,

h^x)=12x2Inx-12x2,(x>0),

則〃(x)=12x(21nx—l),所以當(dāng)0<x<C時(shí)//(尤)<0,當(dāng)犬>五時(shí)〃(九)>0,

所以h(x)在(0,⑹上單調(diào)遞減，在(公,向上單調(diào)遞增，

所以“(以皿=/z(7e)=-6e,所以實(shí)數(shù)機(jī)的最小值為-6e.

故選：A

【變式】

1.(2023嘿龍江哈爾濱?哈爾濱三中?？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(無)=ln(尤+1),g(x)=ln(e?尤)，若直線>=在+萬

為了⑺和g(x)的公切線，則b等于()

A.：B.l-ln2C.