新高考數(shù)學大一輪復習講義之方法技巧專題32空間向量及其應(yīng)用(原卷版+解析)

專題32空間向量及其應(yīng)用【考點預測】知識點一：空間向量及其加減運算（1）空間向量在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的長度或模．空間向量也可用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的模，若向量的起點是，終點是，則向量也可以記作，其模記為或．（2）零向量與單位向量規(guī)定長度為0的向量叫做零向量，記作．當有向線段的起點與終點重合時，．模為1的向量稱為單位向量．（3）相等向量與相反向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量．在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量．空間任意兩個向量都可以平移到同一個平面，成為同一平面內(nèi)的兩個向量．與向量長度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為．（4）空間向量的加法和減法運算①，．如圖所示．②空間向量的加法運算滿足交換律及結(jié)合律，知識點二：空間向量的數(shù)乘運算（1）數(shù)乘運算實數(shù)與空間向量的乘積稱為向量的數(shù)乘運算．當時，與向量方向相同；當時，向量與向量方向相反．的長度是的長度的倍．（2）空間向量的數(shù)乘運算滿足分配律及結(jié)合律，．（3）共線向量與平行向量如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，平行于，記作．（4）共線向量定理對空間中任意兩個向量，，的充要條件是存在實數(shù)，使．（5）直線的方向向量如圖8-153所示，為經(jīng)過已知點且平行于已知非零向量的直線．對空間任意一點，點在直線上的充要條件是存在實數(shù)，使①，其中向量叫做直線的方向向量，在上取，則式①可化為②①和②都稱為空間直線的向量表達式，當，即點是線段的中點時，，此式叫做線段的中點公式．（6）共面向量如圖8-154所示，已知平面與向量，作，如果直線平行于平面或在平面內(nèi)，則說明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．（7）共面向量定理如果兩個向量，不共線，那么向量與向量，共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使．推論：①空間一點位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使；或?qū)臻g任意一點，有，該式稱為空間平面的向量表達式．②已知空間任意一點和不共線的三點，，，滿足向量關(guān)系式（其中）的點與點，，共面；反之也成立．知識點三：空間向量的數(shù)量積運算（1）兩向量夾角已知兩個非零向量，，在空間任取一點，作，，則叫做向量，的夾角，記作，通常規(guī)定，如果，那么向量，互相垂直，記作．（2）數(shù)量積定義已知兩個非零向量，，則叫做，的數(shù)量積，記作，即．零向量與任何向量的數(shù)量積為0，特別地，．（3）空間向量的數(shù)量積滿足的運算律：，（交換律）；（分配律）．知識點四：空間向量的坐標運算及應(yīng)用（1）設(shè)，，則；；；；；．（2）設(shè)，，則．這就是說，一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示該向量的有向線段的終點的坐標減起點的坐標．（3）兩個向量的夾角及兩點間的距離公式．①已知，，則；；；；②已知，，則，或者．其中表示與兩點間的距離，這就是空間兩點的距離公式．（4）向量在向量上的投影為．知識點五：法向量的求解與簡單應(yīng)用（1）平面的法向量：如果表示向量的有向線段所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，如果，那么向量叫做平面的法向量．幾點注意：=1\*GB3①法向量一定是非零向量；=2\*GB3②一個平面的所有法向量都互相平行；=3\*GB3③向量是平面的法向量，向量是與平面平行或在平面內(nèi)，則有．第一步：寫出平面內(nèi)兩個不平行的向；第二步：那么平面法向量，滿足．（2）判定直線、平面間的位置關(guān)系=1\*GB3①直線與直線的位置關(guān)系：不重合的兩條直線，的方向向量分別為，．若∥，即，則；若，即，則．=2\*GB3②直線與平面的位置關(guān)系：直線的方向向量為，平面的法向量為，且．若∥，即，則；若，即，則．（3）平面與平面的位置關(guān)系平面的法向量為，平面的法向量為．若∥，即，則；若⊥，即，則⊥．知識點六：空間角公式．（1）異面直線所成角公式：設(shè)，分別為異面直線，上的方向向量，為異面直線所成角的大小，則．（2）線面角公式：設(shè)為平面的斜線，為的方向向量，為平面的法向量，為與所成角的大小，則．（3）二面角公式：設(shè)，分別為平面，的法向量，二面角的大小為，則或（需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補），其中．知識點七：空間中的距離求解空間中的距離（1）異面直線間的距離：兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段，只需利用向量的正射影性質(zhì)直接計算．如圖，設(shè)兩條異面直線的公垂線的方向向量為，這時分別在上任取兩點，則向量在上的正射影長就是兩條異面直線的距離．則即兩異面直線間的距離，等于兩異面直線上分別任取兩點的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值．（2）點到平面的距離為平面外一點（如圖），為平面的法向量，過作平面的斜線及垂線．【方法技巧與總結(jié)】用向量法可以證點共線、線共點、線（或點）共面、兩直線（或線與面、面與面）垂直的問題，也可以求空間角和距離．因此，凡涉及上述類型的問題，都可以考慮利用向量法求解，且其解法一般都比較簡單．用向量法解題的途徑有兩種：一種是坐標法，即通過建立空間直角坐標系，確定出一些點的坐標，進而求出向量的坐標，再進行坐標運算；另一種是基底法，即先選擇基向量（除要求不共面外，還要能夠便于表示所求的目標向量，并優(yōu)先選擇相互夾角已知的向量作為基底，如常選擇幾何體上共點而不共面的三條棱所在的向量為基底），然后將有關(guān)向量用基底向量表示，并進行向量運算．【題型歸納目錄】題型一：空間向量的加法、減法、數(shù)乘運算題型二：空間共線向量定理的應(yīng)用題型三：空間向量的數(shù)量積運算題型四：證明三點共線題型五：證明多點共面的方法題型六：證明直線和直線平行題型七：證明直線和平面平行題型八：證明平面與平面平行題型九：證明直線與直線垂直題型十：證明直線與平面垂直題型十一：證明平面和平面垂直題型十二：求兩異面直線所成角題型十三：求直線與平面所成角題型十四：求平面與平面所成角題型十五：求點到平面距離【典型例題】題型一：空間向量的加法、減法、數(shù)乘運算例1．設(shè)空間向量是空間向量的相反向量，則下列說法錯誤的是（

）A．與的長度相等B．與可能相等C．與所在的直線平行D．是的相反向量例2．如圖，空間四邊形OABC中，，，，點M在上，且滿足，點N為BC的中點，則（

）A． B．C． D．例3．在四棱錐中，底面是正方形，為的中點，若，則（

）A． B．C． D．例4．如圖，在三棱錐S—ABC中，點E，F(xiàn)分別是SA，BC的中點，點G在棱EF上，且滿足，若，，，則（

）A． B．C． D．例5．如圖所示，在平行六面體中，M為與的交點，若，，，則（

）A． B．C． D．例6．如圖，在正方體中，，，，O為底面ABCD的中心，G為的重心，則（）A． B．C． D．例7．在長方體中，設(shè)，，，若用向量、、表示向量，則____________．例8．在下列命題中：①若向量共線，則所在的直線平行；②若向量所在的直線是異面直線，則向量一定不共面；③若三個向量兩兩共面，則三個向量一定也共面；④已知三個向量，則空間任意一個向量總可以表示為．其中正確命題的個數(shù)為（

）A． B． C． D．例9．如圖，平行六面體中，為的中點．若，則（

）A． B． C． D．例10．已知是空間向量的一個基底，是空間向量的另一個基底，若向量在基底下的坐標為，則向量在基底下的坐標為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】空間向量的運算包括空間向量的加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積的幾何意義及坐標運算，可以類比平面向量的運算法則．題型二：空間共線向量定理的應(yīng)用例11．，為空間直角坐標系中的兩個點，，若，則________．例12．已知，，且??不共面，若，則___________．例13．已知，，，．若，則實數(shù)k的值為______．例14．（多選題）下列命題中正確的是（

）A．是，共線的充分條件B．若，則C．，，三點不共線，對空間任意一點，若，則，，，四點共面D．若，，，為空間四點，且有（，不共線），則是，，三點共線的充分不必要條件【方法技巧與總結(jié)】空間共線向量定理：．利用此定理可解決立體幾何中的平行問題．題型三：空間向量的數(shù)量積運算例15．已知空間向量，，，則（

）A． B． C． D．例16．（多選題）設(shè)，為空間中的任意兩個非零向量，下列各式中正確的有（

）A． B．C． D．例17．（多選題）定義空間兩個非零向量的一種運算：，則關(guān)于空間向量上述運算的以下結(jié)論中恒成立的有（

）A． B．C．若，則 D．例18．（多選題）如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是60°，M為與的交點，若，則下列正確的是（

）A． B．C．的長為 D．例19．在三棱錐中，已知，，，則___________例20．棱長為1的正方體，在正方體的12條棱上運動，則的取值范圍是___________．例21．已知，若，則_________．例22．已知點為正四面體的外接球上的任意一點，正四面體的棱長為2，則的取值范圍為___________．例23．《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱．在塹堵中，，M是的中點，，N，G分別在棱，AC上，且，，平面MNG與AB交于點H，則___________，___________．例24．如圖，在棱長為2的正方體中，點是側(cè)面內(nèi)的一個動點．若點滿足，則的最大值為__________，最小值為__________．例25．已知向量，，，若，則實數(shù)（

）A．－2 B．2 C．1 D．－1例26．已知，，則（

）A． B． C．0 D．1例27．已知，，且，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．例28．如圖，在平行六面體中，，，則（

）A．1 B． C．9 D．3例29．給出下列命題，其中正確的為（

）A．若，則必有與重合，與重合，與為同一線段B．若，則是鈍角C．若，則與一定共線D．非零向量、、滿足與，與，與都是共面向量，則、、必共面例30．正四面體的棱長為4，空間中的動點P滿足，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．例31．在三棱錐中，，，，則（

）A． B． C．1 D．例32．已知正四棱臺的上、下底面邊長分別為和，是上底面的邊界上一點．若的最小值為，則該正四棱臺的體積為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】；求模長時，可根據(jù)；求空間向量夾角時，可先求其余弦值．要判斷空間兩向量垂直時，可以求兩向量的數(shù)量積是否為0，即．為銳角；為鈍角．由此，通常通過計算的值來判斷兩向量夾角是銳角還是鈍角．題型四：證明三點共線例33．如圖，在平行六面體中，，．（1）求證：、、三點共線；（2）若點是平行四邊形的中心，求證：、、三點共線．例34．已知向量，，不共面，，，．求證：B，C，D三點共線．例35．在長方體中，M為的中點，N在AC上，且，E為BM的中點．求證：，E，N三點共線．例36．如果三點共線，那么（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】先構(gòu)造共起點的向量，，然后證明存在非零實數(shù)，使得．題型五：證明多點共面的方法例37．已知、、、、、、、、為空間的個點（如圖所示），并且，，，，．求證：（1）、、、四點共面，、、、四點共面；（2）．例38．如圖，在幾何體ABCDE中，△ABC，△BCD，△CDE均為邊長為2的等邊三角形，平面ABC⊥平面BCD，平面DCE⊥平面BCD．求證：A，B，D，E四點共面；例39．如圖，四邊形為正方形，若平面平面，，，．判斷點D與平面CEF的位置關(guān)系，并說明理由．例40．如圖，四棱柱的側(cè)棱底面，四邊形為菱形，，分別為，的中點．證明：，，，四點共面；例41．（多選題）若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量共面的是（

）A． B．C． D．例42．（多選題）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，、分別為線段、的中點，為線段上的動點（不含端點），則下列說法正確的是（

）A．對任意點，則有、、、四點共面B．存在點，使得、、、四點共面C．對任意點，則有平面D．存在點，使得平面例43．以下四組向量在同一平面的是（

）A．、、 B．、、C．、、 D．、、例44．設(shè)為空間中的四個點，則“”是“四點共面”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件例45．，若三向量共面，則實數(shù)（

）A．3 B．2 C．15 D．5例46．如圖，在四面體中，、分別是、的中點，過的平面分別交棱、于、（不同于、、、），、分別是棱、上的動點，則下列命題錯誤的是（

）A．存在平面和點，使得平面B．存在平面和點，使得平面C．對任意的平面，線段平分線段D．對任意的平面，線段平分線段例47．已知P和不共線三點A，B，C，四點共面且對于空間任意一點O，都有，則λ＝________．例48．如圖，已知正方體的棱長為，，，分別是棱，，的中點，設(shè)是該正方體表面上的一點，若，則點的軌跡圍成圖形的面積是_________．例49．在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，且PA＝AC＝2AB＝2AD＝4，CD⊥AD，CB⊥AB，G為PC的中點，過AG的平面與棱PB、PD分別交于點E、F．若EF∥平面ABCD，則截面AEGF的面積為______．【方法技巧與總結(jié)】要證明多點（如，，，）共面，可使用以下方法解題．先作出從同一點出發(fā)的三個向量（如，，），然后證明存在兩個實數(shù)，使得．題型六：證明直線和直線平行例50．已知長方體中，，，，點S、P在棱、上，且，，點R、Q分別為AB、的中點．求證：直線直線．例51．在四棱連中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD為梯形．，，且，，．若M是棱PA的中點，則對于棱BC上是否存在一點F，使得MF與PC平行．【方法技巧與總結(jié)】將證線線平行轉(zhuǎn)化為證兩向量共線．設(shè)是兩條不重合的直線，它們的方向向量分別為，則．題型七：證明直線和平面平行例52．如圖，在直三棱柱中，，，D為AB的中點．試用向量的方法證明：平面．例53．如圖，在長方體中，底面是邊長為2的正方形，，E，F(xiàn)分別是的中點．求證：平面；【方法技巧與總結(jié)】（1）利用共面向量定理．設(shè)為平面內(nèi)不共線的兩個向量，證明存在兩個實數(shù)，使得，則．（2）轉(zhuǎn)化為證明直線和平面內(nèi)的某一直線平行．（3）轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量與平面的法向量垂直（此方法最常用）．題型八：證明平面與平面平行例54．如圖，已知棱長為4的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F(xiàn)分別是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中點，求證：平面∥平面．例55．如圖，正方體中，、分別為、的中點．用向量法證明平面平面；【方法技巧與總結(jié)】（1）證明兩平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行．（2）轉(zhuǎn)化為證兩平面的法向量平行（常用此方法）．題型九：證明直線與直線垂直例56．如圖，在直四棱柱中，，，，．求證：；例57．如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分別是CC1，BC的中點，點P在直線A1B1上．證明：PN⊥AM；例58．如圖，在棱長為a的正方體中，M為的中點，E為與的交點，F(xiàn)為與的交點．（1）求證：，．（2）求證：是異面直線與的公垂線段．例59．如圖，在長方體中，點E，F(xiàn)分別在，上，且，．（1）證明：；（2）當，，時，求三棱錐的體積．例60．如圖，四棱錐中，為矩形，，且．為上一點，且．（1）求證：平面；（2）分別在線段上的點，是否存在，使且，若存在，確定的位置；若不存在，說明理由．例61．如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD且，，，，點M為棱PC的中點．證明：；【方法技巧與總結(jié)】設(shè)直線的方向向量為，則．這里要特別指出的是，用向量法證明兩直線尤其是兩異面直線垂直是非常有效的方法．題型十：證明直線與平面垂直例62．在正方體中，如圖E、F分別是，CD的中點，求證：平面ADE；例63．如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，E為棱上的點，且．求證：平面；例64．如圖，在正方體中，，分別為，的中點．求證：平面；【方法技巧與總結(jié)】（1）證明直線和平面內(nèi)的兩天相交直線垂直．（2）證明直線和平面內(nèi)的任一直線垂直．（3）轉(zhuǎn)化為證明直線與平面的法向量共線．題型十一：證明平面和平面垂直例65．如圖，在四棱錐中，平面PAB，平面PAB，．．求證：平面平面ABCD；例66．如圖在邊長是2的正方體中，，分別為，的中點．證明：平面平面；例67．在三棱臺ABC－A1B1C1中，C1C⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB=BC=C1C=2A1B1，O為AC的中點，P是C1C的中點．證明：平面A1BC⊥平面POB；例68．如圖，在直三棱柱中，為的中點．（1）證明：平面；（2）證明：平面平面．【方法技巧與總結(jié)】（1）轉(zhuǎn)化為證明兩平面的法向量互相垂直（2）轉(zhuǎn)化為證明一平面內(nèi)的一條直線垂直于另一個平面．題型十二：求兩異面直線所成角例69．如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱的長度為2，且．（1）求的長；（2）直線與所成角的余弦值．例70．已知正四面體ABCD，M為BC中點，N為AD中點，則直線BN與直線DM所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．例71．如圖，在三棱錐中，平面，是邊長為的正三角形，，是的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B．C． D．例72．在三棱錐P—ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC，M、N分別為AC、AB的中點，則異面直線PN和BM所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．例73．已知直三棱柱的所有棱長都相等，為的中點，則與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．例74．已知正方體的棱長為1，點在線段上，若直線與所成角的余弦值為，則線段的長為（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】設(shè)兩異面直線a和b的方向向量為和，利用求角余弦公式可求得和的夾角，由于兩向量所成角的范圍是，而兩異面直線所成角的范圍是．所以．題型十三：求直線與平面所成角例75．如圖，在幾何體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF=2BE=2，EF=3．（1）證明：平面ACF⊥平面BEFD；（2）若二面角A-EF-C是直二面角，求直線AE與平面ABCD所成角的正切值．例76．如圖，在直三棱柱中，，，，E分別是，AB的中點，且．（1）證明：；（2）求與平面所成角的正弦值．例77．如圖，四面體中，，E為的中點．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，點F在上，當?shù)拿娣e最小時，求與平面所成的角的正弦值．例78．如圖，在四棱錐中，底面，，點在棱上，，點在棱上，．（1）若，為的中點，求證：，，，四點共面；（2）求直線與平面所成角的正弦的最大值．例79．如圖為一個四棱錐與三棱錐的組合體，C，D，E三點共線，已知三棱錐P－ADE四個面都為直角三角形，且ED⊥AD，PA⊥平面ABCE，PE＝3，CD＝AD＝2，ED＝1，則直線PC與平面PAE所成角的正弦值等于（

）A． B．C． D．例80．如圖，在正方體中，是中點，點在線段上，若直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】設(shè)為平面的斜線，為的方向向量，為平面的法向量，為與所成角的大小，則．題型十四：求平面與平面所成角例81．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E為BB1的中點，則平面A1ED與平面ABCD所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．例82．如圖，在三棱錐中，已知平面ABC，，，D為PC上一點，且，．（1）求AC的長；（2）若E為AC的中點，求二面角的余弦值．例83．如圖，在四棱錐中，四邊形為直角梯形，，平面平面．（1）證明：．（2）若四棱錐的體積為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．例84．如圖，在四棱錐中，平面平面，是等腰直角三角形，是底角．（1）求證：平面平面．（2）若，求二面角的余弦值．例85．如圖，為圓柱的軸截面，是圓柱上異于的母線．（1）證明：平面；（2）若，當三棱錐的體積最大時，求二面角的正弦值．例86．如圖1，矩形中，，，為上一點且．現(xiàn)將沿著折起，使得，得到的圖形如圖2．（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值．例87．如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為正方形，底面ABCD，M為線段PC的中點，，N為線段BC上的動點．（1）證明：平面平面（2）當點N在線段BC的何位置時，平面MND與平面PAB所成銳二面角的大小為30°？指出點N的位置，并說明理由．例88．如圖，四棱錐中，平面平面，，，，，，．是中點，是上一點．（1）是否存在點使得平面，若存在求的長．若不存在，請說明理由；（2）二面角的余弦值為，求的值．例89．如圖，四棱錐中，平面，梯形滿足，，且，，為中點，，．（1）求證：，，，四點共面；（2）求二面角的正弦值．例90．如圖，四棱錐的底面ABCD是平行四邊形，且底面ABCD，，點E是線段BC（包括端點）上的動點．（1）探究點E位于何處時，平面平面PED；（2）設(shè)二面角的平面角的大小為，直線AD與平面PED所成角為，求證：【方法技巧與總結(jié)】（1）在平面內(nèi)，，在平面β內(nèi)，（是交線的方向向量），其方向如圖所示，則二面角的平面角的余弦值為．（2）設(shè)是二面角的兩個半平面的法向量，其方向一個指向二面角內(nèi)側(cè)，另一個指向二面角的外側(cè)，則二面角的余弦值為．題型十五：求點到平面距離例91．在正方體中，E為的中點，過的平面截此正方體，得如圖所示的多面體，F(xiàn)為棱上的動點．（1）點H在棱BC上，當時，平面，試確定動點F在棱上的位置，并說明理由；（2）若，求點D到平面AEF的最大距離．例92．如圖，在三棱柱中，為等邊三角形，四邊形是邊長為2的正方形，為中點，且．（1）求證：平面；（2）若點在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求點到平面的距離．例93．如圖，已知平行六面體中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，，M為與的交點，設(shè)，，．（1）用，，表示并求BM的長；（2）求點A到直線BM的距離．例94．已知正方體的棱長為a，則平面與平面的距離為（

）A． B． C． D．例95．定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點到另一條直線距離的最小值．在棱長為1的正方體中，直線與之間的距離是（

）A． B． C． D．例96．如圖，正四棱錐的棱長均為2，點E為側(cè)棱PD的中點．若點M，N分別為直線AB，CE上的動點，則MN的最小值為______．例97．某市在濱海文化中心有濱海科技館，其建筑有鮮明的后工業(yè)風格，如圖所示，截取其中一部分抽象出長方體和圓臺組合，如圖所示，長方體中，，圓臺下底圓心為的中點，直徑為2，圓與直線交于，圓臺上底的圓心在上，直徑為1．（1）求與平面所成角的正弦值；（2）圓臺上底圓周上是否存在一點使得，若存在，求點到直線的距離，若不存在則說明理由．例98．如圖，矩形和梯形，，平面平面，且，過的平面交平面于．（1）求證：與相交；（2）當為中點時，求點到平面的距離：【方法技巧與總結(jié)】如圖所示，平面的法向量為，點是平面內(nèi)一點，點是平面外的任意一點，則點到平面的距離，就等于向量在法向量方向上的投影的絕對值，即或【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在四面體中，，，，D為BC的中點，E為AD的中點，則可用向量，，表示為（

）A． B．C． D．2．（2023·廣東·高三階段練習）已知正四面體的棱長為1，且，則（

）A． B． C． D．3．（2023·浙江·模擬預測）在四棱臺中，側(cè)棱與底面垂直，上下底面均為矩形，，，則下列各棱中，最長的是（

）A． B． C． D．4．（2023·浙江·高三開學考試）如圖，已知正方體，E，F(xiàn)，G分別是AB，，的中點，則（

）A．直線與直線EG相交 B．直線平面EFGC．直線與平面EFG相交 D．直線平面EFG5．（2023·黑龍江·大慶實驗中學模擬預測）在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，在鱉臑中，平面BCD，，且，M為AD的中點，則異面直線BM與CD夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．6．（2023·湖南·長郡中學高三階段練習）如圖，已知長方體，以D為坐標原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，則，又分別是棱，的中點，那么三棱錐的體積為（

）A．4 B．6 C．8 D．127．（2023·安徽淮北·一模（理））在空間直角坐標系中，已知，，則點到直線的距離為（

）A． B． C． D．8．（2023·浙江·樂清市知臨中學模擬預測）如圖，正方體的棱長為a，E是棱的動點，則下列說法正確的（

）個．①若E為的中點，則直線平面②三棱錐的體積為定值③E為的中點時，直線與平面所成的角正切值為④過點，C，E的截面的面積的范圍是A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題9．（2023·全國·高三專題練習）在空間直角坐標系中，已知點，，，則下列說法正確的是（

）A．點關(guān)于平面對稱的點的坐標為B．若平面的法向量，則直線平面C．若，分別為平面，的法向量，則平面平面D．點到直線的距離為10．（2023·全國·高三專題練習）下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的有（

）A．若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則∥；B．若非零向量，，滿足，，則有∥；C．若，，是空間的一組基底，且，則，，，四點共面；D．若，，是空間的一組基底，則向量，，也是空間一組基底；11．（2023·全國·高三專題練習）若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量共面的是（

）A． B．C． D．12．（2023·福建·廈門一中模擬預測）直三棱柱，中，，，點D是線段上的動點（不含端點），則（

）A．平面B．與不垂直C．的取值范圍為D．的最小值為三、填空題13．（2023·北京西城·一模）如圖，在棱長為的正方體中，點為棱的中點，點為底面內(nèi)一點，給出下列三個論斷：①；②；③．以其中的一個論斷作為條件，另一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：___________．14．（2023·天津·大港一中高三階段練習）已知點，直線過點，且一個方向向量為，則點到直線的距離為___________．15．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在正方體中，分別為棱，的中點，則與平面所成角的正弦值為___________．16．（2023·浙江·赫威斯育才高中模擬預測）如圖，在四棱錐中，，分別是，的中點，底面，，，，若平面平面，則二面角的正弦值是_________．四、解答題17．（2023·青?！ず|市第一中學模擬預測（理））如圖，在三棱柱中，，．（1）證明：平面平面．（2）設(shè)P是棱的中點，求AC與平面所成角的正弦值．18．（2023·江蘇·華羅庚中學三模）如圖，ABCD是邊長為6的正方形，已知，且并與對角線DB交于G，H，現(xiàn)以ME，NF為折痕將正方形折起，且BC，AD重合，記D，C重合后為P，記A，B重合后為Q．（1）求證：平面平面HGQ；（2）求平面GPN與平面GQH所成二面角的正弦值．19．（2023·河南·模擬預測（理））如圖所示，在直四棱柱中，底面ABCD是等腰梯形，，，，四邊形是正方形．（1）指出棱與平面的交點E的位置（無需證明），并在圖中將平面截該四棱柱所得的截面補充完整；（2）求二面角的余弦值．20．（2023·安徽·蚌埠二中模擬預測（理））如圖，圓錐PO的母線長為，是⊙的內(nèi)接三角形，平面PAC⊥平面PBC．，．（1）證明：；（2）設(shè)點Q滿足，其中，且二面角的大小為，求的值．21．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在三棱柱中，底面，的中點為，四面體的體積為，四邊形的面積為．（1）求到平面的距離；（2）設(shè)與交于點O，是以為直角的等腰直角三角形且．求直線與平面所成角的正弦值．22．（2023·遼寧·高三期中）如圖，空間直角坐標系中，四棱錐的底面是邊長為的正方形，且底面在平面內(nèi)，點在軸正半軸上，平面，側(cè)棱與底面所成角為．（1）若是頂點在原點，且過、兩點的拋物線上的動點，試給出與滿足的關(guān)系式；（2）若是棱上的一個定點，它到平面的距離為（），寫出、兩點之間的距離，并求的最小值；（3）是否存在一個實數(shù)（），使得當取得最小值時，異面直線與互相垂直？請說明理由；專題32空間向量及其應(yīng)用【考點預測】知識點一：空間向量及其加減運算（1）空間向量在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的長度或模．空間向量也可用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的模，若向量的起點是，終點是，則向量也可以記作，其模記為或．（2）零向量與單位向量規(guī)定長度為0的向量叫做零向量，記作．當有向線段的起點與終點重合時，．模為1的向量稱為單位向量．（3）相等向量與相反向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量．在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量．空間任意兩個向量都可以平移到同一個平面，成為同一平面內(nèi)的兩個向量．與向量長度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為．（4）空間向量的加法和減法運算①，．如圖所示．②空間向量的加法運算滿足交換律及結(jié)合律，知識點二：空間向量的數(shù)乘運算（1）數(shù)乘運算實數(shù)與空間向量的乘積稱為向量的數(shù)乘運算．當時，與向量方向相同；當時，向量與向量方向相反．的長度是的長度的倍．（2）空間向量的數(shù)乘運算滿足分配律及結(jié)合律，．（3）共線向量與平行向量如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，平行于，記作．（4）共線向量定理對空間中任意兩個向量，，的充要條件是存在實數(shù)，使．（5）直線的方向向量如圖8-153所示，為經(jīng)過已知點且平行于已知非零向量的直線．對空間任意一點，點在直線上的充要條件是存在實數(shù)，使①，其中向量叫做直線的方向向量，在上取，則式①可化為②①和②都稱為空間直線的向量表達式，當，即點是線段的中點時，，此式叫做線段的中點公式．（6）共面向量如圖8-154所示，已知平面與向量，作，如果直線平行于平面或在平面內(nèi)，則說明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．（7）共面向量定理如果兩個向量，不共線，那么向量與向量，共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使．推論：①空間一點位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使；或?qū)臻g任意一點，有，該式稱為空間平面的向量表達式．②已知空間任意一點和不共線的三點，，，滿足向量關(guān)系式（其中）的點與點，，共面；反之也成立．知識點三：空間向量的數(shù)量積運算（1）兩向量夾角已知兩個非零向量，，在空間任取一點，作，，則叫做向量，的夾角，記作，通常規(guī)定，如果，那么向量，互相垂直，記作．（2）數(shù)量積定義已知兩個非零向量，，則叫做，的數(shù)量積，記作，即．零向量與任何向量的數(shù)量積為0，特別地，．（3）空間向量的數(shù)量積滿足的運算律：，（交換律）；（分配律）．知識點四：空間向量的坐標運算及應(yīng)用（1）設(shè)，，則；；；；；．（2）設(shè)，，則．這就是說，一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示該向量的有向線段的終點的坐標減起點的坐標．（3）兩個向量的夾角及兩點間的距離公式．①已知，，則；；；；②已知，，則，或者．其中表示與兩點間的距離，這就是空間兩點的距離公式．（4）向量在向量上的投影為．知識點五：法向量的求解與簡單應(yīng)用（1）平面的法向量：如果表示向量的有向線段所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，如果，那么向量叫做平面的法向量．幾點注意：=1\*GB3①法向量一定是非零向量；=2\*GB3②一個平面的所有法向量都互相平行；=3\*GB3③向量是平面的法向量，向量是與平面平行或在平面內(nèi)，則有．第一步：寫出平面內(nèi)兩個不平行的向；第二步：那么平面法向量，滿足．（2）判定直線、平面間的位置關(guān)系=1\*GB3①直線與直線的位置關(guān)系：不重合的兩條直線，的方向向量分別為，．若∥，即，則；若，即，則．=2\*GB3②直線與平面的位置關(guān)系：直線的方向向量為，平面的法向量為，且．若∥，即，則；若，即，則．（3）平面與平面的位置關(guān)系平面的法向量為，平面的法向量為．若∥，即，則；若⊥，即，則⊥．知識點六：空間角公式．（1）異面直線所成角公式：設(shè)，分別為異面直線，上的方向向量，為異面直線所成角的大小，則．（2）線面角公式：設(shè)為平面的斜線，為的方向向量，為平面的法向量，為與所成角的大小，則．（3）二面角公式：設(shè)，分別為平面，的法向量，二面角的大小為，則或（需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補），其中．知識點七：空間中的距離求解空間中的距離（1）異面直線間的距離：兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段，只需利用向量的正射影性質(zhì)直接計算．如圖，設(shè)兩條異面直線的公垂線的方向向量為，這時分別在上任取兩點，則向量在上的正射影長就是兩條異面直線的距離．則即兩異面直線間的距離，等于兩異面直線上分別任取兩點的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值．（2）點到平面的距離為平面外一點（如圖），為平面的法向量，過作平面的斜線及垂線．【方法技巧與總結(jié)】用向量法可以證點共線、線共點、線（或點）共面、兩直線（或線與面、面與面）垂直的問題，也可以求空間角和距離．因此，凡涉及上述類型的問題，都可以考慮利用向量法求解，且其解法一般都比較簡單．用向量法解題的途徑有兩種：一種是坐標法，即通過建立空間直角坐標系，確定出一些點的坐標，進而求出向量的坐標，再進行坐標運算；另一種是基底法，即先選擇基向量（除要求不共面外，還要能夠便于表示所求的目標向量，并優(yōu)先選擇相互夾角已知的向量作為基底，如常選擇幾何體上共點而不共面的三條棱所在的向量為基底），然后將有關(guān)向量用基底向量表示，并進行向量運算．【題型歸納目錄】題型一：空間向量的加法、減法、數(shù)乘運算題型二：空間共線向量定理的應(yīng)用題型三：空間向量的數(shù)量積運算題型四：證明三點共線題型五：證明多點共面的方法題型六：證明直線和直線平行題型七：證明直線和平面平行題型八：證明平面與平面平行題型九：證明直線與直線垂直題型十：證明直線與平面垂直題型十一：證明平面和平面垂直題型十二：求兩異面直線所成角題型十三：求直線與平面所成角題型十四：求平面與平面所成角題型十五：求點到平面距離【典型例題】題型一：空間向量的加法、減法、數(shù)乘運算例1．設(shè)空間向量是空間向量的相反向量，則下列說法錯誤的是（

）A．與的長度相等B．與可能相等C．與所在的直線平行D．是的相反向量答案：C【解析】由題意，空間向量是空間向量的相反向量，即根據(jù)向量的模的定義，可，所以A正確；當向量、都為零向量時，，所以B正確；由向量與所在的直線可能平行也可能共線，故C錯誤，D正確．故選：C．例2．如圖，空間四邊形OABC中，，，，點M在上，且滿足，點N為BC的中點，則（

）A． B．C． D．答案：B【解析】由題意，又，，，∴，故選：B．例3．在四棱錐中，底面是正方形，為的中點，若，則（

）A． B．C． D．答案：C【解析】由底面是正方形，E為的中點，且，根據(jù)向量的運算法則，可得．故選：C．例4．如圖，在三棱錐S—ABC中，點E，F(xiàn)分別是SA，BC的中點，點G在棱EF上，且滿足，若，，，則（

）A． B．C． D．答案：D【解析】由題意可得．故選：D例5．如圖所示，在平行六面體中，M為與的交點，若，，，則（

）A． B．C． D．答案：D【解析】由題意得，．故選：D例6．如圖，在正方體中，，，，O為底面ABCD的中心，G為的重心，則（）A． B．C． D．答案：A【解析】在正方體中，，，，O為底面ABCD的中心，G為的重心，連接OG，則．故選：A．例7．在長方體中，設(shè)，，，若用向量、、表示向量，則____________．答案：【解析】由題意，故答案為：例8．在下列命題中：①若向量共線，則所在的直線平行；②若向量所在的直線是異面直線，則向量一定不共面；③若三個向量兩兩共面，則三個向量一定也共面；④已知三個向量，則空間任意一個向量總可以表示為．其中正確命題的個數(shù)為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】對于①，若共線，可能在同一條直線上，①錯誤；對于②，向量可以自由平移，所在的直線是異面直線，但可平移到共面狀態(tài)，②錯誤；對于③，三個向量兩兩共面，若，，交于一點，則垂直于所在平面，此時不共面，③錯誤；對于④，只有當不共面時，空間任意一個向量才可以表示為，④錯誤．故選：A．例9．如圖，平行六面體中，為的中點．若，則（

）A． B． C． D．答案：A【解析】，故，，，即故選：．例10．已知是空間向量的一個基底，是空間向量的另一個基底，若向量在基底下的坐標為，則向量在基底下的坐標為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】∵在基底下的坐標為∴設(shè)在基底下的坐標為則對照系數(shù)，可得：解得：∴在基底下的坐標為故選：C【方法技巧與總結(jié)】空間向量的運算包括空間向量的加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積的幾何意義及坐標運算，可以類比平面向量的運算法則．題型二：空間共線向量定理的應(yīng)用例11．，為空間直角坐標系中的兩個點，，若，則________．答案：0【解析】由A．B的點坐標可得，因為，則，所以．故答案為：0．例12．已知，，且??不共面，若，則___________．答案：【解析】根據(jù)，且??不共面可得，存在使得，根據(jù)向量相等可列出方程解出．且，，即，又??不共面，，則，，．故答案為：例13．已知，，，．若，則實數(shù)k的值為______．答案：【解析】因為，，所以，因為，所以，解得故答案為：例14．（多選題）下列命題中正確的是（

）A．是，共線的充分條件B．若，則C．，，三點不共線，對空間任意一點，若，則，，，四點共面D．若，，，為空間四點，且有（，不共線），則是，，三點共線的充分不必要條件答案：AC【解析】由，可得向量，的方向相同，此時向量，共線，所以A正確；若，則或A，B，，四點共線，所以B不正確；由A，，三點不共線，對空間任意一點，若，則，即有，，，四點共面，故C正確；若，，，為空間四點，且有（，不共線），當時，即可得，即，所以，，三點共線，反之也成立，即是A，，三點共線的充要條件，所以D不正確，故選：AC．【方法技巧與總結(jié)】空間共線向量定理：．利用此定理可解決立體幾何中的平行問題．題型三：空間向量的數(shù)量積運算例15．已知空間向量，，，則（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由題意，空間向量，，，可得，則．故選：A．例16．（多選題）設(shè)，為空間中的任意兩個非零向量，下列各式中正確的有（

）A． B．C． D．答案：AD【解析】對于A：，故A正確；對于B：因為向量不能做除法，即無意義，故B錯誤；對于C：，故C錯誤；對于D：，故D正確；故選：AD例17．（多選題）定義空間兩個非零向量的一種運算：，則關(guān)于空間向量上述運算的以下結(jié)論中恒成立的有（

）A． B．C．若，則 D．答案：BD【解析】對于A，若為負數(shù)，可知，故A錯誤，對于B，由定義知B正確，對于C，若，則，共線，故C錯誤，對于D，由定義知，故D正確．故選：BD例18．（多選題）如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是60°，M為與的交點，若，則下列正確的是（

）A． B．C．的長為 D．答案：BD【解析】根據(jù)題意，依次分析選項：對于A選項，，A錯誤，對于B選項，，B正確：對于C選項，，則，則，C錯誤：對于，則，D正確．故選：BD．例19．在三棱錐中，已知，，，則___________答案：【解析】設(shè)，顯然，則，即，而，即，于是得，，，則有，所以．故答案為：例20．棱長為1的正方體，在正方體的12條棱上運動，則的取值范圍是___________．答案：【解析】建立如圖所示空間直角坐標系，，，設(shè)（且只在正方體的條棱上運動），則，，由于，所以．當時，取最小值；當時，取最大值．故答案為：例21．已知，若，則_________．答案：2【解析】因為，故，即，故，故故答案為：2例22．已知點為正四面體的外接球上的任意一點，正四面體的棱長為2，則的取值范圍為___________．答案：【解析】如圖，將正四面體放在正方體內(nèi)，并建立如圖所示的空間直角坐標系，∵正四面體的棱長為2，則正方體的棱長為，正四面體ABCD的外接球即為圖中正方體的外接球，其半徑為R，則，則，，設(shè)，則，則，∵，，∴．故答案為：．例23．《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱．在塹堵中，，M是的中點，，N，G分別在棱，AC上，且，，平面MNG與AB交于點H，則___________，___________．答案：6

-42【解析】如圖，延長MG，交的延長線于K，連接KN，顯然平面，平面，因此，平面MNG與AB的交點H，即為KN與AB交點，在塹堵中，，則，即，又，則，而，于是得，所以，因，，所以．故答案為：6；-42例24．如圖，在棱長為2的正方體中，點是側(cè)面內(nèi)的一個動點．若點滿足，則的最大值為__________，最小值為__________．答案：

【解析】如圖建立空間直角坐標系，則，，，設(shè)，，所以，，因為，所以，即，，，則動點的軌跡為以為圓心，為半徑的半圓，將其放到平面直角坐標系中如下圖所示：則，，，所以，所以；顯然當點在時（即立體圖形中的點）取得最大值，因此的最大值為，最小值為；故答案為：；例25．已知向量，，，若，則實數(shù)（

）A．－2 B．2 C．1 D．－1答案：B【解析】，因為，所以，所以，所以2．故選：B例26．已知，，則（

）A． B． C．0 D．1答案：B【解析】，，．故選：B．例27．已知，，且，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】設(shè)向量與的夾角為，因為，，且，所以，得，所以，所以，因為，所以，故選：A例28．如圖，在平行六面體中，，，則（

）A．1 B． C．9 D．3答案：D【解析】在平行六面體中，有，，由題知，，，，，所以，，與的夾角為，與的夾角為，與的夾角為，所以．所以．故選：D．例29．給出下列命題，其中正確的為（

）A．若，則必有與重合，與重合，與為同一線段B．若，則是鈍角C．若，則與一定共線D．非零向量、、滿足與，與，與都是共面向量，則、、必共面答案：C【解析】對于A，在平行四邊形中，滿足，不滿足與重合，與重合，與為同一線段，故A錯，對于B，當兩個非零向量、的夾角為時，滿足，但它們的夾角不是鈍角，故B錯，對于C，當時，，則與一定共線，故C對，對于D，在三棱柱，、、，滿足與，與，與都是共面向量，但、、不共面，故D錯，故選：C．例30．正四面體的棱長為4，空間中的動點P滿足，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．答案：D【解析】分別取BC，AD的中點E，F(xiàn)，則，所以，故點的軌跡是以為球心，以為半徑的球面，，又，所以，，所以的取值范圍為．故選：D．例31．在三棱錐中，，，，則（

）A． B． C．1 D．答案：A【解析】因為三棱錐中，，，，所以，故選：A．例32．已知正四棱臺的上、下底面邊長分別為和，是上底面的邊界上一點．若的最小值為，則該正四棱臺的體積為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由題意可知，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，，由對稱性，點在是相同的，故只考慮在上時，設(shè)正四棱臺的高為，則，，設(shè)，，，因為在上，所以，則，，，所以由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當時，取得最小值為，又因為的最小值為，所以，解得（負舍），故正四棱臺的體積為：．故選：A．【方法技巧與總結(jié)】；求模長時，可根據(jù)；求空間向量夾角時，可先求其余弦值．要判斷空間兩向量垂直時，可以求兩向量的數(shù)量積是否為0，即．為銳角；為鈍角．由此，通常通過計算的值來判斷兩向量夾角是銳角還是鈍角．題型四：證明三點共線例33．如圖，在平行六面體中，，．（1）求證：、、三點共線；（2）若點是平行四邊形的中心，求證：、、三點共線．【解析】（1）由題意，，，故，，故，由于有公共點A，故A、、三點共線；（2）由題意，點是平行四邊形的中心，故，故，因為有公共點D，故、、三點共線．例34．已知向量，，不共面，，，．求證：B，C，D三點共線．【解析】，而，所以，故B，C，D三點共線．例35．在長方體中，M為的中點，N在AC上，且，E為BM的中點．求證：，E，N三點共線．【解析】由圖作出如圖所示長方體由題可得，，，所以，所以，E，N三點共線．例36．如果三點共線，那么（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因為，所以，又三點共線，所以，所以，所以，解得，所以故選：B【方法技巧與總結(jié)】先構(gòu)造共起點的向量，，然后證明存在非零實數(shù)，使得．題型五：證明多點共面的方法例37．已知、、、、、、、、為空間的個點（如圖所示），并且，，，，．求證：（1）、、、四點共面，、、、四點共面；（2）．【解析】（1）因為，所以，、、為共面向量，因為、、有公共點，故、、、四點共面，因為，則、、為共面向量，因為、、有公共點，故、、、四點共面；（2），，，，，因為、無公共點，故．例38．如圖，在幾何體ABCDE中，△ABC，△BCD，△CDE均為邊長為2的等邊三角形，平面ABC⊥平面BCD，平面DCE⊥平面BCD．求證：A，B，D，E四點共面；【解析】取的中點，連接，取的中點，連接，因為平面平面，且平面平面，而為等邊三角形，所以，因此平面，因為平面平面，且平面平面，又因為為等邊三角形，所以，因此平面，又因為平面，因此，又因為為等邊三角形，所以，因此兩兩垂直，從而以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，又因為均為邊長為2的等邊三角形，所以，，，設(shè)，則，，，由于，所以，解得，因此，所以，，，所以，由空間向量基本定理可知：四點共面；例39．如圖，四邊形為正方形，若平面平面，，，．判斷點D與平面CEF的位置關(guān)系，并說明理由．【解析】點在平面外，證明如下，連接ED，因為，，，設(shè)，則，即，顯然此方程組無解，所以四點，，，不共面，即點在平面外．例40．如圖，四棱柱的側(cè)棱底面，四邊形為菱形，，分別為，的中點．證明：，，，四點共面；【解析】證明：連結(jié)交于點，因為為菱形，故，又因為側(cè)棱底面，所以為原點建立空間直角坐標系，如圖所示，設(shè)，，，則，，，，所以，所以，故，所以，，，四點共面；例41．（多選題）若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量共面的是（

）A． B．C． D．答案：ABD【解析】選項A，因為，所以共面；選項B，因為，所以共面；選項C，在構(gòu)成的平面內(nèi)，不在這個平面內(nèi)，不符合．選項D，因為共線，所以共面．故選：ABD例42．（多選題）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，、分別為線段、的中點，為線段上的動點（不含端點），則下列說法正確的是（

）A．對任意點，則有、、、四點共面B．存在點，使得、、、四點共面C．對任意點，則有平面D．存在點，使得平面答案：BD【解析】因為底面，四邊形為正方形，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，則、、、、、、，設(shè)，其中，則，，，設(shè)，則，解得，故存在點，使得、、、四點共面，B對；，，，設(shè)，所以，，解得，不合乎題意，A錯；，，若平面，平面，則，解得，C錯；設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，，若平面，則，解得，故當點與點重合時，平面，D對．故選：BD．例43．以下四組向量在同一平面的是（

）A．、、 B．、、C．、、 D．、、答案：B【解析】對于A選項，設(shè)，所以，，無解；對于B選項，因為，故B選項中的三個向量共面；對于C選項，設(shè)，所以，，無解；對于D選項，設(shè)，所以，，矛盾．故選：B．例44．設(shè)為空間中的四個點，則“”是“四點共面”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案：A【解析】由，所以直線重合或互相平行，因此四點共面，當是平行四邊形時，顯然四點共面，顯然不成立，故選：A例45．，若三向量共面，則實數(shù)（

）A．3 B．2 C．15 D．5答案：D【解析】∵，∴與不共線，又∵三向量共面，則存在實數(shù)m，n使即，解得．故選：D．例46．如圖，在四面體中，、分別是、的中點，過的平面分別交棱、于、（不同于、、、），、分別是棱、上的動點，則下列命題錯誤的是（

）A．存在平面和點，使得平面B．存在平面和點，使得平面C．對任意的平面，線段平分線段D．對任意的平面，線段平分線段答案：D【解析】對于A選項，當時，因為平面，平面，此時平面，A對；對于B選項，當時，因為平面，平面，此時平面，B對；對于C選項，取的中點，的中點為，設(shè)，，則有，同理可得，，，，所以，所以，，因為、、、四點共面，則，所以，，所以，，則，所以，，可得，即、、三點共線，即的中點在上，即線段平分線段，C對；對于D選項，若線段平分線段，又因為線段平分線段，則四邊形為平行四邊形，事實上，四邊形不一定為平行四邊形，故假設(shè)不成立，D錯．故選：D．例47．已知P和不共線三點A，B，C，四點共面且對于空間任意一點O，都有，則λ＝________．答案：－2【解析】由四點共面的充分必要條件可得：，解得：．故答案為．例48．如圖，已知正方體的棱長為，，，分別是棱，，的中點，設(shè)是該正方體表面上的一點，若，則點的軌跡圍成圖形的面積是_________．答案：【解析】∵，在平面上，分別取，，的中點，則點的軌跡是正六邊形，因為正方體的棱長為，所以正六邊形的邊長為，所以，點的軌跡圍成圖形的面積是．故答案為：例49．在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，且PA＝AC＝2AB＝2AD＝4，CD⊥AD，CB⊥AB，G為PC的中點，過AG的平面與棱PB、PD分別交于點E、F．若EF∥平面ABCD，則截面AEGF的面積為______．答案：【解析】∵AC＝2AB＝2AD，CD⊥AD，CB⊥AB，∴∠DAC=∠BAC=60°，則根據(jù)向量加法法則易知，，即，則．根據(jù)共面向量定理的推論知，，其中x＋y＋z＝1．連接BD，∵EF∥平面ABCD，EF平面PBD，平面PBD∩平面ABCD=BD，∴EF∥BD，設(shè)，則，又G為PC的中點，∴，則，，解得，AB=2，BD=2×ABsin60°=，則．連接AG，∵PA＝AC＝4，G為PC的中點，故．易知BD⊥AC，BD⊥PA，，故BD⊥平面PAC，又平面PAC，∴BD⊥AG，∴AG⊥EF，因此．故答案為：．解法二：連接BD，設(shè)AC與BD交于點K，連接AG、PK，設(shè)AG與PK交于點L，由題易得BD∥EF，則，作KN∥AG交PC于N，易知CK＝3AK，則CN＝3GN，從而PG＝4GN，故，即．以下解法同上．故答案為：．【方法技巧與總結(jié)】要證明多點（如，，，）共面，可使用以下方法解題．先作出從同一點出發(fā)的三個向量（如，，），然后證明存在兩個實數(shù)，使得．題型六：證明直線和直線平行例50．已知長方體中，，，，點S、P在棱、上，且，，點R、Q分別為AB、的中點．求證：直線直線．【解析】以點D為原點，分別以、與的方向為x、y與z軸的正方向，建立空間直角坐標系．則、、、、、、、，由題意知、、、，∴，．∴，又，不共線，∴．例51．在四棱連中，平面ABCD⊥平面PCD，底面ABCD為梯形．，，且，，．若M是棱PA的中點，則對于棱BC上是否存在一點F，使得MF與PC平行．【解析】（1）在平面內(nèi)過點作，交于點，因為平面平面，且平面平面，可得平面，又由，所以兩兩垂直，以為原點，以所在的直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，由，，，可得，假設(shè)上存在點，使得，設(shè)，其中，因為是棱的中點，可得，又由，所以，設(shè)，可得，此方程組無解，所以假設(shè)不成立，所以對于上任意一點，與都不平行，即在線段上不存在點，使得與平行．【方法技巧與總結(jié)】將證線線平行轉(zhuǎn)化為證兩向量共線．設(shè)是兩條不重合的直線，它們的方向向量分別為，則．題型七：證明直線和平面平行例52．如圖，在直三棱柱中，，，D為AB的中點．試用向量的方法證明：平面．【解析】證明：建立如圖所示空間直角坐標系，設(shè)，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，故可令，則，即，又平面，所以平面．例53．如圖，在長方體中，底面是邊長為2的正方形，，E，F(xiàn)分別是的中點．求證：平面；【解析】如圖所示，以點為坐標原點，以分別為軸建立空間直角坐標系由題得，由題得，設(shè)平面的法向量為，所以．所以，因為平面，所以平面．【方法技巧與總結(jié)】（1）利用共面向量定理．設(shè)為平面內(nèi)不共線的兩個向量，證明存在兩個實數(shù)，使得，則．（2）轉(zhuǎn)化為證明直線和平面內(nèi)的某一直線平行．（3）轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量與平面的法向量垂直（此方法最常用）．題型八：證明平面與平面平行例54．如圖，已知棱長為4的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F(xiàn)分別是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中點，求證：平面∥平面．【解析】由正方體的棱長為4，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則即，令，解得所以設(shè)平面的一個法向量為，則即，令，解得所以所以∴平面∥平面．例55．如圖，正方體中，、分別為、的中點．用向量法證明平面平面；【解析】如圖建立空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為，則，，，，，，故，，，，設(shè)平面的法向量，則，即，令，則，設(shè)平面的法向量，則，即，令，則，所以，即，故平面平面；【方法技巧與總結(jié)】（1）證明兩平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行．（2）轉(zhuǎn)化為證兩平面的法向量平行（常用此方法）．題型九：證明直線與直線垂直例56．如圖，在直四棱柱中，，，，．求證：；【解析】因為平面，平面．所以，．又，所以，，兩兩垂直，以點D為坐標原點，以，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，．所以，．所以，所以．例57．如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分別是CC1，BC的中點，點P在直線A1B1上．證明：PN⊥AM；【解析】由題意兩兩垂直．所以以分別作為軸正方向建立空間直角坐標系，如圖，則．∵M是的中點，N是的中點，∴，設(shè)，∴，則，則，所以．例58．如圖，在棱長為a的正方體中，M為的中點，E為與的交點，F(xiàn)為與的交點．（1）求證：，．（2）求證：是異面直線與的公垂線段．【解析】（1）以D為原點，分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系．則，，，，，，，，，，．所以，，．因為，所以，即；因為，所以，即；（2）因為，，．所以，所以，即；，所以，即．又，所以是異面直線與的公垂線段．例59．如圖，在長方體中，點E，F(xiàn)分別在，上，且，．（1）證明：；（2）當，，時，求三棱錐的體積．【解析】（1）因為，所以．因為，所以．，所以．（2）∵，在面中，∽，∴，可得，∴，．例60．如圖，四棱錐中，為矩形，，且．為上一點，且．（1）求證：平面；（2）分別在線段上的點，是否存在，使且，若存在，確定的位置；若不存在，說明理由．【解析】（1），且平面又平面，矩形中，又，則與相似，則．；又，平面；（2），且平面．又，則可以D為原點分別以DA、DC、DS為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由題意可知，假設(shè)存在滿足且．在線段上，可設(shè)的坐標在線段上，可設(shè)則．要使且，則，又，可得，解得．故存在使且，其中是線段靠近的四等分點，是線段靠近的四等分點．例61．如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD且，，，，點M為棱PC的中點．證明：；【解析】解法一：因為，所以．如圖，以A為原點，分別以，為x軸，y軸的正方向，過點A作∥，則⊥平面，以為軸建立空間直角坐標系，則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，4，0），P（0，4，2），因為點M為棱PC的中點，所以M（1，3，）．于是，所以．所以，即．【方法技巧與總結(jié)】設(shè)直線的方向向量為，則．這里要特別指出的是，用向量法證明兩直線尤其是兩異面直線垂直是非常有效的方法．題型十：證明直線與平面垂直例62．在正方體中，如圖E、F分別是，CD的中點，求證：平面ADE；【解析】（1）以D為原點，建立空間直角坐標系，不妨設(shè)正方體的棱長為1，則D（0，0，0），A（1，0，0），（0，0，1），E（1，1，），F(xiàn)（0，，0），則＝（0，，－1），＝（1，0，0），＝（0，1，），則＝0，＝0，，，即，，又，故平面ADE．例63．如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，E為棱上的點，且．求證：平面；【解析】因為平面，平面，所以，而，因此可以建立如下圖所示的空間直角坐標系，則有，，，，因為，所以，而平面，所以平面；例64．如圖，在正方體中，，分別為，的中點．求證：平面；【解析】如圖示：以D為原點，DA、DC、DD1分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系．不妨設(shè)正方體的邊長為2，則，，，，，，，，，．所以，，，，．因為，所以．同理可證：．又，平面，平面，所以平面．【方法技巧與總結(jié)】（1）證明直線和平面內(nèi)的兩天相交直線垂直．（2）證明直線和平面內(nèi)的任一直線垂直．（3）轉(zhuǎn)化為證明直線與平面的法向量共線．題型十一：證明平面和平面垂直例65．如圖，在四棱錐中，平面PAB，平面PAB，．．求證：平面平面ABCD；【解析】取的中點，取的中點，連接，因為，所以，又因為，且平面，所以平面，所以兩兩垂直，故以為原點，以所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，因為．，所以，，，所以，設(shè)平面的一個法向量為，，，即，取，則；設(shè)平面的一個法向量為，，，即，取，則；因為，故平面平面；例66．如圖在邊長是2的正方體中，，分別為，的中點．證明：平面平面；【解析】據(jù)題意，建立如圖空間直角坐標系．于是：，，，，，∴，，，因為，∴，即，又，∴，即，又∵，平面且，∴平面，又∵平面，∴平面平面．例67．在三棱臺ABC－A1B1C1中，C1C⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB=BC=C1C=2A1B1，O為AC的中點，P是C1C的中點．證明：平面A1BC⊥平面POB；【解析】證明：連接A1O設(shè)A1B1=1，則AB=BC=C1C=2，AC=，A1C1=因為C1C⊥平面ABC，O為AC的中點，所以A1O⊥平面ABC，因為AB=BC，所以BO⊥AC．以O(shè)為坐標原點，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系O－，則A（0，－，0），B（，0，0），C（0，，0），（0，0，2），（，，2），（0，，2），P（0，，1）．因為，所以，所以A1C⊥OB，A1C⊥OP．因為，所以A1C⊥平面POB．．因為平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面POB．例68．如圖，在直三棱柱中，為的中點．（1）證明：平面；（2）證明：平面平面．【解析】（1）在直三棱柱中，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，設(shè)，則，，，，，，則，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，，且平面，則平面（2），，設(shè)平面的一個法向量，則，取，得，又平面的法向量，則，則平面平面．【方法技巧與總結(jié)】（1）轉(zhuǎn)化為證明兩平面的法向量互相垂直（2）轉(zhuǎn)化為證明一平面內(nèi)的一條直線垂直于另一個平面．題型十二：求兩異面直線所成角例69．如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱的長度為2，且．（1）求的長；（2）直線與所成角的余弦值．【解析】（1）由題意，，，，．（2），，，所以，所以直線與所成角的余弦值為．例70．已知正四面體ABCD，M為BC中點，N為AD中點，則直線BN與直線DM所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】設(shè)該正面體的棱長為，因為M為BC中點，N為AD中點，所以，因為M為BC中點，N為AD中點，所以有，，根據(jù)異面直線所成角的定義可知直線BN與直線DM所成角的余弦值為，故選：B例71．如圖，在三棱錐中，平面，是邊長為的正三角形，，是的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】以A為坐標原點，AC，AM所在直線分別為y，z軸建立空間直角坐標系如圖所示，易知，，，所以，，則，∴異面直線BE與AF所成角的余弦值為．故選：D例72．在三棱錐P—ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC，M、N分別為AC、AB的中點，則異面直線PN和BM所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】以點P為坐標原點，以，，方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，令，則，，，，則，，設(shè)異面直線PN和BM所成角為，則．故選：B．例73．已知直三棱柱的所有棱長都相等，為的中點，則與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】取線段的中點，則，設(shè)直三棱柱的棱長為，以點為原點，、、的方向分別為、、的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、，所以，，，．所以，．故選：C．例74．已知正方體的棱長為1，點在線段上，若直線與所成角的余弦值為，則線段的長為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】分別以為建立空間直角坐標系，設(shè)，則，直線與所成角的余弦值為，．解得：，，．故選：B．【方法技巧與總結(jié)】設(shè)兩異面直線a和b的方向向量為和，利用求角余弦公式可求得和的夾角，由于兩向量所成角的范圍是，而兩異面直線所成角的范圍是．所以．題型十三：求直線與平面所成角例75．如圖，在幾何體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，BE⊥平面ABCD，DF∥BE，且DF=2BE=2，EF=3．（1）證明：平面ACF⊥平面BEFD；（2）若二面角A-EF-C是直二面角，求直線AE與平面ABCD所成角的正切值．【解析】【解析】（1）在中，為中點且，平面平面，平面平面，平面，又平面，分別為的中點，，在直角和直角中，，，，平面平面，點到平面的距離為．（2）平面，由（1）得三線兩兩重直，以為原點，以為軸建立空間直角坐標系如圖，則，，設(shè)平面的法向量為，則令得，設(shè)，則，，設(shè)直線與平面所成的角為，則，若，此時，點與重合；若，令，則，當，即為的中點時，取得最大值．例76．如圖，在直三棱柱中，，，，E分別是，AB的中點，且．（1）證明：；（2）求與平面所成角的正弦值．【解析】【解析】（1）證明：取的中點，連，，∵為等邊三角形，且是邊的中點，∴，∵平面底面，且它們的交線為，∴平面，則，∵，且∴平面，∴；（2）由（1）知，面，，故以為坐標原點，如圖建立空間直角坐標系，易求各點坐標如下，則設(shè)平面的一個法向量為則令，得平面的一個法向量為例77．如圖，四面體中，，E為的中點．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，點F在上，當?shù)拿娣e最小時，求與平面所成的角的正弦值．【解析】（1）因為，E為的中點，所以；在和中，因為，所以，所以，又因為E為的中點，所以；又因為平面，，所以平面，因為平面，所以平面平面．（2）連接，由（1）知，平面，因為平面，所以，所以，當時，最小，即的面積最?。驗?，所以，又因為，所以是等邊三角形，因為E為的中點，所以，，因為，所以，在中，，所以．以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，則，又因為，所以，所以，設(shè)與平面所成的角的正弦值為，所以，所以與平面所成的角的正弦值為．例78．如圖，在四棱錐中，底面，，點在棱上，，點在棱上，．（1）若，為的中點，求證：，，，四點共面；（2）求直線與平面所成角的正弦的最大值．【解析】（1）以為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，則，，，設(shè)，則，解得，則，即，，，四點共面．（2）由（1）中的空間直角坐標系，可得，，，設(shè)，（其中），且，則，解得，可得設(shè)平面的法向量為，由，取，可得，所以設(shè)直線與平面所成角為，則，當且僅當時等號成立．直線與平面所成角的正弦的最大值為．例79．如圖為一個四棱錐與三棱錐的組合體，C，D，E三點共線，已知三棱錐P－ADE四個面都為直角三角形，且ED⊥AD，PA⊥平面ABCE，PE＝3，CD＝AD＝2，ED＝1，則直線PC與平面PAE所成角的正弦值等于（

）A． B．C． D．答案：C【解析】如圖建立空間直角坐標系，，，，則有：，，設(shè)平面PAE的法向量，則有，令，則，即∴，即直線PC與平面PAE所成角的