新高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義之方法技巧專題43排列組合(原卷版+解析)VIP

專題43排列組合【題型歸納目錄】題型一：排列數(shù)與組合數(shù)的推導(dǎo)、化簡和計算題型二：直接法題型三：間接法題型四：捆綁法題型五：插空法題型六：定序問題（先選后排）題型七：列舉法題型八：多面手問題題型九：錯位排列題型十：涂色問題題型十一：分組問題題型十二：分配問題題型十三：隔板法題型十四：數(shù)字排列題型十五：幾何問題題型十六：分解法模型與最短路徑問題題型十七：排隊問題題型十八：構(gòu)造法模型和遞推模型題型十九：環(huán)排問題【考點預(yù)測】知識點1、排列與排列數(shù)（1）定義：從個不同元素中取出個元素排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列．從個不同元素中取出個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，用符號表示．（2）排列數(shù)的公式：．特例：當(dāng)時，；規(guī)定：．（3）排列數(shù)的性質(zhì)：①；②；③．（4）解排列應(yīng)用題的基本思路：通過審題，找出問題中的元素是什么，是否與順序有關(guān)，有無特殊限制條件（特殊位置，特殊元素）．注意：排列數(shù)公式的兩種不同表達形式本質(zhì)是一樣的，但作用略有不同，常用于具體數(shù)字計算；而在進行含字母算式化簡或證明時，多用．知識點2、組合與組合數(shù)（1）定義：從個不同元素中取出個元素并成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合．從個不同元素中取出個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)，用符號表示．（2）組合數(shù)公式及其推導(dǎo)求從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，可以按以下兩步來考慮：第一步，先求出從這個不同元素中取出個元素的組合數(shù)；第二步，求每一個組合中個元素的全排列數(shù)；根據(jù)分步計數(shù)原理，得到；因此．這里，，且，這個公式叫做組合數(shù)公式．因為，所以組合數(shù)公式還可表示為：．特例：．注意：組合數(shù)公式的推導(dǎo)方法是一種重要的解題方法！在以后學(xué)習(xí)排列組合的混合問題時，一般都是按先取后排（先組合后排列）的順序解決問題．公式常用于具體數(shù)字計算，常用于含字母算式的化簡或證明．（3）組合數(shù)的主要性質(zhì)：①；②．（4）組合應(yīng)用題的常見題型：=1\*GB3①“含有”或“不含有”某些元素的組合題型=2\*GB3②“至少”或“最多”含有幾個元素的題型知識點3、排列和組合的區(qū)別組合：取出的元素地位平等，沒有不同去向和分工．排列：取出的元素地位不同，去向、分工或職位不同．注意：排列、組合都是研究事物在某種給定的模式下所有可能的配置數(shù)目問題，它們之間的主要區(qū)別在于是否要考慮選出元素的先后順序，不需要考慮順序的是組合問題，需要考慮順序的是排列問題．排列是在組合的基礎(chǔ)上對入選的元素進行排隊，因此，分析解決排列組合綜合問題的基本思維是“先組合，后排列”．知識點4、解決排列組合綜合問題的一般過程1、認真審題，確定要做什么事；2、確定怎樣做才能完成這件事，即采取分步還是分類或是分步與分類同時進行，弄清楚分多少類及多少步；3、確定每一步或每一類是排列（有序）問題還是組合（無序）問題，元素總數(shù)是多少及取出多少個元素；4、解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略．【方法技巧與總結(jié)】1、如圖，在圓中，將圓分等份得到個區(qū)域，，，，，現(xiàn)取種顏色對這個區(qū)域涂色，要求每相鄰的兩個區(qū)域涂不同的兩種顏色，則涂色的方案有種．2、錯位排列公式3、數(shù)字排列問題的解題原則、常用方法及注意事項（1）解題原則：排列問題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個位子上，或某個位子不排某些元素，解決該類排列問題的方法主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個位子安排的元素影響到另一個位子的元素個數(shù)時，應(yīng)分類討論．4、定位、定元的排列問題，一般都是對某個或某些元素加以限制，被限制的元素通常稱為特殊元素，被限制的位置稱為特殊位置．這一類問題通常以三種途徑考慮：（1）以元素為主考慮，這時，一般先解決特殊元素的排法問題，即先滿足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置為主考慮，這時，一般先解決特殊位置的排法問題，即先滿足特殊位置，再考慮其他位置；（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)．5、解決相鄰問題的方法是“捆綁法”，其模型為將n個不同元素排成一排，其中某k個元素排在相鄰位置上，求不同排法種數(shù)的方法是：先將這k個元素“捆綁在一起”，看成一個整體，當(dāng)作一個元素同其他元素一起排列，共有種排法；然后再將“捆綁”在一起的元素“內(nèi)部”進行排列，共有種排法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，符合條件的排法共有種．6、解決不相鄰問題的方法為“插空法”，其模型為將個不同元素排成一排，其中某個元素互不相鄰（），求不同排法種數(shù)的方法是：先將（）個元素排成一排，共有種排法；然后把個元素插入個空隙中，共有種排法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，符合條件的排法共有·種．【典例例題】題型一：排列數(shù)與組合數(shù)的推導(dǎo)、化簡和計算例1．（2023·山東·高密三中高三階段練習(xí)）已知n，m為正整數(shù)，且，則在下列各式中錯誤的是（

）A．； B．； C．； D．例2．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高三開學(xué)考試）已知，為正整數(shù)，且，則在下列各式中，正確的個數(shù)是（

）①；②；③；④A．1 B．2 C．3 D．4例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則（

）A．7 B．8 C．9 D．10例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的值為（

）A．3 B．3或4 C．4 D．4或5例5．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的可能取值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3例6．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列等式正確的是（

）A． B．C． D．例7．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列等式中，正確的是（

）A． B．C． D．例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）解下列不等式或方程(1)(2)例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（1）計算：；（2）計算：；（3）解方程：.例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）利用組合數(shù)公式證明．題型二：直接法例11．甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進行勞動技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次．甲和乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍．”對乙說：“你當(dāng)然不會是最差的．”從這兩個回答分析，5人的名次排列方式共有（

）種A．54 B．72 C．96 D．120例12．某校開展研學(xué)活動時進行勞動技能比賽，通過初選，選出共6名同學(xué)進行決賽，決出第1名到第6名的名次（沒有并列名次），和去詢問成績，回答者對說“很遺?，你和都末拿到冠軍；對說“你當(dāng)然不是最差的”.試從這個回答中分析這6人的名次排列順序可能出現(xiàn)的結(jié)果有（

）A．720種 B．600種 C．480種 D．384種例13．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，則不同的排法有（

）A．24種 B．6種 C．4種 D．12種例14．某學(xué)校要從5名男教師和3名女教師中隨機選出3人去支教，則抽取的3人中，女教師最多為1人的選法種數(shù)為（

）．A．10 B．30 C．40 D．46題型三：間接法例15．將7個人從左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相鄰，且甲不站在最右端，則不同的站法有（

）．A．1860種 B．3696種 C．3600種 D．3648種例16．某學(xué)校計劃從包含甲?乙?丙三位教師在內(nèi)的10人中選出5人組隊去西部支教，若甲?乙?丙三位教師至少一人被選中，則組隊支教的不同方式共有（

）A．21種 B．231種 C．238種 D．252種例17．中園古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”主要指德育；“樂”主要指美育；“射”和“御”就是體育和勞動；“書”指各種歷史文化知識；“數(shù)”指數(shù)學(xué).某校國學(xué)社團開展“六藝”講座活動，每周安排一次講座，共講六次.講座次序要求“射”不在第一次，“數(shù)”和“樂”兩次不相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有（

）A．408種 B．240種 C．1092種. D．120種例18．紅五月，某校團委決定舉辦慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年“百年榮光，偉大夢想”聯(lián)歡會，經(jīng)過初賽，共有6個節(jié)目進入決賽，其中2個歌舞類節(jié)目，2個小品類節(jié)目，1個朗誦類節(jié)目，1個戲曲類節(jié)目．演出時要求同類節(jié)目不能相鄰，則演出順序的排法總數(shù)是（

）A． B． C． D．題型四：捆綁法例19．（2023·四川·樹德懷遠中學(xué)高三開學(xué)考試（理））甲、乙等5人去北京天安門游玩，在天安門廣場排成一排拍照留念，則甲和乙相鄰且都不站在兩端的排法有（

）A．12種 B．24種 C．48種 D．120種例20．（2023·四川成都·高三開學(xué)考試（理））某一天的課程表要排入語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物六門課，如果數(shù)學(xué)只能排在第一節(jié)或者最后一節(jié)，物理和化學(xué)必須排在相鄰的兩節(jié)，則共有（

）種不同的排法A． B． C． D．例21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，則甲、乙相鄰的排法有（

）A．72種 B．60種 C．48種 D．36種例22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）3位教師和4名學(xué)生站一排，3位教師必須站在一起，共有（

）種站法．A．144 B．360 C．480 D．720例23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某晚會上需要安排4個歌舞類節(jié)目和2個語言類節(jié)目的演出順序，要求語言類節(jié)目之間有且僅有2個歌舞類節(jié)目，則不同的演出方案的種數(shù)為（

）．A．72 B．96 C．120 D．144題型五：插空法例24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）2022年2月4日，中國北京第24屆奧林匹克冬季運動會開幕式以二十四節(jié)氣的方式開始倒計時創(chuàng)意新穎，驚艷了全球觀眾．衡陽市某中學(xué)為了弘揚我國二十四節(jié)氣文化，特制作出“立春”、“驚蟄”、“雨水”、“春分”、“清明”、“谷雨”六張知識展板分別放置在六個并排的文化櫥窗里，要求“立春”和“春分”兩塊展板相鄰，且“清明”與“驚蟄”兩塊展板不相鄰，則不同的放置方式有多少種？（

）A．24 B．48 C．144 D．244例25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）高中數(shù)學(xué)新教材有必修一和必修二，選擇性必修有一?二?三共5本書，把這5本書放在書架上排成一排，必修一?必修二不相鄰的排列方法種數(shù)是（

）A．72 B．144 C．48 D．36例26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）五聲音階是中國古樂的基本音階，故有成語“五音不全”．中國古樂中的五聲音階依次為：宮、商、角、徽、羽，如果用上這五個音階，排成一個五音階音序，且商、角不相鄰，徽位于羽的左側(cè)，則可排成的不同音序有（

）A．18種 B．24種 C．36種 D．72種例27．（2023·全國·高三專題練習(xí)（理））馬路上有編號為1，2，3…，9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有（

）種A．15 B．20 C．10 D．9例28．（2023·全國·模擬預(yù)測）某等候區(qū)有7個座位（連成一排），甲、乙、丙三人隨機就坐，因受新冠疫情影響，要求他們每兩人之間至少有一個空位，則不同的坐法有（

）A．4種 B．10種 C．20種 D．60種例29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）為迎接新年到來，某中學(xué)2022作“唱響時代強音，放飛青春夢想”元旦文藝晚會如期舉行.校文娛組委員會要在原定排好的8個學(xué)生節(jié)目中增加2個教師節(jié)目，若保持原來的8個節(jié)目的出場順序不變，則不同排法的種數(shù)為(

)A．36 B．45 C．72 D．90題型六：定序問題（先選后排）例30．滿足，且的有序數(shù)組共有（

）個.A． B． C． D．例31．五人并排站成一排，如果必須站在的右邊，（可以不相鄰）那么不同的排法有（

）A．120種 B．90種 C．60種 D．24種例32．DNA是形成所有生物體中染色體的一種雙股螺旋線分子，由稱為堿基的化學(xué)成分組成它看上去就像是兩條長長的平行螺旋狀鏈，兩條鏈上的堿基之間由氫鍵相結(jié)合．在DNA中只有4種類型的堿基，分別用A、C、G和T表示，DNA中的堿基能夠以任意順序出現(xiàn)兩條鏈之間能形成氫鍵的堿基或者是A-T，或者是C-G，不會出現(xiàn)其他的聯(lián)系因此，如果我們知道了兩條鏈中一條鏈上堿基的順序，那么我們也就知道了另一條鏈上堿基的順序．如圖所示為一條DNA單鏈模型示意圖，現(xiàn)在某同學(xué)想在堿基T和堿基C之間插入3個堿基A，2個堿基C和1個堿基T，則不同的插入方式的種數(shù)為（

）A．20 B．40 C．60 D．120例33．某次演出有5個節(jié)目，若甲、乙、丙3個節(jié)目間的先后順序已確定，則不同的排法有（

）A．120種 B．80種 C．20種 D．48種例34．某次數(shù)學(xué)獲獎的6名高矮互不相同的同學(xué)站成兩排照相，后排每個人都高于站在他前面的同學(xué)，則共有多少種站法（

）A．36 B．90 C．360 D．720例35．花燈，又名“彩燈”“燈籠”，是中國傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)時代的文化產(chǎn)物，兼具生活功能與藝術(shù)特色.如圖，現(xiàn)有懸掛著的8盞不同的花燈需要取下，每次取1盞，則不同取法總數(shù)為（

）A．2520 B．5040 C．7560 D．10080例36．如圖所示，某貨場有兩堆集裝箱，一堆2個，一堆3個，現(xiàn)需要全部裝運，每次只能從其中一堆取最上面的一個集裝箱，則在裝運的過程中不同取法的種數(shù)是（）A．6 B．10 C．12 D．24題型七：列舉法例37．三人互相傳球，由甲開始發(fā)球，并作為第一次傳球，經(jīng)過5次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方式共有（

）A．6種 B．8種 C．10種 D．16種例38．三人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下.由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽子又被踢回甲，則不同的傳遞方式共有（

）A．4種 B．5種 C．6種 D．12種例39．設(shè)，，，那么滿足的所有有序數(shù)組的組數(shù)為（

）A．45 B．46 C．47 D．48例40．從集合中任意選擇三個不同的數(shù)，使得這三個數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的等差數(shù)列有（

）個A．98 B．56 C．84 D．49例41．工人在安裝一個正六邊形零件時，需要固定如圖所示的六個位置的螺栓.若按一定順序?qū)⒚總€螺栓固定緊，但不能連續(xù)固定相鄰的2個螺栓.則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是________．題型八：多面手問題例42．我校去年11月份，高二年級有10人參加了赴日本交流訪問團，其中3人只會唱歌，2人只會跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．現(xiàn)要從中選6人上臺表演，3人唱歌，3人跳舞，有種不同的選法．A． B． C． D．例43．某國際旅行社現(xiàn)有11名對外翻譯人員，其中有5人只會英語，4人只會法語，2人既會英語又會法語，現(xiàn)從這11人中選出4人當(dāng)英語翻譯，4人當(dāng)法語翻譯，則共有（

）種不同的選法A．225 B．185 C．145 D．110例44．“賽龍舟”是端午節(jié)的習(xí)俗之一，也是端午節(jié)最重要的節(jié)日民俗活動之一，在我國南方普遍存在端午節(jié)臨近，某單位龍舟隊欲參加今年端午節(jié)龍舟賽，參加訓(xùn)練的8名隊員中有3人只會劃左槳，3人只會劃右槳，2人既會劃左槳又會劃右槳．現(xiàn)要選派劃左槳的3人、劃右槳的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（

）A．26種 B．30種 C．37種 D．42種例45．某龍舟隊有9名隊員，其中3人只會劃左舷，4人只會劃右舷，2人既會劃左舷又會劃右舷．現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（

）A．56種 B．68種C．74種 D．92種題型九：錯位排列例46．編號為1、2、3、4、5的5個人分別去坐編號為1、2、3、4、5的五個座位，其中有且只有兩個人的編號與座位號一致的坐法有（

）A．10種 B．20種 C．30種 D．60種例47．將編號為、、、、、的小球放入編號為、、、、、的六個盒子中，每盒放一球，若有且只有兩個盒子的編號與放入的小球的編號相同，則不同的放法種數(shù)為（

）A． B． C． D．例48．若5個人各寫一張卡片（每張卡片的形狀、大小均相同），現(xiàn)將這5張卡片放入一個不透明的箱子里，并攪拌均勻，再讓這5人在箱子里各摸一張，恰有1人摸到自己寫的卡片的方法數(shù)有（

）A．20 B．90 C．15 D．45題型十：涂色問題例49．（2023·陜西·寶雞市陳倉高級中學(xué)高三開學(xué)考試（理））某兒童游樂園有5個區(qū)域要涂上顏色，現(xiàn)有四種不同顏色的油漆可供選擇，要求相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則符合條件的涂色方案有（）種A．36

B．48

C．54

D．72例50．（2023·全國·高三專題練習(xí)）隨機給如圖所示的四塊三角形區(qū)域涂色，有紅、黃、藍、綠、黑這5種顏色供選擇，則“任意兩個有公共邊的三角形所涂顏色不同”的概率為（

）A． B． C． D．例51．（2023·全國·高三專題練習(xí)）無蓋正方體容器的五個面上分別標有A、B、C、D、E五個字母，現(xiàn)需要給容器的5個表面染色，要求有公共棱的面不能染同一種顏色，現(xiàn)有5種不同的顏色可供選擇，則不同的染色方案有（

）種．A．420 B．340 C．300 D．120例52．（2023·全國·高三專題練習(xí)（文））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，如圖，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法總數(shù)為（

）A． B． C． D．例53．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在一個正六邊形的六個區(qū)域涂色（如圖），要求同一區(qū)域同一種顏色，相鄰的兩塊區(qū)域（有公共邊）涂不同的顏色，現(xiàn)有種不同的顏色可供選擇，則不同涂色方案有（）A．種 B．種 C．種 D．種例54．（2023·全國·高三專題練習(xí)（理））用種不同的顏色對正四棱錐的條棱染色，每個頂點出發(fā)的棱的顏色各不相同，不同的染色方案共有多少種A． B． C． D．例55．（2023·全國·高三專題練習(xí)（理））用紅、黃、藍三種顏色之一去涂圖中標號為的個小正方形（如圖1），使得任意相鄰（有公共邊的）小正方形所涂顏色都不相同，且標號為“、、”的小正方形涂相同的顏色，則符合條件的所有涂法共有123456789A．種 B．種 C．種 D．種題型十一：分組問題例56．為了貫徹落實中央新疆工作座談會和全國對口支援新疆工作會議精神，促進邊疆少數(shù)民族地區(qū)教育事業(yè)發(fā)展，我市教育系統(tǒng)選派了三位男教師和兩位女教師支援新疆，這五名教師被分派到三個不同地方對口支援，每位教師只去一個地方，每個地方至少去一人，其中兩位女教師分派到同一個地方，則不同的分派方法有（

）A．18種 B．36種 C．68種 D．84種例57．2021年春節(jié)期間電影《你好，李煥英》因“搞笑幽默不庸俗，真心實意不煽情”深受熱棒，某電影院指派5名工作人員進行電影調(diào)查問卷，每個工作人員從編號為1，2，3，4的4個影廳選一個，可以多個工作人員進入同一個影廳，若所有5名工作人員的影廳編號之和恰為10，則不同的指派方法種數(shù)為（

）A．91 B．101 C．111 D．121例58．2019年實驗中學(xué)要給三個班級補發(fā)8套教具，先將其分成3堆，其中一堆4個，另兩堆每堆2個，一共有多少種不同分堆方法（

）A． B．C． D．例59．有本不同的書.(1)分給甲、乙、丙、丁四人，每人本，有幾種分法？(2)若堆依次為本，本，本，本，有幾種分法？(3)若平均分成堆，有幾種方法（只要求列出算式）？例60．已知有6本不同的書.（1）分成三堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？（2）分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？題型十二：分配問題例61．2022年北京冬奧會速度滑冰?花樣滑冰?冰球三個項目競賽中，甲，乙，丙，丁，戊五名同學(xué)各自選擇一個項目開展志自愿者服務(wù)，則甲和乙均選擇同一個項目，且三個項目都有人參加的不同方案總數(shù)是（

）A．18 B．27 C．36 D．48例62．現(xiàn)將5名志愿者全部分派到A、B、C三個居民小區(qū)參加抗擊新冠病毒知識宣傳，要求每個小區(qū)至少1人，志愿者甲安排到A小區(qū)，則不同的安排方法種數(shù)為（

）．A．56 B．50 C．62 D．36例63．將4名志愿者分配到3個不同的北京冬奧場館參加接待工作，每個場館至少分配一名志愿者的方案種數(shù)為________．（用數(shù)字作答）例64．設(shè)有99本不同的書（用排列數(shù)、組合數(shù)作答）.(1)分給甲、乙、丙3人，甲得96本，乙得2本，丙得1本，共有多少種不同的分法？(2)分給甲、乙、丙3人，甲得93本，乙、丙各得3本，共有多少種不同的分法？(3)平均分給甲、乙、丙3人，共有多少種不同的分法？(4)分給甲、乙、丙3人，一人得96本，一人得2本，一人得1本，共有多少種不同的分法？(5)分給甲、乙、丙3人，一人得93本，另兩人各得3本，共有多少種不同的分法？(6)分成3份，一份96本，一份2本，一份1本，共有多少種不同的分法？(7)平均分成3份，共有多少種不同的分法？(8)分成3份，一份93本，另兩份各3本，共有多少種不同的分法？例65．(1)個不同的小球放入編號為的個盒子中，一共有多少種不同的放法？(2)個不同的小球放入編號為的個盒子中，恰有個空盒的放法共有多少種？例66．將封信全部投入個郵筒：(1)不加任何限制，有多少種不同的投法？(2)每個郵筒至少投一封信，有多少種不同的投法？題型十三：隔板法例67．將9個志愿者名額全部分配給3個學(xué)校，則每校至少一個名額且各校名額互不相同的分配方法總數(shù)是（

）A．16 B．18 C．27 D．28例68．展開式為多項式，則其展開式經(jīng)過合并同類項后的項數(shù)一共有（

）A．12項 B．24項 C．39項 D．78項例69．7個相同的小球放入，，三個盒子，每個盒子至少放一球，共有（

）種不同的放法．A．60種 B．36種 C．30種 D．15種例70．將10本完全相同的科普知識書，全部分給甲?乙?丙3人，每人至少得2本，則不同的分法數(shù)為（

）A．720種 B．420種 C．120種 D．15種例71．方程的非負整數(shù)解有（

）A．組 B．136組 C．190組 D．68組例72．若方程，其中，則方程的正整數(shù)解的個數(shù)為A．10 B．15 C．20 D．30題型十四：數(shù)字排列例73．（2023·重慶南開中學(xué)模擬預(yù)測）公元五世紀，數(shù)學(xué)家祖沖之估計圓周率的范圍是：，為紀念祖沖之在圓周率方面的成就，把3.1415926稱為“祖率”，這是中國數(shù)學(xué)的偉大成就．小明是個數(shù)學(xué)迷，他在設(shè)置手機的數(shù)字密碼時，打算將圓周率的前6位數(shù)字3，1，4，1，5，9進行某種排列得到密碼．如果排列時要求數(shù)字9不在最后一位，那么小明可以設(shè)置的不同密碼有（

）個．A．600 B．300 C．360 D．180例74．（2023·河北·青龍滿族自治縣實驗中學(xué)高三開學(xué)考試）用數(shù)字1，2，3，4組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為（

）A．6 B．12 C．16 D．18例75．（2023·山西省長治市第二中學(xué)校高三階段練習(xí)（理））若從1，2，3，…，9這9個整數(shù)中取出4個不同的數(shù)排成一排，依次記為a，b，c，d，則使得a×b×c＋d為奇數(shù)的不同排列方法有（

）A．1224 B．1800 C．1560 D．840例76．（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)字“”中，各位數(shù)字相加和為，稱該數(shù)為“長久四位數(shù)”，則用數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字且大于的“長久四位數(shù)”有（

）個A． B．C． D．例77．（2023·全國·高三專題練習(xí)）用數(shù)字、、組成五位數(shù)，且數(shù)字、、至少都出現(xiàn)一次，這樣的五位數(shù)共有（

）個A． B． C． D．例78．（2023·全國·高三專題練習(xí)）由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（

）A．210個 B．300個C．464個 D．600個題型十五：幾何問題例79．（2023·河南·鶴壁高中高三階段練習(xí)（理））若一個正方體繞著某直線旋轉(zhuǎn)不到一周后能與自身重合，那么這樣的直線的條數(shù)為（

）A． B． C． D．例80．以正方體的頂點為頂點的三棱錐的個數(shù)為（

）A．70 B．64 C．60 D．58例81．從正方體的8個頂點中選取4個作為頂點，可得到四面體的個數(shù)為（

）A． B． C． D．例82．在正方體的個頂點中，以任意個頂點為頂點的三棱錐，共有（

）A．個 B．個 C．個 D．個例83．正方體，是棱的中點，在任意兩個中點的連線中，與平面平行的直線有幾條（

）A．36 B．21 C．12 D．6題型十六：分解法模型與最短路徑問題例84．5400的正約數(shù)有（

）個A．48 B．46 C．36 D．38例85．有一種走“方格迷宮”游戲，游戲規(guī)則是每次水平或豎直走動一個方格，走過的方格不能重復(fù)，只要有一個方格不同即為不同走法．現(xiàn)有如圖的方格迷宮，圖中的實線不能穿過，則從入口走到出口共有多少種不同走法？A．6 B．8 C．10 D．12例86．如圖，某城市中，、兩地有整齊的道路網(wǎng)，若規(guī)定只能向東或向北兩個方向沿途中路線前進，則從到不同的走法共有A．10 B．13 C．15 D．25例87．如圖，螞蟻從A沿著長方體的棱以的方向行走至B，不同的行走路線有A．6條 B．7條 C．8條 D．9條例88．如圖，一只螞蟻從點出發(fā)沿著水平面的線條爬行到點，再由點沿著置于水平面的正方體的棱爬行至頂點，則它可以爬行的不同的最短路徑有（

）條A．40 B．60 C．80 D．120例89．如圖所示為某市各旅游景點的分布圖，圖中一支箭頭表示一段有方向的路，試計算順著箭頭方向，從A到H可走的不同的旅游路線的條數(shù)為A．14 B．15 C．16 D．17例90．如圖，在某城市中，M，N兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中，，，是道路網(wǎng)中位于一條對角線上的4個交匯處.今在道路網(wǎng)M，N處的甲?乙兩人分別要到N，M處，他們分別隨機地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時出發(fā)，直到到達N，M處為止，則下列說法正確的有（

）A．甲從M到達N處的走法種數(shù)為120B．甲從M必須經(jīng)過到達N處的走法種數(shù)為9C．甲，兩人能在處相遇的走法種數(shù)為36D．甲，乙兩人能相遇的走法種數(shù)為164題型十七：排隊問題例91．4個男同學(xué)，3個女同學(xué)站成一排．(1)3個女同學(xué)必須相鄰，有多少種不同的排法？(2)任何兩個女同學(xué)彼此不相鄰，有多少種不同的排法？(3)3個女同學(xué)站在中間三個位置上的不同排法有多少種？(4)其中甲、乙兩人相鄰，但都不與丙相鄰，則有多少種不同的排法？(5)若3個女同學(xué)身高互不相等，女同學(xué)從左到右按高矮順序排，有多少種不同的排法？例92．在班級活動中，4名男生和3名女生站成一排表演節(jié)目：（寫出必要的數(shù)學(xué)式，結(jié)果用數(shù)字作答）（1）三名女生不能相鄰，有多少種不同的站法？（2）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少種不同的排法？（3）甲乙丙三人按高低從左到右有多少種不同的排法？（甲乙丙三位同學(xué)身高互不相等）（4）從中選出2名男生和2名女生表演分四個不同角色朗誦，有多少種選派方法？例93．在班級活動中，4名男生和3名女生站成一排表演節(jié)目：（寫出必要的數(shù)學(xué)式，結(jié)果用數(shù)字作答）（1）三名女生不能相鄰，有多少種不同的站法？（2）四名男生相鄰有多少種不同的排法？（3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少種不同的排法？（4）甲乙丙三人按高低從左到右有多少種不同的排法？（甲乙丙三位同學(xué)身高互不相等）（5）從中選出2名男生和2名女生表演分四個不同角色朗誦，有多少種選派方法？（6）現(xiàn)在有7個座位連成一排，僅安排4個男生就坐，恰好有兩個空座位相鄰的不同坐法共有多少種？題型十八：構(gòu)造法模型和遞推模型例94．賈同學(xué)、王同學(xué)、文同學(xué)三人在操場踢球,每次傳球,傳球者將球隨機將傳給另外兩位同學(xué)之一,足球最開始在文同學(xué)腳下,則:①次傳球之后,共有___________種可能的傳球方法;②次傳球之后,足球回到文同學(xué)腳下的傳球方法有___________種.例95．一只螞蟻從一個正四面體的頂點出發(fā)，每次從一個頂點爬行到另一個頂點，則螞蟻爬行五次還在點的爬行方法種數(shù)是__________．例96．把圓分成個不相等的扇形，并且用紅、黃、藍三種顏色給扇形染色，但不允許相鄰的扇形有相同的顏色，問共有多少種染色法？例97．（1）求方程的非負整數(shù)解的組數(shù)；（2）某火車站共設(shè)有4個安檢入口，每個入口每次只能進入1位乘客，求一個4人小組進站的不同方案種數(shù)．題型十九：環(huán)排問題例98．21個人按照以下規(guī)則表演節(jié)目：他們圍坐成一圈，按順序從1到3循環(huán)報數(shù)，報數(shù)字“3”的人出來表演節(jié)目，并且表演過的人不再參加報數(shù)．那么在僅剩兩個人沒有表演過節(jié)目的時候，共報數(shù)的次數(shù)為A．19 B．38 C．51 D．57例99．A，B，C，D，E，F(xiàn)六人圍坐在一張圓桌周圍開會，A是會議的中心發(fā)言人，必須坐最北面的椅子，B，C二人必須坐相鄰的兩把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，則不同的座次有（

）A．60種 B．48種 C．30種 D．24種例100．現(xiàn)有一圓桌，周邊有標號為1，2，3，4的四個座位，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)坐在一起探討一個數(shù)學(xué)課題，每人只能坐一個座位，甲先選座位，且甲、乙不能相鄰，則所有選座方法有（

）．A．6種 B．8種 C．12種 D．16種例101．5個女孩與6個男孩圍成一圈，任意2個女孩中間至少站1個男孩，則不同排法有______種（填數(shù)字）．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·甘肅白銀·高三開學(xué)考試（理））6名志愿者要到，，三個社區(qū)進行志愿服務(wù)，每個志愿者只去一個社區(qū)，每個社區(qū)至少安排1名志愿者，若要2名志愿者去社區(qū)，則不同的安排方法共有（

）A．105種 B．144種 C．150種 D．210種2．（2023·江西·南昌二中高三開學(xué)考試（理））2022年3月中旬，新冠肺炎疫情突襲南昌，南昌市統(tǒng)一指揮，多方攜手、眾志成城，構(gòu)筑起抗擊疫情的堅固堡壘．某小區(qū)有小王、小張等5位中學(xué)生積極參加社區(qū)志愿者，他們被分派到測溫和掃碼兩個小組，若小王和小張不同組，且他們所在的兩個組都至少需要2名中學(xué)生志愿者，則不同的分配方案種數(shù)有（

）A．8 B．10 C．12 D．143．（2023·全國·高三專題練習(xí)）用紅、黃、藍3種顏色給如圖所示的6個相連的圓涂色，若每種顏色只能涂2個圓，且相鄰2個圓所涂顏色不能相同，則不同的涂法種數(shù)為（

）A．24 B．30 C．36 D．424．（2023·全國·高三專題練習(xí)）甲乙丙丁四個同學(xué)星期天選擇到東湖公園，西湖茶經(jīng)樓，歷史博物館和北湖公園其中一處去參觀游玩，其中茶經(jīng)樓必有人去，則不同的參觀方式共有（

）種.A．24 B．96 C．174 D．1755．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若分配甲、乙、丙、丁四個人到三個不同的社區(qū)做志愿者，每個社區(qū)至少分配一人，每人只能去一個社區(qū)．若甲分配的社區(qū)已經(jīng)確定，則乙與甲分配到不同社區(qū)的概率是（

）A． B． C． D．6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）近日，各地有序開展新冠疫苗加強針接種工作，某社區(qū)疫苗接種點為了更好的服務(wù)市民，決定增派5名醫(yī)務(wù)工作者參加登記?接種?留觀3項工作，每人參加1項，接種工作至少需要2人參加，登記?留觀至少1人參加，則不同的安排方式有（

）A．50 B．80 C．140 D．1807．（2023·全國·高三專題練習(xí)）將6個不同的乒乓球全部放入兩個不同的球袋中，每個球袋中至少放1個，則不同的放法有（

）A．82種 B．62種 C．112種 D．84種8．（2023·四川省成都市第八中學(xué)校高三階段練習(xí)（理））甲?乙?丙等七人相約到電影院看電影《長津湖》，恰好買到了七張連號的電影票，若甲?乙兩人必須相鄰，且丙坐在七人的正中間，則不同的坐法的種數(shù)為（

）A．240 B．192 C．96 D．489．（2023·安徽·合肥一中模擬預(yù)測（理））某校有5名大學(xué)生打算前往觀看冰球，速滑，花滑三場比賽，每場比賽至少有1名學(xué)生且至多2名學(xué)生前往，則甲同學(xué)不去觀看冰球比賽的方案種數(shù)有（

）A．48 B．54 C．60 D．72二、多選題10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）為弘揚我國古代的“六藝文化”，某夏令營主辦單位計劃利用暑期開設(shè)“禮”“樂”“射”“御”“書”“數(shù)”六門體驗課程，每周一門，連續(xù)開設(shè)六周，則（

）A．某學(xué)生從中選3門，共有30種選法B．課程“射”“御”排在不相鄰兩周，共有240種排法C．課程“禮”“樂”“數(shù)”排在相鄰三周，共有144種排法D．課程“樂”不排在第一周，課程“御”不排在最后一周，共有504種排法11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，用4種不同的顏色，對四邊形中的四個區(qū)域進行著色，要求有公共邊的兩個區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的著色方法數(shù)為（

）A． B．C． D．12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）將四個不同的小球放入三個分別標有1，2，3號的盒子中，不允許有空盒子，下列結(jié)果正確的有（）A． B．

C． D．1813．（2023·全國·高三專題練習(xí)）為響應(yīng)政府部門疫情防控號召，某紅十字會安排甲?乙?丙?丁4名志愿者奔赴，，三地參加防控工作，則下列說法正確的是（

）A．不同的安排方法共有64種B．若恰有一地?zé)o人去，則不同的安排方法共有42種C．若甲?乙兩人都不能去A地，且每地均有人去，則不同的安排方法共有44種D．若該紅十字會又計劃為這三地捐贈20輛救護車（救護車相同），且每地至少安排一輛，則不同的安排方法共有171種14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）現(xiàn)安排甲?乙?丙?丁?戊5名同學(xué)參加2022年杭州亞運會志愿者服務(wù)活動，有翻譯?導(dǎo)游?禮儀?司機四項工作可以安排，則以下說法錯誤的是（

）A．若每人都安排一項工作，則不同的方法數(shù)為B．若每項工作至少有1人參加，則不同的方法數(shù)為C．每項工作至少有1人參加，甲?乙不會開車但能從事其他三項工作，丙?丁?戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數(shù)是D．如果司機工作不安排，其余三項工作至少安排1人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為三、填空題15．（2023·湖北孝感·高三階段練習(xí)）甲、乙、丙三名志愿者需要完成A，B，C，D，E五項不同的工作，每項工作由一人完成，每人至少完成一項，且E工作只有乙能完成，則不同的安排方式有______種．16．（2023·全國·高三專題練習(xí)（理））志愿團安排去甲?乙?丙?丁四個精準扶貧點慰問的先后順序，一位志愿者說：不能先去甲，甲的困難戶最多；另一位志愿者說：不能最后去丁，丁離得最遠．他們共有多少種不同的安排方法____17．（2023·河南·模擬預(yù)測（理））將中國古代四大名著——《紅樓夢》《西游記》《水滸傳》《三國演義》，以及《詩經(jīng)》等12本書按照如圖所示的方式擺放，其中四大名著要求放在一起，且必須豎放，《詩經(jīng)》《楚辭》《呂氏春秋》要求橫放，若這12本書中7本豎放5本橫放，則不同的擺放方法共有___________種.18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）用數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9組成沒有重復(fù)數(shù)字，且至多有一個數(shù)字是奇數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有___________個．（用數(shù)字作答）19．（2023·四川省仁壽縣鏵強中學(xué)高三開學(xué)考試（理））5位學(xué)生被分配到3個志愿點作志愿者，每個志愿點至少分配一位學(xué)生，其中甲乙不能分配到同一個志愿點，則共有___________種不同的分配方式（用數(shù)字作答）.20．（2023·四川·成都七中三模（理））有甲、乙、丙三項任務(wù)，甲、乙各需1人承擔(dān)，丙需2人承擔(dān)且至少1人是男生，現(xiàn)有2男2女共4名學(xué)生承擔(dān)這三項任務(wù)，不同的安排方法種數(shù)是______．（用具體數(shù)字作答）專題43排列組合【題型歸納目錄】題型一：排列數(shù)與組合數(shù)的推導(dǎo)、化簡和計算題型二：直接法題型三：間接法題型四：捆綁法題型五：插空法題型六：定序問題（先選后排）題型七：列舉法題型八：多面手問題題型九：錯位排列題型十：涂色問題題型十一：分組問題題型十二：分配問題題型十三：隔板法題型十四：數(shù)字排列題型十五：幾何問題題型十六：分解法模型與最短路徑問題題型十七：排隊問題題型十八：構(gòu)造法模型和遞推模型題型十九：環(huán)排問題【考點預(yù)測】知識點1、排列與排列數(shù)（1）定義：從個不同元素中取出個元素排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列．從個不同元素中取出個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，用符號表示．（2）排列數(shù)的公式：．特例：當(dāng)時，；規(guī)定：．（3）排列數(shù)的性質(zhì)：①；②；③．（4）解排列應(yīng)用題的基本思路：通過審題，找出問題中的元素是什么，是否與順序有關(guān)，有無特殊限制條件（特殊位置，特殊元素）．注意：排列數(shù)公式的兩種不同表達形式本質(zhì)是一樣的，但作用略有不同，常用于具體數(shù)字計算；而在進行含字母算式化簡或證明時，多用．知識點2、組合與組合數(shù)（1）定義：從個不同元素中取出個元素并成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合．從個不同元素中取出個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)，用符號表示．（2）組合數(shù)公式及其推導(dǎo)求從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，可以按以下兩步來考慮：第一步，先求出從這個不同元素中取出個元素的組合數(shù)；第二步，求每一個組合中個元素的全排列數(shù)；根據(jù)分步計數(shù)原理，得到；因此．這里，，且，這個公式叫做組合數(shù)公式．因為，所以組合數(shù)公式還可表示為：．特例：．注意：組合數(shù)公式的推導(dǎo)方法是一種重要的解題方法！在以后學(xué)習(xí)排列組合的混合問題時，一般都是按先取后排（先組合后排列）的順序解決問題．公式常用于具體數(shù)字計算，常用于含字母算式的化簡或證明．（3）組合數(shù)的主要性質(zhì)：①；②．（4）組合應(yīng)用題的常見題型：=1\*GB3①“含有”或“不含有”某些元素的組合題型=2\*GB3②“至少”或“最多”含有幾個元素的題型知識點3、排列和組合的區(qū)別組合：取出的元素地位平等，沒有不同去向和分工．排列：取出的元素地位不同，去向、分工或職位不同．注意：排列、組合都是研究事物在某種給定的模式下所有可能的配置數(shù)目問題，它們之間的主要區(qū)別在于是否要考慮選出元素的先后順序，不需要考慮順序的是組合問題，需要考慮順序的是排列問題．排列是在組合的基礎(chǔ)上對入選的元素進行排隊，因此，分析解決排列組合綜合問題的基本思維是“先組合，后排列”．知識點4、解決排列組合綜合問題的一般過程1、認真審題，確定要做什么事；2、確定怎樣做才能完成這件事，即采取分步還是分類或是分步與分類同時進行，弄清楚分多少類及多少步；3、確定每一步或每一類是排列（有序）問題還是組合（無序）問題，元素總數(shù)是多少及取出多少個元素；4、解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略．【方法技巧與總結(jié)】1、如圖，在圓中，將圓分等份得到個區(qū)域，，，，，現(xiàn)取種顏色對這個區(qū)域涂色，要求每相鄰的兩個區(qū)域涂不同的兩種顏色，則涂色的方案有種．2、錯位排列公式3、數(shù)字排列問題的解題原則、常用方法及注意事項（1）解題原則：排列問題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個位子上，或某個位子不排某些元素，解決該類排列問題的方法主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個位子安排的元素影響到另一個位子的元素個數(shù)時，應(yīng)分類討論．4、定位、定元的排列問題，一般都是對某個或某些元素加以限制，被限制的元素通常稱為特殊元素，被限制的位置稱為特殊位置．這一類問題通常以三種途徑考慮：（1）以元素為主考慮，這時，一般先解決特殊元素的排法問題，即先滿足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置為主考慮，這時，一般先解決特殊位置的排法問題，即先滿足特殊位置，再考慮其他位置；（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)．5、解決相鄰問題的方法是“捆綁法”，其模型為將n個不同元素排成一排，其中某k個元素排在相鄰位置上，求不同排法種數(shù)的方法是：先將這k個元素“捆綁在一起”，看成一個整體，當(dāng)作一個元素同其他元素一起排列，共有種排法；然后再將“捆綁”在一起的元素“內(nèi)部”進行排列，共有種排法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，符合條件的排法共有種．6、解決不相鄰問題的方法為“插空法”，其模型為將個不同元素排成一排，其中某個元素互不相鄰（），求不同排法種數(shù)的方法是：先將（）個元素排成一排，共有種排法；然后把個元素插入個空隙中，共有種排法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，符合條件的排法共有·種．【典例例題】題型一：排列數(shù)與組合數(shù)的推導(dǎo)、化簡和計算例1．（2023·山東·高密三中高三階段練習(xí)）已知n，m為正整數(shù)，且，則在下列各式中錯誤的是（

）A．； B．； C．； D．答案：C【解析】對于A，，故正確；對于B，因為，所以，故正確；對于C，因為n，m為正整數(shù)，且，所以令，則，，此時，故錯誤；對于D，，故正確；故選：C例2．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高三開學(xué)考試）已知，為正整數(shù)，且，則在下列各式中，正確的個數(shù)是（

）①；②；③；④A．1 B．2 C．3 D．4答案：C【解析】對于①，故①正確；對于②因為，所以，故②正確；對于③因為，故③錯誤；對于④，故④正確；故選：C例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則（

）A．7 B．8 C．9 D．10答案：B【解析】由題意，得，化簡可得，解得．故選:B例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的值為（

）A．3 B．3或4 C．4 D．4或5答案：B【解析】因為，所以或，解得：或.故選：B.例5．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，則的可能取值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3答案：CD【解析】因為，所以，所以，其中，而，所以的值可能是2或3．故選：CD．例6．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列等式正確的是（

）A． B．C． D．答案：ACD【解析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)可知，，故AD正確；根據(jù)排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系可知,故B不正確；∵，，∴,故C正確.故選:ACD.例7．（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列等式中，正確的是（

）A． B．C． D．答案：ABD【解析】選項A，左邊==右邊，正確；選項B，右邊左邊，正確；選項C，右邊左邊，錯誤；選項D，右邊左邊，正確.故選：ABD例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）解下列不等式或方程(1)(2)【解析】(1)由題意得：，解得：，，即，解得：，結(jié)合，可得：(2)，則，即，解得：（舍去）或2故方程的解為：m=2例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）（1）計算：；（2）計算：；（3）解方程：.【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原方程可化為，整理得，即，化簡得，解得或(舍去)，所以原方程的解是.例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）利用組合數(shù)公式證明．【解析】證明：因為，，所以．題型二：直接法例11．甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進行勞動技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次．甲和乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍．”對乙說：“你當(dāng)然不會是最差的．”從這兩個回答分析，5人的名次排列方式共有（

）種A．54 B．72 C．96 D．120答案：A【解析】根據(jù)題意，甲乙都沒有得到冠軍，而乙不是最后一名，分2種情況討論：①甲是最后一名，則乙可以為第二、三、四名，即乙有3種情況，剩下的三人安排在其他三個名次，有種情況，此時有種名次排列情況；②甲不是最后一名，甲乙需要排在第二、三、四名，有種情況，剩下的三人安排在其他三個名次，有種情況，此時有種名次排列情況；則一共有種不同的名次情況，故選：A．例12．某校開展研學(xué)活動時進行勞動技能比賽，通過初選，選出共6名同學(xué)進行決賽，決出第1名到第6名的名次（沒有并列名次），和去詢問成績，回答者對說“很遺?，你和都末拿到冠軍；對說“你當(dāng)然不是最差的”.試從這個回答中分析這6人的名次排列順序可能出現(xiàn)的結(jié)果有（

）A．720種 B．600種 C．480種 D．384種答案：D【解析】由題意，不是第一名且不是最后一名，的限制最多，故先排，有4種情況，再排，也有4種情況，余下4人有種情況，利用分步相乘計數(shù)原理知有種情況．故選：D.例13．甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，則不同的排法有（

）A．24種 B．6種 C．4種 D．12種答案：B【解析】甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，則只需對剩下3人全排即可，則不同的排法共有，故選：B．例14．某學(xué)校要從5名男教師和3名女教師中隨機選出3人去支教，則抽取的3人中，女教師最多為1人的選法種數(shù)為（

）．A．10 B．30 C．40 D．46答案：C【解析】女教師最多為1人即女教師為0人或者1人若女教師為0人，則男教師有3人，有種選擇；若女教師為1人，則男教師2人，有種選擇；故女教師最多為1人的選法種數(shù)為種故選：C題型三：間接法例15．將7個人從左到右排成一排，若甲、乙、丙3人中至多有2人相鄰，且甲不站在最右端，則不同的站法有（

）．A．1860種 B．3696種 C．3600種 D．3648種答案：D【解析】7個人從左到右排成一排，共有種不同的站法，其中甲、乙、丙3個都相鄰有種不同的站法，甲站在最右端有種不同的站法，甲、乙、丙3個相鄰且甲站最右端有種不同的站法，故甲、乙、丙3人中至多有2人相鄰，且甲不站在最右端，不同的站法有種不同的站法.故選：D例16．某學(xué)校計劃從包含甲?乙?丙三位教師在內(nèi)的10人中選出5人組隊去西部支教，若甲?乙?丙三位教師至少一人被選中，則組隊支教的不同方式共有（

）A．21種 B．231種 C．238種 D．252種答案：B【解析】10人中選5人有種選法，其中，甲?乙?丙三位教師均不選的選法有種，則甲?乙?丙三位教師至少一人被選中的選法共有種.故選：B例17．中園古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”主要指德育；“樂”主要指美育；“射”和“御”就是體育和勞動；“書”指各種歷史文化知識；“數(shù)”指數(shù)學(xué).某校國學(xué)社團開展“六藝”講座活動，每周安排一次講座，共講六次.講座次序要求“射”不在第一次，“數(shù)”和“樂”兩次不相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有（

）A．408種 B．240種 C．1092種. D．120種答案：A【解析】每周安排一次，共講六次的“六藝”講座活動，“射”不在第一次的不同次序數(shù)為，其中“射”不在第一次且“數(shù)”和“樂”兩次相鄰的不同次序數(shù)為，于是得，所以“六藝”講座不同的次序共有408種.故選：A例18．紅五月，某校團委決定舉辦慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年“百年榮光，偉大夢想”聯(lián)歡會，經(jīng)過初賽，共有6個節(jié)目進入決賽，其中2個歌舞類節(jié)目，2個小品類節(jié)目，1個朗誦類節(jié)目，1個戲曲類節(jié)目．演出時要求同類節(jié)目不能相鄰，則演出順序的排法總數(shù)是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】所有演出方案有種，歌舞類相鄰有種，小品類相鄰有種，歌舞與小品均相鄰有種，所以總數(shù)有種.故選：C.題型四：捆綁法例19．（2023·四川·樹德懷遠中學(xué)高三開學(xué)考試（理））甲、乙等5人去北京天安門游玩，在天安門廣場排成一排拍照留念，則甲和乙相鄰且都不站在兩端的排法有（

）A．12種 B．24種 C．48種 D．120種答案：B【解析】將甲、乙捆綁在一起看成一個元素，有種排法，其中甲、乙相鄰且在兩端的有種，故甲、乙相鄰且都不站在兩端的排法有（種）．故選:B．例20．（2023·四川成都·高三開學(xué)考試（理））某一天的課程表要排入語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物六門課，如果數(shù)學(xué)只能排在第一節(jié)或者最后一節(jié)，物理和化學(xué)必須排在相鄰的兩節(jié)，則共有（

）種不同的排法A． B． C． D．答案：D【解析】若數(shù)學(xué)只能排在第一節(jié)或者最后一節(jié)，則數(shù)學(xué)的排法有種，物理和化學(xué)必須排在相鄰的兩節(jié)，將物理和化學(xué)捆綁，與語文、英語、生物三門課程進行排序，有種排法.由分步乘法計數(shù)原理可知，共有種不同的排法.故選：D.例21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，則甲、乙相鄰的排法有（

）A．72種 B．60種 C．48種 D．36種答案：C【解析】甲、乙相鄰共有種.將甲、乙捆綁與剩余的丙、丁、戊三人全排列有種.則共有種.故選：C.例22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）3位教師和4名學(xué)生站一排，3位教師必須站在一起，共有（

）種站法．A．144 B．360 C．480 D．720答案：D【解析】因為3位教師和4名學(xué)生站一排，3位教師必須站在一起，所以共有種站法，故選：D例23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）某晚會上需要安排4個歌舞類節(jié)目和2個語言類節(jié)目的演出順序，要求語言類節(jié)目之間有且僅有2個歌舞類節(jié)目，則不同的演出方案的種數(shù)為（

）．A．72 B．96 C．120 D．144答案：D【解析】第一步：全排列2個語言類的節(jié)目，共有種情況，第二步：從4個歌舞類節(jié)目中選出2個節(jié)目放入2個語言類的節(jié)目之間，共有種情況，第三步：再將排好的4個節(jié)目視為一個整體，與其余的兩個歌舞節(jié)目全排列，共有種情況，所以.故選：D題型五：插空法例24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）2022年2月4日，中國北京第24屆奧林匹克冬季運動會開幕式以二十四節(jié)氣的方式開始倒計時創(chuàng)意新穎，驚艷了全球觀眾．衡陽市某中學(xué)為了弘揚我國二十四節(jié)氣文化，特制作出“立春”、“驚蟄”、“雨水”、“春分”、“清明”、“谷雨”六張知識展板分別放置在六個并排的文化櫥窗里，要求“立春”和“春分”兩塊展板相鄰，且“清明”與“驚蟄”兩塊展板不相鄰，則不同的放置方式有多少種？（

）A．24 B．48 C．144 D．244答案：C【解析】根據(jù)題意先將“立春”和“春分”兩塊展板捆綁在一起，與“雨水”、“谷雨”排列，有4個空，然后“清明”與“驚蟄”去插空，所以不同的放置方式有種.故選：C例25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）高中數(shù)學(xué)新教材有必修一和必修二，選擇性必修有一?二?三共5本書，把這5本書放在書架上排成一排，必修一?必修二不相鄰的排列方法種數(shù)是（

）A．72 B．144 C．48 D．36答案：A【解析】先將選擇性必修有一?二?三這三本書排成一排，有種方法，再將必修一?必修二這兩本書插入兩個空隙中，有種方法，所以把這5本書放在書架上排成一排，必修一?必修二不相鄰的排列方法種數(shù)是：.故選：A.例26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）五聲音階是中國古樂的基本音階，故有成語“五音不全”．中國古樂中的五聲音階依次為：宮、商、角、徽、羽，如果用上這五個音階，排成一個五音階音序，且商、角不相鄰，徽位于羽的左側(cè)，則可排成的不同音序有（

）A．18種 B．24種 C．36種 D．72種答案：C【解析】先將宮、徽、羽三個音節(jié)進行排序，且徽位于羽的左側(cè)，有，再將商、角插入4個空中，共有種．故選：C．例27．（2023·全國·高三專題練習(xí)（理））馬路上有編號為1，2，3…，9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有（

）種A．15 B．20 C．10 D．9答案：C【解析】根據(jù)題意，因為關(guān)掉3盞路燈不能是兩端2盞，也不能相鄰，則需要用插空法分析：先將亮的6盞燈排成一列，除去2端，有5個符合條件的空位，在5個空位中，任選3個，安排熄滅的燈，有種情況，即有10種關(guān)燈方法.故選：C例28．（2023·全國·模擬預(yù)測）某等候區(qū)有7個座位（連成一排），甲、乙、丙三人隨機就坐，因受新冠疫情影響，要求他們每兩人之間至少有一個空位，則不同的坐法有（

）A．4種 B．10種 C．20種 D．60種答案：D【解析】甲、乙、丙每兩人之間至少有一個空位，即甲、乙、丙互不相鄰，相當(dāng)于有四個空位放置成一排，形成5個空檔，甲、乙、丙三人各帶一個座位插入，所以有（種）不同的坐法，故選：D．例29．（2023·全國·高三專題練習(xí)）為迎接新年到來，某中學(xué)2022作“唱響時代強音，放飛青春夢想”元旦文藝晚會如期舉行.校文娛組委員會要在原定排好的8個學(xué)生節(jié)目中增加2個教師節(jié)目，若保持原來的8個節(jié)目的出場順序不變，則不同排法的種數(shù)為(

)A．36 B．45 C．72 D．90答案：D【解析】采用插空法即可：第1步：原來排好的8個學(xué)生節(jié)目產(chǎn)生9個空隙，插入1個教師節(jié)目有9種排法；第2步：排好的8個學(xué)生節(jié)目和1個教師節(jié)目產(chǎn)生10個空隙，插入1個教師節(jié)目共有10種排法，故共有9×10＝90種排法.故選：D.題型六：定序問題（先選后排）例30．滿足，且的有序數(shù)組共有（

）個.A． B． C． D．答案：A【解析】∵數(shù)組中數(shù)字的大小確定，從1到9共9個數(shù)任取4個數(shù)得一個有序數(shù)組，所有個數(shù)為．故選：A．例31．五人并排站成一排，如果必須站在的右邊，（可以不相鄰）那么不同的排法有（

）A．120種 B．90種 C．60種 D．24種答案：C【解析】所有人排成一排共有：種排法站在右邊與站在右邊的情況一樣多所求排法共有：種排法本題正確選項：例32．DNA是形成所有生物體中染色體的一種雙股螺旋線分子，由稱為堿基的化學(xué)成分組成它看上去就像是兩條長長的平行螺旋狀鏈，兩條鏈上的堿基之間由氫鍵相結(jié)合．在DNA中只有4種類型的堿基，分別用A、C、G和T表示，DNA中的堿基能夠以任意順序出現(xiàn)兩條鏈之間能形成氫鍵的堿基或者是A-T，或者是C-G，不會出現(xiàn)其他的聯(lián)系因此，如果我們知道了兩條鏈中一條鏈上堿基的順序，那么我們也就知道了另一條鏈上堿基的順序．如圖所示為一條DNA單鏈模型示意圖，現(xiàn)在某同學(xué)想在堿基T和堿基C之間插入3個堿基A，2個堿基C和1個堿基T，則不同的插入方式的種數(shù)為（

）A．20 B．40 C．60 D．120答案：C【解析】依題意可知，不同的插入方式的種數(shù)為.故選：C例33．某次演出有5個節(jié)目，若甲、乙、丙3個節(jié)目間的先后順序已確定，則不同的排法有（

）A．120種 B．80種 C．20種 D．48種答案：C【解析】在5個位置中選兩個安排其它兩個節(jié)目，還有三個位置按順序放入甲、乙、丙，方法數(shù)為．故選：C．例34．某次數(shù)學(xué)獲獎的6名高矮互不相同的同學(xué)站成兩排照相，后排每個人都高于站在他前面的同學(xué)，則共有多少種站法（

）A．36 B．90 C．360 D．720答案：B【解析】6個高矮互不相同的人站成兩排，后排每個人都高于站在他前面的同學(xué)的站法數(shù)為，故選：B例35．花燈，又名“彩燈”“燈籠”，是中國傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)時代的文化產(chǎn)物，兼具生活功能與藝術(shù)特色.如圖，現(xiàn)有懸掛著的8盞不同的花燈需要取下，每次取1盞，則不同取法總數(shù)為（

）A．2520 B．5040 C．7560 D．10080答案：A【解析】由題意，對8盞不同的花燈進行取下，先對8盞不同的花燈進行全排列，共有種方法，因為取花燈每次只能取一盞，而且只能從下往上取，所以須除去重復(fù)的排列順序，即先取上方的順序，故一共有種，故選：A例36．如圖所示，某貨場有兩堆集裝箱，一堆2個，一堆3個，現(xiàn)需要全部裝運，每次只能從其中一堆取最上面的一個集裝箱，則在裝運的過程中不同取法的種數(shù)是（）A．6 B．10 C．12 D．24答案：B【解析】將左邊的集裝箱從上往下分別記為1,2,3,右邊的集裝箱從上往下分別記為4,5.分兩種情況討論:若先取1,則有12345,12453,14523,14235,14523,12435,共6種情況;若先取4,則有45123,41235,41523,41253,共4種情況,故共有6+4=10種情況.題型七：列舉法例37．三人互相傳球，由甲開始發(fā)球，并作為第一次傳球，經(jīng)過5次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方式共有（

）A．6種 B．8種 C．10種 D．16種答案：C【解析】根據(jù)題意，作出樹狀圖，第四次球不能傳給甲，由分步加法計數(shù)原理可知：經(jīng)過5次傳球后，球仍回到甲手中，則不同的傳球方式共有10種，故選：C.例38．三人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下.由甲開始踢，經(jīng)過4次傳遞后，毽子又被踢回甲，則不同的傳遞方式共有（

）A．4種 B．5種 C．6種 D．12種答案：C【解析】解析：若甲先傳給乙，則有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3種不同的傳遞方式；同理，甲先傳給丙也有3種不同的傳遞方式.故共有6種不同的傳遞方式.答案：C．例39．設(shè)，，，那么滿足的所有有序數(shù)組的組數(shù)為（

）A．45 B．46 C．47 D．48答案：C【解析】①當(dāng)時，，則，共1組；②當(dāng)時，，則，不同時為2，共組；③當(dāng)時，，則，為中任一元素，共組；④當(dāng)時，，則，不同時為0，共組．故滿足題意的有序數(shù)組共有47組．故選：C.例40．從集合中任意選擇三個不同的數(shù)，使得這三個數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的等差數(shù)列有（

）個A．98 B．56 C．84 D．49答案：A【解析】當(dāng)公差為時，數(shù)列可以是：，，，……，共13種情況.當(dāng)公差為時，數(shù)列可以是：，，，……，共11種情況.當(dāng)公差為時，數(shù)列可以是：，，，……，共9種情況.當(dāng)公差為時，數(shù)列可以是：，，，……，共7種情況.當(dāng)公差為時，數(shù)列可以是：，，，，，共5種情況.當(dāng)公差為時，數(shù)列可以是：，，，共3種情況.當(dāng)公差為時，數(shù)列可以是：，共1種情況.總的情況是.又因為三個數(shù)成公差數(shù)列有兩種情況，遞增或遞減，所以這樣的等差數(shù)列共有個.故選：A例41．工人在安裝一個正六邊形零件時，需要固定如圖所示的六個位置的螺栓.若按一定順序?qū)⒚總€螺栓固定緊，但不能連續(xù)固定相鄰的2個螺栓.則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是________．答案：60【解析】根據(jù)題意，第一個可以從6個釘里任意選一個，共有6種選擇方法，并且是機會相等的，若第一個選1號釘?shù)臅r候，第二個可以選3,4,5號釘，依次選下去，可以得到共有10種方法，所以總共有種方法，故答案是60.題型八：多面手問題例42．我校去年11月份，高二年級有10人參加了赴日本交流訪問團，其中3人只會唱歌，2人只會跳舞，其余5人既能唱歌又能跳舞．現(xiàn)要從中選6人上臺表演，3人唱歌，3人跳舞，有種不同的選法．A． B． C． D．答案：A【解析】分析：根據(jù)題意可按照只會左邊的人中入選的人數(shù)分類處理，分成三類，即可求解．詳根據(jù)題意可按照只會左邊的人中入選的人數(shù)分類處理．第一類個只會左邊的都不選，有種；第二類個只會左邊的有人入選，有種；第三類個只會左邊的全入選，有種，所以共有種不同的選法，故選A．例43．某國際旅行社現(xiàn)有11名對外翻譯人員，其中有5人只會英語，4人只會法語，2人既會英語又會法語，現(xiàn)從這11人中選出4人當(dāng)英語翻譯，4人當(dāng)法語翻譯，則共有（

）種不同的選法A．225 B．185 C．145 D．110答案：B【解析】根據(jù)題意，按“2人既會英語又會法語”的參與情況分成三類．①“2人既會英語又會法語”不參加，這時有種；②“2人既會英語又會法語”中有一人入選，這時又有該人參加英文或日文翻譯兩種可能，因此有種；③“2人既會英語又會法語”中兩個均入選，這時又分三種情況：兩個都譯英文、兩個都譯日文、兩人各譯一個語種，因此有種．綜上分析，共可開出種．故選：B．例44．“賽龍舟”是端午節(jié)的習(xí)俗之一，也是端午節(jié)最重要的節(jié)日民俗活動之一，在我國南方普遍存在端午節(jié)臨近，某單位龍舟隊欲參加今年端午節(jié)龍舟賽，參加訓(xùn)練的8名隊員中有3人只會劃左槳，3人只會劃右槳，2人既會劃左槳又會劃右槳．現(xiàn)要選派劃左槳的3人、劃右槳的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（

）A．26種 B．30種 C．37種 D．42種答案：C【解析】根據(jù)題意，設(shè)只會劃左槳的3人，只會劃右槳的3人，既會劃左槳又會劃右槳的2人，據(jù)此分3種情況討論：①從中選3人劃左槳，劃右槳的在（）中剩下的人中選取，有種選法，②從中選2人劃左槳，中選1人劃左槳，劃右槳的在（）中選取，有種選法，③從中選1人劃左槳，中2人劃左槳，中3人劃右槳，有種選法，則有種不同的選法．故選：C．例45．某龍舟隊有9名隊員，其中3人只會劃左舷，4人只會劃右舷，2人既會劃左舷又會劃右舷．現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有（

）A．56種 B．68種C．74種 D．92種答案：D【解析】根據(jù)劃左舷中有“多面手”人數(shù)的多少進行分類：劃左舷中沒有“多面手”的選派方法有種，有一個“多面手”的選派方法有種，有兩個“多面手”的選派方法有種，即共有(種)不同的選派方法．故選：D題型九：錯位排列例46．編號為1、2、3、4、5的5個人分別去坐編號為1、2、3、4、5的五個座位，其中有且只有兩個人的編號與座位號一致的坐法有（

）A．10種 B．20種 C．30種 D．60種答案：B【解析】先選擇兩個編號與座位號一致的人，方法數(shù)有，另外三個人編號與座位號不一致，方法數(shù)有，所以不同的坐法有種.故選：B例47．將編號為、、、、、的小球放入編號為、、、、、的六個盒子中，每盒放一球，若有且只有兩個盒子的編號與放入的小球的編號相同，則不同的放法種數(shù)為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】根據(jù)題意，分以下兩步進行：（1）在個小球中任選個放入相同編號的盒子里，有種選法，假設(shè)選出的個小球的編號為、；（2）剩下的個小球要放入與其編號不一致的盒子里，對于編號為的小球，有個盒子可以放入，假設(shè)放入的是號盒子.則對于編號為的小球，有個盒子可以放入，對于編號為、的小球，只有種放法.綜上所述，由分步乘法計數(shù)原理可知，不同的放法種數(shù)為種.故選：B.例48．若5個人各寫一張卡片（每張卡片的形狀、大小均相同），現(xiàn)將這5張卡片放入一個不透明的箱子里，并攪拌均勻，再讓這5人在箱子里各摸一張，恰有1人摸到自己寫的卡片的方法數(shù)有（

）A．20 B．90 C．15 D．45答案：D【解析】根據(jù)題意，分2步分析：①先從5個人里選1人，恰好摸到自己寫的卡片，有種選法，②對于剩余的4人，因為每個人都不能拿自己寫的卡片，因此第一個人有3種拿法，被拿了自己卡片的那個人也有3種拿法，剩下的2人拿法唯一，所以不同的拿卡片的方法有種.故選：.題型十：涂色問題例49．（2023·陜西·寶雞市陳倉高級中學(xué)高三開學(xué)考試（理））某兒童游樂園有5個區(qū)域要涂上顏色，現(xiàn)有四種不同顏色的油漆可供選擇，要求相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則符合條件的涂色方案有（）種A．36

B．48

C．54

D．72答案：D【解析】如圖：將五個區(qū)域分別記為①，②，③，④，⑤，則滿足條件的涂色方案可分為兩類，第一類區(qū)域②，④涂色相同的涂色方案，第二類區(qū)域②，④涂色不相同的涂色方案，其中區(qū)域②，④涂色相同的涂色方案可分為5步完成，第一步涂區(qū)域①，有4種方法，第二步涂區(qū)域②，有3種方法，第三步涂區(qū)域③，有2種方法，第四步涂區(qū)域④，有1種方法，第五步涂區(qū)域⑤，有2種方法，由分步乘法計數(shù)原理可得區(qū)域②，④涂色相同的涂色方案有種方案，即48種方案；區(qū)域②，④涂色不相同的涂色方案可分為5步完成，第一步涂區(qū)域①，有4種方法，第二步涂區(qū)域②，有3種方法，第三步涂區(qū)域③，有2種方法，第四步涂區(qū)域④，有1種方法，第五步涂區(qū)域⑤，有1種方法，由分步乘法計數(shù)原理可得區(qū)域②，④涂色不相同的涂色方案有種方案，即24種方案；所以符合條件的涂色方案共有72種，故選：D.例50．（2023·全國·高三專題練習(xí)）隨機給如圖所示的四塊三角形區(qū)域涂色，有紅、黃、藍、綠、黑這5種顏色供選擇，則“任意兩個有公共邊的三角形所涂顏色不同”的概率為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】隨機給如圖所示的四塊三角形區(qū)域涂色，有紅，黃，藍，綠，黑這5種顏色供選擇，每個三角形均有種涂法，故基本事件總數(shù)，有公共邊的三角形為不同色，先考慮中間一塊涂色有5種方法，其他的三個三角形在剩下的4中顏色中任意涂色均可有種涂法，這一共有種涂法，所求概率為．故選：A．例51．（2023·全國·高三專題練習(xí)）無蓋正方體容器的五個面上分別標有A、B、C、D、E五個字母，現(xiàn)需要給容器的5個表面染色，要求有公共棱的面不能染同一種顏色，現(xiàn)有5種不同的顏色可供選擇，則不同的染色方案有（

）種．A．420 B．340 C．300 D．120答案：A【解析】如