廣東省中山一中、潮陽一中等中學(xué)2024屆高考數(shù)學(xué)五模試卷含解析

廣東省中山一中、潮陽一中等中學(xué)2024屆高考數(shù)學(xué)五模試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.若函數(shù)/a)=|lnx|滿足"a)=/?,S.O<a<b,則“-4的最小值是()

4〃+2/?

3廠

A.0B.1C.-D.2V2

2.已知函數(shù)“X)的導(dǎo)函數(shù)為妙(力,記/(%)=/'(%),f2(x)=f；(x),...?篇⑺=/；(x)5eN*).若

/(x)=xsinx,貝"(nJ%)+為021(%)=()

A.-2cosxB.-2sinxC.2cosxD.2sinx

3.如圖所示的程序框圖，當(dāng)其運(yùn)行結(jié)果為31時(shí)，則圖中判斷框①處應(yīng)填入的是()

I開始|H-=^=1輸出s7~H結(jié)束)

A.z<3?B.z<4?C.z<5?D.z<6?

4.體育教師指導(dǎo)4個(gè)學(xué)生訓(xùn)練轉(zhuǎn)身動(dòng)作，預(yù)備時(shí)，4個(gè)學(xué)生全部面朝正南方向站成一排.訓(xùn)練時(shí)，每次都讓3個(gè)學(xué)生“向

后轉(zhuǎn)”，若4個(gè)學(xué)生全部轉(zhuǎn)到面朝正北方向，則至少需要“向后轉(zhuǎn)”的次數(shù)是()

A.3B.4C.5D.6

5.《易?系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術(shù)數(shù)之源，其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在

后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白圈為陽數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù).若從這10個(gè)數(shù)中任取3個(gè)

數(shù)，則這3個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)陽數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的概率為()

O-<MD-O-O-O-O

13

C.—D.—

5201240

6.下列選項(xiàng)中，說法正確的是（）

w

A.3x0eR,xj-毛<0"的否定是"玉：oeR,x：-x>0”

B.若向量°”滿足。心<0，則a與8的夾角為鈍角

C.若貝!JaWb

D.“xe（AU3）”是“xc（4⑻”的必要條件

7.如圖所示，直三棱柱的高為4,底面邊長分別是5,12,13,當(dāng)球與上底面三條棱都相切時(shí)球心到下底面距離為8,

8.已知點(diǎn)工是拋物線C：必=？?！返慕裹c(diǎn)，點(diǎn)工為拋物線C的對(duì)稱軸與其準(zhǔn)線的交點(diǎn)，過B作拋物線C的切線，

切點(diǎn)為A,若點(diǎn)4恰好在以4，工為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）

、胃B.J「?！焙?/p>

22

9.設(shè)雙曲線C：二—與=l（a>0）的左右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)E（O,r）（r>0）.已知?jiǎng)狱c(diǎn)尸在雙曲線C的右支

Q,b>FVF2,

ab~

上，且點(diǎn)P,E,&不共線.若APEK的周長的最小值為4〃，則雙曲線C的離心率e的取值范圍是（）

2x-y>Q

10.不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镼,則（）

x+y-3<0

A.V（x,y）eQ,x+2y>3B.3（x,y）eQ,x+2y>5

C.V（x,y）eQ,1+：〉3D.3（x,y）eQ,+>5

x1

11.設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=(a+i)(l—i)wR,則實(shí)數(shù)。的值是()

A.1B.-1C.0D.2

12.命題〃：V%￡(—1,2],爐一2X+QN0(4￡R)的否定為

2

A.3x0G(-1,2],XQ-2x0+a>0(aGR)B.VXG(-1,2],x-2x+tz<GR)

2

C.3x0G(-1,2],-2x0+tz<O(tzGR)D.Vx(-1,2],x-2x+tz<0(aGR)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若函數(shù)/(x)=C52"-i—C%2"+C52"+1—+C：(_g2i+禺(_1)"短咒其中〃cN+且”22,則

r(i)=.

14.從編號(hào)為1,2,3,4的張卡片中隨機(jī)抽取一張，放回后再隨機(jī)抽取一張，則第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第

一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為.

15.已知函數(shù)/■(1)=,inx|+|cosx|,則下列結(jié)論中正確的是?①/(X)是周期函數(shù)；②/(%)的對(duì)稱軸方程

為x=[,左wZ；③/(x)在區(qū)間上為增函數(shù)；④方程/(力=：在區(qū)間—有6個(gè)根.

_22

16.如圖，已知圓內(nèi)接四邊形ABC。，其中AB=6,BC=3,CQ=4,AD=5,則---+-----=___________

sinAsinB

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)隨著時(shí)代的發(fā)展，A城市的競爭力、影響力日益卓著，這座創(chuàng)新引領(lǐng)型城市有望踏上向“全球城市”發(fā)起“沖

擊”的新征程.4城市的活力與包容無不吸引著無數(shù)懷揣夢想的年輕人前來發(fā)展，目前A城市的常住人口大約為1300萬.

近日，某報(bào)社記者作了有關(guān)“你來A城市發(fā)展的理由”的調(diào)查問卷，參與調(diào)查的對(duì)象年齡層次在25~44歲之間.收集到的

相關(guān)數(shù)據(jù)如下：

來A城市發(fā)展的理由人數(shù)合計(jì)

自然環(huán)境1.森林城市，空氣清新200300

2.降水充足，氣候怡人100

3.城市服務(wù)到位150

人文環(huán)境4.創(chuàng)業(yè)氛圍好300700

5.開放且包容250

合計(jì)10001000

（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，預(yù)測400萬25~44歲年齡的人中，選擇“創(chuàng)業(yè)氛圍好”來A城市發(fā)展的有多少人;

（2）從所抽取選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的300人中，利用分層抽樣的方法抽取6人，從這6人中再

選取3人發(fā)放紀(jì)念品.求選出的3人中至少有2人選擇“森林城市，空氣清新”的概率；

（3）在選擇“自然環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的理由的300人中有100名男性；在選擇“人文環(huán)境”作為來A城市發(fā)展的

理由的700人中有400名男性；請(qǐng)?zhí)顚懴旅?x2列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為性別與“自然環(huán)境”或“人文

環(huán)境”的選擇有關(guān)？

自然環(huán)境人文環(huán)境合計(jì)

男

女

合計(jì)

附：K2=-、廣、二、/~~n=a+b+c+d.

(a+b)[c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

18.（12分）已知三棱錐P—A5C中，ABC為等腰直角三角形，A8=AC=1,尸8=PC=逐，設(shè)點(diǎn)E為24中點(diǎn),

點(diǎn)。為AC中點(diǎn)，點(diǎn)尸為P3上一點(diǎn)，且PF=2FB.

p

(1)證明：5。//平面CEF；

(2)若求直線CE與平面尸5c所成角的正弦值.

19.(12分)已知關(guān)于x的不等式|x+m|-2%<。解集為［1,+8)(m>0).

(1)求正數(shù)機(jī)的值；

2T22

(2)設(shè)仇ceR+,S.a+b+c=m,求證：—H----+—>1.

bca

20.(12分)如圖，四棱錐尸—ABCD中，底面ABC。為直角梯形，AB±AD,N4DC=45。，AD//BC,AD=2AB^2,

△ADP為等邊三角形，平面上4。，底面ABC。，E為AD的中點(diǎn).

(1)求證：平面PBC_L平面PCE；

CF

(2)點(diǎn)P在線段CD上，且工=：3，求平面上4D與平面？所成的銳二面角的余弦值.

21.(12分)已知函數(shù)/(尤)=2卜+1|一卜_討(加>0)

(1)當(dāng)m=2時(shí)，求不等式/(x)Wl的解集；

(2)g(x)=/(x)—2,g(x)的圖象與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為若三角形ABC的面積大于12,求參數(shù)機(jī)的

取值范圍.

22.(10分)某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的標(biāo)準(zhǔn)長度為10.00cm,只要誤差的絕對(duì)值不超過0.03cm就認(rèn)為合格，工廠質(zhì)檢

部抽檢了某批次產(chǎn)品1000件，檢測其長度，繪制條形統(tǒng)計(jì)圖如圖:

K度(cm)

(1)估計(jì)該批次產(chǎn)品長度誤差絕對(duì)值的數(shù)學(xué)期望;

(2)如果視該批次產(chǎn)品樣本的頻率為總體的概率，要求從工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件，假設(shè)其中至少有1件是標(biāo)

準(zhǔn)長度產(chǎn)品的概率不小于0.8時(shí)，該設(shè)備符合生產(chǎn)要求.現(xiàn)有設(shè)備是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求時(shí)，

生產(chǎn)一件產(chǎn)品為標(biāo)準(zhǔn)長度的概率的最小值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】

由/(a)=/0)推導(dǎo)出6=工，且將所求代數(shù)式變形為—4=在把—_L,利用基本不等式

求得2a+b的取值范圍，再利用函數(shù)的單調(diào)性可得出其最小值.

【詳解】

函數(shù)/(x)=|lnx|滿足/(。)=/()),/.(Intz)2=(lnZ?)2,即(lnQ—lnZ?)(lnQ+lnb)二。，

0<a<bf:.]na<]nbf.,.ln〃+lnb=0,即=0naZ?=l,

/.l=ab>a29則0va<1,

由基本不等式得2。+6=24+工22/2心工=2雙,當(dāng)且僅當(dāng)。=工時(shí)，等號(hào)成立.

a\a2

4a2+b2-4(2^+/?)2-4ab-4{2a+b^-82a+b4

4〃+2b2(2〃+/?)2(21+b)22a+b

由于函數(shù)丁=之-3在區(qū)間［2忘,收)上為增函數(shù)，

乙X

l4a2+Z?2-42J24

所以，當(dāng)2a+b=20時(shí)，取得最小值上--a=0.

4。+2。22。2

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查代數(shù)式最值的計(jì)算，涉及對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、基本不等式以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

2、D

【解析】

通過計(jì)算工(X),力(X),力(X),力(X)/(X),可得力一(%)，九一2(X)，&T(X)，于4k(x)，最后計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】

由題可知：/(x)=xsinx

所以＜(1)=sin%+%cos羽力(x)=2cosx-xsinx

力(%)=-3sinx—％cosx.(%)=-4cosx+xsinx

f5(x)=5sinx+xcosx,-?-

所以猜想可知：力4_3(X)=(4左—3)sinx+xcosx

九一2(x)=(4左-2)cosx-xsinx

于妙_\(x)=一(4左一1)sin九一犬cosx

f4k(x)-Ykcosx+xsinx

由2019=4x505—1,2021=4x506—3

所以上oi9(%)=一2019sinX—尤cosx

力201(%)=202Isinx+xcosx

x

所以力019(x)+A021()=2sinx

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算以及不完全歸納法的應(yīng)用，選擇題、填空題可以使用取特殊值，歸納猜想等方法的使用，屬中檔

題.

3、C

【解析】

根據(jù)程序框圖的運(yùn)行，循環(huán)算出當(dāng)S=31時(shí)，結(jié)束運(yùn)行，總結(jié)分析即可得出答案.

【詳解】

由題可知，程序框圖的運(yùn)行結(jié)果為31,

當(dāng)S=1時(shí)，z=9；

當(dāng)S=l+9=10時(shí)，z=8；

當(dāng)S=l+9+8=18時(shí)，z=7；

當(dāng)S=l+9+8+7=25時(shí)，z=6；

當(dāng)S=l+9+8+7+6=31時(shí)，i=5.

此時(shí)輸出S=31.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)，已知輸出結(jié)果求條件框，屬于基礎(chǔ)題.

4、B

【解析】

通過列舉法，列舉出同學(xué)的朝向，然后即可求出需要向后轉(zhuǎn)的次數(shù).

【詳解】

“正面朝南”“正面朝北”分別用“AV”表示，

利用列舉法，可得下表，

原始狀態(tài)第1次“向后轉(zhuǎn)”第2次“向后轉(zhuǎn)”第3次“向后轉(zhuǎn)”第4次“向后轉(zhuǎn)”

AAAAAVVVVVAAAAAVVVVV

可知需要的次數(shù)為4次.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是求最小推理次數(shù)，一般這類題型構(gòu)造較為巧妙，可通過列舉的方法直觀感受，屬于基礎(chǔ)題.

5、C

【解析】

先根據(jù)組合數(shù)計(jì)算出所有的情況數(shù)，再根據(jù)“3個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)陽數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列”列舉得到滿足條件的情況,

由此可求解出對(duì)應(yīng)的概率.

【詳解】

所有的情況數(shù)有：。1=120種，

3個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)陽數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的情況有：

(1,2,3),(3,4,5),(5,6,7),(7,8,9),(1,4,7),(3,6,9),(1,3,5),(3,5,7),(5,7,9),(1,5,9),共10種，

所以目標(biāo)事件的概率P=〃■='.

12012

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查概率與等差數(shù)列的綜合，涉及到背景文化知識(shí)，難度一般.求解該類問題可通過古典概型的概率求解方法進(jìn)行

分析；當(dāng)情況數(shù)較多時(shí)，可考慮用排列數(shù)、組合數(shù)去計(jì)算.

6、D

【解析】

對(duì)于A根據(jù)命題的否定可得：叼xodR,刈2爾50，，的否定是“匕^/?,x2-x>0w,即可判斷出；對(duì)于5若向量a"滿足

a-b<Q>則。與b的夾角為鈍角或平角；對(duì)于C當(dāng)m=0時(shí)，滿足an124MM2,但是aWA不一定成立；對(duì)于。根據(jù)元素

與集合的關(guān)系即可做出判斷.

【詳解】

選項(xiàng)A根據(jù)命題的否定可得：叼xodR,xo2-xoWO”的否定是“VxdR,x2-x>0w,因此A不正確；

選項(xiàng)5若向量a/滿足。.。<0，則a與人的夾角為鈍角或平角，因此不正確.

選項(xiàng)C當(dāng)機(jī)=0時(shí)，滿足“源令機(jī)2,但是不一定成立，因此不正確；

選項(xiàng)。若0"，則xeA且xe瓦所以一定可以推出“xe(AUB)”，因此“x?AU5)”是B)"

的必要條件，故正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有含有量詞的命題的否定、不等式性質(zhì)、向量夾角與性質(zhì)、集合性質(zhì)等，

屬于簡單題.

7、A

【解析】

設(shè)球心為一,三棱柱的上底面的內(nèi)切圓的圓心為該圓與邊--切于點(diǎn)根據(jù)球的幾何性質(zhì)可得

為直角三角形，然后根據(jù)題中數(shù)據(jù)求出圓半徑，進(jìn)而求得球的半徑，最后可求出球的體積.

【詳解】

如圖，設(shè)二棱柱為--，且--—I_?，高-—.

UUU"UjU|U|U?一—UU|f-。

所以底面--------為斜邊是--的直角三角形，設(shè)該三角形的內(nèi)切圓為圓-,圓-與邊--切于點(diǎn)

UU]Ll]LLjU]LLjU|UjU】LJ]LI

則圓一的半徑為.........

??J.+r-J；r

設(shè)球心為一,則由球的幾何知識(shí)得為直角三角形，且--_g__

所以

即球二的半徑為八?

所以球-的體積為

~；x-x(W=^S

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查與球有關(guān)的組合體的問題，解答本題的關(guān)鍵有兩個(gè)：

(1)構(gòu)造以球半徑-、球心到小圓圓心的距離和小圓半徑-為三邊的直角三角形，并在此三角形內(nèi)求出球的半徑，

這是解決與球有關(guān)的問題時(shí)常用的方法.

(2)若直角三角形的兩直角邊為-斜邊為-，則該直角三角形內(nèi)切圓的半徑_____,合理利用中間結(jié)論可提

高解題的效率.

8、D

【解析】

根據(jù)拋物線的性質(zhì)，設(shè)出直線方程，代入拋物線方程，求得上的值，設(shè)出雙曲線方程，求得2a=\AF2\-\AFi

I=(V2-DP，利用雙曲線的離心率公式求得e.

【詳解】

直線尸2A的直線方程為：y=kx-—,Fl（0,—）,F（0,

2222

代入拋物線C：7=2加方程，整理得：x2-2pkx+p2=0,

222

*./\=4kp-4p=0,解得：k=±l9

22

.?.A（p,K）,設(shè)雙曲線方程為：j=l,

2a2b2

IAFi|=p,|AFiI=Jp2+p?=@p,

2a—|AF2I-|AFi|=（夜一1）p,

2c=p,

二離心率e=—=—j=—=^/2+1,

aV2-1

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線及雙曲線的方程及簡單性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

9、A

【解析】

依題意可得C"EF。=PE+PF2+EF]=PE+PF2+EFX>2PR-2a=4b

即可得到2a+4Z?>2（a+c）,從而求出雙曲線的離心率的取值范圍；

【詳解】

解：依題意可得如下圖象，C&PEFZ=PE+PF2+EF2=PE+PF.+EF,

=PE+PF[+EF「2a

N2PF「2a=4b

:.2PF[=2a+4b>2（。+c）

所以2Z?>c

貝!14c2-4a2>c2

所以3c2>4/

2

所以cc4

a23

、

所以e>W，即ee芋,+8

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于中檔題.

10、D

【解析】

根據(jù)題意，分析不等式組的幾何意義，可得其表示的平面區(qū)域，設(shè)z1=x+2y,Z2=，分析Z”Z2的幾何意義,

可得4,z2的最小值，據(jù)此分析選項(xiàng)即可得答案.

其表示的平面區(qū)域如圖所示,

其中4(2,1),3(1,2),

設(shè)Z=x+2y,則y=—>年，Z]的幾何意義為直線y=在y軸上的截距的2倍，

由圖可得：當(dāng)y=—■過點(diǎn)3(1,2)時(shí)，直線馬=》+2>在y軸上的截距最大，即x+2y<5,

當(dāng)'=—f+5過點(diǎn)原點(diǎn)時(shí)，直線1x+2y在丁軸上的截距最小，即x+2y\0,

故AB錯(cuò)誤；

設(shè)Z2=上土2,則Z2的幾何意義為點(diǎn)(羽y)與點(diǎn)(1,-2)連線的斜率，

x—1

由圖可得Z2最大可到無窮大，最小可到無窮小，故C錯(cuò)誤，D正確；

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查本題考查二元一次不等式的性質(zhì)以及應(yīng)用，關(guān)鍵是對(duì)目標(biāo)函數(shù)幾何意義的認(rèn)識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

11、A

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡，由復(fù)數(shù)的意義即可求得”的值.

【詳解】

復(fù)數(shù)z=(a+z)(l—z)wR,

由復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算化簡可得z=?+l+(l-a)z,

所以由復(fù)數(shù)定義可知1—a=0,

解得a=l,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，復(fù)數(shù)的意義，屬于基礎(chǔ)題.

12、C

【解析】

命題。為全稱命題，它的否定為特稱命題，將全稱量詞改為存在量詞，并將結(jié)論否定，可知命題。的否定為

3x0e(-1,2],-2%0+a<0(aeR),故選C.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、0

【解析】

先化簡函數(shù)/(龍)的解析式，在求出了‘(龍)，從而求得r(i)的值.

【詳解】

r2n1+r,,31

由題意，函數(shù)/(X)=C>2"T—C%2"+C：/+1—+c；(-l)x-+C：(-l)x"-

可化簡為了(X)=鏟T[c_c%+_…+c；(_iy無「+…+CX]=0T(1_尤)”，

所以/'(%)=(2n-I)x2n-2(l-xy-x2"-1n(l-x),!-1=x2"-2(l-%)"-1[2n-l-(3n-l)x],

所以/(l)=0.

故答案為：0.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算和函數(shù)值的求解，其中解答中正確化簡函數(shù)的解析式，準(zhǔn)確求解

導(dǎo)數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.

1

14、-

2

【解析】

基本事件總數(shù)〃=4x4=16,第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個(gè)，由此能求

出概率.

【詳解】

解：從編號(hào)為1,2,3,4的張卡片中隨機(jī)抽取一張，放回后再隨機(jī)抽取一張，

基本事件總數(shù)"=4x4=16,

第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個(gè)，分別為：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),

(2,2),(2,4),(3,3),(4,4).

Q1

所以第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為P=^7=-.

162

故答案為4.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

15、①②④

【解析】

由函數(shù)/(x)=|sinx|+|cos=^|sinx|+|cosxj)"=Jl+卜in2H，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證即得答案.

【詳解】

函數(shù)X+cosX

???/（九）是周期函數(shù)，最小正周期為故①正確；

當(dāng)sin2x=±l或sin2x=0時(shí)，/（九）有最大值或最小值，此時(shí)2x=打+/或2%=5,/eZ,即％=^+?或

t/Cr口rik/C7r

X--GZ,即％=——,KGZ.

24

???/（力的對(duì)稱軸方程為％=手，左wZ,故②正確；

當(dāng)時(shí)，2xe（5，5-］,此時(shí)y=卜垣2H在（了萬］上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，:?/（x）在

713萬

區(qū)間7'T上不是增函數(shù)，故③錯(cuò)誤;

作出函數(shù)/（尤）的部分圖象，如圖所示

，方程〃力=［在區(qū)間

--丁,0有6個(gè)根，故④正確.

2

故答案為：①②④.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

164而

1b、-----

3

【解析】

由題意可知A+C=?,B+D=7i,在和ABCD中，利用余弦定理建立

方程求cosA,同理求cos3,求sinA,sin5,代入求值.

【詳解】

由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得NC=180?！狽A,ND=180?！狽瓦連接3,在AABZ）中,

<BD23=AB2+AD2-2AB-ADcosA.在AfiCD中，BD~=BC2+CD--2BCCDcosC.

所以AB?+池？—2AB-ADcosA=BC2+CD2+2BC-CDcosA,

則"=6+3-叱-5=6+52-3j32A/10

所以sinA=A/1-COS2A

2(AB-AD+BC-CD)2(6x5+3x4)77

-a-花?AB2+BC2-AD2-CD262+32-52-421

連接AC,同理可得cosB=------------------------=---------------=一，

2(ABBC+ADCD)2(6x3+5x4)19

~6M22142x194A/10

2

所以sin5=A/1-cosB=------?所以-------1----=--7=H--7=^=----

19sinAsinB2^106V103

故答案為：理

【點(diǎn)睛】

本題考查余弦定理解三角形，同角三角函數(shù)基本關(guān)系，意在考查方程思想，計(jì)算能力，屬于中檔題型，本題的關(guān)鍵是

熟悉圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，對(duì)角互補(bǔ).

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

4

17、(1)120(萬)(2)y(3)填表見解析；有99.9%的把握認(rèn)為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關(guān)

【解析】

⑴在1000個(gè)樣本中選擇“創(chuàng)業(yè)氛圍好”來A城市發(fā)展的有300個(gè)，根據(jù)頻率公式即可求得結(jié)果.

(2)由分層抽樣的知識(shí)可得，抽取6人中,4人選擇“森林城市，空氣清新”,2人選擇“降水充足，氣候怡人”求出對(duì)應(yīng)的

基本事件數(shù)，即可求得結(jié)果.

(3)計(jì)算K-的值，對(duì)照臨界值表可得答案.

【詳解】

(1)400x當(dāng)~=120(萬)

1000

(2)從所抽取選擇“自然環(huán)境”作為來4城市發(fā)展理由的300人中，利用分層抽樣的方法抽取6人，其中4人是選擇“森

林城市，空氣清新”，2人是選擇“降水充足，氣候怡人”.記事件A為選出的3人中至少有2人選擇“森林城市，空氣清

新”，則,「⑷二警里」.

(3)2x2列聯(lián)表如下

自然環(huán)境人文環(huán)境合計(jì)

男100400500

女200300500

合計(jì)3007001000

,1000X(100X300-200X400)-1000

K2=-------------------------------L。47.619>10,828>

300x700x500x50021

所以有99.9%的把握認(rèn)為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關(guān).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查獨(dú)立性檢測的相關(guān)知識(shí)、分層抽樣與古典概念計(jì)算概率、考查學(xué)生的綜合分析與計(jì)算能力，難度較易.

18、(1)證明見解析；(2)也

6

【解析】

(1)連接。。交CE于G點(diǎn)，連接尸G,通過證3D//FG,并說明FGu平面C即，來證明5￡>//平面CEF

(2)采用建系法以45、AC.AP所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,分別表示出對(duì)應(yīng)的

點(diǎn)8,C,P,E坐標(biāo)，設(shè)平面尸5。的一個(gè)法向量為力=(x,y,z),結(jié)合直線對(duì)應(yīng)的CE和法向量〃，利用向量夾角的余

弦公式進(jìn)行求解即可

【詳解】

(1)證明：如圖，

連接交CE于G點(diǎn)，連接/G,點(diǎn)E為K4的中點(diǎn)，點(diǎn)。為AC的中點(diǎn),

二點(diǎn)G為AR4C的重心，則PG=2GO,PF=2FB,:.FG//BD,

又FGu平面CEF,BDU平面CEF,;.BD//平面CEF；

(2)-AB=AC,PB=PC,PA=PA,：.NPAB=NPAC,

PA±AC,:.PA±AB,可得B4=2,又ABLAC,

則以A3、AC.AP所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,

則A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),石(0,0,1)

BC=(-1,1,0),BP=(-1,0,2),CE=(0,-l,l).

y=0

設(shè)平面尸的一個(gè)法向量為為=(x,y,z),由｛n-BC=—x+,

n-BP=-x+2z=0

取z=l,得〃=(2,2,1).設(shè)直線CE與平面尸5c所成角為。，

則sin0=|cos<n,CE>|=中』=變.，直線CE與平面PBC所成角的正弦值為—.

A/2x366

【點(diǎn)睛】

本題考查線面平行的判定定理的使用，利用建系法來求解線面夾角問題，整體難度不大，本題中的線面夾角的正弦值

公式$1116=|<：05<〃,(7￡'>|使用廣泛，需要識(shí)記

19、(1)1；(2)證明見解析.

【解析】

(1)將不等式|x+m|-2x<0化為—求解得出工之7〃，根據(jù)解集確定正數(shù)機(jī)的值；

2122

(2)利用基本不等式以及不等式的性質(zhì)，得出乙22a2,—>2Z?-c,->2c-a,三式相加，即可得證.

bca

【詳解】

(1)解：不等式|x+加|一2]?。，即不等式|x+m區(qū)2xo-2xK%+znK2x

x>m

/.\加，而m>0,于是相

x>---

I3

依題意得加=1

(2)證明：由(1)知i+b+c=l,原不等式可化為

i+L…

bca

?:a,b,ceR+,a1+b2>lab

abe

一>2a-b同理一>2b-c一>2c-a

b9ca

/b2c2

三式相力口得幺+幺++6+當(dāng)且僅當(dāng)“=b=c時(shí)取等號(hào)

bca

綜上工+生+C21.

bca

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了求絕對(duì)值不等式中參數(shù)的范圍以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

20、(1)見解析(2)勺叵

61

【解析】

(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證得PE±AD,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理,證得PE，底面ABCD,由此證得PELBC,

結(jié)合CEL5c證得平面PCE,由此證得：平面平面PCE.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面？和平面PAD的法向量，計(jì)算出平面PAD與平面P旗所成的銳二面角的

余弦值.

【詳解】

(1)證明：：△PAD為等邊三角形，E為AD的中點(diǎn)，.,?PELAD

???平面上4DL底面ABCD,平面底面ABCD=AD,

???PEL底面ABCD,5。＜=平面48。。，，?！?，6。

又由題意可知A3CE為正方形，CEYBC

又PEEC=E,；.BCL平面PCE

BCu平面PBC,二平面PBC±平面PCE

(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則E(o,o,o),A(O,-1,O),3(1,TO),c(1,0,0),D(O,1,O),P(0,0,A/3),由已知

叫皿得陪剖，

PB=(1,-1,3,P尸=1之二⑸

設(shè)平面？BF的法向量為“=(尤,y,z),則

n-PB=x-y-y/3z=0

n-PF=—x+—y—y/3z=0

I55.

令z=5則》=去24y'9,

由(1)知平面0AD的法向量可取為7”=(l,0,0)

24

4V183

/.Icos<m,n>|=y

24