福建省寧德市霞浦縣2022-2023學年高一年級下冊期中質量檢測數(shù)學試卷(含答案)

福建省寧德市霞浦縣2022-2023學年高一下學期期中質量檢測數(shù)學試

卷

學校：___________姓名：班級：考號：

一、選擇題

1.已知復數(shù)z=l+i（i為虛數(shù)單位），則工在復平面內對應的點在（）

Z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.如圖，某幾何體三視圖為三個完全相同的圓心角為90。的扇形，則該幾何體的表面積

是（）

口公

土桃陽

簫神陽

A.-B.—C.-D.—

2444

3.一個球體被兩個平行平面所截，夾在兩平行平面間的部分叫做“球臺”，兩平行平面

間的距離叫做球臺的高.如圖1,西晉越窯的某個“臥足杯”的外形可近似看作球臺，其直

觀圖如圖2,已知杯底的直徑為2Am，杯口直徑為46cm，杯的深度為&cm，則該臥足

杯側面所在球面的半徑為（）

圖I圖2

7513

A.5cmB.276cmC.—cmD.—cm

42

4.設i是虛數(shù)單位，若復數(shù)2=一匚，則Z的共輾復數(shù)為（）

1+1

A.-+-iB.14—iC.1—i

2222

5.已知△ABC中，ZB=~,AC=2,則NA=C的充要條件是（）

66

A.AABC是等腰三角形B.AB=2y/3

C.BC=4D.S.=V3,BC<BA

△AARDrC'

6.在邊長為3的菱形ABCZ）中,/BAZ）=60。川等△?￡）繞直線旋轉到△ABD,使得

四面體ABCD外接球的表面積為18兀,則此時二面角A-BD-C的余弦值為（）

A.-lB.-1C.-D.在

3233

7.關于向量°,匕,下列命題中，正確的是（）

A.右卜卜W,則a=bB.右allb'bl/c，則allc

C.若“〉W，則a”D.若口=_5,則R/o

8.已知A,B,C三點在球。的球面上，且AC±BC，AC=242^BC=2若球。上的動點D

到點A,3,C所在平面的距離的最大值為布+行,則球。的表面積為（）

A.1671B.24K瓜itD.24c兀

二、多項選擇題

9.已知向量a=（l,x—l），匕=?2）則（）

A-a^bB-若a〃。，貝Ux=2

C.若。,匕，則x=gD.\a-b\>y/2

10.已知單位向量°力的夾角為120。,則以下說法正確的是（）

A.|a+6|=1B.+2b'）±a

C-cos〈a-b,b）D.q+2"與2a+b可以作為平面內的一組基底

11.如圖,四棱錐P—ABCD的底面是梯

形,改;〃4。,45=5。=8=12>1￡）=2，八1=P。=/，平面外￡），平面7158，。，石

分別為線段AD，Q4的中點，點Q是底面45。。內（包括邊界）的一個動點,則下列結論正

確的是（）

A.ACLBP

B.三棱錐49后外接球的體積為回

4

C.異面直線PC與0E所成角的余弦值為3

4

D.若直線PQ與平面ABC。所成的角為60°，則點Q的軌跡長度為后

12.在學習了解三角形的知識后，為了鍛煉實踐能力，某同學搞了一次實地測量活動.

他位于河東岸，在靠近河岸不遠處有一小湖，他于點A處測得河對岸點3位于點A的

南偏西45。的方向上，由于受到地勢的限制，他又選了點C,D,E,使點3,C,。共

線，點3位于點。的正西方向上，點C位于點。的正東方向上，測得

CD=CE=100m,ZBAD=75。，ZAEC=120°,AE=200m,并經(jīng)過計算得到如下

A.AD=200mB.△ADC的面積為1000百m?

C.AB=100V6mD.點A在點C的北偏西30。方向上

三、填空題

13.復數(shù)z=（i為虛數(shù)單位），則復數(shù)z的虛部為.

1-i

14.已知向量q山滿足同=1,=2,卜一可=2，則卜+0=.

15.已知四面體ABCZ）滿足45=00=#，47=人￡）=6。=￡0=2,則四面體48?！辏┑?/p>

外接球的表面積是.

16.已知圓柱的上、下底面的中心分別為2，過直線的平面截該圓柱所得的截

面是正方形.ZVIBC內接于下底面圓，且是一個面積為2的等腰直角三角形，則該圓柱的

2

體積為______________..

四、解答題

17.如圖，在四邊形ABCD中,NBCD=120。.若CD=2娓,AD=8,，求AB的

長.

從①班）=6,NADC=75°；

3

②cosNADB=ZCBD=45°；

5

③S八=12^/3,ZCBD=45°這三個條件中任選一個，補充在上面的問題中并作答.

18.第十屆中國花博會于2021年5月21日在崇明舉辦，其標志建筑一一世紀館以“蝶

戀花”為設計理念,擁有全國跨度最大的自由曲面混凝土殼體，屋頂跨度280米,屋面板

只有250毫米，相當于一張2米長的桌子,其桌面板的厚度不到2毫米.圖1為館建成后的

世紀館圖：圖2是建設中的世紀館;圖3是場館的簡化圖.如（圖3）是由兩個半圓及中

間的陰影區(qū)域構成的一個軸對稱圖形,AA7/尸P7/OO7/B9炭中川=280米；圓心距

。0'=160米：半徑R=75米：橢圓中心P與圓心。的距離20=40米,。、C為直線

pp與半圓的交點,/COB=60°-

圖1圖2

圖3

(1)設&=NA/B,計算sina的值；

(2)計算/COP的大小(精確到1°).

19.在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,B=-,c=3后，AABC的面積為6.

4

⑴求。及sinA的值；

(2)求sin[2A-看]的值.

20.如圖，在四棱錐P—ABCD中,PD,平面

A3CD,尸。=DC=3C=1,AB=2，AB〃￡)C,ZBCD=90。，〃為A3的中點.

(2)求證：PC±BC；

(3)求點A到平面P3C的距離.

21.如圖所示1,已知四邊形A3CD滿足的)〃5。24=4￡)=。。=工3。=1乃是3。的

2

中點.將ABAE沿著AE翻折成MAE，使平面BrAE1平面AECD,F為CD的中點，如圖

所示2.

Bi

(1)求證：￡FJ_平面A3]E；

(2)求AE到平面C耳。的距離.

22.在四棱錐P-ABCD中,NABC=NACZ)=90。，NBAC=NC4D=60。，上41.平面

ASCD,E為尸。的中點,刈=2AB=4.

(1)求證：CE〃平面B4B；

(2)若R為pc的中點，求R到平面AEC的距離.

參考答案

1.答案：D

解析：因為42=1-i1-i

(l+i)。-i)F

所以工在復平面內對應的點的坐標為在第四象限.

故選：D.

2.答案：C

解析：由三視圖可知，該幾何體是半徑為1的八分之一球，直觀圖如圖所示.

^^ffi^S=-x-xl2x3+-x47ixl2=—.

2284

故選：C.

3.答案：A

解析：如圖所示，作出“球臺”的軸截面，設球心為。，過。作交A5于點E,交CD

于點F,

依題意A3=2辰m，CD=4辰m，EF=瓜m，

2

設球的半徑為Rem,則R2=DF+OF?且心=+^2,

R2=(2A/5)2+OF2

R=5

即4，解得

&=(6'opOF=45

即球面的半徑為5cm；

故選：A.

4.答案：D

“，Li(l-i)i+111.

用牛"L(l+i)(l-i)222

5.答案：D

解析：當△ABC是等腰三角形時，ZA=-^ZA=—^ZA=--,當NA=工時,

61236

△ABC是等腰三角形，所以△回€：是等腰三角形是44=巴的必要不充分條件，所以

6

選項A不正確；當AB=2G時，—,即旭=二—，sinC=無，所以

sinCsin3sinCsin^

6

ZC=-^ZC=—,則NA=二或NA=C；當NA=工時，ZC=—,根據(jù)正弦定理可

332663

得AB=2?,以AB=26是NA=巴的必要不充分條件，所以選項B不正確；當

6

6c=4時，—,即」=二-,解得sinA=l,ZA=-,所以6C=4不是

.兀

sinAsin3sinAsin—2

6

44=巴的充分條件，所以選項C不正確；當NA=P時，SAABC=A/3；當以樹=百

66

時，即L3C.R4.sinB=6，:.BCBA=46，根據(jù)余弦定理

2

BC2+BA2-2BCBACOSB=4,BC2+BA2=16,BC<BA,：.BC=2,

BA=20則NA=P,所以S小BC=百，3C<BA是NA=巴的充要條件，.?.選D.

66

6.答案：A

解析：由題意可知,和△BCD均為正三角形，

設E為BD中點，延長CE，作AH±CE交CE于點H,

可得NAEC是二面角A-6。-C的平面角，

作△BCD的中心F則F在CE上，且FC=2EF,

作FG//HA,AG//HC，AGGF=G，可知四面體ABCD外接球的球心。在GF上，又

4成2=18兀,;.7?=逑，

2

A

在RtZVlGO和RtACFO中，由CF=3義立義々=^，EF=—，

232

R2=。/2+。尸2=OG2+AG2，A￡2=.2+族2，解得人//=#，=立，

2

V3

cosZAEH==4,二面角A-BD-C的余弦值為一、

3033

故選：A.

7.答案：D

解析：對選項A：取。=—滿足小W，q=b不成立，錯誤；

對選項B：當。=0時，當/°不平行時,a//b^b//c也成立，錯誤；

對選項C：向量不能比較大小,錯誤；

對選項D：若￡=_九則￡〃B，正確.

故選：D.

8.答案：B

解析：因為AC，3C,AC=2V2，BC=2所以AB=，則△ABC外接圓的半徑為6,

當點D到平面ABC的距離最大時與AB在球的大圓截面且ODLAB，

所以球。的半徑R滿足：R-=(73)2+(A/3+A/6-7?)2，

解得R=&，所以球O的表面積為47rH2=24K.

故選：B.

9.答案：ACD

解析：顯然QWB，A對，〃//〃得：lx2=(x-l)x=>x=2或1二一1,B錯，a_Lb9

9

x+2(x-l)=0=>%=耳，C對，

|^-Z?|2=|(l-x,x-3)|2=(l-x)2+(x-3)2=2(x-2)2+2>2?>42,D對.故選：

ACD

10.答案：ABD

解析：據(jù)題意J=/=],].》=ixlxcosl20°=一；

因為(a+6)2=。2+/+2。0=l+l+2x1—￡]=1

所以Ia+Z?|=1,所以A對

因為(a+2Z?)?〃=/+2a,Z?=l+2xf——j=0，所以(Q+2b)_La，所以B對.

_3

所以cos〈a-。力〉=(a-b)-b一2百，所以C錯

\a-b\-\b\2

因為o+2b與2a+b不共線，所以可以作為平面內的一組基底，所以D正確

故選：ABD.

11.答案：AC

解析：易證四邊形ABCO為菱形，所以H9J_AC，

連接尸0,因為PA=PD=a，所以POJ_AD,

因為平面上40,平面ABC。,平面PAD,平面ABCD=AD,POu平面PA。,

所以P0,平面ABCD,

因為^^匚平面4^⑺廝以/5。，?!。，

又PO。^二儀所以^?工平面":^又碇匚平面/^瓦所以人^^^故人正確；

易證△AO￡為等腰直角三角形,△495為等邊三角形，且平面HLD,平面ABCD,

所以三棱錐6—47后外接球的球心為等邊三角形AOB的中心，所以三棱錐5—AOE外接

球的半徑為立，

3

所以三棱錐5-AOE外接球的體積為V=士兀x（3了=述兀，故B錯誤；

3327

因為。?！?。公所以/6:尸要為異面直線尸。與OE所成的角（或其補角），

因為PO=JPD2—orP=］所以PC=JPC）2+OC2=血,

7_i_7_13

在△PCD中，由余弦定理，得cosZCPD=——廣一尸=—，故C正確；

2xj2xj24

因為PO，平面ABCD,所以。。為PQ在平面ABCD內的射影，

若直線PQ與平面ABCD所成的角為60。，則NPQO=60°,

因為PO=1,所以0°=亭,故點。的軌跡為以O為圓心，半為半徑的半圓，

所以點Q的軌跡長度為四，故D錯誤.

3

故選：AC.

12.答案：AC

解析：對于A,因為N￡LW=75。，點3位于點A的南偏西45。的方向上，所以

NB=45。，ZADB=6Q°,ZADC=120°.XZAEC=ZADC=120°,

C￡>=CE=100m,AC=AC,AE=200m,在△ADC中，

AC2=AE2+CE1-2AE-CEcos120°,AC2=CD2+AD2-2AD-C￡>cos120°,所以

AD=AE=200m,故A正確；對于B,△ADC的面積為

|AD-CDxsinZADC=1x200xl00x^=5000V3（m2）,故B錯誤；對于C,在

△AB。中，由正弦定理，得AB=也,解得

sinZADBsinB

皿=整片=學=⑼廂m),故C正確;

對于D,如圖，過點A作

2

AGJ_BC于點G,易知4MG=30。，所以NC4G>30。故D錯誤，故選AC.

2

2+i_(2+i)(l+i)1+3i13.

解析：因為z=-

(l-i)(l+i)2~2+2

所以復數(shù)z的虛部為3.

2

故答案為：

2

14.答案：瓜

解析：由已知得(a—。)=a2-2a-b+b2=5-2a-b=4,

a--br=一1,

2

/\2.2.2

:.\a+b\=a+2a-b+b=5+2a-b=6,

|tz+/?|=V6.

故答案為：R

15.答案：7兀

解析：在四面體ABCZ)中,AB=CD=痛,AC=AD=5CBD=2,

將四面體ABC。補成長方體AEB尸—GCH。，設AE=x，Ab=y，AG=z，

AB2=x2+y2

則<AC2=x2+z2,

AD2=y2+z2

設四面體ABC。的外接球半徑為氏則2R=7x2+/+z2=產+A；+A方=布,

因此,四面體ABC。的外接球表面積為4兀氏2=7兀.

故答案為：7兀.

16.答案：27也兀

解析：如圖所示,設圓柱的底面半徑為r,高為九則/i=2r.

再設/XABC的腰長為則=-?2=-,

解得a=3,即AB=AC=3,

因為NBAC=90，

所以2r=BC=3"

所以一半,九=3萬

所以該圓柱的體積為丫="2力=兀、2*3&=2

22

故答案為：丑叵兀.

2

17.答案：選①AB=2厲;選②=選③AB=2舊或2歷?

解析：若選①，在△3CD中,

CD=2娓，BD=6，NBCD=120。,

BDCD，解得sin"D考

由正弦定理可知

sin/BCDsinZCBD

又?NCBDe0,^,ZCBD=45°，即ZCDB=180°—120°—45°=15°，

ZADB=ZADC-ZCDB=60%

在△ABD中,ZADB=60。，AD=8，3。=6?

由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD-BDcosNADB，解得AB=2而?

若選②，在△BCD中,CD=2#，BCD=120%ZCBD=45°，

由正弦定理得BD-=?？?，解得BD=6,

sin/BCDsinZCBD

3

在△ABD中,cosZADB=-,AD=8，BD=6，

由余弦定理得Afi2=AD2+BD2-2AD-BDcos^ADBAB=17265.

若選③，在&ABD中,/BCD=120%ZCBD=45°，CD=2而，

由正弦定理得BD-=°。，解得BD=6,

sin"CDsinZCBD

在△ABD中，

由s=LAD.3。sinZADB=12V3，解得sinZADB=—，

4rxDLJ22

則ZADB=60?；?20。，

由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD-BDcosNADB，

當ZADB=60°時，解得AB=2713，當ZADB=120°時，解得AB=2737，

綜上所述：AB=2岳或2屈?

18.答案：（1）-；

5

⑵24■

解析：（1）由0。為等腰梯形中位線,

280—160

二根據(jù)對稱性有cos好24,

755

.3

smcr=—?

5

(2)由A47/OO'，由(1)知NO'OB=ZA'AB=G則NPCO=NCOO'=60°—6

0P

二在中,由正弦定理嬴7=

sin(60。_a)'

即sinP-℃sin(600-a)_75(sin60°cosa-cos60°sina)

Sin―OP—40

國.1273-9

火JsinPn=----------，

16

二.結合(1)可得：/八132.56°，a=36.87°

:.ZCOP-240-

19.答案：(1)4,正；

5

(2)4百+3

10

解析：(1)由已知SAAB「=LacsinB,:.6=La-30-sin/,.\a=4,

△ABC224

^a2+c2-2accosB^:.b~=16+18—2x4x3&x—=10，；)=A，

2

在ZvWC中,^=上

sinAsinB

???3*5考.

2一

(2)a<c,：.0<A<—,

2

又sinA=咨SA邛,

2d5J5413

sin2A=2sinA?cosA=2x-----x——=—，cos2A=2cos9A-l=2x—-l=-—,

55555

.J,兀、...?！?兀4月/3、14A/3+3

sin2A=sinzAcoscos2Asm—=—x-----------x—=----------

I6）66525j210

20.答案：（1）見解析；

（2）見解析；

⑶萬

解析：（1）￡>。=1，45=2,718〃￡）。,“為A3的中點，

:.MBHDC艮MB=DC

四邊形BCD航為平行四邊形

BC//DM,BC.平面PMD,DMc平面PMD,

：,〃平面PMD;

（2）因為pp_L平面A3CD,BCU平面A3C。,所以PDLBC-

由NBCD=90。，得.

因為P￡>OC=￡>,/>￡）u平面PC。，￡>Cu平面PC。，

所以BC_L平面PCD.

因為PCu平面PCD,所以PC,50.

（3）如圖，連接AC.設點A到平面P3C的距離〃.因為745〃0。,/38=90。，所以

ZABC=90°-

從而由AB=2,3C=1，得△ABC的面積為1.

由平面A3CD及尸￡）=1，得三棱錐p—ABC的體積V=，SA"><PD=L

3A/lov3

因為PD，平面ABCD,DCu平面ABC。,所以P￡），.

又P￡>=￡>C=1,所以PC=V2-

由PC，5C，6C=1,得△P6C的面積為*.由

因此點A到平面PBC的距離為：血.

21.答案：（1）證明見詳解；

（2）逅

4

解析：證明：（1）如圖，連接￡）后,取AE的中點G,連接BQ,

在四邊形A3CD中，由AD〃6C,84=A。=DC=工3c=1,E是BC的中點，

2

易得四邊形ABED、四邊形AECD均為平行四邊形，可得AE=DE=CE=1,

△ABE,Z\ADE,Z\DCE均為等邊三角形，

在等邊ZXDCE中尸為CD的中點，可得EF±CD，且AE//CDMEF±