2021年考研《數(shù)學(xué)》試題及答案(卷一)

2021年考研《數(shù)學(xué)》試題及答案（卷一）

設(shè)cr.,線性無(wú)關(guān)可由*.a：,a線性表示,/不可由a..a2.a,線性表示.對(duì)任

[意的常數(shù)4有〈>.

Aa,a：.a,，班+p?線性無(wú)關(guān)

Ba,,a2,a3?^i+P2線性相關(guān)

上「如?].+電線性無(wú)關(guān)|

，a+“2線性相關(guān)

參考答案：A

[單選題]設(shè)隨機(jī)變量X?U[l,7],則方程儲(chǔ)+2XH+9=0：

有實(shí)根的概率為（）。

1

A2

1

B?

2

C3

DO

參考答案：C

[單選

設(shè)，，維列向量組a…血.5,<“）線性無(wú)關(guān).則”維列向量組….3線性無(wú)關(guān)

題]的充分必要條件是（>.

A向量組窯Q”可由向量組/，/，…/,“線性表示

B向量組四?生，…，L可由向量組0i線性表示

C向量組。a.an,與向量組Pl.九等價(jià)

D

矩陣A=(%,???與矩陣B=3：/2，…，九)等價(jià)

參考答案：D

［問(wèn)答題］設(shè)P⑻rO.5,P(A-B)=O.3?，貝y(A+B)=------------

參考答案:因?yàn)镻(A-B)=P(A)-P(AB),所以P(A+B)=P(A-B)+P(B)=0.8。

＜，十y2)x2+y2^0

［問(wèn)答題］二元函數(shù)f(x,y"。x'+y'=°

在(0,0)點(diǎn)是否可微?0(填是或否)

參考答案：否

［問(wèn)答題］設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立,D(X)=4D(Y),令U=3X+2Y,

V=3X-2Y,則0I"=o

參考答案：

Cov(U.V)=Cov(3X+2K3X—2Y)

=9Cov(X.X)-4Cov(Y.Y)=9D(X)-4D(y)=32D(Y).

由X,Y獨(dú)立，得D(U)=D(3X+2Y)=9L>(X)+4D(y)=40D(Y).

D(V)=/)(3X-2y)=9D(X)+4D(Y>=10D(y),

Cov(L7,V)32D(Y)4

7D(V)vM0D(y)?-740D(y)

I423\

設(shè)AX=A+2X,其中A=11。，求X.

123/

參考答案：

'223|

【解】由AX=A-2X得(A-2E)X=A?其中4-2E=1-10

'-12V

因?yàn)锳-2E=-1X0.所以X=<A-2￡)/??

342310

由(A-2E：A)=1-101023

121-1323

a-i011

-04320

'011033'10

-8—6

-9—6

129

d2x

dy?

［單選題］函數(shù)y=x+ex的反函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)=()。

參考答案：A

［問(wèn)答題］設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的泊松分布，令Y=4X-3,則

E(Y)=oD(Y)=

參考答案:因?yàn)閄~P⑵，所以E(X)=D(X)=2,于是E(Y)=4E(X)-3=5,

D(Y)=16D(X)=32

—x2arcsinrcLr=

［問(wèn)答題］

參考解析:

VI—JC'arcsinxdx-----Jzcos:tdz=<|/(1+cos2z>dz

=—+-^-JWin2f)=丁+1(f2r-Jsin2rd/)

=+-ytsinZt-—cos2r+C

448

=garcsin2-r+gr八一工:arcsinx---7-r2+C?

4Z4

taar—sinx

lim------；=■

［問(wèn)答題］…

1

9

參考答案：一

［問(wèn)答題］一工人同時(shí)獨(dú)立制造3個(gè)零件，第k個(gè)零件不合格的概

=1,2,3)

率為;史十1,以隨機(jī)變量X表示3個(gè)零件中不合格的零

件個(gè)數(shù)，貝IP(X=2)=0

參考答案：令A(yù)k=｛第k個(gè)零件不合格｝(k=l,2,3),

貝U

PCX=2)=P(A?A2A3)+PtA(AVA,)+P(A：A?第)

1111211131

=7XTXT+2XTXT+2><3><4I=7-

［問(wèn)答

題］

'1\Z1\1,

設(shè)2I.a.=0I?a3——1線性相關(guān)?則a=

r3

參考答案：

111

a.a；.a,線性相關(guān)的充分必要條件是|叫|=20-1=0.從而(,=￡.

-1a3

［問(wèn)答題］設(shè)y=y(x)滿(mǎn)足v'=x+y，且滿(mǎn)足y(O)=l,討論級(jí)

81

71

數(shù)的斂散性。

參考答案:

由y'=x十y得/=1+」.再由y(O)=l得>>(0)=1.><<0)=2,根據(jù)麥克勞林公

式，有y(一)—>(0)+>Z(O)—4--^-y*(O)(―-)+o(—)=1+—+—,+?(—?)?

'n'n2nn''

因?yàn)閥(—)—1——^且X］收斂，所以Xy(~)—1—］絕對(duì)收斂.

'n>nnnUI'為'"」

iiin「400。-

1111oooo

A-,B=

11110000

［單選題］設(shè)Lill」Lo00oJ,則A與B()。

A合同且相似

B合同但不相似

C不合同但相似

D不合同且不相似

參考答案：A

［單選題］設(shè)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為(1+/)一，則f(x)的一個(gè)原函數(shù)是()。

Al+arctanx

Bl-arctanx

1

C1+二In(l+x2)

1

DI-2|n(l+x2)

參考答案：C

［單選題］設(shè)總體X服從N(11,02),亍與？分別是取自總體X的

樣本容量為10和15的兩個(gè)樣本均值，記

PiJ?=尸口”外>。1,則有()L

APl<p2<p="">

BP1=P2

CP1>P2

DP1=1,P2=o

參考答案：C

廣九)m=x

［問(wèn)答題］設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，且J。八,則可7)=______o

1

參考答案：12

［問(wèn)答題］求下列不定積分：

rLnsinxrl+ln(l-x)

⑴Jsir/x;(2)J(/+1)￥也；⑶Jx2

參考答案：⑴

fInsinxtr

J城*一二JMsinxd(-cotjr)=Insin*?(-cotx)-j(-cotx)d(lnsinx)

..rcosx(i

=-cotx?Insinx+cotx?-----dx--cotx?Insinx+cotxax

JsinxJ

=-cotx?InsinJC+[(esc21)<Lr=-cotJC?Insinx-cotx-x+C.

(2)

J(2z2+l)e,dx=j2x2c,2dx+j…<ix=Jxexd(x3)+Je*dx

Jxd(e*2)+Je,*dx=?e,2-Je“dx+/Jdx=xe"+C.

|"In?%)/-J[]+|n(lr)]d(一：)

-——[l+ln(l-x)]+J—dln(l-?)

=-----ln(]r)+[—*—rdx

%xJrx-1

=-In(1-x)+J(-dx

=---——ln(1-4)+ln|x-1|-In|r|?C

xx

=(1—―jln(1-x)----In|x|十C

[單選題]設(shè)為="+b+心力=26-，*。產(chǎn)”+e'L某二階常

系數(shù)非齊次線性微分方程的解，則該方程的通解是()。

_x-13

Jcie^+C2e+2c^+e+el

21x

JC［C+C;e+2e+e*

』。遇)，2b+3H

01G3+02尸+2/

參考答案：A

［問(wèn)答題］設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)非負(fù)，且I/g"⑸^=2：則在區(qū)間［0,

2］上的平均值為。

參考答案：2

［問(wèn)答題］已知向量組A：a1=(0,1,2,3)T,a2=(3,0,1,2)T,

a3=(2,3,0,1)T;B：81=(2,1,1,2)T,B2=(0,-2,1,1)T,B

3=(4,4,1,3)To試證B組能由A組線性表示，但A組不能由B組

線性表示。

參考答案:

IH1對(duì)由兩組向量構(gòu)成的距耳集切寫(xiě)行交換?其中人二(a：.,)4=(0/；A,一

由此可知《4)=r<A4)=3,所以向量蛆月愛(ài)由向量培4線性表示

又由于

0

000J

祥r(B)?2'r(4,H),所以向量組4不愛(ài)由向量組B線性衣示.

［問(wèn)答題］已知3階矩陣A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全為

1231

B-246

6%」(k為常數(shù))，且AB=O求線性方程組Ax=O的

零矩陣B=L3

通解。

參考答案：由于AB=O,故r(A)+r(B)W3,又由a,b,c不全為零,

可知r(A)^lo

當(dāng)kW9時(shí)，r(B)=2,于是r(A)=l;

當(dāng)k=9時(shí),r(B)=l,于是r(A)=l或r(A)=2。

T"3'

A2=0和A6

對(duì)于kW9,由AB=O可得L3JLAJ

由于n1=(1,2,3)T,n2=(3,6,k)T線性無(wú)關(guān)。故nl,n2為

Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，于是Ax=0的通解為

X=clnl+c2n2,其中cl,c2為任意常數(shù)。

對(duì)于k=9,分別就r(A)=2和r(A)=l進(jìn)行討論。

如果r(A)=2,則Ax=0的基礎(chǔ)解系由一個(gè)向量構(gòu)成。又因?yàn)?/p>

r

A2=0

-3」，所以Ax=0的通解為x=c3(l,2,3)T,其中c3為任意常數(shù)。

如果r(A)=l,則Ax=0的基礎(chǔ)解系由兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量構(gòu)成。

又因?yàn)锳的第一行為(a,b,c)且a,b,c不全為零，所以Ax=0等價(jià)

于axl+bx2+x3=0,不妨設(shè)aWO,n3=(-b,a,0)T,n4=(-c,0,a)T

是Ax=O的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，故Ax=O的通解為

X=c4n3+c5n4,其中c4,c5為任意常數(shù)。

［問(wèn)答題］設(shè)某種元件的使用壽命X的概率密度為：

2產(chǎn)9,工N夕，

/(工;今)=

x<9t其中。>0為未知參數(shù)XI,X2,…，Xn

為來(lái)自總體x的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求。的最大似然估計(jì)量3,并討論無(wú)

偏性。參考答案：設(shè)樣本值為XI,X2,…，Xn,則似然函數(shù)為:

六rr?pl-2y(^

?n/(?.：?>*I0

lo.冥it.

AMi=12…㈤時(shí)>0i只需在此條件下?豆〃券的?大值gA為了IUU星西力?的無(wú)便估計(jì),

雷要求出，的假率密度/NG.

[■]與棒本值%>??=12…用時(shí)?〃?)>O.MlJt.W

L=mb2-2^(1.->).

因?yàn)閐ln/a=X>0所圖”，單由于?是?1.2.?).?Iz,.x,.x.?

ao

如果取?-nun|孫』.…4’.甯〃外取最大值,所以?的?大強(qiáng)后估計(jì)值為

i*USt.Mj.一3I.

0的■大叔然估計(jì)ft為

i■?i?!X|,Xj,-r1.1-

總體X的分布函數(shù)為

n,)=k….

$的分布函我為

CN?I：*A，>"

lo.1<%

S的微率密度為

"⑴='("={o.z<a

因?yàn)?/p>

E(e)=[";(，)&=1jiw-xi'dr=。+；Ke,

JYJ?2n

所以3=…JU不是8的無(wú)做估計(jì).

x=0,

[單選題]設(shè)函數(shù)F(x)=其中f(x)在x=0處二階可導(dǎo),

|r(0)#0^(0)=0/(0)=0|>則x=o是F(x)的()。

A.第一類(lèi)間斷點(diǎn)

B.連續(xù)點(diǎn)

C.第二類(lèi)間斷點(diǎn)

D.連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)不能由此確定

參考答案：A

［單選題］設(shè)總體X服從N（口，02）,其中。2未知，假設(shè)檢驗(yàn):

HO：uWl,Hl：u>lo

當(dāng)顯著性水平a=0.05時(shí)，拒絕域?yàn)椋ǎ?/p>

AlII>

—s

X>1+f0Q5（n-1）『

B%

—§

IX-1I>%as（n-】）7r

CJn

X<1-G.oj(n-1)三

DJn

參考答案：B

abb

A=bab

［單選題］設(shè)3階方陣U

b若A的伴隨矩陣A*的秩為1,

則必有()。

A.a=-2b

B.a=b

C.a=-b

D.a=2b

參考答案：A

a_+IIa-|a?j

Br^n=i,2,…)

［單選題］22,下列命題正

確的是()。

什￡%

A若n?l條件收斂，則—I與"I都收斂

什￡4京￡或

B若“=1絕對(duì)收斂，則n=l與都收斂

￡%￡P(guān).Kn

C若占條件收斂，則匕與"小收斂性不定

￡%IP.￡北

D若，耳條件收斂，則H與八一收斂性不定

參考答案：B

j_J__L_L

［問(wèn)答題］若4階矩陣A與B相似,矩陣A的特征值為了'于'7'§,

則行列式/-E=。

參考答案：24

［問(wèn)答題］設(shè)3階矩陣4滿(mǎn)足A2-3A+2E=0,且|A|=2,求矩陣A的

全部特征值。

參考答案：

(?)設(shè)A為矩陣A的任重一個(gè)特征值.a力N于A的特征向量.所以4f.于星

A'a-=0.

即A:<r-3Aar*2a-0?

亦即(A”-3A,2)a=G.

而a/0,從而尸-3A+2=O,于是,福

(A-l)(A-2>0.

得人的特征值為A-1或A=Z

又4|?2y0,故矩陣A的3個(gè)特征值福.星.A?應(yīng)橫足八人遍3=2月比福.A,?船只能取1或2.由此得4

的全部特任值應(yīng)為A=的=1狀尸2

［問(wèn)答題］設(shè)6(X)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，隨機(jī)變量X的分布函數(shù)

F(x)=a6(x)+b6(x-l),求⑴a,b應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系式;⑵E(X)。參考答案:

本題考查分布函數(shù)的性質(zhì)和計(jì)算數(shù)學(xué)期望的方法。由于X的分布已

知，可以利用公式結(jié)合分布的性質(zhì)求出E(X)O

【解法1］(I)F(+8)=1.有a+6=l.

(2)以中(G表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圈率密度,則

E(X)=Ixd>(?)=|x［叫(h)+-1)］<1?"

=ajx^(?)dx+fc|~!)<1*.

注意到，￥(x}dx=0.從而有

E(X)=6(y(*-1)<lx-{X-1+I)(p(?-1)<ii

=bj(JT-I)R(H-l)<k+bjp(x-l)dx.

令x_1=，.有￡(X)=b［'t^(l)dt+bf<p(l)di=4?0+6xl=6.

【解法2】(1)同解法1.

(2)由于F(x)=a3(G2O(xT),3MX="-bZ.且V服從、服從"(1,1).所以￡(X)=

a￡(F)+b￡(Z)=gg6.

Z=之

［問(wèn)答題］設(shè)隨機(jī)變量X服從t(n),判斷Y=X2,如所服從的分布。

參考答案：本題考查產(chǎn)生F分布的典型模式。

u

【集】由于xabuo.設(shè)(風(fēng)從，(0?1).5'總從/(。).且。與『相互獨(dú)立.剜x可衣示為1=—三，于是

巴

7?

ifv

y?x'=4,X討眼從片(D，從?『=4r?iyi^(?,D.

*?1

［問(wèn)答題］設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù)，且

/(X)=Lo<x<l

lx，U<*忘1，設(shè)其傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)為S(x),

S

求s⑴，

參考答案：由狄利克雷收斂定理得

S(1)=y[/(1-0)V(-1+0)]=y(1+2)=y.

S俗=*2)=$T)=Z

S(T)=5(2+T)=S(T)=(T)2=T-

1.方程-—(1-我x-W=0的兩根分別是等腰三角形的腰。和底b(&⑷,則

這個(gè)等腰三角形的面積為()

(A)孚⑻平(C),(D)當(dāng)(E)今

【答案】C

【解析】

根據(jù)題意可解出方程的兩根分別為維=1,毛=若，且a"3根據(jù)三角

形面積計(jì)算公司S=J■加，可解得5=吏。故本題選擇C。

24

2.如圖所示，長(zhǎng)方形48中，M)=10,CD=12,5在的延長(zhǎng)線上，2D

交CE于尸，三角形CFB的面積是24,則三角形團(tuán)的面積是()

(A)16(B)15(C)14(D)13(E)12

【答案】A

【解析】

根據(jù)題意可知三角形CBD的面積等于三角形CFD面積加上三角形CFB的面積,

S謝=ga>xdD=Sc和+SE=60,解得C尸=6,所以FE=4且

Scra=lcFx￡3=24JMB￡8=8,SR^FEXEB=16s故本題選擇Ae

[單選題]

設(shè)"「a」為齊次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解系”「隊(duì)為非齊次線性方程:

個(gè)不同解，則方程組AX=6的通解為（）.

+左2（。，一叫）+孰2

一々2（口1-P2）-I---2--

}]4十七（從+跖）十^^

L,,,、氏+也

*：a；+七（a；+a2）H---?！?/p>

參考答案：D

[問(wèn)答題]設(shè)y=f（x,t）,其中t是由方程F（x,y,t）=0所確定的x,

dy

,#,dx

y的函數(shù)，若f,F均可微，則」o

出一愿

F；+fF\

參考答案：

[問(wèn)答

題]

設(shè)f（i）連續(xù)，且1加￡^=3,則1/八1+"；"1_/1）=.

L1%—1A-。h----

參考答案：

【解】(1)由lim八三|=3得/(I)=0?/\1)=3,

L1r—1

于是.=Iim3"⑴+lim二Al二

入一。flJb-*OhAh

=2/z(l)=6.

［問(wèn)答

題］

7+2-23

設(shè)八二)=12H+34,則/項(xiàng)的系數(shù)為.

—2—1—1?

參考答案：按行列式的定義，f(x)的3次項(xiàng)和2次項(xiàng)都產(chǎn)生于

(x+2)(2x+3)(3x+l),且該項(xiàng)帶正號(hào)，所以X2項(xiàng)的系數(shù)為23。

r

y一JCe3+—=0

［問(wèn)答題］微分方程一的通解為

參考答案:

由y'-he-r+工?=0?得e^y'-z+—e*=0,即）+-e,=x

xxdrj-

dz1

令二=e‘，則----1----z=x

djrx

解得z=業(yè)+C）e，2+c）（C為任意常數(shù)）

所以原方程的通解為er=y（YJ-3+C）（C為任意常數(shù)）

a100

0a10

00a1

2

［問(wèn)答題］計(jì)算D=11JTX

參考答案:

a10010

D=aAII+A12=aMx—Mn—a0a1—0a1

Xx2X3II1X2J3

22

=<2CaAn+A］z)—(—I)(—1)=-14-aMu—aM

——1+a：(a_r3—jr2)—<2(--r)=a5x-a2/+ax-1.

［單選題］設(shè)向量B可由向量組a1,a2,…am線性表示，但不能

由向量組(I)：a1,a2,…，am-1線性表示，記向量組(II)：a1,

a2,…,am-1,B,則0。

A.am不能由(I)線性表示，也不能由(II)線性表示

B.am不能由(I)線性表示，但可由(H)線性表示

C.am可由(I)線性表示，也可由(H)線性表示

D.am可由(I)線性表示，但不可由(II)線性表示

參考答案：B

［單選題］設(shè)線性無(wú)關(guān)的函數(shù)yl,y2與y3均為二階非齊次線性微

分方程的解，C1和C2是任意常數(shù)，則該非齊次線性微分方程的通解

是()。

B.Gyi+GhTG+C?)力|

C.Gy|)C2y廿(1一。1一,2?3

參考答案：C

［單選題］設(shè)二次型H孫，％巧)在正交變換x=Py下的標(biāo)準(zhǔn)形為

2ytMV,其中若2=(%，F(xiàn)f),則以與，巧，巧)在正交變

換*=(1丫下的標(biāo)準(zhǔn)形為()。

A-武

B2y2;Y

c2yH海；

D2J：+4+)；

參考答案：A

［問(wèn)答題］

求極限I

參考答案:

原式=］向sin”一一（1+/；》_］而$評(píng)。一ln《1十工？）

r"ln（1+jr2）sin?xmT*

,,2J

4sm“cosjr—1z―T

=lim-------“一二匚（治必達(dá)法則）

［問(wèn)答題］設(shè)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b),

f(x)不恒為常數(shù)證明：在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)w,使得>°。

參考答案：因f(a)=f(b),且f(x)不恒為常數(shù)，所以至少存在一點(diǎn)c

e(a,b),使f(c)Wf(a)=f(b)。不妨設(shè)f(c)>f(a),則在［a,c］上,由拉格朗

(e(a,c)

日中值定理，至少存在一點(diǎn)東sC,('a.'b)"使得

/，(小血

［單選題］設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在區(qū)域