2024年山東煙臺(tái)德州高三一模高考數(shù)學(xué)試題答案詳解

2024年高考診斷性測(cè)試

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.本試題滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘.

2.答卷前，務(wù)必將姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題紙上.

3.使用答題紙時(shí)，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫，要字跡工整，筆跡

清晰；超出答題區(qū)書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)符合題目要求.

1.已知集合。=R,集合A={X|X2+2X-3<0},8={X|0WX42},則圖中陰影部分表示

的集合為（）

A.（-3,0）B.（-1,0）C.（0,1）D.（2,3）

2

2.若（1-2尤了=a0+arx+a2x++,則出+4=（）

A.100B.110C.120D.130

3.若點(diǎn)A（l,2）在拋物線_/=2px上，足為拋物線的焦點(diǎn)，則IA尸|=

A.1B.2C.3D.4

4.若85（戊一:）二；,則sin2a=（

）

A.二B1D.L

c.--

9999

5.將8個(gè)大小形狀完全相同的小球放入3個(gè)不同的盒子中，要求每個(gè)盒子中至少放2

個(gè)小球，則不同放法的種數(shù)為（）

A.3B.6C.10D.15

6.設(shè)。力為兩條不同的直線，①￡為兩個(gè)不同的平面，下列說法正確的是（）

A.若"http://a,b11a,則a//6

B.若a乃與a所成的角相等，則。//匕

C.若a工（3,a11a,b11B,則

D.若C_L"Q_L%>_L/7,則；_L，

7.已知定義在R上的奇函數(shù)/Xx）滿足了（2-x）寸（x）,當(dāng)OMxWl時(shí),/（x）=2J-l,則

/（log212）=（）

A.—B.—C.—D.g

3432

8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（-1,0）,B（2,3）,向量oc=mOA+nOB，且租-〃-4=0.

2

若尸為橢圓/+匕=1上一點(diǎn)，則pc|的最小值為（）

A..癡B.回C.-710D.2M

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得

0分.

9.已知4/2為復(fù)數(shù)，下列結(jié)論正確的有（）

A.Z1+Z2=%+2

B*?22—Z],Z?

C.若Z「Z2WR,則4=是

D.若z「Z2=0,則4=0或Z2=0

10.先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記向上的點(diǎn)數(shù)分別為x，y,設(shè)事件A="log3”y

為整數(shù)"，B="x+y為偶數(shù)"，C="x+2y為奇數(shù)”，貝u（）

A.P（A）=1B.P（A3）=:

o12

7

C.事件B與事件C相互獨(dú)立D.P（A|C）=—

lo

11.給定數(shù)列｛%｝，定義差分運(yùn)算：△%=--4,6%=八％一陽,“€?<若數(shù)列｛4｝

滿足%=1+〃，數(shù)列｛2｝的首項(xiàng)為1,且儆,=（"+2>2"T,〃WN*,則（）

A.存在M>0,使得A%恒成立

B.存在M>0,使得1%<加恒成立

C.對(duì)任意">0,總存在〃eN*,使得或

試卷第2頁，共4頁

Nb

D.對(duì)任意M>0,總存在“eN*,使得

b“

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若圓(x-m)2+(y-l)2=l關(guān)于直線y=x對(duì)稱的圓恰好過點(diǎn)(0,4),則實(shí)數(shù)加的值

為.

13.在三棱錐「一ABC中，PB=PCfPA=2,且/4網(wǎng)=/8尸。=/。上4,瓦/分別

是尸C,AC的中點(diǎn)，ZBEF=90,則三棱錐尸-ABC外接球的表面積為,該三

棱錐外接球與內(nèi)切球的半徑之比為.

14.若函數(shù)/(無)=sins+限oss-l在［。,2兀］上恰有5個(gè)零點(diǎn)，且在［-：,自上單調(diào)遞

增，則正實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演

算步驟.

15.已如曲線/(彳)=依2+x-21nx+6(a,6eR)在x=2處的切線與直線無+2y+l=。垂直.

⑴求”的值；

(2)若7(x)20恒成立，求匕的取值范圍.

16.如圖，在三棱柱ABC-AAG中，ABlAC,AB=y/3AC=3,AD=2DB,。為2C的

中點(diǎn)，4。，平面ABC.

⑴求證：AA1±OD-

(2)若用=26，求二面角8-e-。的余弦值.

17.聯(lián)合國(guó)新聞部將我國(guó)農(nóng)歷二十四節(jié)氣中的“谷雨”定為聯(lián)合國(guó)中文日，以紀(jì)念“中華

文字始祖”倉頡的貢獻(xiàn).某大學(xué)擬在2024年的聯(lián)合國(guó)中文日舉行中文知識(shí)競(jìng)賽決賽，決

賽分為必答、搶答兩個(gè)環(huán)節(jié)依次進(jìn)行.必答環(huán)節(jié)，共2道題，答對(duì)分別記30分、40分，否

則記。分；搶答環(huán)節(jié)，包括多道題，設(shè)定比賽中每道題必須進(jìn)行搶答，搶到并答對(duì)者得

15分，搶到后未答對(duì)，對(duì)方得15分；兩個(gè)環(huán)節(jié)總分先達(dá)到或超過100分者獲勝，比賽

41

結(jié)束.已知甲、乙兩人參加決賽，且在必答環(huán)節(jié)，甲答對(duì)兩道題的概率分別二力，乙答對(duì)

兩道題的概率分別為gq,在搶答環(huán)節(jié)，任意一題甲、乙兩人搶到的概率都為甲答

對(duì)任意一題的概率為二5，乙答對(duì)任意一題的概率為3:，假定甲、乙兩人在各環(huán)節(jié)、各道

題中答題相互獨(dú)立.

(1)在必答環(huán)節(jié)中，求甲、乙兩人得分之和大于100分的概率；

(2)在搶答環(huán)節(jié)中，求任意一題甲獲得15分的概率；

(3)若在必答環(huán)節(jié)甲得分為70分，乙得分為40分，設(shè)搶答環(huán)節(jié)經(jīng)過X道題搶答后比賽

結(jié)束，求隨機(jī)變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

22

18.已知雙曲線C:十%=1(〃>0,10)經(jīng)過點(diǎn)A(-2,0),離心率為右，直線/過點(diǎn)0(3,0)

且與雙曲線C交于兩點(diǎn)P,Q(異于點(diǎn)A).

(1)求證：直線AP與直線AQ的斜率之積為定值.并求出該定值；

(2)過點(diǎn)。分別作直線AP,4。的垂線，垂足分別為記.AZMf,一ADN的面積分別

為立邑，求$2的最大值.

19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為1的圓A沿著x軸正向無滑動(dòng)地滾動(dòng)，點(diǎn)

M為圓A上一個(gè)定點(diǎn)，其初始位置為原點(diǎn)。，/為AM繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)過的角度(單位：弧度,

⑴用力表示點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y；

l+cos2^

⑵設(shè)點(diǎn)/的軌跡在點(diǎn)/。(%,%)(%工。)處的切線存在，且傾斜角為內(nèi)求證：-------

%

為定值；

(3)若平面內(nèi)一條光滑曲線C上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)均可表示為,則該光滑

曲線長(zhǎng)度為尸(6)-F(?)，其中函數(shù)F(t)滿足p(/)=⑺f+[y'⑺f.當(dāng)點(diǎn)/自點(diǎn)。滾

動(dòng)到點(diǎn)E時(shí)，其軌跡0E為一條光滑曲線，求的長(zhǎng)度.

試卷第4頁，共4頁

1.A

【分析】

解不等式化簡(jiǎn)集合A,再結(jié)合韋恩圖，利用交集的定義求解即得.

【詳解】解不等式f+2x-3<0,得一3<x<l,即A=(—3,1),

由3=[0,2],得毛8=(-8,0)」(2,+8),

所以圖中陰影部分表示的集合為Ai(^B)=(-3,0).

故選：A

2.C

【分析】

利用二項(xiàng)式定理分別求出。2,即可計(jì)算得解.

24

【詳解】在(1-2x)5=4+牛+。21+中，a2=C5x2=40,a4=X2=80,

所以出+%=120.

故選：C

3.B

【解析】由拋物線的定義轉(zhuǎn)化即可求值.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)41,2)在拋物線尸=2夕苫上，即2?=2p,所以。=2,

故尸

|A\=XA+^=1+1=2

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查由拋物線的定義轉(zhuǎn)化求值問題，屬于基礎(chǔ)題.

4.C

【分析】

根據(jù)二倍角公式以及誘導(dǎo)公式即可求解.

【詳解】由cos[a-：=-pT^cosf2a-1-k2cos2L-^j-l=--

故cos(2a-1-=sin2a=--

9

故選：C

5.B

【分析】

答案第1頁，共13頁

對(duì)每個(gè)盒子放入2個(gè)球，再看余下2個(gè)球的去向即可得解.

【詳解】依題意，每個(gè)盒子放入2個(gè)球，余下2個(gè)球可以放入一個(gè)盒子有C；種方法，放入

兩個(gè)盒子有C；種方法，

所以不同放法的種數(shù)為C；+C；=6.

故選：B

6.D

【分析】

根據(jù)空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.

【詳解】對(duì)于A,平行于同一平面的兩條直線可能平行，也可能異面，故A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,與a所成的角相等，則6可能異面，可能相交，也可能平行，故B錯(cuò)誤，

對(duì)于C,a^/3,aHa,bHp,則a1可能垂直，但也可能平行或者相交或者異面，故C錯(cuò)

誤，

對(duì)于D,aV[3,aVa,bVP,貝!|；_L力，D正確，

故選：D

7.A

【分析】

根據(jù)給定條件，探討函數(shù)Ax)的周期，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性及指對(duì)數(shù)運(yùn)算計(jì)算即得.

【詳解】在R上的寄函數(shù)的?滿足f(2-x)=/(x),則/(尤)=-/(尤-2),

于是/'(*)=-/(尤-2)=-[-/(尤-4)]=/(*-4),即函數(shù)/⑴的周期為4,

x

而8<12<16,則3<logzl2<4,-l<log212-4<0,又當(dāng)時(shí),/(x)=2-l,

34iog9-1

所以/(log212)=/(log212-4)=/(log2-)=-/(log2§)=一(23—1)=—§.

故選：A

8.A

【分析】根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)。的軌跡，再借助三角代換及點(diǎn)到直線距離公式求出最小值.

【詳解】設(shè)點(diǎn)C(x,y),由A(-L0),3(2,3)及oc=〃?OA+“02,得(x,y)=(-m+2”,3〃)，

[x=—m+2n.,,

即《，Wm—n—4=0f消去加，〃得：3x—y+12-0,

[y=3n

答案第2頁，共13頁

|3COS0-A/7sin^+12|12-4sin(6+0)

則點(diǎn)尸到直線3元-y+12=0的距離”=，其中銳角。

2(-If710

，3…

由tan°=F確定,

當(dāng)sin的+夕)=1時(shí)，6Zmn=^Vi0,而pCpd,所以|PC|的最小值為1亞.

故選：A

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求出橢圓上的點(diǎn)與其相離的直線上點(diǎn)的距離最小值，可轉(zhuǎn)化為求橢圓上

的點(diǎn)到直線距離有最小值解決.

9.ABD

【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，結(jié)合共朝復(fù)數(shù)的意義計(jì)算判斷ABD；舉例說明判斷C.

【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)Z=a+bi,z2=c+di,(a,b,c,deR),

對(duì)于A,Zj+z2—(a+c')+(b+d)i—(a+c)—(b+d)i=(a—bi)+(c—(K)=z1+z2,A正確;

對(duì)于B,Z[z2=(ac-bd)+(ad+bc)i,ziz2={ac-bd)-{ad+bc)i,

Zj-z2-(a-bi)(c-￡)=(ac-bd)-(ad+bc)i,zx-z2='zl-z2,B正確；

對(duì)于C,取z=i,Z2=2i,滿足Z[Z2=-2eR,而4片馬，C錯(cuò)誤;

\ac-bd=0

對(duì)于D,由Z[Z2=0,得(ac-bd)+(ad+bc)i=。,即《,

ad+Z?c=0

2222

則a2cz+62d2+a2d2+b2c2=Q,即(a+b)(c+d)=0,

因止匕a=6=0或c=d=0,即Z]=0或Z2=0,D正確.

故選：ABD

10.BCD

【分析】列舉所有的基本事件，再由古典概型的概率公式，相互獨(dú)立事件的定義及條件概率

的概率公式計(jì)算可得.

【詳解】先后兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，得到向上的點(diǎn)數(shù)分別為x,y,

則基本事件總數(shù)為(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

答案第3頁，共13頁

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

(4,1)，(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),

(6,1)(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36種情況,

滿足事件A的有（LD,(1,2),(1,4),(2,3),(2,1),(3,1),(3,4),(4,1),(4,5),

191

(5,6),(5,1),(6,1)共12種,其概率P（A）=9=g故A錯(cuò)誤;

363

滿足事件8的有(LI),(L3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),

(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),

1Q1

(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6),共18個(gè)，故尸(8)=整=：；

362

31

滿足事件4B的有(U),(3,1),(5,1)共3個(gè)，所以網(wǎng)4?)=弓=(，故B正確;

滿足事件C的有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),

共個(gè),故尸)；,

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),18(C=.=

JO2

滿足事件BC的有(1,1),(L3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),

a1

(5,1),(5,3),(5,5),共9個(gè)，所以P(BC)=5=a=尸(B)P(C),

所以事件B與事件C相互獨(dú)立，故C正確;

滿足事件AC的有(U),(1,2),(1,4),(3,1),(3,4),(5,6),(5,1),共7種,

所以尸（AC）=（，貝i]P（A|C）=萼?=平="，故D正確.

30r（CIlo

故選：BCD

11.BC

【分析】

由已知求出A%,A%”及范圍判斷AB；利用累加法結(jié)合錯(cuò)位相減法求和求出或及范圍判斷C；

求出勿及—*的范圍判斷D.

【詳解】對(duì)于A由4=/+〃，=(n+l)2+(n+l)-(n2+n)=2n+2,顯然有最小

值4,無最大值,

答案第4頁，共13頁

因此不存在M>0,使得△見<M恒成立，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由選項(xiàng)A知,Aa“=2〃+2,則=2(〃+1)+2-(2〃+2)=2,

顯然當(dāng)Af>2時(shí)，恒成立，B正確；

對(duì)于C,由AanS+Z)2-,得加-2=5+2)?1,

當(dāng)“22時(shí)，bn=bx+(b2—bx)+(b3—b2)+(b4—b3)++(b”-bQ

即2=1+3X20+4X2'+5X22++(n+l)x2n~2,

于是2〃=2x20+3x2i+4X22++?X2,,-2+(?+1)X2"-1,

1_

兩式相減得-6.=1+1+2,+2?++2"~2-(〃+1)x2"-1=1+-----------(；7+1)x2^=-nx2"^,

1—2

因此或="-2"T,顯然4=1滿足上式，則或=加2"1,由6"+]_￡=(〃+2).2力>0,

得數(shù)列｛2｝是遞增數(shù)列，久有最小值1,無最大值，

從而對(duì)任意">0,總存在〃cN*,使得C正確；

A2A4

對(duì)于D,A2b?=(n+3).2--(n+2)-2'^=(n+4)-2"-1,由選項(xiàng)C得一^=1+-,

bnn

44A2/?

顯然數(shù)列｛1+-｝是遞減數(shù)列，0<1+?<5,因此對(duì)任意M>0,不存在〃eN*，使得—>加

nnbn

成立，D錯(cuò)誤.

故選：BC

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及數(shù)列新定義問題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，由給定的數(shù)列結(jié)合

新定義探求數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，并進(jìn)行合理的計(jì)算、分析、推理等方法綜合解決.

12.4

【分析】利用軸對(duì)稱列式求出點(diǎn)(。，4)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入圓方程即得.

【詳解】依題意，點(diǎn)(。，4)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)(“㈤在圓(尤-m)2+(y-l)2=l上，

b+4_a

則J2,解得q=41=0,因此點(diǎn)(4,0)在圓(x-附2+(iy=i上，

b—4

------=-1

、。-0

貝|(4一7")2+(0-1)2=1,解得%=4,

答案第5頁，共13頁

所以實(shí)數(shù)優(yōu)的值為4.

故答案為：4

13.107tV10+—

2

【分析】

第一空作出輔助線，證明三三垂直，將三棱錐放入長(zhǎng)方體中求解外接球半徑即可，第二空利

用體積相等求出內(nèi)切球半徑，再求比值即可.

【詳解】如圖，ZAPB=ZBPC=NCPA,5.PB=PC=y/2PA=2,故=

可得三△B4C,則AC=AB,取3c中點(diǎn)￡）,連接A￡）,PO,

則AOLBCPDLBC,又ADIPD=D,ARPOu面公叱，可得面ADP

又PAu面TWP,則3cl7U,又E,歹分別是尸C,AC的中點(diǎn)，連接EF,則〃所

由題意得/BEF=90，故跖1.3￡,PA±BE,又2臼BC=B,

BE,BCu面BEC,故m_1_面8￡。，又PALBP,則ZAP3=90,

可得ZAPB=/BPC=ZCPA=90,則PA,BP,PC兩兩垂直，

故以PABP,尸C作長(zhǎng)方體，如圖所示，

則該長(zhǎng)方體外接球即為所求三棱錐P-ABC的外接球，連接PM,

其中點(diǎn)。為所求外接球的球心，設(shè)其半徑為R,

可得（2尺）2=22+22+（立）2,故4代=10,解得R=巫，而5=4兀叱=10兀，

2

設(shè)該三棱錐內(nèi)切球半徑為「，球心為。一連接。氏。［4。。,。尸,，

答案第6頁，共13頁

則^P-ABC=-ABC+Vo「PAC+%-PBC+V0]_PAB，

可得gxPAxSPBc^^rxSABC+^xrxSPAB+|xrxSPAC+^rxSPBC,

(

故PAxSPBC=sABC+SPA5+SPAC+sPBC)「，

而A8=萬+（揚(yáng)2=底,CB=V22+22=272，AC=萬+（何=#,

易知。1是CB的中點(diǎn)，由CB=AB,得C8，A01,故得Bq=g8C=0,

而由勾股定理得AOI=2,貝|/詆=3'2*2夜=2&,

故可將PAXSPBC=(SABC+sPAB+SPAC+SPBC)「一式化為

—x2x2x,\/2—H—x2xH—x2x5/2H—x2x2)r,

2222

Vw

解得r=￥—,而半徑比為'=T^=M+恪，

272+1r,22

2V2+1

故答案為：1加；加+好

2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查內(nèi)切球和外接球的半徑問題，解題關(guān)鍵是構(gòu)造出長(zhǎng)方體，將

三棱錐放入其中，然后求出外接球半徑，得到面積，進(jìn)而由體積關(guān)系轉(zhuǎn)化得到所要求的內(nèi)切

球半徑，再求比值即可.

95

-<-<-

4.4-2

【分析】

根據(jù)給定條件，利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)/（X）,再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即得.

【詳解】依題意，函數(shù)/(元)=2sin3無+攵一1,由/(x)=o,得sin(s+g)=g,

貝!Ja>x+—=2foi+—sj(,tyx+—=2kK+—,keZ,

3636

由xe[0,2?t],(yx+-|e[j,27t?+-|],由廣。)在[0,2兀]上恰有5個(gè)零點(diǎn),

/口29KJC兀37K5/日9,35

得-----<2TICD+—<——,解得一一,

636412

由一屋。尤+gq,得一當(dāng)《尤即函數(shù)了⑺在上咨芻上單調(diào)遞增，

2326696G6co6。

,-j-i?r兀兀i5兀71口口57171j-.7T71左刀/日八,5

因此［r一777］之［r一二，?。荩匆欢匆?，且尸＞77，解得0＜口＜不，

4156a）6a）6co46a）152

答案第7頁，共13頁

所以正實(shí)數(shù)外的取值范圍為9:《外工5匕

42

95

故答案為：—<co<—

42

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求函數(shù)y=Asin(@x+協(xié)(A>0⑷>0)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，可把看成

一個(gè)整體，由5+2也48+。44+2版(左eZ)求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，由

+++(左eZ)求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.

15.⑴”g

3

⑵q-萬

【分析】

(1)根據(jù)斜率關(guān)系，即可求導(dǎo)求解，

(2)求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可求解函數(shù)的最值求解.

【詳解】(1)由于x+2y+l=0的斜率為-；，所以/(2)=2,

291

又1⑴=2.+1—,故-⑵=4Q+1；=2,解得〃=彳，

x22

(2)由(1)知。=(，所以尸⑺=x+l-2=.+A2=(X+2)(XT),

故當(dāng)x>l時(shí)，_f(x)>0J(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)0<x<l時(shí)，/(x)<0,〃x)單調(diào)遞減，

故當(dāng)x=l時(shí)，取最小值〃l)=g+l+6,

13

要使恒成立，^/(1)=-+1+&>0,解得

3

故6的取值范圍為62-彳

"16.屈(1)證明見解析；

【分析】

(1)根據(jù)給定條件，借助余弦定理及勾股定理的逆定理證得再利用線面垂直的

答案第8頁，共13頁

判定、性質(zhì)推理即得.

（2）由（1）的信息以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用面面角的向量求法求解即可.

【詳解】（1）

在三棱柱ABC-A與G中，ABLAC,AB=y/3AC^3,則ZAC3=60°,0A==班，

由AB=3,AD=2OB,得￡）3=1,在，D3O中，ZDBO=30°,DB=1,OB=^,

由余弦定理。。？=『+（石＞-2xlx石xcos30°=1,得?！辏?1,QA2+OD1=4=AD2,

于是AO_LOZ）,由4。，平面ABC,。。u平面ABC,得AQ_L。。，

而4。4。=0,40,4。匚平面4。4，因此ODL平面4。4，又A41U平面AOA，

所以441。，

(2)

由（1）知，OA,。。,OA兩兩垂直，以。為原點(diǎn)，直線分別為％%z軸建立空間

直角坐標(biāo)系。-呼z,

由A4,=AO=,得4。=3,

于是剛=（乎,-1,3）,明=（乎，-1,0）,設(shè)機(jī)=（x,y,z）為平面ABA的一個(gè)法向量,

-x--y+3z=0

22

則＜取x=6，得根=（出,3,1）顯然n=（0,1,0）為平面A的一個(gè)法向

3右3.

---x——y=0

I22)

量,

因此cos〈私〃〉==今=呼，顯然二面角B-AA,-0的大小為銳角,

\m\\n\y/1313

所以二面角B-AA.-O的余弦值為士叵.

13

答案第9頁，共13頁

7

17.⑴后

(2)|;

⑶分布列見解析，學(xué)

O1

【分析】

(I)把得分之和大于100分的事件分拆，再利用相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率公式計(jì)算

即得.

(2)甲獲得15分的事件是甲搶到答正確與乙搶到答錯(cuò)的事件和，再列式求出概率.

(3)求出X的可能值及各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列并求出數(shù)學(xué)期望.

【詳解】(1)

兩人得分之和大于1。。分可分為甲得40分、乙得70分，甲得70分、乙得40分，甲得70

分、乙得70分三種情況，

所以得分大于100分的概率P=1121+4111+4121=白7.

53325332533245

(2)

搶答環(huán)節(jié)任意一題甲得15分的概率p=：x：+；x；=；.

(3)

X的可能取值為2,3,4,5,

由搶答任意一題甲得15分的概率為21,得搶答任意一題乙得15分的概率為2:，

111714

尸(X=2)=(―/=—,尸(X=3)=C；x—x—x—=一,

39233327

尸(X=4)=C0■+守嗡

33

P(X=5)=Cix|x(|)xl+C：x(|)x|x|=j1,

所以X的分布列為：

X2345

]_42832

P

9278181

數(shù)學(xué)期望E(X)=2x^+3xH+4x型+5、衛(wèi)=當(dāng).

927818181

答案第10頁，共13頁

4

18.(1)證明見解析，-不

3125

⑵

81

【分析】

(1)由已知求出雙曲線C,設(shè)出直線/的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合斜率

坐標(biāo)公式計(jì)算即得.

(2)設(shè)出直線AP的方程，求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再建立面積積的函數(shù)關(guān)系，借助基本不

等式求出最大值即得.

【詳解】(1)

令雙曲線半焦距為c,依題意，a=2；=后,

a

由c2=々2+〃2,解得b=4,

22

則雙曲線C的方程為寧-%=1,顯然直線/不垂直于y軸，設(shè)直線/的方程為X=〃沙+3,

R_￡4m2-1w0

由<416=1消去工得，(4m2-l)y2+24my+20=0,

A=256m2+80>0

x=my+3

設(shè)P(M，%)，。(々，％)，則M+%=,%%=?2;,

4m-14m-1

直線AP,AQ的斜率分別為kAP,kAQ,

20

所以左k一％為一_____________________=__________4/一1_________=_i

APAQ224m

%]+2X2+2加2%%+5皿%+%)+25m.一^—+5m-~+25

4m2-