陜西省榆林市2023-2024學(xué)年高三第一次模擬檢測數(shù)學(xué)（理科）試題含答案

榆林市2023-2024年度高三第一次模擬檢測

數(shù)學(xué)試題（理科）

考生注意：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，共150分。考試時間120分鐘。

2.請將各題答案填寫在答題卡上。

第I卷

一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.設(shè)z=（2+2i）i+F,貝尺

A.—2+iB.—2—i

C.-1-2iD.-l+2i

2.設(shè)集合A={—4,—2,0,2,4}1={川72—4］一5>0},則4口8=

A.{0,2,4}B.{-4,-2,0}

C.{-4,4}D.{-4,-2}

22

3.已知直線尸痕r是雙曲線》一方=l（a>0">0）的一條漸近線，則該雙曲線的離心率為

A.咚B.氐

□

C.76

4.在等比數(shù)列儲"}中，田+〃2=1，〃2+&3=2,則恁=

A.苧C.16D.8

OO

5.某圓錐的側(cè)面積為16工,其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為

A.2B.4

C.272D.4V2

6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的S=

A.18

B.22

C.25

D里

,5

7.已知a=logo.0.7,6=log2,c=4-,1)1!]

55乙

A.a<b<ZcB.c<Zb<Za

C.a<c〈bD.b<c〈a

8.已知y=/(z+l)+l為奇函數(shù)，則/(-2)+/(-1)+/(0)+/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=

A.-14B.14C.-7D.7

9.如圖，設(shè)拋物線/=的焦點為F,不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點A,8,C,其中點

4,8在該拋物線上,點。在》軸上,若|以|=7,|尸8|=5,則讖_=

D.3

10.下圖是由兩個邊長不相等的正方形構(gòu)成的，在整個圖形中隨機取一點，此點取自△ADC,

△AFC,Z\BEF的概率分別記為p、，Pz，力3,則

11.已知H是球O的直徑AB上一點,AH：HB=1：2,AB_L平面a,H為垂足,a截球。所得

截面的面積為為a上的一點，且，過點M作球O的截面，則所得的截面面積

最小的圓的半徑為

A.亨B呼

JC4D2

12.已知函數(shù)/(幻=產(chǎn)-1在［0,+8)上單調(diào)遞增，則以的取值范圍是

A.［0,+8)B,(1,+oo)C(e,+8)D.［2e,+8)

第n卷

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上?

13.已知向量明。滿足①|(zhì)=1,8=(—1,2),0?b=l,則|a+b|=▲.

—y—440,

14.若74滿足約束條件<z+v+420,則目標(biāo)函數(shù)2=7—3?的最大值為▲.

、y-240,

15.已知函數(shù)/(J?)=2sin(4j-+y-).若存在ZiG［。奇］，使不等式/(?)V?”</但)成立,

則機的取值范圍是▲.

16.某網(wǎng)店統(tǒng)計了A商品近30天的日銷售量，日銷售量依次構(gòu)成數(shù)列｛即｝，已知田=20,且

a”+i—a“=1+(—1)"(〃￡N+),則A商品近30天的總銷量為▲.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個

試題考生都必須作答.第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：共60分.

17.(12分)

在三棱錐A-BCD中,AB=AD,BC=CD.

(1)證明：入。_1_8。.

(2)若AB=BC=BD,平面ABD_L平面BCD,求直線AB與平面ACD所成角的正弦值.

18.(12分)

△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為已知AABC的周長為6,屈?前=如)%

(1)求a的值；

(2)求A的最大值.

19.(12分)

某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識,舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽,從所有答卷中隨

機抽取100份作為樣本，將100個樣本數(shù)據(jù)按[30,40),本0,50),[50,60),[60,70),[70,

80),[80,901分成6組,并整理得到如下頻率分布直方圖.

(1)請通過頻率分布直方圖估計這100份樣本數(shù)據(jù)的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的

中點值作代表).

(2)以樣本頻率估計概率，若競賽成績不低于60分，則被認(rèn)定為成績合格，低于60分說明成

績不合格.從參加知識競賽的市民中隨機抽取5人，用X表示成績合格的人數(shù)，求X的

分布列及數(shù)學(xué)期望.

20.(12分)

已知橢圓。昌+￡=1(。＞。＞0)經(jīng)過A(0,l),P(3一彥)兩點.

ab5o

(1)求C的方程；

(2)斜率不為0的直線I與橢圓C交于M,N兩點，且點A不在/上,AM,AN,過點P作y

軸的垂線,交直線7=-1于點S,與橢圓C的另一個交點為T,記△SMN的面積為Si,

△TMN的面積為Sz，求知

21.(12分)

已知函數(shù)f(x)^x~x3.

(1)求戶3的極值；

(2)已知aG(0,。),?〃/(sina)+??/(cosa)=tan?，證明

ZoZ

(二)選考題:共10分.請考生在第22.23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.

22.［選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

~j~COSCt

,''(a為參數(shù)),

)=sina

Lr-2+V5cosB，簞為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點,憶軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

〔)=1+用sin0

(1)求曲線G和。2的極坐標(biāo)方程；

(2)已知直線/：?=既必＞0),且/與曲線G相交于O,A兩點，與曲線C2相交于O，B兩

點，則當(dāng)IA引取得最大值時，求k的值.

23.［選修4—5：不等式選講［(10分)

已知函數(shù)f(z)=|3z—2|+|2z+l|.

(1)求不等式/Cr)＞9的解集；

(2)若存在zGR,使得/(］)＜〃?成立,求實數(shù)m的取值范圍.

榆林市2023-2024年度高三第一次模擬檢測

數(shù)學(xué)試題參考答案(理科)

1.Bz=(2+2i)i+F=2i—2—i——2+i,所以之=-2—i.

2.D依題意得6={]|12—4k一5>0}={]反<—1或I>5},則AAB={—4,—2}.

3.D由題意可知告=西，所以e=q=J>?=

bay/a5

4.A設(shè)等比數(shù)列{七}的公比為q4產(chǎn)，=W”=q=2,即q=2,

Q1十。2Qi十Q2

由<21+<12=1，可得3al=1,即=W，所以6Zs=<21Q4=可.

5.D設(shè)圓錐的母線長為/,底面半徑為小即側(cè)面展開圖的半徑為/，側(cè)面展開圖的弧長為KZ.

又圓錐的底面周長為2口,所以2仃=近，即圓錐的母線長l=2r.所以圓錐的側(cè)面積為Ql=

2兀，=16心解得r=272,/=4V2.

6.C執(zhí)行該程序框圖,S=12M=2#<4成立,S=18#=3#&4成立,S=22#=4#04成

立,S=25#=5,不滿足%W4,輸出的S=25.

7.D因為2a=logo,50.49>log0,50.5=1,所以a>^■，因為26=log54Vl，所以故b<c

<Ca.

8.C因為，=/(z+1)+1為奇函數(shù)，所以/(①+1)+1=—"(一了+1)+1]，即/(—7+1)+

y(z+l)=—2,所以f(-2)+f(4)=f(-l)+f(3)=f(0)+f(2)=-2,/(l)=-l,

所以/(—2)+/(—l)+/(0)+/(l)+/(2)+/(3)+/(4)=—7.

9.D由|FA|=7,|EB|=-^，可得RA+1=7,JCB+1-，即2A=6,R口=歹，

6—3

所以韶=1=r=3.

2

Z72A2

10.A設(shè)AB=a,BE=6,“<6,從而>S/\BEF=],因為AC//_BF,所以S/\AFC~S^ABC

2

=與，根據(jù)面積型幾何概型的概率公式，可以得到e=。2,故選A.

11.C如圖，設(shè)截得的截面圓的半徑為廠,球。的半徑為R,因為AH：HB=

1：2,所以。H=《R由勾股定理，得R2=/+OH2,由題意得』=2=

1,所以RZ=I+(：R)2,解得

此時過點M作球。的截面，若要所得的截面面積最小，只需所求截面圓的

半徑最小.設(shè)球心。到所求截面的距離為d,所求截面的半徑為，，則/=

VR2~d2,

所以只需球心。到所求截面的距離d最大即可，而當(dāng)且僅當(dāng)0M與所求截面垂直時,球心。

到所求截面的距離d最大，即目3X=OM=J(：R)2+MH2=1，所以=

714

4.

12.B當(dāng)“W0時，函數(shù)/(X)=鏟一F在［0,+8)上單調(diào)遞減，不符合題意，所以。〉0,由題可

知//(j：)=(2eaz—恒成立，即Qy\et令g(久)=返，［0,+8),則g'(i)=(%+

所以g(x)在［0,+oo)上單調(diào)遞增，由aem'e",可得"1產(chǎn)6r,即g(ai))g(z),

所以Q￡>1>0,所以Q>1,當(dāng)Q=1時"(久)=0,不符合題意，故a的取值范圍是(1,+8).

13.272\a+b\—y(a+fe)2—v/a2+2a?b+b2=y1+2+5=272.

14.12畫出可行域(圖略)知，當(dāng)/：之=］一平移到過點(0,—4)時，之取得最大值,最大值

為12.

15.(―V3,2)當(dāng)時?(牛，則一942sin(4x+~^)W2,所以一乃WF(了)

12,因此fCz)在［0,￡］上的值域為［—偌,2］若存在ii,￡2G［0,于］，使不等式/UXm

</（Z2）成立，則/（GminVaV/XGmax，所以利的取值范圍是（一3，2）.

16.1020當(dāng)n=2k—1時,“26=42%-1，當(dāng)n=2k時,〃2%+i=a2k+2,所以。2歸+i=&2歸一1+2,所以即

+。2+。3+，-+。29+。30=2（Qi+。3+。5+?,?+。29）=2義（15義20+義2）=1020.

17.(1)證明：取BD的中點O,連接OA,OC.

因為AB=AD,BC=CD,所以O(shè)A_LBD,OC_LBD,.........................................................2分

又因為QA,OCU平面QAC,OAnOC=O,....................................3分丫

所以BD,平面OAC.......................................................................4分4

因為ACU平面OAC,所以AC±BD..............................................5分/

(2)解：因為平面ABD_L平面BCD,且平面ABDQ平面BCD=BD,/\\

。4上口0,所以。4,平面口?？?.........................6分/)

以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別以O(shè)C,OD,OA所在直線為軸建立如圖

所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BD=2,則D(0,l,0),B(0,—l,0),C(偌，

0,0),A(0,0,y3)，A§=(0,-l,-V3),A5=(0.1,-V3),D?=(V3,-1,0)............8分

設(shè)平面ACD的法向量為〃=(乃，2，之1),

則1―取之1=1,則丁1=偌,l1=1,所以〃=(1,痣，1),.................10分

In?。。=遮力1—j/i=0,

/15

cos<Aj§,n>=—-

2X^/5"I

所以直線AB與平面ACD所成角的正弦值為空.............................12分

18.解：（1■J^=c6cosA=，2+；—優(yōu)=3/j26c,.............................2分

即(6+c)2=4a2.............................................................3分

因為AABC的周長為6,所以(6—a)2=4Y,...................................5分

解得。=2...................................................................6分

(2)由(1)可知6+c=4.......................................................7分

,c2+62~a2(6+c)2—26c~a26、6,1、吐n,r、“，.心口

COSA=Ibc=---------2bc------=瓦-正式—1=7,當(dāng)且僅當(dāng)6='時nJ'等3

成立.....................................................................10分

故當(dāng)6=c=2時,A取得最大值多...........................................12分

19.解：(1)100份樣本數(shù)據(jù)的平均值為

1=(35X0.005+45X0.010+55X0.010+65X0.020+75X0.032+85X0,023)X10=

68.3......................................................................4分

Q

⑵競賽成績不低于60分的頻率為(0.020+0.032+0.023)X10=0.75=j,.....5分

低于60分的頻率為(0.005+0.010+0.010)X10=0.25=；.....................6分

X的所有可能取值為0,l,2,3,4,5,則X?B(5,1■),............................7分

P(X=0)=Y)」占

F(x=i)=qx|x(|r=1^4，

P(X=2)=Q(?X(,=髭4I

P(X=3)=CK>XG)』怨4f|

P(X=4)=Y7=瑞，

P(X=5)=X)5=總，

所以X的分布列為

X012345

11545135405243

P

1024102451251210241024

10分

期望EX=皆...............................................................12分

件=1,

20.解：（1）因為橢圓C過點A和點P,所以J64,9........................2分

［國+筋一，

=4,

解得＜2I.................................................................................................................................3分

S=1,

72

則橢圓C的方程為亍+*=1................................................................................................4分

（2）當(dāng)直線l±x軸時,AJWAN為鈍角三角形，且NMAN＜90°,不滿足題意.

設(shè)辦）,N（%25），由AM_LAN,可得AM?AN=O,

所以AM?乃，2一1）?（12,丁2-l）=/iX2+（;yi—1）（竺—1）=0,.....................5分

所以直線I的斜率存在.設(shè)直線I的方程為）=嬴+機，

fykcC-I_772c

由《。?；g得（1+442）/+84^1+47722—4=0,

112+43/2=4,

△〉0064公m2-4（1+4公）（4根2—4）〉0。兀2＜1+4公.

_一8km_4以2-4

久1+12一訐正'處涇—]+4公'.............................................6分

所以AM?AN=R1X2+/11力2+上(a—1)(11+力2)+(m—I)2

(1+后2)(4/-4)_8似m(m-1)?(m-1).(1+4/)_

1+4P1+4P1+4PU

則(1+上2)(47n2—4)—Sk2mQm—1)+(m—I)2(1+4^2)—0,.............................................7分

整理得（加一1）（5機+3）=0,因為aWl,所以a=一~百,..........................8分

所以直線/的方程為尸技一看,恒過點Q（。，一亮）.............................9分

由題意可知S（—1,—^）,T（—1-,—..........................................................................1。分

設(shè)點S到直線/的距離為出，點T到直線/的距離為d2,

|SQ|_5令

.,~d2-\TQ\-3-.....................................................................................立分

21.（1）解：/'（久）=1—3/，令/'（①）=0,可得了=土率.............................1分

令/（7）〉0,可得-*＜了＜?,.............................................2分

所以/（7）在（一耳，?）上單調(diào)遞增，在（一8,一#）和（亨，+8）上單調(diào)遞減......3分

所以/（7）的極大值為/（吁）=苧"（了）的極小值為“一吁）=-..........5分

（2）證明：由mf（sina）+"/（cosa）=tan/,可得mcos2asina+72sin2acosa=?,

所以mcosa+ksina=-----........................................................................................7分

3nsmQCOSa

由對稱性,不妨設(shè)aS(。，｝］，則acosa+zzsina=---&(加+%)cosQ,當(dāng)且僅當(dāng)sina

4oQsmQCOSa

cosa時,等號成立,8分

所以zn+zz2^------T=^~.------.............................................9分

3smacosa3（sm?-sina）

由（1）可知在（0,孝）上的最大值為戶?）=T，..........................10分

所以0<sina—si/aW爺，3（sin￡sin3a）2/，當(dāng)且僅當(dāng)sinQ=與時，等號成立，

因為等號不能同時取到,所以加+"〉?......................................12分

,?(1=1+COSQ,,

22.解：(1)由得包一1)N2+*=1,即二+系―2力=o,...................1分

ly=sina,

將x=pcos仇v=°sin9代入上式，得p=2cos/.............