2022-2023學年江西省南昌市高一下學期期末調(diào)研檢測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE2江西省南昌市2022-2023學年高一下學期期末調(diào)研檢測數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數(shù)z滿（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以.故選：B.2.已知量，，若，則（）A. B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗若，則，解得.故選：C.3.若表示三個不同的平面，l表示直線，則下列條件能推出的是（）A.， B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由圖可知，面，面，面與面不平行，選項A錯誤；面，面，面與面不平行，選項B錯誤；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知，選項C正確；面面，面面，面與面不平行，選項D錯誤.故選：C.4.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，則.故選：B.5.設時刻，時針和分針所夾的角為，則（）A.0 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為時針每12小時轉(zhuǎn)動，所以每小時轉(zhuǎn)，即鐘表的一大格的夾角是，而時刻，時針和分針相差2.5個大格，所以時刻，時針和分針所夾的角的度數(shù)是，則.故選：C.6.一個封閉的玻璃圓錐容器AO內(nèi)裝水若干如圖a所示，此時水面與AO形交于點B，將其倒置后如圖b所示，水面與AO還是相交于點B，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可得圓錐的體積等于水的體積的倍，設圓錐的底面圓的半徑為，圖中，水面圓的半徑為，設，則，則，所以，解得，即.故選：A.7.某景區(qū)準備在兩座山峰的山頂之間建設索道，要預先測量這兩個山頂之間的距離.設兩座山峰的山頂分別為，它們對應的山腳位置分別為，在山腳附近的一塊平地上找到一點，（所在的平面與山體垂直），使得是以為斜邊的等腰直角三角形，現(xiàn)從處測得到兩點的仰角分和，若到的距離為1千米，則兩個峰頂?shù)闹本€距離為（）A.千米 B.千米 C.千米 D.千米〖答案〗A〖解析〗在等腰直角中，，在中，，則，在中，，則，如圖，線段上取點，使得，因為，所以四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形為矩形，則，所以，即兩個峰頂?shù)闹本€距離為千米.故選：A.8.公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派在研究正五邊形和正十邊形的作圖時，發(fā)現(xiàn)了黃金分割比的為0.618，這一數(shù)值恰好等于，則（）A. B. C. D.1〖答案〗D〖解析〗因為，所以.故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知復數(shù)（為虛數(shù)單位），則下列說法中正確的有（）A.z的虛部為 B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗對于A，因為，所以z的虛部為，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，因為一個復數(shù)的輻角有無數(shù)多個，故錯誤，故C錯誤；對于D，因為，所以，故D正確.故選：BD.10.如圖，在平面直角坐標系中，圓O與x軸的正半軸相交于點，過點，作x軸的平行線與圓O相交于不同的B，C兩點，且B點在C點左側(cè)，設，，下列說法正確的是（）A若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗AB〖解析〗由題意可知，若，則，則，故A，B正確；若，則，故C錯誤；若，則，所以，故D錯誤.故選：AB.11.函數(shù)的部分圖象如圖所示，將的圖象向左平移個單位，再將橫坐標擴大為原來的2倍得到的圖象，則下列說法正確的有（）A. B.C. D.是的一個對稱中心〖答案〗ACD〖解析〗由圖可知函數(shù)得周期，所以，故A正確；則，又，所以，所以，則，又，所以，故B錯誤；則，將的圖象向左平移個單位，得，再將橫坐標擴大為原來的2倍得，，則，故C正確；因為，所以是的一個對稱中心，故D正確.故選：ACD.12.由兩個全等的正四棱臺組合而得到的幾何體1如圖1，沿著和分別作上底面的垂面，垂面經(jīng)過棱的中點，則兩個垂面之間的幾何體2如圖2所示，若，則（）A. B.C.平面 D.幾何體2的表面積為〖答案〗ABC〖解析〗將幾何體1與幾何體2合并在一起，連接，記，易得，對于A，因為在正四棱臺中，，是的中點，所以，又是的中點，，所以，則，，又，所以，所以四邊形是平行四邊形，則，同理：，所以四形邊是邊長為菱形，在邊長為的正方形中，，因為是的中點，所以，，所以，故A正確；對于B，因為在正四棱臺中，面面，又面面，面面，所以，又，所以，故B正確；對于C，在四邊形中，由比例易得，由對稱性可知，而，所以，則，即，而由選項B同理可證，所以，因為在正方形中，，而，所以，因為面，所以面，對于D，由選項A易知四邊形是邊長為的正方形，上下底面也是邊長為的正方形，四邊形是邊長為的菱形，其高為，所以幾何體2是由4個邊長為2正方形和8個上述菱形組合而成，所以其表面積為，故D錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，，則在方向上的投影數(shù)量是__________.〖答案〗〖解析〗因為，，所以，，所以，則在方向上的投影數(shù)量是.故〖答案〗為：.14.請寫出復數(shù)的一個平方根___________（只需寫出其中一個）.〖答案〗（或，〖答案〗不唯一）〖解析〗依題意，設復數(shù)的平方根為，則，所以，解得或，所以復數(shù)的平方根為或.故〖答案〗為：（或，〖答案〗不唯一）.15.在長方體中，，，則異面直線，所成的角的余弦值為___________.〖答案〗〖解析〗如圖，連接，因為且，所以四邊形為平行四邊形，所以，則或其補角即為異面直線，所成角的平面角，在中，，由余弦定理得，即異面直線，所成的角的余弦值為.

故〖答案〗為：.16.中，，延長至，使得，則的最大值為________.〖答案〗〖解析〗設，則，因為，所以，又，所以，由，得，在中，由正弦定理，得，在中，由正弦定理，得，則，由，得，則當時，取得最大值，為.故〖答案〗為：.四、解答題：共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知復數(shù)，.（1）求；（2）若，且，求，y值.解：（1）由題意可得：.（2）因為，即，可得，解得，所以.18.化簡求值.（1）；（2）.解：（1）由題意可得：（2）因為，整理得，所以.19.如圖，三棱錐中，平面為的中點，，.（1）求證：平面平面；（2）求三棱錐的體積.解：（1）因為為的中點，，所以，因為平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，因為平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）因為，所以三棱錐的高為，，故.20.如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為CD，BC的中點，BE與AC，AF分別相交于M，N兩點.（1）若，求λ；（2）若，求.解：（1）以為基底向量，則，因為，所以，又因為∥，則存在唯一實數(shù)，使得，即，可得，解得，所以實數(shù)的值為.（2）由（1）可得，因為∥，則，可得，由題意可得：，則，所以.21.古語云：“積善之家，必有余興”.扇是扇風的，有“風生水起”走好運之意，“扇”與“善”字諧音，佩戴扇形玉佩，有行善積德之意.一支考古隊在對某古墓進行科考的過程中，發(fā)現(xiàn)一枚扇形玉佩，但因為地質(zhì)原因，此扇形玉佩已經(jīng)碎成若干塊，其中一塊玉佩碎片如圖1所示，通過測量得到數(shù)據(jù)，，AB=2.（圖1中破碎邊緣呈鋸齒形狀）（1）求這個扇形玉佩半徑；（2）現(xiàn)又找到一塊比較規(guī)則的三角形碎片，如圖2所示，其三邊長分別為，，1，且該三角形碎片有兩邊是原扇形邊界的一部分，請復原該扇形玉佩的具體參數(shù)（圓心角.弧長、面積）.解：（1）如圖，設扇形的圓心為，連接，在中，由余弦定理可得：，因為，可得，在中，因為，則，即，可得，所以這個扇形玉佩的半徑為.（2）設扇形的圓心角為，因為，可得，所以扇形的圓心角為，弧長為，面積為.22.小波到一個廣告公司去應聘包裝設計師職位，考官給大家出了一道題目：某禮品廠生產(chǎn)一種棱長為a的正四面體形狀的禮品（如圖）.請你為它設計一個包裝盒，形狀隨意，可提出不同方案供考官選擇（不考慮包裝盒材料的質(zhì)量、厚度、重量及接縫處損耗）（1）小波給出了長方體和圓柱兩個設計方案（如圖），請分別計算這兩個包裝盒的表面積；（2）考慮到禮品各面易碎，禮品較大，包裝盒體積不能太大，但禮品各面與包裝盒表面之間需要有填充物，請你幫小波設計一個方案.（需要面圖表示，并配以簡單說明理由）解：（1）如圖，對于正四面體，過頂點作底面的垂線，垂足為，延長交于點，可知平面，點為的中點，為的中心，，由平面，則，可得：，對于長方體設計方案可知：長方體的長、寬、高分別為，所以其表面積；對于圓柱體設計方案可知：圓柱的底面半徑為，高為，所以其表面積.（2）由（1）可知：對于長方體設計方案，體積為；對于圓柱體設計方案可知，體積為；如圖，以正方體的設計方案，則正方體的棱長為，體積為，因為，，故體積較小，此時四面體在正方體內(nèi)不易晃動，且方便運輸和管理.江西省南昌市2022-2023學年高一下學期期末調(diào)研檢測數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數(shù)z滿（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以.故選：B.2.已知量，，若，則（）A. B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗若，則，解得.故選：C.3.若表示三個不同的平面，l表示直線，則下列條件能推出的是（）A.， B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由圖可知，面，面，面與面不平行，選項A錯誤；面，面，面與面不平行，選項B錯誤；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知，選項C正確；面面，面面，面與面不平行，選項D錯誤.故選：C.4.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，得，則.故選：B.5.設時刻，時針和分針所夾的角為，則（）A.0 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為時針每12小時轉(zhuǎn)動，所以每小時轉(zhuǎn)，即鐘表的一大格的夾角是，而時刻，時針和分針相差2.5個大格，所以時刻，時針和分針所夾的角的度數(shù)是，則.故選：C.6.一個封閉的玻璃圓錐容器AO內(nèi)裝水若干如圖a所示，此時水面與AO形交于點B，將其倒置后如圖b所示，水面與AO還是相交于點B，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可得圓錐的體積等于水的體積的倍，設圓錐的底面圓的半徑為，圖中，水面圓的半徑為，設，則，則，所以，解得，即.故選：A.7.某景區(qū)準備在兩座山峰的山頂之間建設索道，要預先測量這兩個山頂之間的距離.設兩座山峰的山頂分別為，它們對應的山腳位置分別為，在山腳附近的一塊平地上找到一點，（所在的平面與山體垂直），使得是以為斜邊的等腰直角三角形，現(xiàn)從處測得到兩點的仰角分和，若到的距離為1千米，則兩個峰頂?shù)闹本€距離為（）A.千米 B.千米 C.千米 D.千米〖答案〗A〖解析〗在等腰直角中，，在中，，則，在中，，則，如圖，線段上取點，使得，因為，所以四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形為矩形，則，所以，即兩個峰頂?shù)闹本€距離為千米.故選：A.8.公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派在研究正五邊形和正十邊形的作圖時，發(fā)現(xiàn)了黃金分割比的為0.618，這一數(shù)值恰好等于，則（）A. B. C. D.1〖答案〗D〖解析〗因為，所以.故選：D.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知復數(shù)（為虛數(shù)單位），則下列說法中正確的有（）A.z的虛部為 B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗對于A，因為，所以z的虛部為，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，因為一個復數(shù)的輻角有無數(shù)多個，故錯誤，故C錯誤；對于D，因為，所以，故D正確.故選：BD.10.如圖，在平面直角坐標系中，圓O與x軸的正半軸相交于點，過點，作x軸的平行線與圓O相交于不同的B，C兩點，且B點在C點左側(cè)，設，，下列說法正確的是（）A若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則〖答案〗AB〖解析〗由題意可知，若，則，則，故A，B正確；若，則，故C錯誤；若，則，所以，故D錯誤.故選：AB.11.函數(shù)的部分圖象如圖所示，將的圖象向左平移個單位，再將橫坐標擴大為原來的2倍得到的圖象，則下列說法正確的有（）A. B.C. D.是的一個對稱中心〖答案〗ACD〖解析〗由圖可知函數(shù)得周期，所以，故A正確；則，又，所以，所以，則，又，所以，故B錯誤；則，將的圖象向左平移個單位，得，再將橫坐標擴大為原來的2倍得，，則，故C正確；因為，所以是的一個對稱中心，故D正確.故選：ACD.12.由兩個全等的正四棱臺組合而得到的幾何體1如圖1，沿著和分別作上底面的垂面，垂面經(jīng)過棱的中點，則兩個垂面之間的幾何體2如圖2所示，若，則（）A. B.C.平面 D.幾何體2的表面積為〖答案〗ABC〖解析〗將幾何體1與幾何體2合并在一起，連接，記，易得，對于A，因為在正四棱臺中，，是的中點，所以，又是的中點，，所以，則，，又，所以，所以四邊形是平行四邊形，則，同理：，所以四形邊是邊長為菱形，在邊長為的正方形中，，因為是的中點，所以，，所以，故A正確；對于B，因為在正四棱臺中，面面，又面面，面面，所以，又，所以，故B正確；對于C，在四邊形中，由比例易得，由對稱性可知，而，所以，則，即，而由選項B同理可證，所以，因為在正方形中，，而，所以，因為面，所以面，對于D，由選項A易知四邊形是邊長為的正方形，上下底面也是邊長為的正方形，四邊形是邊長為的菱形，其高為，所以幾何體2是由4個邊長為2正方形和8個上述菱形組合而成，所以其表面積為，故D錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，，則在方向上的投影數(shù)量是__________.〖答案〗〖解析〗因為，，所以，，所以，則在方向上的投影數(shù)量是.故〖答案〗為：.14.請寫出復數(shù)的一個平方根___________（只需寫出其中一個）.〖答案〗（或，〖答案〗不唯一）〖解析〗依題意，設復數(shù)的平方根為，則，所以，解得或，所以復數(shù)的平方根為或.故〖答案〗為：（或，〖答案〗不唯一）.15.在長方體中，，，則異面直線，所成的角的余弦值為___________.〖答案〗〖解析〗如圖，連接，因為且，所以四邊形為平行四邊形，所以，則或其補角即為異面直線，所成角的平面角，在中，，由余弦定理得，即異面直線，所成的角的余弦值為.

故〖答案〗為：.16.中，，延長至，使得，則的最大值為________.〖答案〗〖解析〗設，則，因為，所以，又，所以，由，得，在中，由正弦定理，得，在中，由正弦定理，得，則，由，得，則當時，取得最大值，為.故〖答案〗為：.四、解答題：共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知復數(shù)，.（1）求；（2）若，且，求，y值.解：（1）由題意可得：.（2）因為，即，可得，解得，所以.18.化簡求值.（1）；（2）.解：（1）由題意可得：（2）因為，整理得，所以.19.如圖，三棱錐中，平面為的中點，，.（1）求證：平面平面；（2）求三棱錐的體積.解：（1）因為為的中點，，所以，因為平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，因為平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）因為，所以三棱錐的高為，，故.20.如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為CD，BC的中點，BE與AC，AF分別相交于M，N兩點.（1）若，求λ；（2）若，求.解：（1）以為基底向量，則，因為，所以，又因為∥，則存在唯一實數(shù)，使得，即，可得，解得，所以實數(shù)的值為.（2）由（1）可得，因為∥，則，可得，由題意可得：，則，所以.21.古語云：“積善之家，必有余興”.扇是扇風的，有“風生水起”走好運之意，“扇”與“善”字諧音，佩戴扇形玉佩，有行善積德之