基于學(xué)習(xí)路徑分析的“多邊形的面積”單元整體教學(xué)

【摘

要】“多邊形的面積”是小學(xué)階段“圖形與幾何”領(lǐng)域的重要內(nèi)容之一，其本質(zhì)是把未知圖形的面積通過(guò)割補(bǔ)、倍拼、分割等方法轉(zhuǎn)化為已知圖形的面積。教師基于學(xué)習(xí)路徑的分析，對(duì)“多邊形的面積”單元進(jìn)行了整體教學(xué)思考，確定本單元的核心目標(biāo)是用轉(zhuǎn)化思想探索多邊形面積的計(jì)算方法，并從意識(shí)、方法與策略等角度確定轉(zhuǎn)化的內(nèi)涵與層次，以此重新設(shè)計(jì)單元教學(xué)路徑?！娟P(guān)鍵詞】學(xué)習(xí)路徑；單元整體教學(xué)；多邊形的面積；轉(zhuǎn)化思想“多邊形的面積”是小學(xué)階段“圖形與幾何”領(lǐng)域的重要內(nèi)容之一，包括平行四邊形的面積、三角形的面積、梯形的面積、組合圖形的面積和不規(guī)則圖形的面積以及解決問(wèn)題等學(xué)習(xí)內(nèi)容。一般而言，“多邊形的面積”單元是學(xué)生掌握了長(zhǎng)方形和正方形的面積計(jì)算、多邊形的認(rèn)識(shí)、圖形的平移與旋轉(zhuǎn)之后學(xué)習(xí)的內(nèi)容，也為后續(xù)學(xué)習(xí)立體圖形側(cè)面積、表面積和體積的計(jì)算以及圓面積計(jì)算等內(nèi)容奠定基礎(chǔ)。求多邊形的面積的本質(zhì)是把未知圖形的面積通過(guò)割補(bǔ)、倍拼、分割等方法轉(zhuǎn)化為已知圖形的面積。實(shí)際教學(xué)中，教師不僅要注重學(xué)生對(duì)多邊形的面積的推導(dǎo)過(guò)程，還要引導(dǎo)學(xué)生探究所研究的圖形與轉(zhuǎn)化后的圖形之間的聯(lián)系。此外，在“多邊形的面積”的教學(xué)中，教師還需要落實(shí)推理意識(shí)這一核心素養(yǎng)表現(xiàn)。推理意識(shí)主要是指“對(duì)邏輯推理過(guò)程及其意義的初步感悟”［1］，在“圖形與幾何”領(lǐng)域的具體表現(xiàn)是能夠用化歸的方法形成局部的演繹推理［2］。這里的化歸是指將所研究的的圖形轉(zhuǎn)化為已經(jīng)會(huì)計(jì)算面積的圖形來(lái)求面積。然而，轉(zhuǎn)化思想的形成并不是一蹴而就的，要真正學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化，學(xué)生需要經(jīng)歷不同的層次。在“多邊形的面積”的教學(xué)中，教師可以從意識(shí)、方法與策略等角度真正滲透轉(zhuǎn)化思想。為此，筆者基于學(xué)習(xí)路徑分析的研究框架［3］，對(duì)“多邊形的面積”單元進(jìn)行了整體教學(xué)的思考。一、理解單元學(xué)習(xí)目標(biāo)（一）單元內(nèi)容概述人教版教材五年級(jí)上冊(cè)“多邊形的面積”單元的教學(xué)目標(biāo)主要包括：（1）探索并掌握平行四邊形、三角形和梯形的面積公式；（2）會(huì)用面積公式計(jì)算平行四邊形、三角形和梯形的面積，并解決生活中一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；（3）認(rèn)識(shí)簡(jiǎn)單的組合圖形，會(huì)把組合圖形分解成已學(xué)過(guò)的平面圖形并計(jì)算出它的面積；（4）會(huì)用方格紙估計(jì)不規(guī)則圖形的面積。北師大版教材五年級(jí)上冊(cè)將相關(guān)內(nèi)容分為“多邊形的面積”和“組合圖形的面積”兩個(gè)單元進(jìn)行教學(xué)?！岸噙呅蔚拿娣e”單元的教學(xué)目標(biāo)主要包括：（1）體驗(yàn)數(shù)方格及割補(bǔ)法在圖形面積探究中的應(yīng)用；（2）認(rèn)識(shí)梯形、平行四邊形與三角形的高，會(huì)用三角尺畫(huà)這三種圖形的高；（3）理解并掌握平行四邊形、三角形和梯形的面積計(jì)算公式，會(huì)計(jì)算這三種圖形的面積。“組合圖形的面積”單元的教學(xué)目標(biāo)主要包括：（1）能正確計(jì)算簡(jiǎn)單的組合圖形的面積；（2）能估計(jì)不規(guī)則圖形面積的大??；（3）認(rèn)識(shí)面積單位公頃和平方千米，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的面積單位換算。對(duì)比發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)版本教材關(guān)于“多邊形的面積”的編排和教學(xué)目標(biāo)有所不同，但都提出了探索并掌握平行四邊形、三角形和梯形的面積公式，且能計(jì)算組合圖形和不規(guī)則圖形的面積等要求。具體而言，人教版教材在第1課時(shí)直接教學(xué)平行四邊形的面積；北師大版教材在第1課時(shí)先鋪墊了數(shù)方格及割補(bǔ)法在圖形面積探究中的應(yīng)用，幫助學(xué)生積累探索圖形面積的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。由此得出，本單元的教學(xué)內(nèi)容主要有以下三個(gè)方面：（1）探究多邊形的面積公式，會(huì)用面積公式解決問(wèn)題；（2）會(huì)計(jì)算組合圖形的面積；（3）會(huì)估計(jì)不規(guī)則圖形的面積。（二）確定核心目標(biāo)史寧中認(rèn)為，面積度量的實(shí)質(zhì)就是計(jì)算該圖形包含多少個(gè)面積單位。［4］“多邊形的面積”單元的教學(xué)目標(biāo)就是讓學(xué)生運(yùn)用度量單位計(jì)算圖形的面積，主要分為三個(gè)階段：第一階段，由于“不是整格”，故引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用割補(bǔ)法實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，即讓學(xué)生先借助數(shù)方格的方法得到平行四邊形的面積，再把平行四邊形面積通過(guò)割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形面積；第二階段，由于不能用割補(bǔ)法直接解決問(wèn)題，所以需要引導(dǎo)學(xué)生用倍拼等方法，把三角形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形或平行四邊形來(lái)求面積；第三階段，靈活選擇和運(yùn)用多種方法，即讓學(xué)生把梯形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形、平行四邊形或三角形來(lái)求面積，把組合圖形通過(guò)割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化為已經(jīng)會(huì)計(jì)算面積的圖形，根據(jù)圖形的特點(diǎn)將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形等各種策略與方法，估計(jì)出不規(guī)則圖形的面積。由此可知，“多邊形的面積”這一單元的核心目標(biāo)是：在探索多邊形面積的過(guò)程中，滲透轉(zhuǎn)化思想，發(fā)展學(xué)生的推理意識(shí)與空間觀念。（三）核心目標(biāo)具體化結(jié)合以上整體分析可知，轉(zhuǎn)化思想是本單元需要落實(shí)的核心目標(biāo)。具體而言，體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：（1）在探究平行四邊形面積的過(guò)程中形成轉(zhuǎn)化意識(shí)。學(xué)生首先要以圖形內(nèi)在聯(lián)系為線索，思考學(xué)過(guò)面積計(jì)算的目標(biāo)圖形有哪些，如學(xué)習(xí)平行四邊形面積之前，學(xué)生只學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形和正方形的面積計(jì)算，因此學(xué)生要想辦法把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形或正方形；再探究怎樣把現(xiàn)有圖形轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)過(guò)的目標(biāo)圖形；最后驗(yàn)證現(xiàn)有圖形是否真的變成了學(xué)過(guò)的目標(biāo)圖形，它們哪里變了，哪里沒(méi)有變。（2）在探究三角形面積的過(guò)程中掌握轉(zhuǎn)化方法。教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注圖形之間的轉(zhuǎn)化方法，如割補(bǔ)法、倍拼法、分割法，掌握其作用及適用范圍。（3）在探究梯形和組合圖形面積的過(guò)程中學(xué)會(huì)選擇合適的轉(zhuǎn)化策略。此時(shí)，學(xué)生已經(jīng)具備了轉(zhuǎn)化意識(shí)，掌握了轉(zhuǎn)化方法，能用較多的方法計(jì)算梯形和組合圖形的面積，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比計(jì)算面積的不同方法，思考轉(zhuǎn)化過(guò)程中各種方法的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，積累圖形面積計(jì)算的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。二、確定學(xué)習(xí)起點(diǎn)本單元的核心目標(biāo)是滲透轉(zhuǎn)化思想，具體需要從轉(zhuǎn)化意識(shí)、轉(zhuǎn)化方法與轉(zhuǎn)化策略三個(gè)方面進(jìn)行考查。因此，學(xué)生已經(jīng)具備怎樣的轉(zhuǎn)化水平是本單元教學(xué)的重要依據(jù)。為了解學(xué)生的轉(zhuǎn)化水平，筆者從學(xué)生是否具有轉(zhuǎn)化意識(shí)和所使用的轉(zhuǎn)化方法兩個(gè)方面入手，對(duì)五年級(jí)兩個(gè)教學(xué)班的56名學(xué)生進(jìn)行了前測(cè)。而轉(zhuǎn)化策略作為本單元學(xué)習(xí)需要達(dá)成的最高轉(zhuǎn)化水平，在前測(cè)中沒(méi)有涉及。（一）前測(cè)題設(shè)計(jì)為了解學(xué)生的真實(shí)學(xué)習(xí)情況，筆者設(shè)計(jì)了3道前測(cè)題。第1題指向?qū)W生是否有意識(shí)地把平行四邊形轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過(guò)的圖形，第2題指向?qū)W生能否檢驗(yàn)轉(zhuǎn)化前后圖形的面積是否保持不變，第3題指向?qū)W生在探索三角形面積時(shí)是否有不同的轉(zhuǎn)化方法。具體前測(cè)題如下。1.這個(gè)圖形的面積是多少？（每個(gè)方格的邊長(zhǎng)是1厘米）2.這個(gè)圖形的面積是多少？（每個(gè)方格的邊長(zhǎng)是1厘米）小明是這樣做的：7×4=28（cm2）。（1）你覺(jué)得小明是怎么想的？（2）你同意小明的做法嗎？為什么？3.這個(gè)圖形的面積是多少？用盡可能多的方法計(jì)算該圖形的面積。（每個(gè)方格的邊長(zhǎng)是1厘米）（二）前測(cè)結(jié)果分析從轉(zhuǎn)化意識(shí)和轉(zhuǎn)化方法兩個(gè)方面對(duì)前測(cè)結(jié)果進(jìn)行分析，其中轉(zhuǎn)化意識(shí)又分為能將現(xiàn)有圖形轉(zhuǎn)化為目標(biāo)圖形和能有意識(shí)地對(duì)現(xiàn)有圖形和目標(biāo)圖形進(jìn)行比較兩個(gè)不同的水平，可將前測(cè)結(jié)果劃分為四個(gè)水平層次：水平0，不會(huì)轉(zhuǎn)化；水平1，能把現(xiàn)有圖形變成目標(biāo)圖形，即能就第1題給出合理解答；水平2，能對(duì)現(xiàn)有圖形和目標(biāo)圖形進(jìn)行比較，檢驗(yàn)面積是否不變，即能就第2題給出合理解答；水平3，能用多樣化的方法解決多邊形面積問(wèn)題，即能用2種及以上的方法解答第3題。具體的水平劃分如表1所示。三、單元整體設(shè)計(jì)的思考按照人教版教材的編排方式，“多邊形的面積”單元的學(xué)習(xí)分為三個(gè)階段：第一階段是學(xué)習(xí)平行四邊形、三角形和梯形的面積，第二階段是學(xué)習(xí)組合圖形的面積，第三階段是估測(cè)不規(guī)則圖形的面積。教學(xué)時(shí)，教師不僅要讓學(xué)生掌握不同多邊形的面積計(jì)算公式，還要讓他們形成轉(zhuǎn)化思想。為此，教師要更加關(guān)注學(xué)生轉(zhuǎn)化思想的形成過(guò)程，讓他們通過(guò)學(xué)習(xí)不同圖形的面積，經(jīng)歷以下三個(gè)層次：首先是形成轉(zhuǎn)化意識(shí)，即學(xué)生要關(guān)聯(lián)目標(biāo)圖形和現(xiàn)有圖形，嘗試把現(xiàn)有圖形轉(zhuǎn)化為目標(biāo)圖形，這是轉(zhuǎn)化的開(kāi)始；其次是學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化方法，即學(xué)生在把現(xiàn)有圖形轉(zhuǎn)化為目標(biāo)圖形的過(guò)程中總結(jié)出轉(zhuǎn)化方法，豐富轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)，這是轉(zhuǎn)化思想的核心；最后是形成轉(zhuǎn)化策略，即學(xué)生在掌握了多種轉(zhuǎn)化方法后，再遇到新圖形的面積計(jì)算，要學(xué)會(huì)選擇合適的轉(zhuǎn)化策略，建立不同轉(zhuǎn)化方法之間的聯(lián)系，這是轉(zhuǎn)化的優(yōu)化。學(xué)生只有完整地經(jīng)歷轉(zhuǎn)化的三個(gè)層次，才能學(xué)會(huì)利用轉(zhuǎn)化思想解決生活中更多復(fù)雜圖形的面積計(jì)算?；谝陨纤伎?，筆者對(duì)“多邊形的面積”單元的教學(xué)進(jìn)行了如下重構(gòu)（如表2），以凸顯滲透轉(zhuǎn)化思想的不同層次。表2“多邊形的面積”單元教學(xué)內(nèi)容優(yōu)化前后的對(duì)比[教材中教學(xué)內(nèi)容的安排優(yōu)化后教學(xué)內(nèi)容的安排課時(shí)教學(xué)內(nèi)容課時(shí)教學(xué)內(nèi)容1平行四邊形的面積1圖形的轉(zhuǎn)化2練習(xí)十九2平行四邊形的面積3三角形的面積3三角形的面積4練習(xí)二十4梯形的面積5梯形的面積5面積練習(xí)課6練習(xí)二十一6組合圖形的面積7組合圖形的面積7整理和復(fù)習(xí)8整理和復(fù)習(xí)8綜合實(shí)踐：測(cè)算我家的面積]調(diào)整后的單元教學(xué)課時(shí)與教材編排的總課時(shí)保持一致，具體是將原來(lái)的3節(jié)練習(xí)