高中數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí) 第13講 空間向量與立體幾何綜合 練習(xí)

第十三講空間向量與立體幾何綜合

A組

一、選擇題

1、已知是非零向量，若向量”是平面a的一個(gè)法向量，則=是“向量b所在的直線平行于平

面夕”的()條件

A,充分不必要B.必要不充分

C,充分必要D.既不充分也不必要

答案：B

2、已知向量7=(1],0),31(一1,0,2),且女Z+B與2)—B互相垂直，則k的值是()

137

A.1B.-C.-D.一

555

【解析】Dka+b=(%—1,匕2),2。一1=(3,2,-2),Za+1與2〃一分互相垂直，

7

???(左一1次,2).(3,2,—2)=5%—7=0,解得攵=不，故選D.

3、在空間直角坐標(biāo)系。一種中，平面。46的法向量為a=(2,-2,1),已知P(—1,3,2),則P到平面

的距離等于()

A.4B.2C.3D.1

【解析】B因?yàn)橄蛄俊鉖在平面OAB的法向量投影的絕對(duì)值為P到平面OAB的距離，所以

OPa.60

dd^^^=2

kl3

—1—1—

4、如圖，空間四邊形ABCD中，M,G分別是BC,CD的中點(diǎn),則AB+—BC+—BD等于（）

22

A.ADB.GA

C.AGD.MG

【答案】C

【解析】

試題分析：如圖所示，連結(jié)BG,AG,則由G是CD的中點(diǎn)

可得BC+BD=2BG,又AB+BG=2AG,故

AB+-BC+-BD=AB+-(BC+BDUAB+BG=AG

222V>

二、填空題

5、若a=(2,3,-1),b=(一2,1,3),則a,b為鄰邊的平行四邊形的面積為.

【答案】6也

【解析】

□ci,a,b2x(—2)+3x1+(—1)x32cc..u?.?l~.~.2、23\/5

因?yàn)閏os<ci,b>=—：——=-------T=—f=-------=—，所以sin<>=/1—(—)~=----，故所求

\a\\b\V14xV147AY77

3/s

的平行四邊形的面積為|a||/?|sin<a)>=JiZxJi4x*=6j^.

7

6、如圖，已知正方體ABC￡>-AB|G。棱長(zhǎng)為4,點(diǎn)”在棱A%上，且"4=1,在側(cè)面BCQ片內(nèi)作

邊長(zhǎng)為1的正方形EFG3,P是側(cè)面BCCM內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P到平面CDD,C,距離等于線段PF的

長(zhǎng)，則當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，『的最小值是()

A.21B.22C.23D.25

【答案】B

【解析】在8片上取點(diǎn)K,使得gK=l,則胸_1面6。。蜴，連結(jié)PK,則

HP2=HK2+PK2=\6+PK2.在平面BCGg上，以CQ所在直線為％軸，以G/7所在直線為y軸，

由題意可知，P點(diǎn)軌跡為拋物線，其方程為d=2y-l,K點(diǎn)坐標(biāo)為(0,4),設(shè)P(x,y),則

「[7]7

x2=2y-l(其中xw|-3,l],yG—,PK2=x2+(y-4)"=2^-l+y2-8y+16=y2-6y+15

-17~|

22

當(dāng)y=3e5,5時(shí)，PK|min=6，故HP|min=16+6=22.

三、解答題

7.(2017年北京卷理)如圖，在四棱錐P-A8C。中，底面ABCO為正方形，平面尸4。_1_平面4BCD,點(diǎn)

M在線段PB上，PC〃平面MAC,PA=PD=瓜,AB=4.

(I)求證：M為PB的中點(diǎn)；

(II)求二面角B-PD-A的大?。?/p>

(III)求直線MC與平面3DP所成角的正弦值.

【解析】(I)設(shè)AC,89交點(diǎn)為E,連接ME.

因?yàn)镻D〃平面M4C,平面MAC1平面=所以PD〃ME.

因?yàn)锳BCD是正方形，所以E為8。的中點(diǎn)，所以“為尸8的中點(diǎn).

(II)取AO的中點(diǎn)。，連接OP,0E.

因?yàn)镼4=P。，所以O(shè)PLAQ.

又因?yàn)槠矫?4。，平面ABC。，且OPu平面PAD,所以O(shè)PJL平面A3C￡).

因?yàn)镺Eu平面ABC。，所以O(shè)PLQE.

因?yàn)锳8CD是正方形，所以O(shè)￡_LAZ).

如圖建立空間直角坐標(biāo)系。一孫z,則P(0,0,、/5),￡)(2,0,0),6(—2,4,0),

8。=(4,<0),PD=(2,0,-y/2).

n?BD=04x-4y=0

設(shè)平面BOP的法向量為”=(x,y,z),貝?卜,即

幾?PD=02x-0z=0

令x=l,則y=l,z=>fi.于是n=(l,l,e).

平面PAD的法向量為p=(0,1,0),所以cos0,p>=一J=一

\n\\p\2

由題知二面角B—PD—A為銳角，所以它的大小為4.

3

(Ill)由題意知M(-1,2,丁)，7)(2,4,0),MC=(3,2,—彳).

設(shè)直線MC與平面BDP所成角為a,則sinaHcos<n,MC>|=-----==—

In||MC|9

[7

所以直線MC與平面BOP所成角的正弦值為?三.

9

8.如圖，在四棱錐P—ABCD中，^PABl^iABCD,PA=PB=6,且四邊形ABCD為菱形,

AD=2,ZBAD=60”.

(1)求證：ABA.PD；

(2)求平面PAB與平面PCD所成的二面角的余弦值。

【解析】(1)證：取AB邊中點(diǎn)G,連接PG,DG,DB。

?:PA=PB=6：.PGVAB..........2分

又；四邊形ABCD為菱形且/氏4。=60"A43。為等邊三角形/.DG1AB

又,：PGcDG=GAABL^PGD

又；PGu面PGD二AB±PD..........5分

(2)又：PG_LA6,^PABl&ABCD,

且面PABc面A8CD=ABG

二PGl^ABCD

.?.以G為原點(diǎn)，GA,GD,GP分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

.\G(0,0,0),F(0,0,V2),C(-2,V3,0),￡>(0,73,0)

~PC=(-2,73,-V2),麗=(0,區(qū)-叵)

?.?面PABJ.面ABC。，且面PABc面4BC￡>=AB,DG±AB

：.DG±面PAB

.?.而為面尸A3的法向量，且無(wú)=(0,J§,0)

設(shè)〃=(Xi，y,Z1)為面PCO的法向量

-2玉+-,\/2Z1-0

出弘-五z、=0

令Z[=當(dāng)，則y=痣，且％=0

V6V10

：.n=(0,V2,V3)cos<GB,n>=竺？

GD?nV3*V5-5

V10

又平面PAB與平面PCD所成二面角的平面角為銳角，故所求二面角的平面角的余弦值為

9、如圖，在斜三棱柱A5C-A5G中，點(diǎn)o是AG的中點(diǎn)，4。，平面44?！?/p>

已知N5C4=90,AAt=AC=BC=2.

⑴求證：ABt±A}C;（2）求4￡與平面44中所成角的正弦值.

【解析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系O-xyz,

則4（0,0,G），A（0,-l,0）C（0,l,0）,51（2,l,0）,C（0,2,6）

=(2,1,-6卜AC=(0,3,g),;.Ag.AC=0,.?.A5JAC

(1)AB]

（2）設(shè)AC=（020）A4=（2,2,0）AA=（0,l,@,設(shè)平面AA4的一個(gè)法向量是〃=（x,y,z）,則

4用〃=0

AA?〃二0

令x=l,得〃=(1,—1,

-V21

sin6=-cos<A,C,,n>=-----

1'7

/.AG與平面AAg所成角的正弦值為理

10、如圖，四邊形A3CO中，ABI/CD,ZABD=30,AB=2C。=2AO=2百，QE,面

ABCD,EF//BD,且EF=^BD.

3

（1）求證：FB//面ACE；

（2）若二面角—。的大小為60,求CF與面A6CD所成角的正弦值.

【解析】（1）證明：設(shè)AC交BO于。，連接￡。，在中，由余弦定理可得:08=3.

AD2+BD2=AB2,：.ADA.DB,

■:AB//CD,:.MXJBskCOD.

，處=2=2,：.BO=ZBD=EF,

DOCD3

又EF/ABZ）,...四邊形為平行四邊形.

EO//FB.

又：EOu面ACE,面ACE,

...FB//面ACE.

(2)：面ABCD

ADE±DA,DE工DB,

分別以D4,DB,DE所在直線建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

則B(0,3,0),C(—*,g,0),設(shè)OE=/z,則尸(0,2,〃)

(—乎,一|,0),BF=h),

設(shè)平面BCF的法向量為勺=（x0,y0,z0）,則

一走x--y-0

〃i?BC=O

即＜2°2y°~

n,?BF=O

7o+%=O

取Zo=l,有4

易知平面3DEE的一個(gè)法向量%=(1,0,0)

|cos<4,九，>|=————=cos60

一141141

解得/?=立

4

CF=(當(dāng)^號(hào),易知面A8CO的一個(gè)法向量七=(0,0,1),

V2

/.sin9=|cos<CF,%>|=!""J=-=—

|CF||n3l3V23

~7~

，直線CF與面ABCD所成角的正弦為」.

3

11、如圖，已知邊長(zhǎng)為6的菱形48。。,乙48。=120°,4。與8。相交于。，將菱形ABCD沿對(duì)角線

(1)若加是BC的中點(diǎn)，求證：在三棱錐O—ABC中，直線與平面A3。平行;

(2)求二面角A—30—O的余弦值；

(3)在三棱錐。一A3C中，設(shè)點(diǎn)N是80上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定N點(diǎn)的位置，使得CN=4j5.

【解析】(1)證明：因?yàn)辄c(diǎn)。是菱形A8CO的對(duì)角線的交點(diǎn),

所以。是AC的中點(diǎn)，

又點(diǎn)M是棱BC的中點(diǎn)，

所以是AABC的中位線，OM//AB,

因?yàn)镺MZ平面ABD,ABu平面ABD,

所以。0//平面ABD

(2)解：由題意可知，OB=OD=3,

因?yàn)?。=3&,所以N5OD=90°,O8_L。。,

又因?yàn)榱庑蜛3C。，所以O(shè)B_LAC,OO_LAC,

建立空間直角坐標(biāo)系O-A＞，Z,如圖所示,

則436,0,0）,力（0,3,0）,8（0,0,3）,

所以48=（-36,0,3）,4。=卜36,3,0卜

設(shè)平面ABD的法向量為〃=(x,y,z),

AB.n=O—3yj3x+3z=0

則有?即1L

AD>n-0—3\3x+3y=0

令x=l,則y=G,z=6，所以"=（1,6,百）.

因?yàn)锳CLOB,AC所以AC_L平面BOD,

平面BOO的法向量與AC平行，

所以平面BOO的一個(gè)法向量為〃o=(1,0,0),

/\%?〃1幣

COS(n_r==，

'/同|〃|1x777

因?yàn)槎娼茿-BO-■。的平面角是銳角

所以二面角4一8。一。的余弦值為也

（3）解：設(shè)N（5，x，zJ,因?yàn)镹是線段8。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，透.BNCBD,

即—3）=2（0,3,-3）,

所以％=0,y=3X,Z]=3—32,

則N（0,343—32）,CN=（3?,343—3/）,

由CN=4&,得：^27+922+（3-32）2=472,即922—9/1+2=0,

]2

解得：4=一或4=一

33

所以N點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,1,2）或（0,2,1）

12.（2017年全國(guó)1卷理）如圖，在四棱錐P-A8C。中，AB//CD,且N84P=NCZJP=90

⑴證明：平面出B_L平面%D；

(2)若PA=PD=AB=DC,ZAPD=90,求二面角A-PB-C的余弦值.

【解析】（1）由已知/B4P=NC0P=9O°,得ABLAP,CD±PD.

由于AB〃CD,故ABJ_PD,從而AB_L平面PAD.

又ABu平面PAB,所以平面PAB_L平面PAD.

（2）在平面尸A￡>內(nèi)做PEJ.AD,垂足為尸，

由（1）可知，AB_L平面尸A￡>,故ABLPE,可得尸產(chǎn)，平面ABC。.

以廠為坐標(biāo)原點(diǎn)，E4的方向?yàn)閤軸正方向，|AB|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系尸-孫z.

由（1）及已知可得0,0），P（0,0,當(dāng)），B（告,1,0）,C（-^,l,0）.

所以PC=(-也,1,一變)，CB=(72,0,0),M=(—,0,--),AB=(0,1,0).

2222

設(shè)〃=（x,y,z）是平面PCB的法向量，則

n-PC=0-丁+y

即《2

n-CB=Oy/2x=0

可取〃=(0,-

設(shè)in=(x,y,z)是平面Q43的法向量，則

m-PA=O-----x紇=。

即22

m-AB=0

y=0

可取〃=(1,0,1).

_V|

則cos<n,m>

In||m|

所以二面角A—PB-。的余弦值為-立

3

B組

一、選擇題

1、已知平面a的法向量為〃=(2,-2,4),48=(-3,1,2),點(diǎn)4不在&內(nèi)，則直線AB與平面的位置關(guān)系為

A.ABLaB.ABua

C.A8與a相交不垂直D.ABIla

【答案】D

【解析】

“?43=(2,—2,4)《—3,1,2)=—6—2+8=0.?.〃LAB,而點(diǎn)A不在a內(nèi)，故AB//a

2、在正方體-中，若E是AT＞的中點(diǎn)，則異面直線AB與GE所成角的大小是()

【答案】D

【解析】

如圖建系，設(shè)正方形棱長(zhǎng)為2,則A(0,0,2),5(2,0,0),C,(2,2,2),￡(0,1,0),

則48=(2,0,—2),￡￡=(-2,—1,—2),丁^BQE=-4+0+4^0,^A^B1QE,

IT

即異面直線45與GE所成角為y.

.2

3、空間四邊形OABC中,OA="OB=Z?,OC=c,點(diǎn)M在OA上,且OM=WOA,點(diǎn)N為BC中點(diǎn),則

3

MN等于（）

12,121,1

A.一?！猙+—cB.——。+—/7+—(?

232322

221

C-.1—a+1—,b——1cD.—a+—b——c

222332

【答案】B

【解析】

由題意MN=MA+AB+BN=-OA+OB-OA+-BC=--OA+OB+-OC--OB

32322

211211

=——OA+-OB+-OC-.又OA=a,OB=b,OC=c,:.MN——a+-b+—c.故選B.

322322

4、正四棱柱ABCD—A|B￡Q|中，AA|=2AB,則CD與平面BDQ所成角的正弦值等于（

2n6

A.D.---------

33

A/2

C.D

V-;

【答案】A

【解析】

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

D(0,0,2),C,2),C(0,1,2),=1,0),DC,=(0,1,-2),DC=(O.

x+y=0

,設(shè)〃=（x,y,z）為平面BDJ的一個(gè)法向量，貝上,取

y-2z=0

...?\n-DC2

n=(-2,2,1),設(shè)CD與平面BDG所成的角為6,則Sin6=----------

nDC3

二、填空題

5、如圖3,在棱長(zhǎng)為2的正方體45CD-內(nèi)（含正方體表面）任取一點(diǎn)則胡?4021

的概率〃=_.

?24-4x33

【解析】由幾何概型的計(jì)算公式得〃=，6x22=j?

TT

6、在直三棱柱A4G—A3c中，底面ABC為直角三角形,/BAC=5,AB=AC=A4,=1.已知G與E

分別為A耳和Cq的中點(diǎn),D與F分別為線段AC和AB上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)）.若GO_LEF,則線段

DF的長(zhǎng)度的最小值為.

【答案】—

5

【解析】

建立直角坐標(biāo)系，以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB為x軸,AC為y軸,AA?為z軸，則F(/p0,0)(

()</1<1),￡(0,l,1),G(1,0,l),Z)(0j2,0)(0</2<1).所以￡F=?”一1,一g),GD=(—g,L-l).

因?yàn)镚￡>1所,所以6+2t2=1,由此推出0<巧<；.又叱=(r,,-r2,O),|DF|==

-

個(gè)5t：-4t,+1—.^5(?2—)H—，從而有IDF\=.

V55IImin5

三、解答題

7、如圖，在三棱柱ABC—中，己知ZBAC=90°,AB=AC=1,BB1=2,ZABBt=60°.

(1)證明：

(2)若6c=2,求二面角g—CG—A的余弦值.

【解析】(1)連結(jié)&A,在入46月中，

AB；=AB2+BB；-2AB?BB,?cosZABB,=3

AB]—V3.

又==2,.?.由勾股定理的逆定理，得A464為直角三角形.

'：CA±AB,B.AA.AB,CAr\B,A=A,

：.平面ABC.

qCu平面ABC

：.AB±BtC

(2)在AABC中，；4。=2,做=g,AC=l,則由勾股定理的逆定理，得A4BC為直角三角形，

5,711AC.

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，A8所在直線為x軸，4c所在直線為y軸，Ag所在直線為z軸建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-町z.

則AC=(O,1,O),AC,=(-1,1,73),4c=(0,1,一回，?=(1,0,-回

設(shè)平面ACG的法向量為勺=(&x，z)

AC?q=O[x=。=0

由'=彳r="1r,

AC}?n,=0〔一%+y+。34=0[X]=J3Z]

令4=1,則平面ACG的一個(gè)法向量為q=(y/3,0,1).

設(shè)平面BCG的法向量為〃2=(￡，%，Z2).

BtC?n,=0y2-A/3Z2=0y2=\/3z2

由<~l=4r-1

CC1?M2=0x2-Y/3Z2=0x2=V3Z2

令Z2=I,則平面Bea的一個(gè)法向量為巧=(g,g,i).

設(shè)二面角旦一C￡-A的平面角為e,易知。為銳角.

?cos"〃"_2"

|訃同7

<c\

8、如圖，四棱錐P—A6c。中，底面A6C。是平行四邊形，且B4_L平面

D.C

AB

ABCD,E4=43=AD=2,PC與底面ABC。所成角為30.

(I)證明：平面PBDJ■平面PAC；

(II)求平面APB與平面PCD所成二面角(銳角)的余弦值.

【解析】(I)-底面A8CO是平行四邊形，且A3=4),;.AC_L8。

又QR4_L平面ABC。，PALBD

ACr^PA=A,面PAC...

平面平面PAC

(II)QPA平面ABC。，二PC與底面ABC。所成角為NPC4=30

在RtPAC中，AC=PA?cotZPCA=273

AB2+BC2-AC24+4-12

.?.在ABC中,cos8=

2ABBC82

ZB=120,故NZM8=60,BD=2

設(shè)AC與8。相交于點(diǎn)0,取PC的中點(diǎn)Q,連結(jié)OQ,則OQ//B4

24,平面ABC。，..OQJ?平面ABC。

以O(shè)8,OC,OQ分別為x,y,z軸方向建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,—G,0),B(l,0,0),

C(0,^,0),0(-1,0,0),P(0,-?2)

設(shè)平面APB的法向量n=(x,y,z)

n-AB\x+Gy=0

由、得1廠，取r，

n?PB=0[x+J3y-2z=0

則j=-l,z=0

故平面APB的一個(gè)法向量為n=(6,—1,0)

n-CD=0-x-y/3y=0rr

由＜得《-，取x=6，則y=-l,z=-6

n-PD=Q)[-x+y/3y-2z=0

：.平面PCO的一個(gè)法向量機(jī)—G)

3+1+02#i

.?.coS^m；=^-^=—

設(shè)平面APB與平面PCD所成二面角為e,且因?yàn)?。為銳角.

cos^=—,即平面AP3與平面PCD所成二面角的余弦值為2且

77

9、如圖，在空間幾何體A6CDE中，平面ACOJ_平面AC6,AACD與A4C6都是邊長(zhǎng)為2的等邊三

角形，BE=2,點(diǎn)E在平面ABC上的射影在NA8C的平分線上，已知BE和平面ACB所成角為60'.

(1)求證：〃平面ABC；

(2)求二面角E—BC—A的余弦值.

【解析】證明：由題意知，AA8C與AAC。都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，取AC中點(diǎn)。，連接

BO,DO,則3。，4。,。0,4。.又；平面48_1平面48。，OO_L平面ABC,作后尸_L平面

ABC,啷么EFHDO,根據(jù)題意，點(diǎn)廠落在BO上，；3E和平面ABC所成角為60°,

...NEBF=60°「.?BE=2,，EF=DO=43,，四邊形DEFO是平行四邊形，

二DE〃。/.：OEZ平面ABC,OFu平面ABC,...￡>￡〃平面A5C

(2)由已知，0Ao8,0。兩兩互相垂直，故以04,08,0。為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間

直角坐標(biāo)系O-xyz,得B(0,V3,0),C(-1,0,0),E(0,有-1,后).

BC=(-1,-V3,O),BE=(0,-1,V3)，設(shè)平面BCE的一個(gè)法向量為%=(x,y,z).

-BC=0f—x-V3y=0-r

???〈」一，???〈廣?令，取叼=(-3,j3,l)

n2,BE=0—y—y/3z=0

又???平面ABC的一個(gè)法向量或=(0,0,1),

/.cos<>=,,-〃J「〃占2

又由圖知，所求二面角的平面角為銳角，...二面角E—5C—A的余弦值二二.

10、如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面A8CO為直角梯形，AD//BC,NADC=90。，平面PAC

底面49c。，。為AO的中點(diǎn)，M是棱PC上的點(diǎn)，。

PA=PD=2,BC=-AD=\,CD=6.

(1)求證：平面MQ8J_平面PAO；/!\\

(2)若二面角M-6Q-C大小的為60,求。用的長(zhǎng).

四邊形BCDQ為平行四邊形，ACD//BQ（2分）

VZADC=90°AZAQB=90°即QB_LAD.

又；平面PAD_L平面ABCD且平面PADCI平面ABCD=AD,

；.BQ_L平面PAD.：BQu平面MQB,二平面MQBJ_平面PAD（5分）

（2）：PA=PD,Q為AD的中點(diǎn)，APQ1AD.

?.?平面PAD_L平面ABCD,且平面PADC1平面ABCD=AD,，PQ_L平面ABCD.（6分）

如圖，以Q為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.”

則Q（0,0,0）,4。,0,0），P（0,0,百），S（0,V3,0）,C（-l,V3,0）Pk,

11V\.

/l\\\

由PM=/IPC=〃—1,6,—6），且04/141,得j1

所以QM=（—九6尢6（1—團(tuán)）又QB=（0,G,0）,

由題意知平面BQC的法向量為〃=(0,0,1)

:二面角M-BQ-C為60°,cos60=|

IQM|=

(C組)

二、選擇題

1、在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知A（2,0,0）5（2,2,0）,C（0,2,0）,。（1,1,夜）.若S1,S2,邑分別是三棱錐

D—A6C在*0、），。,2。＜:坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積，則（）

A.S1=S2—S3B.S2=￡且S,RS3

C.S3=S1且S3rs2D.53=$2且53力耳

【答案】D

【解析】

三棱錐。一ABC在平面X”上的投影為A48C,所以S1=2,

設(shè)。在平面yoz、如平面上的投影分別為2、。，則?！狝8C在平面yoz、加上的投影分別為

\OCD2.AOAD,,因?yàn)?（0,1,后），D2（1,0,72）,所以$2—SI=行，

故選D.

2、己知棱長(zhǎng)為2的正方體ABC?！狝gGD，P是過(guò)頂點(diǎn)民。,2,g圓上的一點(diǎn)，。為CG中點(diǎn)，

則PQ與面ABC。所成角余弦值的取值范圍是（）

A[0,§B.[y-,1]C[半,1]D[半』]

【答案】C

【解析】

以。為原點(diǎn)，D4為x軸，OC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，連結(jié)82，DB],交于點(diǎn)

0,過(guò)。作與2的垂線交延長(zhǎng)，交44于E,結(jié)合圖形得QE與面ABC。所成角余弦值是PQ與面

ABCO所成角余弦值的最小值，過(guò)。作8c的平行線交圓于此時(shí)PQ與面ABCO所成角余弦值的

取最大值，由此能求出PQ與面ABC0所成角余弦值的取值范圍.

3、如圖，正方體A5C。-中，E是棱8C的中點(diǎn)，R是側(cè)面BCG；片上的動(dòng)點(diǎn)，且A/〃平

面A"E,則A<F與平面所成角的正切值f構(gòu)成的集合是（）

A.{r||V5</<^}

B.{/|2<Z<2A/3}

C.{?||V5</<25/3}D.(t\2<t<2y/2]

【答案】D

【解析】

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則4(1,0,。),。(0,0,1),E(g,1,0),尸(也1,〃)，所以

AD.=(-1,0,1),(―g,1,0),章=(m-1,1,〃一1),設(shè)平面ARE的法向量為7=(x,y,z),則由題設(shè)

―八[―x+z=0

AZ)]?〃=0-*-----

L_L，即<1，令x=2,則〃=(2,1,2),所以由4尸〃平面ARE,則〃.4/=0,即

n-AE=Q--x+y=0

2(加—1)+1+2(n-1)=0,也即加+〃=|,所以I乖1=7(m-l)2+(?-l)2+l.因平面BCC14的法向

-n-ApI

量為n=(0,1,0)，故A.F與平面BCC&I所成角0的正弦值sin6=_三「=/_,

I?I-IA,F|J(加一1尸+(〃一I)?+1

正切值/=tan。=/1=,1(0<m<—)，令u=J2m2-3m+—，則

m-1)2+(〃-1,233族+|2N4

umin=1,“max=L所以2?tan642后，即2<f<2痣，所以應(yīng)選D.

V82

4、在正三棱錐P—ABC中，底面邊長(zhǎng)43=夜，側(cè)棱24=1,M,N分別是線段PA,BC上的動(dòng)

點(diǎn)（可以和端點(diǎn)重合），則|MN|的取值范圍是（）

A.[—^-,>/2]B.[―,V2JC.[—D.[—,-\/3J

【答案】A.

【解析】如下圖所示，設(shè)M4=f1P4,r,GfO,lbBNjBC,t2efO,1!,

.,,,2.2.2

42

J^MN^MA+AB+BN^^t.PA+AB+^BC^t-PA+AB"+r2BC+2r,PA-AB+2t2AB-BC

+2：f,PA-BC=fJ+2+2f2~—2f]—2t?=(tt-1)'+2(t2~,)~+5，；.當(dāng)：=1，=萬(wàn)時(shí)，

I^Ln=—>當(dāng)4=0，%=0或1時(shí)，I兒WLx=0，即IMN|的取值范圍是[注,0],故選A.

22

二、填空題

5、直三棱柱4BC-A|81cl中，NBCA=90。，M、N分別是4歷、4G的中點(diǎn)，BC=CA=CCi，貝UBM

與AN所成的角的余弦值為

【解析】如圖，分別以CiBi，C\A\,GC為x,y,z軸，建立坐標(biāo)系，

令CA=2,則A(0,2,2),B(2,0,2),

M(1,1,0),N(0,1,0).BM=(-1,1,-2),

AN=(0,—1,12).

_0-1+4_V30

瓜6一10

6、如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上，E、F

分別為AB、BC的中點(diǎn).設(shè)異面直線EM與AF所成的角為6,則COS。的最大值為.

2

【解答】：j(求解對(duì)照)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AQ為>軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)

正方形的邊長(zhǎng)為2,則A(0,0,0),E(l,0,0),F(2,l,0),設(shè)M(0,y,2),其中04y42,

AF=(2,l,0),EM=(-l,y,2),

cos，-Icos<AF,EM>1=r--------令機(jī)=2-y,則

11后7+22

1mJ________[J________]2

n+m~9飛-廣JUT

2

當(dāng)〃z=2,即M在Q時(shí)，cos。取最大值手

三、解答題

7、三棱錐A—6CO及其側(cè)視圖、俯視圖如圖所示.設(shè)M,N分別是線段AD,A8的中點(diǎn)，P為線段

BC上的點(diǎn)，且.MN上NP.

(1)證明：P為線段的中點(diǎn)；

(2)求二面角A—NP-"的余弦值.

【解析】(1)由三棱錐A—88及其側(cè)視圖、俯視圖知，在三棱錐4一68中：

平面A5O,平面88,AB=AD=BD=CD=CB=2.設(shè)。為8。的中點(diǎn)，連接Q4,0C.于是

OA±BD,OC_LB￡＞且OAOC=O,所以30,平面。4C,進(jìn)而BO_LAC.

因?yàn)镸,N分別為線段AO,A3的中點(diǎn)，所以MN//BD,又MN1NP,于是BD_LNP.

假設(shè)P不是線段BC的中點(diǎn)，則直線NP與直線4c是平面A8C內(nèi)相交直線，從而班＞_L平面A8C,

這與NO8C=60矛盾.所以P是線段BC的中點(diǎn).

(2)過(guò)N作NQLAC交4c于Q,因?yàn)镹P//AC,所以NQ上NP；又因?yàn)镸N上NP,所以

NQNM即為二面角A—NP—M的平面角.連接QM,在AQMN中，MN=1,QM=QN=

55

QM+MN?-QM?$+1藍(lán)屈

（其中AC^AOr+CO1=&），所以cosNQNM=

2xQNxMN55

8、如圖，矩形A8C￡＞中，——=2(A＞1),將其沿AC翻折，使點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)E的位置，且二面角

AD

C—AB-E的直二面角.

(1)求證：平面AC￡_L平面3CE；

(2)設(shè)尸是BE的中點(diǎn)，二面角￡一4。一尸的平面角的大小為。，當(dāng)Xe[2,3]時(shí)，求cos。的取值范

圍.

【解析】(I)?.?二面角C—為直二面角，AB±BC

3C_L平面ABE

BC1AE

AE±CE,BCryCE^C

.?.AEL平面BCE

平面AC￡J_平面BCE

(II)解法1：如圖，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AD長(zhǎng)為一個(gè)單位長(zhǎng)度,

建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

/o2______1

則A3=/l71(0,1,0),-1,0,0),C(V/l2-1,0,1),￡(0A0),F(-~—,0,0)

2

則EA=(0,1,0),￡C=(7A2-1,0,1)

設(shè)平面EAC的法向量為〃?=(x,y,z)

貝]'二_,取x=l,則蔡=(1,0,—J-—1)

[V/I2—1?x+z=0

同理設(shè)平面E4c的法向量為1=(2,〃-1,-J"-1)

八m-nA2+1

,PQQf-i—________=_____，

"1加卜1〃1/l-72(22+l)

*.*AG[2,3]cos0￡[—,]

34

解法2：過(guò)尸作尸G，CE于G,過(guò)G作G”，AC于H,連FH,則尸G，AC

則二面角E-AC-F的平面角為ZFHG

VAF=CF=J1+(〃；T)2=4；+3...”為AC的中點(diǎn)

由SACEFM^SMCE，得FG="f：GH=M^

2.ZAZA

,/2e[2,3]?'.cos。G

9、如圖，在四棱錐P—ABC。中，底面ABC。為正方形，外，底面ABCQ,AB=AP,E為棱PD

的中點(diǎn).

(I)證明:AE_LCQ；

(II)求直線AE與平面PBD所成角的正弦值；

(III)若尸為AB中點(diǎn)，棱PC上是否存在一點(diǎn)M,使得

PM

FM1AC,若存在，求出——的值，若不存在，說(shuō)明理由.

MC

【解析】(I)證明：因?yàn)镻A_L底面A8CD,

所以

因?yàn)锳O_LCO,

所以。。_1面尸49.

由于AEu面PAD,

所以有CD_LAE.

............4分

(II)解：依題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，

不妨設(shè)AB=AP=2,可得8(2,0,0),C(2,2,0),0((),2,0),

P(0,0,2).

UULT

由E為棱尸。的中點(diǎn)，得￡(0,1,1).AE=(O,1,1)

UUULILI

向量6。=(-2,2,0),PB=(2,0,—2).

設(shè)7=(x,乂z)為平面P