2024年高考數(shù)學(xué)大一輪(人教A版文)第五章培優(yōu)課5.4　平面向量的綜合應(yīng)用復(fù)習(xí)講義(學(xué)生版+解析)

§5.4平面向量的綜合應(yīng)用題型一平面向量在幾何中的應(yīng)用例1(1)(2023·宿州模擬)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且C＝60°，a＝3，S△ABC＝eq\f(15\r(3),4)，則AB邊上的中線長(zhǎng)為()A．49B．7C.eq\f(49,4)D.eq\f(7,2)聽(tīng)課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2022·天津)在△ABC中，eq\o(CA,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，D是AC的中點(diǎn)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝2eq\o(BE,\s\up6(→))，試用a，b表示eq\o(DE,\s\up6(→))為_(kāi)___________，若eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(DE,\s\up6(→))，則∠ACB的最大值為_(kāi)_______．聽(tīng)課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的步驟平面幾何問(wèn)題eq\o(→,\s\up7(設(shè)向量))向量問(wèn)題eq\o(→,\s\up7(計(jì)算))解決向量問(wèn)題eq\o(→,\s\up7(還原))解決幾何問(wèn)題．跟蹤訓(xùn)練1(1)(2022·商丘模擬)若O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))|，則△ABC的形狀為()A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等邊三角形(2)在平面四邊形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,3)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(6,4)，則該四邊形的面積為()A．3eq\r(13) B．4eq\r(13)C．13 D．26題型二和向量有關(guān)的最值(范圍)問(wèn)題命題點(diǎn)1與平面向量基本定理有關(guān)的最值(范圍)問(wèn)題例2如圖，在△ABC中，點(diǎn)P滿(mǎn)足2eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))，過(guò)點(diǎn)P的直線與AB，AC所在的直線分別交于點(diǎn)M，N，若eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq\o(AC,\s\up6(→))(x>0，y>0)，則2x＋y的最小值為()A．3B．3eq\r(2)C．1D.eq\f(1,3)聽(tīng)課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________命題點(diǎn)2與數(shù)量積有關(guān)的最值(范圍)問(wèn)題例3(2023·鄭州模擬)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，M是線段AC上任意一點(diǎn)，則eq\o(MB,\s\up6(→))·eq\o(MC,\s\up6(→))的最小值是()A．－eq\f(1,2)B．－1C．－2D．－4聽(tīng)課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________命題點(diǎn)3與模有關(guān)的最值(范圍)問(wèn)題例4已知向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(－eq\r(3)，1)，則|2a－b|的最大值為_(kāi)_______．聽(tīng)課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華向量求最值(范圍)的常用方法(1)利用三角函數(shù)求最值(范圍)．(2)利用基本不等式求最值(范圍)．(3)建立坐標(biāo)系，設(shè)變量構(gòu)造函數(shù)求最值(范圍)．(4)數(shù)形結(jié)合，應(yīng)用圖形的幾何性質(zhì)求最值．跟蹤訓(xùn)練2(1)在△ABC中，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，∠BAC＝120°，eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝μeq\o(AC,\s\up6(→))(λ>0，μ>0)，M為線段EF的中點(diǎn)，若|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝1，則λ＋μ的最大值為()A.eq\f(\r(7),3)B.eq\f(2\r(7),3)C．2D.eq\f(\r(21),3)(2)已知a，b是單位向量，a·b＝0，且向量c滿(mǎn)足|c－a－b|＝1，則|c|的取值范圍是()A．[eq\r(2)－1，eq\r(2)＋1] B．[eq\r(2)－1，eq\r(2)]C．[eq\r(2)，eq\r(2)＋1] D．[2－eq\r(2)，2＋eq\r(2)](3)(2022·北京)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P為△ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC＝1，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范圍是()A．[－5,3] B．[－3,5]C．[－6,4] D．[－4,6]§5.4平面向量的綜合應(yīng)用題型一平面向量在幾何中的應(yīng)用例1(1)(2023·宿州模擬)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且C＝60°，a＝3，S△ABC＝eq\f(15\r(3),4)，則AB邊上的中線長(zhǎng)為()A．49B．7C.eq\f(49,4)D.eq\f(7,2)答案D解析由S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×3×b×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(15\r(3),4)，得b＝5，根據(jù)余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC＝19，故c＝eq\r(19)，不妨取AB中點(diǎn)為M，故eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))，故|eq\o(CM,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)eq\r(\o(\s\up7(),\s\do5())|\o(CA,\s\up6(→))|2＋|\o(CB,\s\up6(→))|2＋2|\o(CA,\s\up6(→))||\o(CB,\s\up6(→))|cosC)＝eq\f(1,2)eq\r(25＋9＋2×5×3×\f(1,2))＝eq\f(7,2).即AB邊上的中線長(zhǎng)為eq\f(7,2).(2)(2022·天津)在△ABC中，eq\o(CA,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，D是AC的中點(diǎn)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝2eq\o(BE,\s\up6(→))，試用a，b表示eq\o(DE,\s\up6(→))為_(kāi)_______，若eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(DE,\s\up6(→))，則∠ACB的最大值為_(kāi)_______．答案eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)aeq\f(π,6)解析eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(CE,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝b－a，由eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(DE,\s\up6(→))得(3b－a)·(b－a)＝0，即3b2＋a2＝4a·b，所以cos∠ACB＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(3b2＋a2,4|a||b|)≥eq\f(2\r(3)|a||b|,4|a||b|)＝eq\f(\r(3),2)，當(dāng)且僅當(dāng)|a|＝eq\r(3)|b|時(shí)取等號(hào)，而0<∠ACB<π，所以∠ACB∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))).思維升華用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的步驟平面幾何問(wèn)題eq\o(→,\s\up7(設(shè)向量))向量問(wèn)題eq\o(→,\s\up7(計(jì)算))解決向量問(wèn)題eq\o(→,\s\up7(還原))解決幾何問(wèn)題．跟蹤訓(xùn)練1(1)(2022·商丘模擬)若O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))|，則△ABC的形狀為()A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等邊三角形答案B解析在△ABC中，|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))|，即|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))|，即|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|，所以(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))2＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))2，即eq\o(AB,\s\up6(→))2－2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))2＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))2，得4eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0.因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))均為非零向量，則eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，即∠BAC＝90°，所以△ABC是直角三角形．(2)在平面四邊形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,3)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(6,4)，則該四邊形的面積為()A．3eq\r(13) B．4eq\r(13)C．13 D．26答案C解析∵eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝－12＋12＝0，∴AC⊥BD，∴四邊形ABCD的面積為eq\f(1,2)|eq\o(AC,\s\up6(→))|·|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)×eq\r(4＋9)×eq\r(36＋16)＝13.題型二和向量有關(guān)的最值(范圍)問(wèn)題命題點(diǎn)1與平面向量基本定理有關(guān)的最值(范圍)問(wèn)題例2如圖，在△ABC中，點(diǎn)P滿(mǎn)足2eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))，過(guò)點(diǎn)P的直線與AB，AC所在的直線分別交于點(diǎn)M，N，若eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq\o(AC,\s\up6(→))(x>0，y>0)，則2x＋y的最小值為()A．3B．3eq\r(2)C．1D.eq\f(1,3)答案A解析由題意知，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(\o(BC,\s\up6(→)),3)＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→)),3)＝eq\f(2\o(AB,\s\up6(→)),3)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),3)，又eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq\o(AC,\s\up6(→))(x>0，y>0)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2\o(AM,\s\up6(→)),3x)＋eq\f(\o(AN,\s\up6(→)),3y)，由M，P，N三點(diǎn)共線，得eq\f(2,3x)＋eq\f(1,3y)＝1，∴2x＋y＝(2x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3x)＋\f(1,3y)))＝eq\f(5,3)＋eq\f(2x,3y)＋eq\f(2y,3x)≥eq\f(5,3)＋2eq\r(\f(2x,3y)·\f(2y,3x))＝3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)等號(hào)成立．故2x＋y的最小值為3.命題點(diǎn)2與數(shù)量積有關(guān)的最值(范圍)問(wèn)題例3(2023·鄭州模擬)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，M是線段AC上任意一點(diǎn)，則eq\o(MB,\s\up6(→))·eq\o(MC,\s\up6(→))的最小值是()A．－eq\f(1,2)B．－1C．－2D．－4答案B解析設(shè)eq\o(MC,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))(λ∈[0,1])，eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝－(1－λ)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))·eq\o(MC,\s\up6(→))＝[－(1－λ)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))]·(λeq\o(AC,\s\up6(→)))＝－λ(1－λ)eq\o(AC,\s\up6(→))2＋λeq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－9λ(1－λ)＋λ×2×3×cos60°＝3λ(3λ－2)，由二次函數(shù)性質(zhì)知，當(dāng)λ＝eq\f(1,3)時(shí)，3λ(3λ－2)取最小值為－1，故eq\o(MB,\s\up6(→))·eq\o(MC,\s\up6(→))的最小值是－1.命題點(diǎn)3與模有關(guān)的最值(范圍)問(wèn)題例4已知向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(－eq\r(3)，1)，則|2a－b|的最大值為_(kāi)_______．答案4解析方法一由題意得|a|＝1，|b|＝2，a·b＝sinθ－eq\r(3)cosθ＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))，所以|2a－b|2＝4|a|2＋|b|2－4a·b＝4×12＋22－8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝8－8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3))).所以|2a－b|2的最大值為8－8×(－1)＝16，故|2a－b|的最大值為4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(此時(shí)θ＝2kπ－\f(π,6)，k∈Z)).方法二因?yàn)閍＝(cosθ，sinθ)，b＝(－eq\r(3)，1)，所以2a－b＝(2cosθ＋eq\r(3)，2sinθ－1)，所以|2a－b|＝eq\r(2cosθ＋\r(3)2＋2sinθ－12)＝eq\r(8－4sinθ－\r(3)cosθ)＝eq\r(8－8sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))).故|2a－b|的最大值為eq\r(8－8×－1)＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(此時(shí)θ＝2kπ－\f(π,6)，k∈Z)).方法三由題意得|2a－b|≤2|a|＋|b|＝2×1＋2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)向量a，b方向相反時(shí)不等式取等號(hào)，故|2a－b|的最大值為4.思維升華向量求最值(范圍)的常用方法(1)利用三角函數(shù)求最值(范圍)．(2)利用基本不等式求最值(范圍)．(3)建立坐標(biāo)系，設(shè)變量構(gòu)造函數(shù)求最值(范圍)．(4)數(shù)形結(jié)合，應(yīng)用圖形的幾何性質(zhì)求最值．跟蹤訓(xùn)練2(1)在△ABC中，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，∠BAC＝120°，eq\o(AE,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝μeq\o(AC,\s\up6(→))(λ>0，μ>0)，M為線段EF的中點(diǎn)，若|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝1，則λ＋μ的最大值為()A.eq\f(\r(7),3)B.eq\f(2\r(7),3)C．2D.eq\f(\r(21),3)答案C解析eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→)))＝eq\f(λ,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(μ,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，故|eq\o(AM,\s\up6(→))|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(μ,2)\o(AC,\s\up6(→))))2＝λ2＋μ2＋eq\f(λμ,2)×4cos120°＝λ2＋μ2－λμ＝1，故1＝λ2＋μ2－λμ＝(λ＋μ)2－3λμ≥(λ＋μ)2－eq\f(3,4)(λ＋μ)2，故λ＋μ≤2.當(dāng)且僅當(dāng)λ＝μ＝1時(shí)等號(hào)成立．即λ＋μ的最大值為2.(2)已知a，b是單位向量，a·b＝0，且向量c滿(mǎn)足|c－a－b|＝1，則|c|的取值范圍是()A．[eq\r(2)－1，eq\r(2)＋1] B．[eq\r(2)－1，eq\r(2)]C．[eq\r(2)，eq\r(2)＋1] D．[2－eq\r(2)，2＋eq\r(2)]答案A解析a，b是單位向量，a·b＝0，設(shè)a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，|c－a－b|＝|(x－1，y－1)|＝eq\r(x－12＋y－12)＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，|c|表示以(1,1)為圓心，1為半徑的圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，故eq\r(12＋12)－1≤|c|≤eq\r(12＋12)＋1，∴eq\r(2)－1≤|c|≤eq\r(2)＋1.(3)(2022·北京)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°.P為△ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC＝1，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范圍是()A．[－5,3] B．[－3,5]C．[－6,4] D．[－4,6]答案D解析以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，則A(3,0)，B(0,4)．設(shè)P(x，y)，則x2＋y2＝1，eq\o(PA,\s\up6(→))＝(3－x，－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－x,4－y)，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝x2－3x＋y2－4y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋(y－2)2－eq\f(25,4).又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋(y－2)2表示圓x2＋y2＝1上一點(diǎn)到點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))距離的平方，圓心(0,0)到點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))的距離為eq\f(5,2)，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－1))2－\f(25,4)，\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)＋1))2－\f(25,4)))，即eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))∈[－4,6]，故選D.課時(shí)精練1．四邊形ABCD中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝0，則這個(gè)四邊形是()A．菱形 B．矩形C．正方形 D．等腰梯形答案A解析由題意，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，即|AD|＝|BC|且AD∥BC，故四邊形ABCD為平行四邊形，又(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＝0，故AC⊥BD即四邊形ABCD為菱形．2．(2022·合肥模擬)非零向量a，b滿(mǎn)足|a|＝2，a在b方向上的投影為eq\r(3)，則|a－b|的最小值為()A．1B.eq\r(3)C．2D．2eq\r(3)答案A解析∵a在b方向上的投影為eq\r(3)，∴|a|cos〈a，b〉＝eq\r(3)，∴|a－b|＝eq\r(|a|2＋|b|2－2|a|·|b|cos〈a，b〉)＝eq\r(|b|2－2\r(3)|b|＋4)，∴當(dāng)|b|＝eq\r(3)時(shí)，|a－b|min＝eq\r(3－6＋4)＝1.3.如圖，在△ABC中，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，E為線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，且eq\o(CE,\s\up6(→))＝xeq\o(CA,\s\up6(→))＋yeq\o(CB,\s\up6(→))，則eq\f(1,x)＋eq\f(3,y)的最小值為()A．8B．9C．12D．16答案D解析由已知得eq\o(CB,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，∴eq\o(CE,\s\up6(→))＝xeq\o(CA,\s\up6(→))＋yeq\o(CB,\s\up6(→))＝xeq\o(CA,\s\up6(→))＋3yeq\o(CD,\s\up6(→))，∵E為線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，∴A，D，E三點(diǎn)共線，∴x＋3y＝1且x>0，y>0，∴eq\f(1,x)＋eq\f(3,y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(3,y)))(x＋3y)＝10＋eq\f(3y,x)＋eq\f(3x,y)≥10＋2eq\r(\f(3y,x)·\f(3x,y))＝16，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝eq\f(1,4)時(shí)，等號(hào)成立．故eq\f(1,x)＋eq\f(3,y)的最小值為16.4．在△ABC中，A＝eq\f(π,3)，G為△ABC的重心，若eq\o(AG,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AG,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝6，則△ABC外接圓的半徑為()A.eq\r(3)B.eq\f(4\r(3),3)C．2D．2eq\r(3)答案C解析由eq\o(AG,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AG,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))，可得eq\o(AG,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(AG,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，則有AG⊥BC，又在△ABC中，A＝eq\f(π,3)，G為△ABC的重心，則△ABC為等邊三角形．則eq\o(AG,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|\o(AB,\s\up6(→))|2＋|\o(AB,\s\up6(→))|2cos

\f(π,3)))＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝6，解得|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，則△ABC外接圓的半徑為eq\f(1,2)×eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))|,sin

\f(π,3))＝eq\f(1,2)×eq\f(2\r(3),\f(\r(3),2))＝2.5．(2020·新高考全國(guó)Ⅰ)已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的取值范圍是()A．(－2,6) B．(－6,2)C．(－2,4) D．(－4,6)答案A解析如圖，取A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(2,0)，C(3，eq\r(3))，F(xiàn)(－1，eq\r(3))．設(shè)P(x，y)，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x，y)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,0)，且－1<x<3.所以eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x，y)·(2,0)＝2x∈(－2,6)．6．已知向量a，b為單位向量，且a·b＝－eq\f(1,2)，向量c與a＋b共線，則|a＋c|的最小值為()A．1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(\r(3),2)答案D解析由題意，向量c與a＋b共線，故存在實(shí)數(shù)λ，使得c＝λ(a＋b)，∴|a＋c|＝|a＋λ(a＋b)|＝|(1＋λ)a＋λb|＝eq\r(1＋λ2a2＋λ2b2＋2λ1＋λa·b)＝eq\r(1＋λ2＋λ2－λ1＋λ)＝eq\r(λ2＋λ＋1)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ＋\f(1,2)))2＋\f(3,4))≥eq\r(\f(3,4))＝eq\f(\r(3),2)，當(dāng)且僅當(dāng)λ＝－eq\f(1,2)時(shí)等號(hào)成立．故|a＋c|的最小值為eq\f(\r(3),2).7．已知平面向量a，b滿(mǎn)足|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝eq\r(7)，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，不等式|ka＋tb|>1恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()A．(－∞，－eq\r(3))∪(eq\r(3)，＋∞)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(\r(3),3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))C．(eq\r(3)，＋∞)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))答案B解析由|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝eq\r(7)，得a·b＝－1，又對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，不等式|ka＋tb|>1恒成立，即對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，不等式k2a2＋2kta·b＋t2b2>1恒成立，即對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，不等式k2－2tk＋4t2－1>0恒成立，即Δ＝4t2－4(4t2－1)<0，解得t<－eq\f(\r(3),3)或t>eq\f(\r(3),3).8．(2022·珠海模擬)已知點(diǎn)O在△ABC所在的平面內(nèi)，則以下說(shuō)法正確的有()①若eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則點(diǎn)O為△ABC的重心；②若eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)－\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(BC,\s\up6(→)),|\o(BC,\s\up6(→))|)－\f(\o(BA,\s\up6(→)),|\o(BA,\s\up6(→))|)))＝0，則點(diǎn)O為△ABC的垂心；③若(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，則點(diǎn)O為△ABC的外心；④若eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))，則點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心．A．①②④ B．①③④C．①③ D．②④答案C解析對(duì)于①，設(shè)D為BC的中點(diǎn)，由于eq\o(OA,\s\up6(→))＝－(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝－2eq\o(OD,\s\up6(→))，所以O(shè)為BC邊上中線的三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)D)，同理可證O為AB，AC邊上中線的三等分點(diǎn)，所以O(shè)為△ABC的重心，①正確；對(duì)于②，向量eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)，eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)分別表示在邊AC和AB上的單位向量，設(shè)為eq\o(AC′,\s\up6(→))和eq\o(AB′,\s\up6(→))，則它們的差是向量eq\o(B′C′,\s\up6(→))，則當(dāng)eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)－\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)))＝0，即eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(B′C′,\s\up6(→))時(shí)，點(diǎn)O在∠BAC的角平分線上，同理由eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(BC,\s\up6(→)),|\o(BC,\s\up6(→))|)－\f(\o(BA,\s\up6(→)),|\o(BA,\s\up6(→))|)))＝0，知點(diǎn)O在∠ABC的角平分線上，故O為△ABC的內(nèi)心，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，得(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))·(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝0，即eq\o(OB,\s\up6(→))2＝eq\o(OA,\s\up6(→))2，故|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|，同理有|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|，于是O為△ABC的外心，③正確；對(duì)于④，由eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))，得eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(OB,\s\up6(→))·(eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))＝0，即eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(OB,\s\up6(→))⊥eq\o(CA,\s\up6(→))，同理可證eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，所以O(shè)B⊥CA，OA⊥CB，OC⊥AB，即點(diǎn)O是△ABC的垂心，④錯(cuò)誤．9．(2022·晉中模擬)已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則|2eq\o(PA,\s\up6(→))＋3eq\o(PB,\s\up6(→))|的最小值為_(kāi)_______．答案7解析以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))分別為x，y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)C(0，a)，P(0，b)，B(1，a)，A(2,0)，0≤b≤a，則2eq\o(PA,\s\up6(→))＋3eq\o(PB,\s\up6(→))＝2(2，－b)＋3(1，a－b)＝(7,3a－5b)，|2eq\o(PA,\s\up6(→))＋3eq\o(PB,\s\up6(→))|＝eq\r(49＋3a－5b2)≥7，當(dāng)且僅當(dāng)b＝eq\f(3a,5)時(shí)取得最小值7.10．已知P是邊長(zhǎng)為4的正△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋(2－2λ)eq\o(AC,\s\up6(→))(λ∈R)，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))的最小值為_(kāi)_______．答案5解析取BC的中點(diǎn)O，∵△ABC為等邊三角形，∴AO⊥BC，則以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B(－2,0)，C(2,0)，A(0,2eq\r(3))，設(shè)P(x，y)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x，y－2eq\r(3))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－2，－2eq\r(3))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，－2eq\r(3))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq