現(xiàn)代信號處理復(fù)習題

1、=2cos(2萬4力式中/o=lOOHZ,以采樣頻率fs=400Hz對乙⑺進行采樣，得到采樣信號支⑺

和時域離散信號式〃)，試完成下面各題：

(1)寫出xa(t)的傅里葉變換表示式X〃(/Q)；

(2)寫出x“⑺和x(")的表達式；

(3)分別求出/⑺的傅里葉變換和x(九)的傅里葉變換。

解：⑴X〃(/Q)=「x(t)e-J￡ltdt=「2cos(。0塊-貓‘山

"J—00J—00

=「(*“+e—網(wǎng)關(guān)-胡力

J—00

上式中指數(shù)函數(shù)和傅里葉變換不存在，引入奇異函數(shù)5函數(shù)，它的傅里葉變換可以表示成：

X。(/。)=2萬拉(O—。0)+3(。+。0)]

⑵

0000

xa(t)=Z%“。)5。一W)=Z2cos(。0江)5?-江)

H=—oon=—oo

x(n)=2cos(Q0nr),-oo<?<oo

2、用微處理器對實數(shù)序列作譜分析，要求譜分辨率50Hz，信號最高頻率IKHz,是確定以下各參數(shù)

(1)最小記錄時間Tpmin

(2)最大取樣時間7；ax

(3)最少采樣點數(shù)N5

(4)在頻帶寬度不變的情況下將頻率分辨率提高一倍的N值。

解：⑴F<50Hz

12)T==---=—^-―=Q.5ms

f.2f2xl03

JsminJmax

Tp0.02s

[3)

N*T-0_5X10-35

(4)頻帶寬度不變就意味著采樣間隔T不變，應(yīng)該使記錄時間擴大一倍為0.04s實頻率分辯率提高1

倍變成原來的1/2)

3、在時域?qū)σ挥邢揲L的模擬信號以4KHz采樣，然后對采到的N個抽樣做N點DFT,所得離散譜線的間

距相當于模擬頻率100HZ。某人想使頻率能被看得清楚些，每50HZ能有一根譜線，于是他用8KHz采樣

，對采到的2N個樣點做2N點DFT。問：他的目的能到達嗎？

答：不能，因為他忽略了數(shù)字頻率和模擬頻率的區(qū)別。

提高采樣頻率￡,N固然大了，數(shù)字頻率(單位圓)上的樣點數(shù)確實增加了，但從模擬頻率譜

看，樣點一點也沒有變得密集，這是因為數(shù)字頻率2萬總是對應(yīng)模擬頻率/。采樣頻率由，至U2,增

加一倍，N也增加一倍，但模擬頻率的采樣間隔&=九=100%一點也沒有變。所以，增大采樣

2NN

2兀2兀

頻率，只能提高數(shù)字頻率的分辨率(2-二)，不能提高模擬頻率的分辨率。

N2N

4、在A/D變換之前和D/A變換之后都要讓信號通過一個低通濾波器，他們分別起什么作用？

解：在A/。變換之前讓信號通過一個低通濾波器，是為了限制信號的最高頻率，使其滿足當采樣頻率

一定時，采樣頻率應(yīng)大于等于信號最高頻率2倍的條件。此濾波器亦稱為“抗折疊”濾波器。

在O/A變換之后都要讓信號通過一個低通濾波器，是為了濾除高頻延拓譜，以便把抽樣保持的階

梯形輸出波平滑化，故又稱為“平滑”濾波器。

5、HQ)=-------廿------,0<。<1,分析其因果性和穩(wěn)定性。

(1-az)(1-az)

解：H(z)的極點為z=a,z=a-i

[1）收斂域aT＜|z|〈oo,對應(yīng)的系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，但由于收斂域不包含單位圓，因此是不穩(wěn)定系統(tǒng)

。單位脈沖響應(yīng)〃（"）=（相—底"）以"），這是一個因果序列，但不收斂。

（2）收斂域0W|z|＜。，對應(yīng)的系統(tǒng)是非因果且不穩(wěn)定系統(tǒng)。其單位脈沖響應(yīng)

h（n）=（a-n-anM-n-l），這是一個非因果且不收斂的序列。

（3）收斂域。＜目＜，1,對應(yīng)的系統(tǒng)是一個非因果系統(tǒng)，但由于收斂域包含單位圓，因此是穩(wěn)定系統(tǒng)

o其單位脈沖響應(yīng)/?（〃）=/"I,這是一個收斂的雙邊序列。

6、什么叫做數(shù)字濾波器？FIR和IIR的比擬和各自的設(shè)計方案？

答：所謂數(shù)字濾波器，是指輸入、輸出均為數(shù)字信號，通過一定運算關(guān)系改變信號所含頻率成分的相比

照例或者濾除某些頻率成分的器件。

FIR：有限脈沖響應(yīng)濾波器

IIR：無限脈沖響應(yīng)濾波器

★HR極點可存在與單位圓的任何地方,有較強的幅度選擇性，但相位特性差。

FIR相位呈線性，但幅度特性需高階才可調(diào)節(jié)的較好。

★FIR計算不產(chǎn)生振蕩，誤差影響小，可以采用FFT算法。

HR有穩(wěn)定問題，有限字長可能產(chǎn)生振蕩，同階遞歸算法速度受到限制。

★HR可用模擬濾波器成果，得到有效的封閉式公式，設(shè)計工作量小，要求低。

FIR僅窗函數(shù)有公式，但無顯式表達通、阻帶，需要計算機輔助設(shè)計。

★IIR設(shè)計已規(guī)格化，頻率特性為分段常數(shù)的濾波器。

FIR主要適應(yīng)特殊應(yīng)用，且高階HR不易到達指標的濾波器。

IIR數(shù)字濾波器設(shè)計

★直接設(shè)計：

原型變換〔由一低通經(jīng)過頻率變形設(shè)計低通、高通、帶通、帶阻等）

頻域設(shè)計〔零、極點配置；幅度平方函數(shù)），

時域設(shè)計〔帕德（Pade）逼近；波形形成）

★優(yōu)化技術(shù)設(shè)計（依據(jù)一定的優(yōu)化準那么進行設(shè)計）

FIR數(shù)字濾波器設(shè)計

★線性相位：零點的鏡像存在。

偶對稱：奇對稱：

★窗函數(shù)〔時域加權(quán)平均）：矩形，三角，余弦，布萊克曼（Blackman）系列，凱塞（Kaiser）系列，高斯

★頻率取樣：在H（z）的單位圓上等分取樣（是否帶初相）

★優(yōu)化技術(shù)設(shè)計：〔依據(jù)一定的優(yōu)化準那么進行設(shè)計）

8：長度為N=10的兩個有限長序列

作圖表示再（〃）、/（"）和y（“）=七（九）③了2（“）（圓周卷積），循環(huán)卷積區(qū)間長度L=IO。

解：玉（“）、九2（〃）和y（〃）=%1（”）8X2（“）分別如題3解圖㈠）、（C）所示

9：假設(shè)序列以死）是因果序列，其傅里葉變換的實部為HR（/3）=1+COS（。），求序列的以"）及其傅里

葉變換

1100

Ja,Ja,

解:H/eW）=l+cos（o）=l+-e+-e-=FT[he（n）]=2也⑺"胸

22n=-oo

10、什么是寬平穩(wěn)隨機過程？什么是嚴平穩(wěn)隨機過程？它們之間有什么聯(lián)系？

答：假設(shè)一個隨機過程的數(shù)學期望與時間無關(guān)，而其相關(guān)函數(shù)僅與7有關(guān)，那么稱這個隨機過程是寬平

穩(wěn)的或廣義平穩(wěn)的。所謂嚴平穩(wěn)隨機過程是指它的任何n維分布函數(shù)或概率密度函數(shù)與時間起點無關(guān)。

嚴平穩(wěn)的隨機過程一定是寬平穩(wěn)的，反之那么不然。

15、如下圖:

,FFT取模的平j(luò)

⑴J觀測數(shù)據(jù)1/N

的頻3么不,葉變換而改用功鳥2）

\x(n)

⑵j\說出i典功，法，并寫出描述由

（3）根據(jù)維納-辛欽定理及相關(guān)估計方法寫出另一種經(jīng)典功率譜估計描述估計關(guān)系式，結(jié)合框圖或關(guān)系

式說明上述框圖所示方法的優(yōu)點。

（4）兩種經(jīng)典功率譜估計都有一個致命的缺點，請簡要說明并寫出常用的改良方法的名稱。

解：1.對于隨機信號，其傅里葉變換并不存在，因此轉(zhuǎn)向研究其功率譜。

2.圖中所示的是周期圖法

wj<on

3.4（）=—￡x*（"）%（"+m）％（*）=￡rxx{m}e~

1VH=0m=-oo

周期圖法簡單，不用估計自相關(guān)函數(shù)，且可以用FFT進行計算。

4.經(jīng)典譜估計得致命缺點是頻率分辨率低，其原因是傅里葉變換域是無限大，而用作估計的觀察數(shù)

據(jù)只有有限個，認為剩余的數(shù)據(jù)為0,造成系統(tǒng)偏差。改良的方法有：1.平均周期法2.窗函數(shù)法3.修正的

周期圖求平均法。

16、如下圖的RC電路，假設(shè)輸入電壓的功率譜密度為X（。），求輸出電壓的功率譜密度

Y（。）。

R

X（。）C—Y(0)

解：RC電路系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為

1

jcoC1

H〔。）

jcoRC+1

I21

H1Q)=

(oRC)2+1

由線性系統(tǒng)的輸出譜密度與輸入譜密度之間的關(guān)系可得:

2X(。)

Y（0）=H[0)*X[0)=

(oRC)2+1

17、LTI系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為h⑴，輸入是實平穩(wěn)隨機過程X⑴，輸出是Y⑴，求號⑺、Ry?）和八?）

三者間的關(guān)系？

解：平穩(wěn)隨機過程經(jīng)過LTI系統(tǒng)輸出還是平穩(wěn)隨機過程，所以

其中⑤是卷積運算。

18、常用的自適應(yīng)濾波理論與算法有哪些？

從理論上講，自適應(yīng)濾波問題沒有惟一的解。為了得到自適應(yīng)濾波器及其應(yīng)用系統(tǒng)，可以采用各

種不同的遞推算法，這些自適應(yīng)算法都有各自的特點，適用于不同場合。

常用的自適應(yīng)濾波理論與算法有：

⑴、基于維納濾波理論的方法。

⑵、基于卡爾曼濾波理論的方法。

⑶、基于最小均方誤差準那么的方法。

⑷、基于最小二乘準那么的方法。

19、簡述自適應(yīng)信號處理技術(shù)的應(yīng)用

自適應(yīng)濾波處理技術(shù)可以用來檢測平穩(wěn)的和非平穩(wěn)的隨機信號。常應(yīng)用于：

[1)、自適應(yīng)濾波與逆濾波。

〔2)、系統(tǒng)辨識。

[3)、自適應(yīng)均衡。

[4)、自適應(yīng)回波抵消。

15)、自適應(yīng)噪聲抵消與譜線增強。

[6)、自適應(yīng)譜估計。

[7)、自適應(yīng)波束形成。

[8)、自適應(yīng)神經(jīng)智能信息處理。

[9)、盲自適應(yīng)信號處理。

20、設(shè)X?)為一隨機電報信號，其樣本函數(shù)如圖1所示，取+1,-1概率相等，在時間間隔「內(nèi)波形變號

次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布，即：

求X。)的自相關(guān)函數(shù)。

解：Rx(t,t+E[x(t)x(t+r)]

在時間間隔7內(nèi)X(/)可能變號偶次，X。)，XQ+?)將同時取+1或-1,假設(shè)變號奇次，XQ),

XQ+r)將異號。

當7>0時，

顯然當7<0時，

21、設(shè)X(/)=Acos@「+。)，其中A和。是相互獨立的隨機變量，6在[0,2萬)均勻分布，試討論

X(t)的平穩(wěn)性和各態(tài)歷經(jīng)性。

E[X(t)]=E[Acos(a>t+3)]

解：

,=E[Acosa)tcosO-Asina)tsim0]=0

所以，X?)是廣義平穩(wěn)過程。

因此，X⑺具有均值各態(tài)歷經(jīng)性。

因此，X。)不具有自相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)性。

22、從最速下降法出發(fā)：

其中，是第j+1個抽樣時刻的濾波器權(quán)矢量，〃控制收斂穩(wěn)定性和速率，V是誤差-性能曲面的

真實梯度，推導自適應(yīng)噪聲消除的Widrow-Hopf的LMS算法。

解答：

梯度矢量^,初級輸入與刺激輸入的互相關(guān)P以及初級輸入的自相關(guān)R之間的關(guān)系為：

V=-2P+2RW

在LMS算法中，使用V的瞬時估計，那么有

V)=-2Pj+2RjW'=-2X+2XX/Wj(1)

=-2毛(為一*叫)=-26//

其中ej=y-X^i

用⑴式替換最速下降法的梯度，我們得到根本的Widrow-Hopf的LMS算法：

其中ei=yj-w^xj

23、自適應(yīng)濾波器的特點及應(yīng)用范圍

答案：由于濾波器的參數(shù)可以按照某種準那么自動地調(diào)整到滿足最正確濾波的要求；實現(xiàn)時不需要任何

關(guān)于信號和噪聲的自相關(guān)特性，尤其當輸入統(tǒng)計特性變化時，自適應(yīng)濾波器都能調(diào)整自身的參數(shù)來滿足

最正確濾波的需要，即具有學習和跟蹤的性能。當符合下面幾個情況時都可以應(yīng)用自適應(yīng)濾波(1)需要濾

波器特性變化以自適應(yīng)改變的情況時[2)當信號和噪聲存在頻譜重疊時13)噪聲占據(jù)的頻譜是時變或

未知。例如回聲對消，雷達信號處理，導航系統(tǒng)，通信信道均衡和生物醫(yī)學信號增強。

24、輸入信號向量U(n)的相關(guān)矩陣R及期望響應(yīng)信號d(〃)的互相關(guān)向量P分別為

(21、

，p=(54y

2,

且期望響應(yīng)d(九)的平均功率為E｛[2(〃))=30

(1)計算維納濾波的最優(yōu)權(quán)向量;

⑵推導誤差性能面的表達式；

(3)計算最小均方誤差。

答案：m由R叫—P=O可得

，2丁㈤一，2、

2,4=

(2)假設(shè)在〃時刻，輸入信號為“5),橫向濾波器輸出信號

⑶把叱)代入JO)得:

25、怎樣判斷隨機過程｛X。)/eT｝是寬平穩(wěn)隨機過程？并證明隨機過程

乂?)=八05@)+25抽(田/>0是寬平穩(wěn)過程，其中，Y,Z是相互獨立的隨機變量，且

EV=￡Z=0,DY=UL=6。

答：(1)如果X?)滿足，如下條件：

[a[｛X?)/eT｝是二階矩過程；

[b)對任意feT,加x?)=m⑺=常數(shù)；

卜〕對任意Rx(5,t)=E[X(s)X(t)]=Rx(s-t),那么判定｛X(。/eT｝是寬平穩(wěn)隨機過

程。

⑵

證明：

因為Y,Z是相互獨立的隨機過程，且Ey=￡Z=0,Dy=DZ=b2,所以

E[X2(0]=o-2<+00

EXQ)=￡[八05@)+25抽(份)]=￡乃卜05@)+￡[2K抽(3)=0=常數(shù)

Rx(s,t)=E[X(s)X⑺]=E[(Fcos@)+Zsin(例))x(Vcos@)+Zsin(汾))]

=E[Y2cos媯)cos@)+yZsin(6?+s))+Z2sin@)sin(3)],Rx(s/)只與時間間隔

=<y~cos口(sT)]

有關(guān)，與時間起點無關(guān)。

所以，｛X(/)/eT｝是寬平穩(wěn)隨機過程。

26、假設(shè)｛X?)/eT｝為均方連續(xù)的實平穩(wěn)隨機過程，那么其自相關(guān)函數(shù)7?x?)具有那些常用性質(zhì)？

Rx?)在計算其功率譜Sx(。)時有什么作用？

答：1)A*?)具有如下常用性質(zhì)：

[a)7?x(0)>0;

[b)Rx⑺=Rx(-力-x?)是實偶函數(shù);

⑹|號《)區(qū)段(°);

⑷假設(shè)X。)是周期為T的周期函數(shù),即X?)=X?+T),那么&⑺=&?+T)；

[e)假設(shè)X⑺是不含周期分量的非周期過程，當|c|f+8時，X?)與X(/+7)相互獨立，那么

limR(T)=mm

|r|—>+<?Xx

12)假設(shè)J|Rx(r)ld7<+°°，根據(jù)辛欽—維納定理

自相關(guān)函數(shù)A*?)和功率譜Sx(。)是一對傅里葉變換對。

27、從隨機過程的平穩(wěn)性上考慮，卡爾曼濾波的適用范圍？

答案：卡爾曼濾波不僅適用于平穩(wěn)隨機過程，同樣也適用于非平穩(wěn)隨機過程。

28、簡述基于卡爾曼濾波理論的方法。

答：為使自適應(yīng)濾波器能工作在工作在平穩(wěn)或非平穩(wěn)的環(huán)境，可以借助于卡爾曼濾波器來推導自適應(yīng)

濾波算法?？柭鼮V波是線性無偏最小方差遞推濾波，估計性能是最優(yōu)的，且遞推計算形式又能適應(yīng)實

時處理的需要對于一個線性動態(tài)系統(tǒng)的卡爾曼濾波問題，可以用狀態(tài)方程和測量方程來描述，前者以狀

態(tài)矢量刻畫系統(tǒng)的動態(tài)，后者描述系統(tǒng)中的測量誤差。

假設(shè)研究離散線性動態(tài)系統(tǒng)的N維參數(shù)的狀態(tài)矢量為尤(力，M維觀察數(shù)據(jù)的測量矢量為y(〃)，通常矢

量式“)和y(n)都是隨機變量，由他們表示系統(tǒng)模型的狀態(tài)方程和測量分別為

x(“+l)=①5+l,")x(")+V]⑺(1j

Y(n)=C(H)X(H)+v2(n)(2)

其中①5+1,“)為系統(tǒng)在〃+1和"時刻的NxN狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，C(M)為的NxM測量矩陣

系統(tǒng)動態(tài)噪聲匕(〃)和觀察噪聲均(〃)的統(tǒng)計特性為

E[Vi(〃)]=O,cov(V1(n),E[vx(?)vf(^)]^Qx{ri)5nk(3)

4

E[V2(H)]=0,cov(v2(n),%(左))=a％(”)或(左)1=。2(”2波(〕

cov(Vj(n),%(〃))=E[v2(n)v^(4)]=0⑸

“H”表示共輾轉(zhuǎn)置；當n=k,5nk=i,當nWk,6m=0；噪聲矢量匕(〃)和%(〃)統(tǒng)計獨立的。根據(jù)觀察數(shù)

據(jù)的測量矢量y(l),y(2),…y(〃)，可求出系統(tǒng)狀態(tài)x(i)的線性無偏最小方差估計。當i=九時，這種最

正確估計問題成為卡爾曼濾波；當時，那么稱為最優(yōu)預(yù)測；兩者之間存在密切的關(guān)系。

29、設(shè)有兩個線性時不變系統(tǒng)如下圖，它們的頻率響應(yīng)函數(shù)分別為和"2(0)。假設(shè)兩個系統(tǒng)輸

入同一個均值為零的平穩(wěn)過程X"),它們的輸出分別為匕(。)、X3)。問如何設(shè)計⑼和也(⑼才

能使乂(。)、、(。)互不相關(guān)。

解答：

其中7=內(nèi)-弓，上式說明耳⑺與石⑺的互相關(guān)函數(shù)只是時間函數(shù)*的函數(shù)。由

故當設(shè)計兩個系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)的振幅頻率特性沒有重疊時，那么5^(0)=0,從而有

&4(7-)=0=BYA⑺，即X⑺與X⑺互不相關(guān)。

30、什么叫白噪聲？

答：白噪聲是指功率譜密度在整個頻域內(nèi)均勻分布的噪聲。所有頻率具有相同能量的隨機噪聲

稱為白噪聲。理想的白噪聲具有無限帶寬，因而其能量是無限大

31、設(shè)連續(xù)時間隨機信號”⑺以等時間間隔T。取樣后得到離散時間隨機序列式“)。為使x(a)是白色

隨機序列，討論應(yīng)滿足什么條件？

解：設(shè)%(。的自相關(guān)函數(shù)和功率譜分別為黑⑺和九(聲)，式〃)的自相關(guān)序列和功率譜分別為

周?和黑―)。

根據(jù)定義，有

R*(m)=a%*(n)x(n+m)]①

QO

s.(/)=Z鼠(間”加②

m=-<x>

按照定義，自相關(guān)序列Rxx(m)為

因此&,(m)就是以周期T對R襄⑺的等間隔取樣。

根據(jù)上式和S&(JQ)的定義，有

RJm)=黑(心)=41rS晨jQ)e'Tg③

另一方面，根據(jù)Sw(?")的定義,有

(*7T..

R^=—S；(e“)e“"d°④

2兀J-乃

將式③表示成無限個積分之和，其中每個積分都在長為2萬/T的區(qū)間上進行，即&式以)=

—￡「""s2(/Q)e『Q

2萬￡J(2I)S

27r

變量置換：。=。+——k,即得

T

院(⑼=《之，。麋0+旁k)產(chǎn)

乙兀后=—001

交換求和與積分的次序，考慮到對于所有整數(shù)人和加有e”號=1,因此凡工(加)=

4r;S2(/Q+)，左加鵬加

乙兀左=-001

再將。二色代入式中，得

T

"、(")=打：&tS其斗+序k)le?d①⑤

乙兀1左=-0011

比照式⑤與式④，得

100八

S晨0號+j$k)⑥

-*--001-*-

10027r

或，(/Q)=-ECO^+J—⑦

1-001

如果xS)是白色隨機序列，那么它的自相關(guān)序列應(yīng)當是一個幅度為&Jo)的沖激序列，即

上式代入式②，得

5式")=￡凡,(0戶(〃加加=鼠(0)⑧

由式⑥、⑧有

、(學+樣左)=鼠(0)，

上式說明，假設(shè)要x(〃)是白色隨機序列，那么要求

、(學+百口=常數(shù)。

32、用雷達測量地球和月球之間的距離d,測量過程用以下方程描述

其中以")是均值為零，方差為b：的白噪聲序列，它表示測量誤差。為了提高測量精度，現(xiàn)采用以下兩

種濾波器分別對進行處理x(n),試比擬其方差b；的大小。

濾波器1

濾波器2

式中0＜。＜1。

解答：兩個濾波器的系統(tǒng)函數(shù)分別為

因此兩濾波器的直流增益=無直流失真。兩濾波器輸出噪聲平均功率為

lim^=0.^=0

因此lim2

—■Clax

a-

33、簡述經(jīng)典功率譜估計與現(xiàn)代功率譜估計的差異。

信號的頻譜分析是研究信號特性的重要手段之一，通常是求其功率譜來進行頻譜分析。功率譜反映了隨

機信號各頻率成份功率能量的分布情況，可以揭示信號中隱含的周期性及靠得很近的譜峰等有用信息，

在許多領(lǐng)域都發(fā)揮了重要作用。然而，實際應(yīng)用中的平穩(wěn)隨機信號通常是有限長的，只能根據(jù)有限長信

號估計原信號的真實功率譜，這就是功率譜估計。

功率譜估計分為經(jīng)典譜估計和現(xiàn)代譜估計。經(jīng)典譜估計是將數(shù)據(jù)工作區(qū)外的未知數(shù)據(jù)假設(shè)為零，相當于

數(shù)據(jù)加窗，主要方法有相關(guān)法和周期圖法；現(xiàn)代譜估計是通過觀測數(shù)據(jù)估計參數(shù)模型再按照求參數(shù)模型

輸出功率的方法估計信號功率譜，主要是針對經(jīng)典譜估計的分辨率低和方差性能不好等問題提出的。

34、兩個聯(lián)合平穩(wěn)信號X?）和y?）的互相關(guān)函數(shù)為：

其中Z（7）為單位階躍函數(shù)。求互功率譜密度Sxy（⑼和S氏（。）。

解：直接查傅氏變換表，得

利用互譜密度的性質(zhì)有

2-ja>

S(a))=S(—CD)

?YAYl、/YIY、'

(2-jco)2+<?o

35、觀測信號為火幻=$（幻+6（外,其中有信號是5（左）為恒量平穩(wěn)序列，其統(tǒng)計特征已求得為

噪聲e（左）是零均值白噪聲，且與有用信號不相關(guān)，即

求維納濾波器？

解：觀測y（Q的自相關(guān)函數(shù)為

觀測有y（幻與有用信號之間的互相關(guān)函數(shù)為：

Rys（m）=E｛[s（k）+e（k）]s（k+m）｝=E｛s（k）s（k+m）+e（k）s（k+m）｝=3^]

那么維納-霍甫方程式為：

由此得維納濾波器為：

故濾波輸出為：

36、平穩(wěn)信號s（口形成的濾波器為

其中v（Q為方差為0.64的零均值白噪聲。觀測信號為

其中e（Q是零均值單位（即方差為1）白噪聲。求維納濾波器（其脈沖響應(yīng)序列的項數(shù)指

定為2）。

解：由s（Q的形成濾波器得其頻率特性為

s（Q的功率譜密度為：

上式的收斂域必是包括z平面單位圓在內(nèi)的環(huán)域，因為只有這樣譜密度才存在。那么s（口的

自相關(guān)函數(shù)為上式的傅氏反變換即雙邊z反變換：

容易驗證，符合上述收斂域的原函數(shù)為

其中右邊序列｛[0.62,0.6,｝的2變換成y（口的自相關(guān)函數(shù)為

z-0.6

另外,M幻與s（Q的互相關(guān)函數(shù)為

當維納濾波器的脈沖響應(yīng)序列為2項時，維納-霍夫方程式為

把算得的相關(guān)函數(shù)代入上式，得

這就是維納濾波器的脈沖響應(yīng)函數(shù)。

38、設(shè)觀測量y(幻由有用信號s(Q和與s(口不相關(guān)的零均值白噪聲e(口相加而成，即

且已估計出它們的相關(guān)函數(shù)分別為

Rs(m)=0.8^,Re(m)=0.45^(m)(m--1,0,1…)

求非因果維納濾波器的頻率特性。

解：

又有

故有

最后可得，非因果維納濾波器的頻率特性為

41、令x⑴是一個是不變的標量隨機變量，它在加性高斯白噪聲v(t)中被觀測，即y(t)=x(t)+v(t)為觀測

數(shù)據(jù)，假設(shè)用kahnan濾波器自適應(yīng)估計x(t),試設(shè)計kahnan濾波器。

(1)構(gòu)造離散時間的狀態(tài)空間方程

(2)求出狀態(tài)變量想x(k)的更新公式。

解：x(t)是一個時不變的隨機變量，故x(t)關(guān)于時間t的一階導數(shù)等于0,即有x=0

這就是連續(xù)時間的狀態(tài)方程。觀測方程為y(t)=x(t)+v(t)

令x(t)是一個具有均值Xo、方差00的隨機變量，記做x~(Xo,p0);加性觀測噪聲v(t)的均值為0,方

差為成,記做v(t)~[0,b；)?，F(xiàn)在，用T=1作為采樣間隔，對x(t)和v(t)等離散化，那么離散時間的

狀態(tài)空間模型：

x(n+l)=x(n)

y(n)=x(n)+v(n)

式中，加性觀測噪聲v(n)~N(0,b；).

上述狀態(tài)空間模型的kalman濾波算法如下：

,、K(n,n-1)

g(n)=-----------------7

K(〃,〃-1)+er；

X(n+l)=%(n)+g(n)[y(n)-尤(n)]

K(n+1,n)=K(n,n-1)[1-g(n)]=g(n)cr,2

g(n)的一般表達式：

由于K(l,O)=E{|x⑴一E{x(l)}/}=%故當n=l時有

K(l,0)

g(D=

K(l,0)+4Po+a；

K(2,l)=g(l)o-J

K(2,l)

當n=2時,那么有g(shù)(2)=Po

K(2,l)+b；2°o+矣

K(3,2)=g⑵P。

2%+bv

n=3時，有

g⑶=士」

左(3,2)+aJ3〃。+4

2

K(4,3)=g(3)S；=]

3p0+S,

假設(shè)令

Pc

g(n-l)=--------------2

d)p°+&

2

K(n,n-l)=g(n-1)°「=---^°-----j

那么

,、k(n,n-l)Po

g(n)=-----------=--------------2

k(n,n-l)+^v〃Po+Sv

2

k(n+l,n)=g(n)】

n+

P0dv

42、卡爾曼濾波和維納濾波的關(guān)系及存在的問題。

答：卡爾曼濾波有一個過渡過程，而在穩(wěn)態(tài)下與維納濾波有相同的結(jié)果，是因為它們都是以最小均方誤

差為準那么的線性估計器。卡爾曼濾波與維納濾波中解決最正確濾波的方法也不相同。維納濾波是用頻

域及傳遞函數(shù)的方法，而卡爾曼濾波是用時域及狀態(tài)變量的方法，在理論上是維納濾波的推廣和開展，

特別是在處理多變量系統(tǒng)，時變線性系統(tǒng)及非線性系統(tǒng)的最正確濾波等領(lǐng)域，提供了一種比擬有效的方

法，克服了基于頻域處理所遇到的困難。困難包括：維納濾波要求平穩(wěn)，而卡爾曼濾波那么不要求；他

容許初始時間不是負無窮大，這在很多情況下是有實際意義的；卡爾曼濾波的另一個不同點是把狀態(tài)或

信號過程的產(chǎn)生看成是白噪聲鼓勵有限維數(shù)系統(tǒng)的輸出；止匕外，維納濾波要求過程的自相關(guān)函數(shù)和互關(guān)

函數(shù)的簡單(先驗)知識，而卡爾曼濾波那么要求時域中狀態(tài)變量及信號產(chǎn)生過程的詳細知識?？柭鼮V

波在時域上采用線性遞推形式對觀測值進行處理，能實時地給出系統(tǒng)狀態(tài)的最優(yōu)估計，并突破了單維輸

入和輸出的限制。卡爾曼濾波算法的這些優(yōu)點使它在信號和信息系統(tǒng)中得到了比擬廣泛的應(yīng)用?？柭?/p>

濾波算法在具體應(yīng)用中也存在一些實際問題，包括：

(1)模型誤差和數(shù)值發(fā)散。

即使能夠獲得精確的模型，也常會因精確模型太復(fù)雜，維數(shù)過高而與實時處理必須減少計算量及盡

量簡化模型的要求相矛盾。近似或化簡的模型與精確模型之間存在誤差，模型誤差必然會給濾波帶來影

響，嚴重時還會造成濾波結(jié)果不收斂。

2)實時要求。

影響卡爾曼濾波算法的實時性主要是狀態(tài)維數(shù)n和增益矩陣的計算,它們往往有很大的計算量。

一般在計算中采取某些措施，例如應(yīng)用定常系統(tǒng)新算法或在精度損失允許的情況下盡量減少維數(shù)等到措

施，從而減少計算量以滿足實時濾波的要求。

43、卡爾曼濾波的特點

卡爾曼濾波具有以下的特點：

答：(1)算法是遞推的狀態(tài)空間法采用在時域內(nèi)設(shè)計濾波器的方法，因而適用于多維隨機過程的估計；

離散型卡爾曼算法適用于計算機處理。

(2)用遞推法計算，不需要知道全部過去的值，用狀態(tài)方程描述狀態(tài)變量的動態(tài)變化規(guī)律，因此信

號可以是平穩(wěn)的，也可以是非平穩(wěn)的，即卡爾曼濾波適用于非平穩(wěn)過程。

(3)卡爾曼濾波采取的誤差準那么仍為估計誤差的均方值最小。

44、令為，……/是一個具有概率密度函數(shù)/(羽〃,筋)=不、/*"/(2也的正態(tài)分布得到的隨機

，2的2

觀測樣本，試確定均值〃和方差(T2的最大似然估計。

解：似然函數(shù)是均值〃和方差er?二者的函數(shù)，故有

N,1昌,

,N2

從而有L=In/(%1，.,xj/LI,§-)=--ln(2^-)--ln(o-)-22(x,.-//)

222CT同

分別求L關(guān)于〃和的偏導，然后令偏導為零，得到

ariN

從0可以解出^Z七=元

加NH

RI1N

將其代入y=0可解得端=大￡5—君2

N標

1N1N

由樣本均值元=^2%和樣本方差b?=——z（七一元）2是無偏的，因此均值最大似然估計a雙為無

Ni=iN-1i=i

偏估計，而方差的最大似然估計那么是有偏的。

45、Burg遞推較levenson遞推法有什么優(yōu)勢，并寫出Burg遞推法求解AR模型參數(shù)的遞推公式。

答：[1）列文森（levenson）遞推法需要先由信號的觀測數(shù)據(jù)估計自相關(guān)函數(shù)，這是它的缺點，而伯格

[Burg）遞推法那么由信號觀測數(shù)據(jù)直接計算AR模型的參數(shù)，Burg遞推法利用levenson遞推公式，導

出前向預(yù)測誤差和后向預(yù)測誤差，并按照它們最小的原那么求出，從而防止求自相關(guān)函數(shù)這一難題。

（1）Burg遞推法求AR模型參數(shù)的遞推公式如下：

普（。）=：外5）「①

Ni=i

見=九(。)②

ej(〃)=%(〃)幾=0,l,2,3,??.,N-l③

4⑺=x(n)n=0,l,2,3,...,N-l@

N-l

-2三-1(〃)4T*(〃)

kp=N-2-----------------------------

n=p

%=(1-即2)用⑥

-"pT，+kpal-l,p-ii=0,1,2,3,…,〃-1⑦

a「p=kp⑧

f

ep(?)=e(i(zz)+左p/T(ri)n=p+l,p+2,...N-1@

4(?)=&(?-l)+(")"=p,p+l,...N-2⑩

46、簡述正交性原理信義，維納濾波原理及其結(jié)論。

解:⑴正交性原理：E[u(n-k)eopt(n)}=0,JI=0,1,2,...

文字表述：使代價函數(shù)/最小化的充分必要條件是估計誤差e卯(〃)與輸入"(0),正交。

（1）定義Mxl輸入向量

那么其相關(guān)矩陣為

式中使用了自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)凡左)=月:“(左)，類似地，輸入與期望響應(yīng)的互相關(guān)向量為

/=E[u(n)-d^(n)｝

=(&,d(0),&凡,d(-M+l))r

綜上式子可以將winer-Hopf方程組寫成緊湊的矩陣形式

尺rvopt，=7①

式中W則表示橫向濾波器的"xl最優(yōu)抽頭權(quán)向量：wopt=[woptQ,woptl,，叱"MT。

由矩陣方程①，立即可以得到最優(yōu)抽頭權(quán)向量的解為

滿足這個關(guān)系的離散時間橫向濾波器稱為維納濾波器。

47、關(guān)于維納濾波器的兩個主要結(jié)論：

①維納濾波器最優(yōu)抽頭權(quán)向量的計算需要已經(jīng)以下統(tǒng)計量：[1)輸入向量M(")的自相關(guān)矩陣R;〔2)

輸入向量M(”)與期望響應(yīng)d(九)的互相關(guān)向量7。

②維納濾波器實際上是無約束優(yōu)化最優(yōu)濾波問題的解。

48、已經(jīng)信號的四個觀察數(shù)據(jù)為尤(〃)=｛%(0),XI),尤(2),%(3)｝=｛3,6,4,2)分別用自相關(guān)法和協(xié)方差法

估計AR(1)模型參數(shù)。

解：自相關(guān)法：

協(xié)方差法：

49、假定｛%(九)｝是一個滿足差分方程式

x(〃)1)+―?(〃一p)=e(〃),e(〃)?％(O,4)的AR(p)過程，且該過程是在一與x(〃)

獨立的加性觀測白噪聲v(")中觀測的，即y(")=x(m+v5),其中｛v(〃)｝的方差為b；,求｛y(〃)｝的

功率譜。

解：由差分方程式可得｛%(〃)｝的譜密度

當x(n)與v(n)互相獨立時,與⑺=R*⑺+&⑺

故｛y(n)｝的功率譜py(0)=0(0)+pv(⑼

cr2

所以夕y(④)=

|A(z)「

z=e>

50、分別解釋“濾波”和“預(yù)測”。

解：用當前的和過去的觀測值來估計當前的信號y(n)=8(n)稱為濾波；用過去的觀測值來估計當前的

或?qū)淼男盘杫(")=W"+N),NN0,稱為預(yù)測。

51、介紹維納濾波和卡爾曼濾波解決問題的方法。

解：維納濾波是根據(jù)全部過去觀測值和當前觀測值來估計信號的當前值，因此它的解形式是系統(tǒng)的傳遞

函數(shù)H(Z)或單位脈沖響應(yīng)h(n)；卡爾曼濾波是用當前一個估計值和最近一個觀測值來估計信號的當前

值，它的解形式是狀態(tài)變量值。維納濾波只適用于平穩(wěn)隨機過程，卡爾曼濾波就沒有這個限制。設(shè)計

維納濾波器要求信號與噪聲的相關(guān)函數(shù)，設(shè)計卡爾曼濾波要求狀態(tài)方程和量測方程。

52、以下圖中x(n)=s(n)+w(n),且與統(tǒng)計獨立，其中的自相關(guān)序列為火具根)=0.6阿，w(n)是方差

為1的單位白噪聲，試設(shè)計一個N=2的維納濾波器來估計s(n),并求最小均方誤差。

x(n)=s(n)+w(:'

?心維納濾波的輸入和輸出的關(guān)系

解：依題思，信號的：一(")=6(")(m)=6(W),代入

SS

-J-----Ah(n)

R⑺=工鼠(加凡5/=—1,得

m=0

解得：h(0)=0.451,h(1)=0.165

N-l

將上式結(jié)果代入式E=Rss⑼-￡h°pt(m)Rs(m)，求得最小均方誤差:

■hnm=0

1

Ee2(n),=Rss⑼Rss1m)=1-h(0)-0.6h(1)=0.45

上1mM=0

1.某獨立觀測序列七，々，，/，其均值為m,方差為現(xiàn)有兩種估計算法:

rY\-一/xnm2=------------>xn

算法A：均值估計為Ng,算法%均值估計為一N-lg

請對這兩種估計算法的無偏性和有效性進行討論。(12分)

1N

答：算法A：均值估計為N?=1,那么

[N]N12

E(M>=%￡m=mD(mi)=-YJD(Xii)=-3

N"=1,N?=1N，，均值估計㈣是無偏估計

1.設(shè)u(〃)是離散時間平穩(wěn)隨機過程，證明其功率譜S(w)>0o

證明：將u(〃)通過沖激響應(yīng)為h(w)的LTI離散時間系統(tǒng)，設(shè)其頻率響應(yīng)H(w)為

w-w2

H(w)=0:，輸出隨機過程y(?)的功率譜為Sy(w)=|H(W)|S(W)

0：w-w0

輸出隨機過程y⑺的平均功率為r(0)=^-『S,,(⑺4v=(J：：S(w)

ydw

當頻率寬度Aw——>0時，上式可表示為「M=(叱))(Aw)20

71

由于頻率w0是任意的，所以有S(w)20

5、假定輸入信號｛x(t)｝是一個零均值的高斯白噪聲，其功率譜為H(/)=N。，且線性系統(tǒng)的沖激響應(yīng)

為\efJ〉0

[0,else

求輸出y(t)=x(t)*h⑴的功率譜及協(xié)方差函數(shù)。

解：由題知，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

有此得出⑺2=H⑺H…序匚育=K

由輸出功率譜與輸入功率譜、系統(tǒng)函數(shù)之間的關(guān)系，得

輸出的協(xié)方差函數(shù)為功率譜的傅里葉反變換，故有

6、BT譜估計的理論根據(jù)是什么？請寫出此方法的具體步驟。

答：(1)相關(guān)圖法又稱BT法，BT譜估計的理論根據(jù)是：通過改善對相關(guān)函數(shù)的估計方法，來對周期

圖進行平滑處理以改善周期圖譜估計的方差性能。

[2)此方法的具體步驟是：

①給出觀察序列M°)，x⑴，…MN—1),估計出自相關(guān)函數(shù)：

②對自相關(guān)函數(shù)在(-M,M)內(nèi)作Fourier變換，得到功率譜：

式中，一般取1,0(機)為一個窗函數(shù)，通?？扇【匦未?。

可見，該窗函數(shù)的選擇會影響到譜估計的分辨率。

7、對于連續(xù)時間信號和離散時間信號，試寫出相應(yīng)的維納一辛欣定理的主要內(nèi)容。

答：(1)連續(xù)時間信號相應(yīng)的維納-辛欣定理主要內(nèi)容：

連續(xù)時間信號的功率譜密度與其自相關(guān)函數(shù)滿足如下關(guān)系：

(2)離散時間信號相應(yīng)的維納-辛欣定理主要內(nèi)容：

離散時間信號的功率譜密度與其自相關(guān)函數(shù)滿足如下關(guān)系：

12、AR譜估計的根本原理是什么？與經(jīng)典譜估計方法相比，其有什么特點？

答：U)AR譜估計的根本原理是：p階的AR模型表示為：x(〃)=-*9/5-i)+M(〃)

其自相關(guān)函數(shù)滿足以下YW方程:

取m=0,1,2,…,p,可得到如下矩陣方程：.

「&D(加)=

「凡(0)4(1)…

在實際計算中，長度為N中襁f⑺6①)...，向獷貨9可以估計其自

j??,一.

???...?:.

相關(guān)函數(shù)氐(加)，再利用以h嬲方盾,若求出參嫌他0,.噌，及姬于是可求出x(")的功率譜

的估計值。

13、信號模型為s(n)=s(n-l)+w(n),測量模型為x(n)=s(n)+v(n),這里w(n)和v(n)都是均值為零的白噪聲,

其方差分別為0.5和1,v(n)與s(n)和w(n)都不相關(guān)?，F(xiàn)設(shè)計一因果IIR維納濾波器處理x(n),以得到

對s(n)的最正確估計。求該濾波器的傳輸函數(shù)和差分方程。

解：根據(jù)信號模型和測量模型方程可看出以下參數(shù)值：a=l,c=l,Q=0.5,R=lo將它們代入Ricatti方

程Q=P-a2RP/(R+c2P)

得O.5=P-P/(1+P