周期函數(shù)的判定方法

周期函數(shù)的判定方法周期函數(shù)的識(shí)別技巧羅建宇江蘇省張家港市暨陽高級(jí)中學(xué)，郵編：215600周期性作為函數(shù)的一項(xiàng)關(guān)鍵特性，近年來在高考中的考查力度顯著增強(qiáng)。本文旨在提供一系列實(shí)用的函數(shù)周期性判斷方法，以供廣大讀者參考與借鑒。一、基礎(chǔ)定義法當(dāng)存在一個(gè)非零常數(shù)，使得函數(shù)在其定義域內(nèi)任意點(diǎn)均滿足周期性條件，則該函數(shù)被認(rèn)定為周期函數(shù)，而該非零常數(shù)即為函數(shù)的一個(gè)周期。二、視覺直觀法若函數(shù)的圖像可以通過某一段圖像的重復(fù)平移而完整拼接，那么該函數(shù)具有周期性，且該段圖像兩端點(diǎn)的橫坐標(biāo)差值即為函數(shù)的一個(gè)周期。三、公式推導(dǎo)法若函數(shù)具有最小正周期，則其線性組合形式（其中均為常數(shù)）同樣以該最小正周期為周期。四、雙軸對(duì)稱法若函數(shù)圖像存在兩條平行直線作為對(duì)稱軸，則該函數(shù)為周期函數(shù)，且這兩條直線間的距離為其一個(gè)正周期。證明：由于直線是函數(shù)圖像的對(duì)稱軸，我們有：同時(shí)，直線也是函數(shù)圖像的對(duì)稱軸，因此：由此可得：因此，該函數(shù)為周期函數(shù)，且是其一個(gè)正周期。推論：對(duì)于圖像關(guān)于直線對(duì)稱的偶函數(shù)，其必然是周期函數(shù)，且是其一個(gè)正周期。五、兩點(diǎn)對(duì)稱法若函數(shù)圖像上存在兩個(gè)點(diǎn)作為對(duì)稱中心，則該函數(shù)為周期函數(shù)，且這兩點(diǎn)間的距離為其一個(gè)正周期。證明：由于點(diǎn)是函數(shù)圖像的對(duì)稱中心，我們有：同時(shí)，點(diǎn)也是函數(shù)圖像的對(duì)稱中心，因此：通過相減，我們得到：因此，該函數(shù)為周期函數(shù)，且是其一個(gè)正周期。推論：對(duì)于圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的奇函數(shù)，其必然是周期函數(shù)，且是其一個(gè)正周期。六、軸點(diǎn)結(jié)合法若函數(shù)圖像的一條直線和一點(diǎn)分別作為對(duì)稱軸和對(duì)稱中心，則該函數(shù)為周期函數(shù)，且這兩者間的距離為其一個(gè)正周期。證明：由于直線是函數(shù)圖像的對(duì)稱軸，我們有：同時(shí)，點(diǎn)是函數(shù)圖像的對(duì)稱中心，因此：通過整理，我們得到：因此，該函數(shù)為周期函數(shù)，且是其一個(gè)正周期。推論1：對(duì)于圖像關(guān)于對(duì)稱的奇函數(shù)，其必然是周期函數(shù)，且是其一個(gè)正周期。推論2：對(duì)于圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的偶函數(shù)，其必然是周期函數(shù)，且是其一個(gè)正周期。注：[1]此外，若函數(shù)滿足以下任一常見函數(shù)方程，也可判定其為周期函數(shù)：(1)對(duì)于任意實(shí)數(shù)，若，則函數(shù)是周期函數(shù)，且是其一個(gè)周期；(2)對(duì)于任意實(shí)數(shù)，若，則函數(shù)是周期函數(shù)，且是其一個(gè)周期；(3)對(duì)于任意實(shí)數(shù)，若，則函數(shù)是周期函數(shù)，且是其一個(gè)周期。[2]周期性的證明應(yīng)嚴(yán)格遵循周期函數(shù)的定義，同時(shí)可結(jié)合圖像從數(shù)形結(jié)合的角度直觀理解，即方法二所述；[3]函數(shù)周期性常在三角函數(shù)章節(jié)中出現(xiàn)，因此方法三常用于計(jì)算函數(shù)的最小正周期，尤其是三角函數(shù)的最小正周期；[4]后三種方法及其推論適用于判斷特殊函數(shù)和抽象函數(shù)的周期性，揭示了抽象函數(shù)若兼具奇偶性與對(duì)稱性或雙重對(duì)稱性，則其具有周期性，可結(jié)合方法二進(jìn)行深入理解。例1（2004年全國(guó)高考第17題）求函數(shù)的最小正周期、最大值和最小值。解析：因此，函數(shù)的最小正周期為，最大值為，最小值為。例2（2001年全國(guó)高考第22題第(2)問）設(shè)為定義在上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于直線對(duì)稱，證明為周期函數(shù)